一、質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩二、動量矩定理三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)

1、11、空間的力對空間的力對O 點之矩：點之矩：（1 1）力矩的大??；）力矩的大?。唬? 2）力矩的轉(zhuǎn)向；）力矩的轉(zhuǎn)向；（3 3）力矩作用面方位。）力矩作用面方位。幾何意義幾何意義 MO(F) =Fh=2OAB MO(F)OA(x,y,z)BrFhyxzFr)F(MO定位矢量定位矢量 FMOkjiFkjirZYXzyxkjikjiFrFM)()()()(yXxYxZzXzYyZZYXzyxOMO(F)OA(x,y,z)BrFhyxz解析式：解析式：kMjMiMzOyOxO)()()(FFF22、力對軸的矩、力對軸的矩 BAFOxyzhFxybFz力對軸的矩等于力在垂直于該軸的平力對軸的矩等于力在

2、垂直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點的矩。面上的投影對軸與平面交點的矩。 力對軸之矩用來表征力對軸之矩用來表征力對剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。力對剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 當(dāng)力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。當(dāng)力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。OABO 2)(FMOabOABcos)(cos)(FFMzOM)()(FFMzzOM)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM33、力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系、力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系 力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。OabOz2)()(

3、xyFMFMMO(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxzvmr)v(mMO MO(mv) =mvh=2OAB MO(mv)定位矢量定位矢量kmvMjmvMimvMmvmvmvzyxkjivmrvmMzOyOxOzyxO)()()()()()(mvmvmvmvmvmvzzOyyOxxOMMMMMM（1 1）動量矩的大?。唬﹦恿烤氐拇笮?；（2）動量矩的轉(zhuǎn)向；）動量矩的轉(zhuǎn)向；（3）動量矩作用面方位。）動量矩作用面方位。ii)(vrvMLiiiOOmm)(iizzmMLvzzOyyOxxOLLLLLL 設(shè)質(zhì)點系有設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點個質(zhì)點 每個質(zhì)點的質(zhì)量分別為：每個質(zhì)點的質(zhì)量分別為： 每個質(zhì)點的速度分

4、別為：每個質(zhì)點的速度分別為：ninivvvvmmmm 2121、 對軸的動量矩對軸的動量矩kLjLiLLzyxOOriviyxzm1mim2r11v（1 1）剛體平移）剛體平移可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。作為一個質(zhì)點來計算。)(COOvmML )(CzzvmML rimi22)(iiiiiiiiizzrmrmrvmmMLvz2iiJrmzzJL 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。MO(F)MO(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzF)()()()(

5、FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd)()(FMvMOOmdtdFmdtd)( vvmr)v(mMO)()(FMvMOOmdtd)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM 設(shè)質(zhì)點系有設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點個質(zhì)點 每個質(zhì)點的質(zhì)量分別為：每個質(zhì)點的質(zhì)量分別為： 每個質(zhì)點的速度分別為：每個質(zhì)點的速度分別為：每個質(zhì)點的合外力分別為：每個質(zhì)點的合外力分別為：每個質(zhì)點的合內(nèi)力分別為：每個質(zhì)點的合內(nèi)力分別為：)()()(2)()()()(2)(12121iniiiiieneieeni

6、niFFFFFFFFvvvvmmmm 、每個質(zhì)點動量矩定理的微分形式：每個質(zhì)點動量矩定理的微分形式：)()()()(1)(111iOeOOmdtdFMFMvM)()()()()(inOenOnnOmdtdFMFMvM質(zhì)點質(zhì)點1 1：質(zhì)點質(zhì)點i ：質(zhì)點質(zhì)點n ：)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM兩邊求和兩邊求和: :0)()(iiOFM其中：其中：)()(eiOdtdFMLO)()()(e)izz(e)iyy(e)ixxMLdtdMLdtdMLdtdFFF)()()(eiOiiOmdtdFMvM（1 1）在動量矩定理中，因內(nèi)力不出現(xiàn)，所以用動量矩定）在動量矩定理中，因內(nèi)力

7、不出現(xiàn)，所以用動量矩定 理比用質(zhì)點動力學(xué)方程解題要簡單。理比用質(zhì)點動力學(xué)方程解題要簡單。（2 2）質(zhì)點系動量矩的變化只決定于外力，即內(nèi)力不能改）質(zhì)點系動量矩的變化只決定于外力，即內(nèi)力不能改 變系統(tǒng)的總動量矩。變系統(tǒng)的總動量矩。（3 3）內(nèi)力只能使系統(tǒng)中各質(zhì)點間彼此進行動量矩交換。）內(nèi)力只能使系統(tǒng)中各質(zhì)點間彼此進行動量矩交換。注意：注意：)()(eiOdtdFMLO)()(eiOdtdFMLO0)()(eiFMO（1 1）若）若，則，則0OdtdL常常矢矢量量OL（2 2）若）若0)(0)(0)(e)iz(e)iy(e)ixMMMFFF，則，則常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)zyxLLL000zyxLd

