數(shù)列通項(xiàng)公式求法

1、 求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 訥河市拉哈一中訥河市拉哈一中 谷洪明谷洪明求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的第數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的第n n項(xiàng)項(xiàng)a an n與與n n之間之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示, ,那么這個(gè)公那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. . 反映了數(shù)列中的每一項(xiàng)與每一項(xiàng)的序號(hào)反映了數(shù)列中的每一項(xiàng)與每一項(xiàng)的序號(hào)的關(guān)系的關(guān)系基本數(shù)列的通項(xiàng)公式基本數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1) 1 ,2 ,3 ,4 , (2) 1 ,3 ,5 ,7 , (3) 3 ,5 ,7 ,9 , (4) 2 ,4 ,6 ,8 , (5)

2、1 ,4 ,9 ,16 , (6) 2 ,4 ,8 ,16 , nan21nan21nan2nan2nan2nna (7) 1 ,1 , 1 ,1 , (8) 1 , 1 ,1 , 1 , an=(1)n1或或(1)n1 (9) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d (10)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1qn1 ( 1)nna 一、觀察法（又叫猜想法，不完全一、觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）：歸納法）：觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)間的關(guān)系，分解各項(xiàng)中的變化部號(hào)間的關(guān)系，分解各項(xiàng)中的變化部分與不變部分，再探索各項(xiàng)中變化分與不變部分，再探

3、索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，從而歸納出部分與序號(hào)間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項(xiàng)公式構(gòu)成規(guī)律寫出通項(xiàng)公式 解：變形為：1011，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為：例1：數(shù)列9，99，999，9999，110 nna例 2 ， 求 數(shù) 列 3 ， 5 ， 9 ， 1 7 ，33，解：變形為：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，12 nna 可見(jiàn)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩可見(jiàn)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法。種有效的思維方法。注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項(xiàng)注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項(xiàng)來(lái)歸納數(shù)列所有項(xiàng)的通項(xiàng)公式是不一定可靠來(lái)歸納數(shù)列

4、所有項(xiàng)的通項(xiàng)公式是不一定可靠的，如的，如2，4，8，?？蓺w納成。可歸納成 或或 者者 兩個(gè)不同的數(shù)列（兩個(gè)不同的數(shù)列（ 便不同）便不同）nna222nnan4a通項(xiàng)公式為：;,72,114,21,54補(bǔ)充補(bǔ)充1：寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 , 4 , 3 , 2 , 11 , 1 , 1 , 1 , 12 ,41,31,21, 15 , 1 , 1, 1 , 13 , 4, 3 , 2, 14 ,41,31,21, 16 , 0 , 2 , 0 , 27 ,9999,999,99, 98 nan1 12na , 1 , 1, 1 , 13 nna13 nann114

5、nan15 nann1161 1171nna 1108nna 總結(jié)總結(jié): : (1) (1)掌握基本數(shù)列的通項(xiàng)公式掌握基本數(shù)列的通項(xiàng)公式. . (2)(2)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)列分?jǐn)?shù)形式的數(shù)列, ,保持分?jǐn)?shù)線保持分?jǐn)?shù)線, ,分子分母分子分母分別找通項(xiàng)分別找通項(xiàng). . (3)(3)當(dāng)數(shù)列中有分?jǐn)?shù)當(dāng)數(shù)列中有分?jǐn)?shù), ,又有整數(shù)時(shí)又有整數(shù)時(shí), ,需要把整需要把整數(shù)化成分?jǐn)?shù)數(shù)化成分?jǐn)?shù), ,即將分母補(bǔ)齊即將分母補(bǔ)齊, ,然后分子分母然后分子分母分別找通項(xiàng)分別找通項(xiàng). . (4)(4)數(shù)列中的項(xiàng)正負(fù)交叉出現(xiàn)時(shí)數(shù)列中的項(xiàng)正負(fù)交叉出現(xiàn)時(shí), ,常用常用 (-(-1)1)n+1n+1或或(-1)(-1)n-1n-1來(lái)調(diào)解來(lái)

