平面的法向量與平面的向量表示-3ppt課件

1、3.2.23.2.2平面的法向量與平面的法向量與 平面的向量表示平面的向量表示高中數(shù)學(xué)選修高中數(shù)學(xué)選修2 21 1 提問：提問：A，B，C，三點不線，四點，三點不線，四點A，B，C，M 共面的充要條件是：共面的充要條件是： ,( ,)AMxAByAC x yR BACM圖示：(1)OMxy OAxOByOC 平面的向量方程1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 2. 平面的法向量：平面的法向量： 假設(shè)向量假設(shè)向量 的基線與平面的基線與平面 垂直，那么向量垂直，那么向量 叫平面叫平面 的法向量。的法向量。 n n 幾點留意：幾點留意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平

2、面的一切法向量都一個平面的一切法向量都相互平行相互平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 與平面平行或在平面內(nèi)，與平面平行或在平面內(nèi)，那么有那么有0n m n m A給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么過點那么過點A,以向量以向量 為法向量的平面是完全為法向量的平面是完全確定的確定的.n n n l3. 平面的向量表示：平面的向量表示： AM n0 M 由于方向向量與法向量可以確定直線和平面由于方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，上節(jié)我們用直線的方向向量表示了空間的位置，上節(jié)我們用直線的方向向量表示了空間直線、平面間的平行直線、平面間的平行 如何用平面的法

3、向量表示空間兩平面如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系呢？平行、垂直的位置關(guān)系呢？4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件兩平面平行或重合、垂直的充要條件 l11n 1e 1111/ll或或 在在內(nèi)內(nèi)11110enen 教材未提11l 1n 1111/enen l1e 教材未提1 1n 2 2n 1212/ 或或與與重重合合1212/nnnn 1 1n 2 2n 1212110nnnn 待定系數(shù)法待定系數(shù)法ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例 如圖，知矩形如圖，知矩形和矩形和矩形所在平面相互垂直，點所在平面相互垂直，點分別在對角

4、線分別在對角線上，且上，且求證：求證：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到簡證：由于矩形簡證：由于矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面相互垂直，所以所在平面相互垂直，所以AB，AD，AF相互垂直。以相互垂直。以 為正交為正交基底，建立如下圖空間坐標(biāo)系，基底，建立如下圖空間坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)AB,AD,AF長分別為長分別為3a，3b，3c，AB AD AF ， ，那么可得各點坐標(biāo)，從而那么可得各點坐標(biāo)，從而有有又平面又平面CDECDE的一個法向量是的一個法向量是由于由于MN不在平面不在平面CDE內(nèi)內(nèi)所以所以MN/平面平面

5、CDE分析：要證明一條直線與一個平面分析：要證明一條直線與一個平面垂直垂直, ,由直線與平面垂直的定義可由直線與平面垂直的定義可知知, ,就是要證明這條直線與平面內(nèi)就是要證明這條直線與平面內(nèi)的恣意一條直線都垂直的恣意一條直線都垂直. .例例:(試用向量方法證明直線與平面垂直的斷定定理試用向量方法證明直線與平面垂直的斷定定理) 知直線知直線m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,假設(shè)假設(shè) m, n,求證求證: . lll lmngm g m l 取知平面內(nèi)的任一條直線取知平面內(nèi)的任一條直線 g , g ,拿相關(guān)直線的方拿相關(guān)直線的方向向量來分析向向量來分析, ,看條件可以轉(zhuǎn)化為向

6、量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件? ?要要證的目的可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目的證的目的可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目的? ?怎樣建立向量怎樣建立向量的條件與向量的目的的聯(lián)絡(luò)的條件與向量的目的的聯(lián)絡(luò)? ?lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線線. . .解解: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任不斷線重合的任不斷線g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共

7、面向量定理,存在獨一實數(shù)存在獨一實數(shù) ,使使 ( , )x y例例:知直線知直線m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,假設(shè)假設(shè) m, n,求證求證: .lll 6.6.有關(guān)平面的斜線概念，有關(guān)平面的斜線概念， 三垂線定理及其逆定理三垂線定理及其逆定理 P104 P104PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO數(shù)式板書數(shù)式數(shù)式 另外另外, ,空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來斷定空間垂空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來斷定空間垂直關(guān)系直關(guān)系, , 證兩直線垂直線?？赊D(zhuǎn)化證兩直線垂直線?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線段對應(yīng)的向量為證明以這兩條線段對應(yīng)的向量 的數(shù)量積的數(shù)量積為零為零. . P

8、O A la 證明：證明：如圖如圖,知知:,POAOllOA 射射影影且且求證：求證：lPA 在直線在直線l上取向量上取向量 ,只需證只需證a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即P PA A. .為為 P O A la 0,0a POa OA P O A la 分析分析:逆定理逆定理同樣可用向量同樣可用向量,證明思緒幾乎證明思緒幾乎一樣一樣,只不過其中的加法運(yùn)算只不過其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來分析用減法運(yùn)算來分析.法二：三垂線定理法板書A1D1C1B1ACBDFE證明證明: 設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為1,1,.DAi DCj DDk 建立如圖的空間直角

9、坐標(biāo)系建立如圖的空間直角坐標(biāo)系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 則則11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另證證 可可以以用用三三垂垂線線定定理理證證D D得得證證OABCOBAC 證證明明：由由已已知知，A AB BC CO O0000OA BC =,OB AC =OA (OCOB )=OB (OCOA)= 所所以以O(shè)A

10、OC = OA OBOB OC = OB OA 所所以以000OA OCOB OC =( OAOB ) OC =BA OC = 所所以以O(shè)CAB 所所 以以O(shè)ABCOABCOBACOCAB 例例、已已知知在在空空間間四四邊邊形形中中，求求證證：小結(jié)小結(jié)1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 2. 平面的法向量：平面的法向量： 3. 平面的向量表示：平面的向量表示： 4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件兩平面平行或重合、垂直的充要條件 6.6.有關(guān)平面的斜線概念，有關(guān)平面的斜線概念， 三垂線定理及其逆定理三垂線定理及其逆定理 P104 P104穩(wěn)定性訓(xùn)練11.設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線l

11、1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)根據(jù)下下 列條件列條件,判別判別l1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行穩(wěn)定性訓(xùn)練21.設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 以下條件以下條件,判別判別,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相

12、交相交1、設(shè)平面、設(shè)平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),假設(shè)假設(shè) ，那么，那么k= ；假設(shè)；假設(shè) 那么那么 k= 。2、知、知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面的，平面的法向量為法向量為(1,1/2,2),那么那么m= .3、假設(shè)、假設(shè) 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量的法向量為為(1,1/2,2),且且 ，那么，那么m= .穩(wěn)定性訓(xùn)練3/llllOACB()| |cos| |cos| |cos證證明明：因因為為OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空間間四四邊邊形形，求求證證：OABCOBOCAOBAOCOABC 1如圖，正方體如圖，正方體 中，中， E為為 的中點，的中點， 證明：證明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2、在正方體AC 中，E、F、G、P、 Q、R分別是所在棱AB、BC、BB AD 、D C 、DD的中點， 求證：平面PQR平面EFG。 BD平面EFGABCDABCDFQEGRP例例. . 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)