8、tdLdtdLdtd)(e)izzMLdtdF vRgWJLOOvRgWRJLOO)(RvA)()(eiOdtdFMLOWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaO)()(eiOdtdFMLOWRei)()(FMOAvRgWRJLOO)(zbbllABCDzABCD( )()0ezMF 恒恒量量zL020122mbbmbLz22)sin(2lbmLz022)sin(lbb已知：已知：兩小球的質(zhì)量均為兩小球的質(zhì)量均為m ，初始角速度為，初始角速度為021zzLL剛體上作用的主動力為：剛體上作用的主動力為： 軸承的約束反力為：軸承的約束反力為：niniNNNNFFFF 2121、rimi已

9、知：已知：剛體對剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 角速度為角速度為， 則剛體對則剛體對z軸的動量矩軸的動量矩zJzzJL )(e)izzMLdtdF外力外力1N3N2N5N4Nrimi)()()(izizzMMJdtdNF0)(izMN)(izzMdtdJF)(izzMJF)(22izzMdtdJF4N5N2N3N1N)(FMJzzFam討論：討論：（1 1）若）若0)(izMF，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動const0（2 2）若）若constMiz)(F，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動const（3 3）)(izzMJFaCOsin22mgadtdJOsin022OJmg

10、adtdmgaJTO2)sin(0tJmgaO)(22FOOOOMdtdJdtdJJRfFFRdtdJNOdtRfFdJtNO000RFfJtNO0)(FOOOMdtdJJNfFF 2iizrmJ對于質(zhì)量為連續(xù)分布的剛體，則上式成為定積分對于質(zhì)量為連續(xù)分布的剛體，則上式成為定積分dmrJz222002231mlxdxlmdmrrmJlliizdxlmdxdm設(shè)：單位長度的質(zhì)量為設(shè)：單位長度的質(zhì)量為lmdx 微段的質(zhì)量為微段的質(zhì)量為: :對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量dmRdRmdsRmdm22222020222mRdmRdmRJz對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量rdrRmrdrRmd

11、ARmdm22222220202212mRrrdrRmdmrJRRO若設(shè)想剛體的質(zhì)量集中于一點，并使此點對若設(shè)想剛體的質(zhì)量集中于一點，并使此點對z 軸的轉(zhuǎn)動慣軸的轉(zhuǎn)動慣量等于原物體對同一軸量等于原物體對同一軸轉(zhuǎn)動慣量，則轉(zhuǎn)動慣量，則此點到此點到z 軸的軸的距離為距離為 z 2zZMJ2 2、回轉(zhuǎn)半徑、回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑2iizrmJ原物體對原物體對z軸轉(zhuǎn)動慣量。軸轉(zhuǎn)動慣量。集中質(zhì)量對集中質(zhì)量對z軸轉(zhuǎn)動慣量。軸轉(zhuǎn)動慣量。22iiZZrmJMMJzz回轉(zhuǎn)半徑：只與物體的形狀、大小、密度、比重等有關(guān)回轉(zhuǎn)半徑：只與物體的形狀、大小、密度、比重等有關(guān))(222iiiiizyxmrmJ0iCiiCm

12、ymy2mdJJzCz)(22dyxmCiCiiiCiiCiCiimdymdyxm2222)(已知：已知： 求證：求證：zJCzJdyyxxciicii當(dāng)坐標(biāo)原點取在質(zhì)心當(dāng)坐標(biāo)原點取在質(zhì)心C 時，時，證明：證明：C為剛體的形心。為剛體的形心。 z 和和zc 軸之間的距離為軸之間的距離為d)(222CiCiiCiizyxmrmJCzJlm,已知：已知：均質(zhì)細直桿，均質(zhì)細直桿， 求：求： 解：解：zJ2231)2(mllmJJCzz22221214131)2(mlmlmllmJJzzC222mdJJmbJJmaJJzCzyCyxCx2222487161121)4(mlmlmllmJJCzz2)43

13、(lmJJzzld已知：已知：桿長為桿長為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 ，圓盤直徑為，圓盤直徑為 質(zhì)量為質(zhì)量為 。1m2mOJ求：求： 。盤桿OOOJJJ2131lmJO桿)83()2(22222ldldmdlmJJCO盤)83(3122221ldldmlmJO22228121dmrmJC l 2已知：已知：均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3 3m。 求：求：其對軸其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。解解：222211(2 )(2 )(2 )( 2 )3125OOAABJJJmlmlmlmlOABll 2OABll 2OABll 2 計算下列組合桿計算下列組合桿對軸對軸O的轉(zhuǎn)動慣