6、調(diào)解. .當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)是負(fù)正當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)是負(fù)正出現(xiàn)時(shí)出現(xiàn)時(shí), ,常用常用(-1)(-1)n n來(lái)調(diào)解來(lái)調(diào)解. . (5)(5)有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式, ,但通項(xiàng)公式但通項(xiàng)公式不唯一不唯一. . (6)(6)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法 類型類型1. .已知數(shù)列的前幾項(xiàng)已知數(shù)列的前幾項(xiàng), ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1) 3 , 5 , 9 ,17 , (2) (3) (4) ) 12)(12 (2nnnan22nan1nnnan12 nna,.638,356,154,32,.225,8 ,2

7、9,2,21,.544 ,433 ,322 ,211 (5) _1 ,7 ,_13 ,19 , (6) 9 , 99 ,999 ,9999 , )56()1(nann11091110992110999311099994110nna,.19,13,7,1類型二、類型二、前前n項(xiàng)和法項(xiàng)和法 已知前已知前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式11 (1) (2)nnnSnaSSn 211212 21 1 2 2 21 (1)2(1)1 212 1 2nnnnnsnnnasnassnnnnnna 解解：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 1 2nn 設(shè)設(shè)an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,且滿足且滿足sn=n2+2n-1,求求

8、an n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.例例2：等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的應(yīng)用項(xiàng)和公式的應(yīng)用 例例2 2：已知數(shù)列：已知數(shù)列a an n的前的前n n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式為式為s sn n=2n=2n2 2-30n:-30n: 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；解：將解：將n-1帶入數(shù)列的前帶入數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得項(xiàng)和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1). 因此因此 an=sn-sn-1=4n-32(n2) 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=s1=2-30=-28,也適合上式，所也適合上式，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=4n

9、-32. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?an-an-1=(4n-32)-4(n-1)-32=4(n2),所以所以an是等差數(shù)列。是等差數(shù)列。等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的應(yīng)用項(xiàng)和公式的應(yīng)用 變式：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為sn=2n2-30n+1 這個(gè)數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)公式；思考？思考？ 如果一個(gè)數(shù)列的前如果一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和的公式是項(xiàng)和的公式是s sn n=an=an2 2+bn+c(a,b,c+bn+c(a,b,c為常數(shù)），那么這為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)c=0c=0時(shí)這個(gè)數(shù)列是等差時(shí)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列 類型類型2 .2

10、.已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,即即s sn n與與n n的關(guān)系的關(guān)系, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 例例1.1.已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n=3=3n n2 , 2 , 求它的通求它的通項(xiàng)公式項(xiàng)公式? ? 分析分析: :大家首先需要理解數(shù)列的前大家首先需要理解數(shù)列的前n n項(xiàng)的和項(xiàng)的和與前與前 n n1 1項(xiàng)的和項(xiàng)的和. . sn=a1+a2+a3+an-1+an 當(dāng)當(dāng) n n2 2 時(shí)時(shí) sn-1=a1+a2+a3+an-1 an=snsn-1 解解: :當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí), a1=s1=31_2=1 當(dāng)當(dāng)n 2n 2時(shí)時(shí), , an=sn_sn-

11、1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=33n-1_3n-1 =23n-1 由于由于a a1=1=1不適合上式不適合上式. . an= 練習(xí)：已知數(shù)列的前練習(xí)：已知數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和sn=2n_1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式132n12n1n 31,nnnnaSaAB練習(xí)：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和那么一定是等差數(shù)列一定是等比數(shù)列C 既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D 既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列12,S1解：當(dāng)n=1時(shí)，a11233nnnnSSn當(dāng)n時(shí)，a12 3.n1n 滿足上式，12 3.nnanN112 32 3nnnnaa3,是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù) na一定是等比數(shù)列B例例7已

12、知下列兩數(shù)列已知下列兩數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和sn的的公式，求公式，求 的通項(xiàng)公式。的通項(xiàng)公式。（1） （2）nana12 nsn解：解： （1） ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)時(shí) 由于由于 也適合于此等式也適合于此等式 11s2n54)1( 3) 1( 2 )32 (221nnnnnssannn1a54 nan（2） ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)時(shí) 由于由于 不適合于此等式不適合于此等式011 sa2n12 1) 1() 1(221nnnssannn1a)2(12) 1(0nnnannnsn322【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n, ,分別求分別求它們的通項(xiàng)公式它們的通項(xiàng)公