14、量的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量為質(zhì)量為m1、m2的均質(zhì)圓盤結(jié)合在一起并繞的均質(zhì)圓盤結(jié)合在一起并繞O軸轉(zhuǎn)動。軸轉(zhuǎn)動。已知：已知：m3m4。解：解：（1）動量矩定理）動量矩定理 取整個系統(tǒng)為研究對象取整個系統(tǒng)為研究對象 取順時針的動量矩為正，取順時針的動量矩為正， 則兩圓盤的動量矩為：則兩圓盤的動量矩為：22221112121rmrmJLzz兩重物的動量矩分別為：兩重物的動量矩分別為：22424432131332rmrvmLrmrvmLzzm3gm4 gABr1r2Oxy 4v3v整個系統(tǒng)的動量矩為整個系統(tǒng)的動量矩為m3 gm4 gABr1r2Oxy 2242132222112121rmrmrmrmmvmLzz

15、由動量矩定理由動量矩定理 )(eizzFmdtdL13242242132222112121grmgrmrmrmrmrmdtd 所以圓盤得加速度為所以圓盤得加速度為grmmrmmrmrm22422131132422)(23v4vgmm)(21XOYO 取整個系統(tǒng)為研究對象取整個系統(tǒng)為研究對象2242132222112121rmrmrmrmJO)(iOOMJF13242242132222112121grmgrmrmrmrmrmm3 gm4 gABr1r2Oxy 3v4vgmm)(21XOYOgrmmrmmrmrm22422131132422)(2已知：已知：質(zhì)量為質(zhì)量為100kg、半徑為、半徑為1

16、m的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速 繞繞O軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。設(shè)有一常力軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。設(shè)有一常力P 作用于閘桿，輪經(jīng)作用于閘桿，輪經(jīng) 10s 后停止轉(zhuǎn)動。摩擦系數(shù)后停止轉(zhuǎn)動。摩擦系數(shù) 求：求：力力P 的大小。的大小。r/min120n1 . 0f解：解：受力分析如圖所示受力分析如圖所示6020n取輪為研究對象取輪為研究對象FRdtdJdtFRdJt000FRtJ0221mRJ tnmRP14解：解：取閘桿取閘桿O1A為研究對象為研究對象PNfFPNNPmsO3073705 . 15 . 301已知：已知：均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A質(zhì)量為質(zhì)量為m1，半徑為半徑為r1 ，以角速度，以角速度 繞繞OA

17、桿桿 的的A端轉(zhuǎn)動，此時將輪放置在端轉(zhuǎn)動，此時將輪放置在質(zhì)量為質(zhì)量為m2，半徑為，半徑為r2 的另的另 一均質(zhì)圓輪一均質(zhì)圓輪B上上，如圖所示，如圖所示，輪輪B原為靜止，但可繞其原為靜止，但可繞其 中心軸自由轉(zhuǎn)動。中心軸自由轉(zhuǎn)動。放置后，放置后，輪輪A的重量由輪的重量由輪B支持。略去支持。略去 軸承的摩擦和桿軸承的摩擦和桿OA的質(zhì)量，并設(shè)兩輪間的的質(zhì)量，并設(shè)兩輪間的摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為f 。 問：問：自輪自輪A放置在輪放置在輪B上到上到兩輪間沒有相對滑動為止，經(jīng)過了兩輪間沒有相對滑動為止，經(jīng)過了 多少時間多少時間？解：解：分別取輪分別取輪A和輪和輪B為研究對象，為研究對象， OA桿是二力桿桿是二

18、力桿21FrdtdJFrdtdJBBAAtBBtAAdtFrdJdtFrdJBA02001tBBtAAdtFrdJdtFrdJBA02001tFrJtFrJBBAA21)(上述方程包括上述方程包括 等三個未知量，不能等三個未知量，不能直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。 tBA、當(dāng)兩輪間沒有相對滑動時當(dāng)兩輪間沒有相對滑動時12rrBAgfmNfFs1）（21112mmfgrt五、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理五、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理)()(eiOdtdFMLO)(e)izzMLdtdF O 定點定點 z 定軸定軸 )(eiCCFMd

19、tLdzzJL )(COOvmML 1 1、剛體作一般運動時相、剛體作一般運動時相對于定點的動量矩對于定點的動量矩剛體作平面運動時對定點的動量矩剛體作平面運動時對定點的動量矩定系：定系： 動系：動系： 質(zhì)心：質(zhì)心：COxyzzyxC相對運動：相對運動：相對矢徑：相對矢徑：相對速度：相對速度：irirv(1)(1)質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩動系是一個平動系和質(zhì)心固連在一起動系是一個平動系和質(zhì)心固連在一起iiiiiCCvmrvmML 質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度或以質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。絕對速度計

20、算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。iriiiriCCvmrvmML iiiiiCCvmrvmML irCivvv由點的速度合成定理由點的速度合成定理 iriiCiiCvmrvmrL0)( CiiCiivrmvmr0MrmriiC iriiCvmrL質(zhì)心質(zhì)心C 相對于動系的矢徑相對于動系的矢徑iiiiiCCvmrvmML irCivvv絕對運動：絕對運動：絕對矢徑絕對矢徑 ；絕對速度絕對速度iriv(2)(2)質(zhì)點系相質(zhì)點系相對于定點對于定點O 的動量矩的動量矩iiiiiOOvmrvmMLiCirrriiiCOvmrrL iiiiiCvmrvmr由質(zhì)點系的動量可知由質(zhì)點系的動量可知CiivMv

21、m由點的速度合成定理由點的速度合成定理iv iiiiiCOvmrvmrLCiivMvmirCivvv iriiCiiCCOvmrvmrvMrL0)( CCCiiCiivrMvrmvmr0MrmriiC iriiCvmrLCr質(zhì)心質(zhì)心C 相對于動系的矢徑相對于動系的矢徑在動系上看質(zhì)心的矢徑在動系上看質(zhì)心的矢徑0CrivCCCOLvMrLCCOLvMM iriiCCOvmrvMrL iriiCvmrL剛體作剛體作一般運動時，相對于一般運動時，相對于定點的動量矩定點的動量矩 = = 隨質(zhì)心平動的動量矩隨質(zhì)心平動的動量矩 + + 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩iv eiiCCCOFrLvMrdt

22、dt dLd2 2、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理0CCCCvMvvdtrddtLdvMdtdrvMdtrdCCCCCCCCLvMrdtd eiiOFrt dLd質(zhì)點系相對于定點的動量矩定理質(zhì)點系相對于定點的動量矩定理CCCOLvMrL eiCCCFrvMdtdr eiCFvMdtd eiCeiCFrFr質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理 eiiCFrdtLd )(eiCCFMdtLd eiiFr

23、eiieiCFrFriCirrrCCCLvMrdtddtLdFrCeiC)( eiiCCCOFrLvMrdtddtLd )(eCCeCFMJFam )(dddd2222eCCeCFMtJFtrm六、剛體的平面運動微分方程六、剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動剛體的平面運動隨基點的平動隨基點的平動繞基點的轉(zhuǎn)動繞基點的轉(zhuǎn)動基點基點質(zhì)心質(zhì)心隨質(zhì)心的平動運動微分方程隨質(zhì)心的平動運動微分方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動運動微分方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動運動微分方程剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程 )(eCCeyCyexCxFMJFmaFma )(eCCennCeCFMJFmaFma投影式：投影式：在直角坐標(biāo)系的投影

24、在直角坐標(biāo)系的投影在自然坐標(biāo)系的投影在自然坐標(biāo)系的投影 )(eCCeCFMJFam已知：已知：行星齒輪機構(gòu)的曲柄行星齒輪機構(gòu)的曲柄OO1受力偶受力偶M 作用而繞固定鉛直作用而繞固定鉛直 軸軸O 轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪O1在固定水平齒輪在固定水平齒輪O 上滾動如上滾動如 圖所示。設(shè)曲柄圖所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿，長為均質(zhì)桿，長l、重重P；齒輪齒輪O1為均為均 質(zhì)圓盤，半徑質(zhì)圓盤，半徑r 、重重Q。試求：試求：曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。 解：解：以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動 列出繞定軸列出

25、繞定軸O轉(zhuǎn)動的微分方程轉(zhuǎn)動的微分方程 21(1)3PlMF lgMO1OFnFRnROO1M由運動學(xué)關(guān)系找補充方程由運動學(xué)關(guān)系找補充方程瞬心為瞬心為p聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)(1)( (4)4)，得，得26(29 )MgPQ llQPQMT)92(3O1FnFTNaan1(2)QaFTg211(3)2QrTrg取齒輪取齒輪O1分析，齒輪分析，齒輪O1作平面運動作平面運動MO1OFnFRnR21(1)3PlMF lgOO1Mnaaprarv1lra1已知：已知：如圖所示，均質(zhì)圓盤半徑為如圖所示，均質(zhì)圓盤半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，不計質(zhì)量，不計質(zhì)量 的細桿長的細桿長l ，繞軸，繞軸O轉(zhuǎn)動，角速度