13、式a an n. .(1)S(1)Sn n=2n=2n2 2+3n.(2)S+3n.(2)Sn n=3=3n n+1.+1.【解析】【解析】(1)(1)由題可知由題可知, ,當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),a,a1 1=S=S1 1=2=21 12 2+3+31=5,1=5,當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2n=(2n2 2+3n)-2(n-1)+3n)-2(n-1)2 2+3(n-1)=4n+1.+3(n-1)=4n+1.當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),4,41+1=5=a1+1=5=a1 1, ,所以所以a an n=4n+1.=4n+1.(2)(2)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),

14、a,a1 1=S=S1 1=3+1=4,=3+1=4,當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí), ,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3=(3n n+1)-(3+1)-(3n-1n-1+1)=2+1)=23 3n-1n-1. .當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),2,23 31-11-1=2a=2a1 1, ,所以所以a an n= =n 14 n 12 3n 2 n N*.，考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 a an n與與S Sn n關(guān)系式的應(yīng)用關(guān)系式的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2, ,則則a a8 8的值為的值為( () )A.15A.15B.16

15、B.16C.49C.49D.64D.64(2)(2)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn n=2a=2an+1n+1, ,則則S Sn n=(=() )n 1n 1n 1n 1321A.2 B.( ) C.( ) D.232【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.(2)(2)選選B B方法一：因?yàn)榉椒ㄒ唬阂驗(yàn)閍 an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n, ,所以由所以由S Sn n=2a=2an+1n+1得，得，S Sn n=2(S=2(S

16、n+1n+1- -S Sn n) )，整理得，整理得3S3Sn n=2S=2Sn+1n+1，所以，所以 所以數(shù)列所以數(shù)列SSn n 是以是以S S1 1=a=a1 1=1=1為首為首項(xiàng)，項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，所以為公比的等比數(shù)列，所以 故選故選B B方法二方法二: :因?yàn)橐驗(yàn)镾 Sn n=2a=2an+1n+1, ,所以所以S Sn-1n-1=2a=2an n(n2),(n2),兩式相減得兩式相減得:a:an n=2a=2an+1n+1-2a-2an n, ,所以所以n 1nS3S2 ，3q2n 1n3S( )2，n 1na3.a2已知數(shù)列已知數(shù)列aan n,a,an nNN* *,S,Sn

17、 n= =( (a an n+2)+2)2 2. .(1)(1)求證求證:a:an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n= =a an n-30,-30,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n的最小值的最小值. .所以所以a an n-a-an-1n-1=4.=4.所以所以T Tn n=(n-15)=(n-15)2 2-225.-225.當(dāng)當(dāng)n=15n=15時(shí)時(shí), ,數(shù)列數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和有最小值為項(xiàng)和有最小值為-225.-225.所以所以aan n 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2,2,公差為公差為4 4的的等差數(shù)列等差數(shù)列. .( (b bn n

18、= =a an n-30=-30=(4n-2)-30=2n-31.(4n-2)-30=2n-31.例例2：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通項(xiàng)求通項(xiàng)an.練：練： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,證,證明明：類型三、類型三、累加法累加法 形如形如 的遞推的遞推式式1( )nnaaf n11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、迭加法（又叫累加法，逐加法）二、迭加法（又叫累加法

19、，逐加法） 例3，求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，的通項(xiàng)公式na解： 兩邊相加得： 212aa323 aa545 aanaann1naan4321) 1(21nnan434aa .,) 1(1, 111nnnnannaaaa求通項(xiàng)公式滿足例二、已知數(shù)列【典例【典例3 3】(1)(1)在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+ + 則則a an n等于等于( ( ) )A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnn D.1+n+lnnD.1+n+lnn1ln(1),n【規(guī)范解答】【規(guī)范

20、解答】(1)(1)選選A.A.由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n=ln ,a=ln ,a1 1=2,=2,所以所以a an n-a-an-1n-1=ln (n2),=ln (n2),a an-1n-1-a-an-2n-2=ln ,=ln ,a a2 2-a-a1 1=ln ,=ln ,n 1nnn 1n 1n 221將以上將以上n-1n-1個(gè)式子疊加，得個(gè)式子疊加，得=ln n.=ln n.所以所以a an n=2+ln n(n2),=2+ln n(n2),經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn)n=1n=1時(shí)也適合時(shí)也適合. .故選故選A.A.n1nn 12aalnlnlnn 1n 21nn 12ln()n