26、為轉(zhuǎn)動，角速度為 ； 求：求：下列三種情況下圓盤對固定軸下列三種情況下圓盤對固定軸O 的動量矩：的動量矩： （a）圓盤固結(jié)于桿；）圓盤固結(jié)于桿； （b）圓盤繞）圓盤繞A 軸轉(zhuǎn)動，相對于桿軸轉(zhuǎn)動，相對于桿OA的角速度為的角速度為 ； （c）圓盤繞）圓盤繞A 軸轉(zhuǎn)動，相對于桿軸轉(zhuǎn)動，相對于桿OA的角速度為的角速度為 。0ororrr（2 2）同向轉(zhuǎn)動的情形）同向轉(zhuǎn)動的情形 設(shè)設(shè)t1瞬時，瞬時，OA處于水平位置處于水平位置( (與與x 軸重合軸重合) )。取此時輪緣上。取此時輪緣上B點點 為動點。如圖所示。此時為動點。如圖所示。此時AB、Ox和和Ox重合。重合。 t2 瞬時瞬時OA轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角到達角

27、到達OA。若。若桿與桿與輪無相對轉(zhuǎn)動，則輪無相對轉(zhuǎn)動，則B點點 到達到達B0 點。今設(shè)輪相對于點。今設(shè)輪相對于OA轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角，則角，則B點到達點到達B 點。點。 即半徑即半徑AB由水平位置運動到由水平位置運動到 ，其絕對轉(zhuǎn)角為兩個轉(zhuǎn)動的，其絕對轉(zhuǎn)角為兩個轉(zhuǎn)動的 疊加：疊加：rea角速度合成定理：兩邊求導(dǎo)即得同向轉(zhuǎn)動的角速度合成定理。角速度合成定理：兩邊求導(dǎo)即得同向轉(zhuǎn)動的角速度合成定理。 reaBAer（3 3）反向轉(zhuǎn)動的情形）反向轉(zhuǎn)動的情形 設(shè)設(shè)t1 瞬時瞬時OA處于水平位置，處于水平位置， 、 和和Ox 軸重合，如圖所示。軸重合，如圖所示。 B為輪緣上的點。為輪緣上的點。 t t2 2 瞬

28、時瞬時OA反時針轉(zhuǎn)過反時針轉(zhuǎn)過 角到達角到達 ，輪相對于，輪相對于 順時順時 針轉(zhuǎn)過針轉(zhuǎn)過 角，角，AB到達處到達處 。 ABxO eAO xO rBArearea兩邊求導(dǎo)，得反向轉(zhuǎn)動的角速度合成定理：兩邊求導(dǎo)，得反向轉(zhuǎn)動的角速度合成定理：e（a）圓盤固結(jié)于桿；）圓盤固結(jié)于桿；221mRJA2mlJJAOOOOOmlmRJL)21(22（b）圓盤繞）圓盤繞A軸轉(zhuǎn)動，相對于桿軸轉(zhuǎn)動，相對于桿OA的角速度為的角速度為 ；CCOOLvMMLaAAOJlmvLOAlv221mRJA)(2212222RlmmRlmLOOOOOrea2orrAvr（c）圓盤繞）圓盤繞A軸轉(zhuǎn)動，相對于桿軸轉(zhuǎn)動，相對于桿OA

29、的角速度為的角速度為 。CCOOLvMMLAvaAAOJlmvLOAlv221mRJA2lmLOO0reaor圓盤作平動圓盤作平動已知：已知：質(zhì)量為質(zhì)量為m 的偏心輪在水平面上作平面運動，輪子軸心的偏心輪在水平面上作平面運動，輪子軸心 為為A，質(zhì)心為，質(zhì)心為C，AC=e ；輪子半徑為；輪子半徑為R，對軸心，對軸心A的的 轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為JA ；C、A、B三點在同一鉛直線上。三點在同一鉛直線上。 求：求：（1 1）當(dāng)輪子只滾不滑時，若已知）當(dāng)輪子只滾不滑時，若已知vA ，求輪子的動量，求輪子的動量 和對地面上和對地面上B點的動量矩。點的動量矩。 （2 2）當(dāng)輪子又滾又滑時，若已知）當(dāng)輪子又滾

30、又滑時，若已知vA，求輪子的，求輪子的 動量和對地面上動量和對地面上B點的動量矩。點的動量矩。（1）當(dāng)輪子只滾不滑時，若已知）當(dāng)輪子只滾不滑時，若已知vA ，求輪子的動量，求輪子的動量 和對地面上和對地面上B點的動量矩。點的動量矩。只滾不滑只滾不滑B點為速度瞬心點為速度瞬心RvARveRBCvAC)(質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度ACmvReRmvpBBJL 22meJJmeJJACCA222)()(eRmmeJeRmJJACBRveRmmeJLAAB)(22CCBBJmvML)(2meJJACRveRBCvAC)(RvmeRmeJRvmeJRvmeRmeJmveRLAAAAAACB)()()()()(

31、22222（2）當(dāng)輪子又滾又滑時，若已知）當(dāng)輪子又滾又滑時，若已知vA，求輪子的求輪子的 動量和對地面上動量和對地面上B點的動量矩。點的動量矩。輪子又滾又滑輪子又滾又滑B點不是速度瞬心點不是速度瞬心用基點法求質(zhì)心的速度用基點法求質(zhì)心的速度基點：基點：A ； 動點：動點：C 。CAACvvvAvCAvevvvvACAAC)(evmmvpACCCBBJmvML)()()()(2meJevmeRLAAB2meJJAC11222321RRvv1223232222()OJJLmmR vRROOAOBOCL = L+L+L1122222332()JJm v Rm v R解解：已知：已知：滑輪滑輪A：m1，

32、R1，J1 滑輪滑輪B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物體物體C：m3 求：求：系統(tǒng)對系統(tǒng)對O軸的動量矩軸的動量矩。已知：已知：均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m ，半徑為，半徑為r ，放在傾斜角為，放在傾斜角為 的斜的斜 面上，如圖所示。一細繩纏在圓柱體上，其一端固定于面上，如圖所示。一細繩纏在圓柱體上，其一端固定于A 點，點，AB平行于斜面。若圓柱體與斜面間的摩擦系數(shù)平行于斜面。若圓柱體與斜面間的摩擦系數(shù) 試求：試求：柱體中心柱體中心C 的加速度。的加速度。6031f解：解：取圓柱為研究對象取圓柱為研究對象受力分析如圖所示受力分析如圖所示 設(shè)圓柱的角加速度為設(shè)圓柱的角加速度為 ，質(zhì)心

33、，質(zhì)心C的加速度為的加速度為CaCaCvCarFTmrFTmgmamgNC)(2160sin60cos0200NfFs上述三個方程包括上述三個方程包括 ， ， ，T 、F 等五個未知量，不能直接求解，等五個未知量，不能直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。 CaNRadtdRvCC由剛體平面運動微分方程由剛體平面運動微分方程Cv已知：已知：均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m ，半徑為，半徑為r ，一繩纏在繞，一繩纏在繞 固定軸固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上，如上，如 圖所示。摩擦不計。圖

34、所示。摩擦不計。 求：求：（1 1）圓柱體）圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度；下落時質(zhì)心的加速度；ABBa解：解：取圓柱取圓柱A和和B為研究對象為研究對象 設(shè)圓柱的角加速度為設(shè)圓柱的角加速度為 、 ，B輪質(zhì)心的加速度為輪質(zhì)心的加速度為ABBa ()eBxxeByyeBBBmaFmaFJMF )(eOAOFMJ受力分析如圖所示受力分析如圖所示TrJTmgmaBBBB輪作平面運動輪作平面運動由剛體平面運動微分方程由剛體平面運動微分方程TrJAA上述三個方程包括上述三個方程包括 ， ， ，T 等四個未知量，不能直接求解，等四個未知量，不能直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。需根據(jù)給出的約束條件補

35、充運動學(xué)方程。 BaAB補充運動學(xué)方程補充運動學(xué)方程ABBaCDCACaraDCaa CaDaB輪作平面運動輪作平面運動DyDaaBaBBaDBnDBBDaaaaDBanDBa基點：基點：B； 動點：動點：DraBDBDBBDyaaaraaaABDyDBB)(raaACDyraBDB運動學(xué)補充方程運動學(xué)補充方程TrJAATrJTmgmaBBBBaBBaDBanDBaABBaCDCaDaDBnDBBDaaaa已知：已知：長長l，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB和和BC用鉸鏈用鉸鏈B聯(lián)接，并用聯(lián)接，并用 鉸鏈鉸鏈A固定，位于平衡位置。在固定，位于平衡位置。在C端作用一水平力端作用一水平力F。

36、求：求：此瞬時，兩桿的角加速度。此瞬時，兩桿的角加速度。解：解：分別以分別以AB和和BC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。 AB和和BC分分 別作定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。對別作定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。對AB由定軸轉(zhuǎn)動的微分由定軸轉(zhuǎn)動的微分 方程得方程得21(1)3ABBxmlF lABFAxFBxFByaBWABCBAFFAyBC作平面運動，取作平面運動，取B為基點，則為基點，則nGBGBGBaaaa將以上矢量式投影到水平方向，得將以上矢量式投影到水平方向，得2lGxBGBABBCaaal(4)由由(1) (1) (4)(4)聯(lián)立解得聯(lián)立解得630,77ABBCFFmlml 2,lBABGB