21、 1 n 21已知已知a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an n+2n+2n，求其通項(xiàng)公式，求其通項(xiàng)公式 na例例4： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通項(xiàng)項(xiàng)練：練： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通項(xiàng)項(xiàng)類型四、類型四、累乘法累乘法形如形如 的遞推式的遞推式1( )nnaf na123412312342322123211 3, 3, 3, 3 . 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3

22、 2 3nn nn nna nn2若數(shù)列 是等比數(shù)，公比為 ，則,321naaaaq 個(gè)111342312.,nnnnnqqqqaaqaaqaaqaaqaa.11nnqaa若數(shù)列 滿足 ，其中數(shù)列 前 項(xiàng)積可求，則通項(xiàng) 可用逐項(xiàng)作商后求積得到。na)(1nfaann)(nfnna若數(shù)列若數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2=2n na an n, ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)公式公式，a an n= =. .(2)(2)由于由于 將這將這n-1n-1個(gè)等式疊乘得個(gè)等式疊乘得 =2=21+2+1+2+(n-1)+(n-1)= = 故故a an n= =答

23、案：答案：n12n 13n 12nn12n 1aaaa22 ,2 ,2aaaa，故，n1aa1n n 1221n n 1221n n 122，【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件根據(jù)下列條件, ,確定數(shù)列確定數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式: :(1)a(1)a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+2.+2.(2)a(2)a1 1=1,a=1,an n= a= an-1n-1(n2).(n2).(3)a(3)a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.n 1n構(gòu)造數(shù)列構(gòu)造數(shù)列an+ 為等比數(shù)列為等比數(shù)列題型：題型：已知數(shù)列已知數(shù)列an中中a1=

24、1，an+1=pan+q,求求an 如何確定如何確定 ？待定系數(shù)法：即即 根據(jù)已知根據(jù)已知 =1(1)11nnqqappp 所以數(shù)列所以數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列.1nqap )(1nnapa令ppaann 1例例5： 111,21 .nnnnaaaaa 數(shù)數(shù)列列滿滿足足, 求, 求分析：配湊法分析：配湊法構(gòu)造輔助數(shù)列構(gòu)造輔助數(shù)列 11-1111 21 121 12(1) 1 2 111 211 22nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列1pq21nna例 9 ， 已 知 數(shù) 列 的 遞 推 關(guān) 系 為 ，且 ， ，求通

25、項(xiàng)公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 則數(shù)列 是以4為公差的等差數(shù)列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41naann兩邊分別相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422nnan研究研究an+1=Aan+B的數(shù)列通項(xiàng)的數(shù)列通項(xiàng) 例例2：在：在an中中a1=2,an+1=3an+2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.11132,33 1131nnnnnnaaaaaa 解：由得，即（） 111131,1 31nnnn

26、aabbaa n，令b則數(shù)列是以為13 33,31nnnna n首 項(xiàng) ， 3為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 ， 得 b例例3:3:已知數(shù)列已知數(shù)列a an n, ,首項(xiàng)為首項(xiàng)為2,2,且且an+1=2an+2 求數(shù)列求數(shù)列a an n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式解解:an+1=2an+2 an+1+2=2an+4 an+1+2=2(an+2)數(shù)列數(shù)列an+2是以是以a1+2=4為首項(xiàng)為首項(xiàng), ,以以2 2為為公比的等比數(shù)列公比的等比數(shù)列2221nnaa an+2=42n-1 an=2n+1_2 例例4.4.已知數(shù)列已知數(shù)列 an,an+1=3an+4,且且a1=1 求數(shù)列求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)

27、公式? 解解: :設(shè)設(shè)an+1+r=3(an+r) 則則 an+1+r=3an+3r an+1=3an+2r 由已知由已知 an+1=3an+4 2r=4, r=2 an+1+2=3(an+2) 數(shù)列數(shù)列an+2是是a1+2=3為首項(xiàng)為首項(xiàng), ,以以3 3為公比的等為公比的等比數(shù)列比數(shù)列 an+2=33n-1 an=3n+1_2 形如形如an+1=can+d 當(dāng)當(dāng)c=0c=0時(shí)時(shí),an+1=d an=d 此數(shù)列為常數(shù)數(shù)列此數(shù)列為常數(shù)數(shù)列 當(dāng)當(dāng)c=1c=1時(shí)時(shí),an+1=an+d an+1_an=d3221nnaa【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為