37、BCala對對BC由剛體平面運動的微分方程得由剛體平面運動的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBxllmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyaGBFByFBxO已知：已知：平板質(zhì)量為平板質(zhì)量為m1，受水平力受水平力F 作用而沿水平面運動，板作用而沿水平面運動，板 與水平面間的動摩擦系數(shù)為與水平面間的動摩擦系數(shù)為f ，平板上放一質(zhì)量為平板上放一質(zhì)量為m2 的均質(zhì)圓柱，它相對平板只滾動不滑動。的均質(zhì)圓柱，它相對平板只滾動不滑動。 求：求：平板的加速度。平板的加速度。 解：解：取圓柱為研究對象取圓柱為研究對象21Om aFFaOFN1F1m2gaO120NFm g22112m rFr

38、FN1F1FN2F2m1gFa121FFFam取板取板研究對象研究對象板作平動板作平動mgFFNN120，aaFFFFONN2112未知量：未知量：22NfFF 之之間間的的補補充充方方程程找找0aa，raaaaDO00基點：圓心基點：圓心O； 動點：圓柱上的動點：圓柱上的D點點raa0raDO2ranDOFaOOm2gaOaODDa11222,NFFm gm r1213Fm aOFN1F1m2gaOFN1F1FN2F2m1gFa21Om aF120NFm g22112m rFr121FFFamgmFFNN112022NfFF raa0gmmfF)(21211221()3m aFf mm gm

39、 a1212()13Ff mm gammgmgmFN122解：解：選選T 字型桿為研究對象。字型桿為研究對象。 受力分析如圖示。受力分析如圖示。22178 0.5 8 9.8 0.258 9.8 0.512 20.75 rad/s 0.250.5OJmgmg2222111731212OJmlmlmlml由定軸轉(zhuǎn)動微分方程由定軸轉(zhuǎn)動微分方程已知：已知：兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 8kg的均質(zhì)細桿固連成的均質(zhì)細桿固連成T 字型，可繞通過字型，可繞通過O 點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于水平位置時處于水平位置時, , T 形桿具有角形桿具有角 速度速度 =4=4rad/s 。 求：求：該

40、瞬時軸承該瞬時軸承O的約束力。的約束力。根據(jù)質(zhì)心運動微分方程根據(jù)質(zhì)心運動微分方程OCxXma2mgmgYmaOCy243432lalaCyCx43221lmmmllmmmmxmxxC質(zhì)點系的質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)心 l=0.52/75.20sradsrad /496445 . 038222CxOmaX3 .3275.2043828 . 9822lmgmgmaYCyO根據(jù)質(zhì)心運動微分方程，得根據(jù)質(zhì)心運動微分方程，得OxCxCXmama21mgmgYmamaOyCyC212212 ()8 (40.25 40.5 )96 NOC xC xXm aa2 8 9.8 8 ( 20.75 0.25 20.75 0

41、.5 ) 32.3 NOY 22212lalaxCxClalayCyC212根據(jù)剛體平面運動微分方程根據(jù)剛體平面運動微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA021d 2dABQrF rF rgt 補充方程：補充方程：BBAANfFNfF , 解：解：選取圓柱為研究對象。選取圓柱為研究對象。( (注意只是一個注意只是一個 剛體剛體) )受力分析如圖示。受力分析如圖示。運動分析：質(zhì)心運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。已知：已知：均質(zhì)圓柱，半徑為均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角，置圓柱于墻角。初始角 速度速度 0 0，墻面、地面與圓

42、柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均 為為 f ，滾阻不計。，滾阻不計。 求：求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。將將式代入式代入、 兩式，有兩式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB將上述結(jié)果代入將上述結(jié)果代入式，有式，有00220d1221 , d dd11tfggfffttfrrf 20(1 )2(1)frtgffBAFN 0QNFBA021d 2dABQrF rF rgt 補充方程：補充方程：BBAANfFNfF , 0)(e)iOMF: :解解0 0恒恒量量OL已知：

43、已知：爬繩比賽的力學(xué)分析爬繩比賽的力學(xué)分析 人相對于繩子的速度為人相對于繩子的速度為BAmm BrArvv0rvmrvmBaBAaABaAavvO0rvmrvmBaBAaABaAavvuvvuvvBrBaArAa2BrArvvu2BrArBaAavvvvBrArvvAavBavuulg23OyOxFmglmFlm20222312lmgml420mglmmgFFOyOx )(eOOFMJ eCFamCamgRJO2222321mRmRmRJORg32CyOyCxOxmaFmgmaFgRaaCyCx2300mgFFOyOx210已知：已知：均質(zhì)桿長均質(zhì)桿長l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，用兩根細繩懸掛如