28、S Sn n, ,已知已知2a2an n-2-2n n=S=Sn n, ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n= =. .【解析】【解析】令令n=1n=1得得a a1 1=2.=2.由由2a2an n-2-2n n=S=Sn n得得2a2an+1n+1-2-2n+1n+1=S=Sn+1n+1, ,- -整理得整理得a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n, ,即即 即數(shù)列即數(shù)列 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1 1，公差為，公差為 的等差的等差數(shù)列，故數(shù)列，故 故故a an n=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1答案：答案：(n+1)(n+1)2 2n-1n-1n 1nn

29、 1naa1222 ，nna 212nna1n 11n 1222 ，2、已知數(shù)列、已知數(shù)列an，a1=1,an+1=nnaa求, 1323、數(shù)列、數(shù)列an中中,a1=1,2an=nnana求),2( 21例例6： 111,21nnnnnaaaaaa 數(shù)數(shù)列列滿滿足足: :求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式取倒法取倒法構(gòu)造輔助數(shù)列構(gòu)造輔助數(shù)列類型六、形如類型六、形如 的遞推式的遞推式1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列111(1)221 21nnnnnaaan 當(dāng)當(dāng)c c變?yōu)樽優(yōu)閚 n時(shí)，

30、上式化為時(shí)，上式化為 用疊加法用疊加法例例6 6：在數(shù)列：在數(shù)列an,a1=1, 求求an解解： 兩邊取倒數(shù)兩邊取倒數(shù)nnnnaaa11naann11111112aa21123aa11nnnaanannnaa 111.31134aa21121naann1111naann2) 1(14321111 nnnaan2212) 1(12nnnnan222nnan數(shù)列數(shù)列an中中,a1=1,nnnnaNnaaa，求221、形如、形如 的遞推式的遞推式11nnnnaapaa例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 4

31、5nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列（） 111,20(2),21(1)2nnnnnnnsaas snas已知數(shù)列前 項(xiàng)和為，且求證為例1等差數(shù)列；求的、通項(xiàng)公式。 1111nnsss2為等差數(shù)列（n-1）2=2nns1=2n112(1)nnnassn1又-=2n(1)nan 12n(2)n 11;2a 而1,12,2(1)nnann 12n 例例7 7：設(shè)：設(shè)an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1 1的正數(shù)數(shù)列，且的正數(shù)數(shù)列，且 （n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 (nN) 求它的通項(xiàng)公式求它的通項(xiàng)公式? ? 解解:

32、 :（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 分解因式為分解因式為 (an+1+an) (n+1)an+1nan=0 數(shù)列數(shù)列an是正數(shù)數(shù)列是正數(shù)數(shù)列 an+1+an0 (n+1)an+1nan=0 (n+1)an+1=nan.設(shè)設(shè)an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列的正數(shù)數(shù)列，且且 求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式()nnnnaanananN 22110(2014(2014安徽高考安徽高考) )數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,na=1,nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n+n(n+1),n+n(n+1),nN N* *. .(1)(1)證明證明: :數(shù)列數(shù)列

33、 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n=3=3n n, ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .所以所以a an n=n=n2 2, ,從而從而b bn n=n=n3 3n n, ,、相除法相除法形如形如 的遞推式的遞推式11nnnaAaB A例例7： 1113,33 ,nnnnaaaaa n n數(shù)數(shù) 列列滿滿 足足 : :求求通通 項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式 . .11111 33 133 133 -1 1333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解 ：是是 以以 為為 首首 項(xiàng)項(xiàng) ， 以以為為 公公 差差 的的 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列（） 1nnnap aq 型的遞推公式型的遞推公式 . 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中a1=2，an+1=2an+ 求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。的通項(xiàng)公式。12n 1nnnap aq 型的遞推公式型的遞推公式 例例5. 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中a1=2，an+1=4an+ 求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。的通項(xiàng)公式。12n142 (2,3,4,)nnnaan 思思路路鑒鑒賞賞：解