44、圖所示。，用兩根細繩懸掛如圖所示。 設(shè)繩與桿的夾角為設(shè)繩與桿的夾角為 ，且，且 求：求：當(dāng)細繩當(dāng)細繩OB被突然剪斷時，繩被突然剪斷時，繩OA的拉力。的拉力。 OBOA 解：解：OB繩被突然剪斷時，繩被突然剪斷時，AB桿的受力圖如圖所示。桿的受力圖如圖所示。 00加速度分析加速度分析OB繩被突然剪斷瞬時，繩被突然剪斷瞬時，A點繞點繞O點轉(zhuǎn)動點轉(zhuǎn)動AAnAaaa0OB繩被突然剪斷瞬時，繩被突然剪斷瞬時，AB桿作平面運動桿作平面運動基點：基點：A； 動點：桿的質(zhì)心動點：桿的質(zhì)心CCAnCAACaaaa20lACaaCAnCA質(zhì)心的加速度質(zhì)心的加速度 cosaaasinlsinaaCAACyCACx2

45、運動學(xué)補充方程運動學(xué)補充方程用平面運動微分方程建立桿的動力學(xué)方程用平面運動微分方程建立桿的動力學(xué)方程sinmgTmaCxcosmgmaCysin21212lTml 上述三個方程包括上述三個方程包括 ， ， ，T 等四個未知量，不等四個未知量，不能直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。能直接求解，需根據(jù)給出的約束條件補充運動學(xué)方程。 CxaCyasinlsinaaCACx22sin31sinmgTlg22sin31sin6已知：已知：圖示均質(zhì)細桿圖示均質(zhì)細桿AB ，長為，長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，在圖示情況，在圖示情況 下由靜止釋放。下由靜止釋放。 求：求：桿在初始瞬時的約束反力和角

46、加速度。桿在初始瞬時的約束反力和角加速度。解：解：找運動學(xué)補充方程找運動學(xué)補充方程在在D點點 00DyDxaa桿在靜止釋放的初始瞬時桿在靜止釋放的初始瞬時，AB桿作平面運動。桿作平面運動。 基點：基點：D； 動點：桿的質(zhì)心動點：桿的質(zhì)心CDCnDCDCaaaaDynCDDyCyCDCxaaaabaa02ACanCDbaCx運動學(xué)補充方程運動學(xué)補充方程桿在靜止釋放的初始瞬時桿在靜止釋放的初始瞬時，AB桿的受力圖如圖所示。桿的受力圖如圖所示。 bNmlmgmaNmgmaDCyDCx2121cossinDynCDDyCyCDCxaaaabaa已知：已知：均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB長長l，B端放在光滑的水平面上

47、，端放在光滑的水平面上，A端掛與固定點端掛與固定點D 處，現(xiàn)突然剪斷細繩，桿沿鉛直面自由倒下，初瞬時處，現(xiàn)突然剪斷細繩，桿沿鉛直面自由倒下，初瞬時 =45=450 0。 求：求：該瞬時桿端該瞬時桿端B處的支反力。處的支反力。解：解：受力如圖，受力如圖，水平方向無外力，水平方向無外力，質(zhì)心在水平方向運動守恒質(zhì)心在水平方向運動守恒如圖建立坐標(biāo)：使如圖建立坐標(biāo)：使y軸過質(zhì)心軸過質(zhì)心Cyx用剛體平面運動微分方程：用剛體平面運動微分方程：cos2lNJmgNymCC 在直角坐標(biāo)中：在直角坐標(biāo)中：sin2 lyC將上式對時間求兩階導(dǎo)數(shù)即得：將上式對時間求兩階導(dǎo)數(shù)即得：ABCDmgN)cossin(2cos

48、2 2 lylyCC初瞬時，初瞬時，0 cos2 lyC 聯(lián)立解出聯(lián)立解出 N 并將并將=45=450 0 代入即可。代入即可。sin2 lyCcos2lNJmgNymCC yxABCDmgN已知：已知：均質(zhì)桿質(zhì)量為均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長長為為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平 地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑 下，不計摩擦。下，不計摩擦。 求：求：開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力。解：解：以桿以桿AB為研究對象，分析受力。為研究對象，分析受力。yBCAmgxBCAFAFB桿作

49、平面運動，設(shè)質(zhì)心桿作平面運動，設(shè)質(zhì)心C的加速度為的加速度為aCx、aCy，角加速度為角加速度為a。aCxaCy由剛體平面運動微分方程由剛體平面運動微分方程mgsincos(3)22CABllJFF(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFBCAyx以以C點為基點，則點為基點，則A點的加速度為點的加速度為nACACACaaaa0sinCyACaa再以再以C點為基點，則點為基點，則B點的加速度為點的加速度為nBCBCBCaaaa0cosCxCBaasinsin(4)2CyAClaa coscos(5)2CxCBlaaaAaBaCxaCyaBCaAC在運動開始時在運動開始時, , 0, 0, 故故 , , 將上式投影到將上式投影到y(tǒng)軸上，軸上，同理，同理， ，將上式投影到，將上式投影到 x軸上，得軸上，得0nBCa0nACasincos(3)22CABllJFF(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFsinsin(4)2CyAClaa coscos(5)2CxCBlaa聯(lián)