高考數(shù)學(xué)函數(shù)零點專題

1、專題2.函數(shù)的零點高考解讀求方程的根、函數(shù)的零點的個數(shù)問題以及由零點存在性定理判斷零點是否存在，利用函數(shù)模型解決實際問題是高考的熱點；備考時應(yīng)理解函數(shù)的零點，方程的根和函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)的等價性；掌握零點存在性定理.增強(qiáng)根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型的意識，提高綜合分析、解決問題的能力.知識梳理1 .函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零占八、(2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo).(3)零點存在性定理如果

2、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在cC(a,b)使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.注意以下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點.(4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解.2 .在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)f(x),g(x),即把方程寫成f(x)=g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象

3、交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系.高頻考點突破考點一函數(shù)的零點判斷例1、【2017課標(biāo)3,理11已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a=A.1B.1C.1D.1232【變式探究】(1)函數(shù)f(x)=ex+；x2的零點所在的區(qū)間是(),1、1A.(0,-)B.(-,1)C.(1,2)D.(2,3)22(2)已知偶函數(shù)y=f(x),xCR滿足：f(x)=x23x(x>0),若函數(shù)g(x)=log2x,x>0,則y=f(x)g(x)的零點個數(shù)為()x''A.1B.3C.2D.4【方法技巧】函數(shù)零點的求法(1)直接求零

4、點：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其有幾個交點，就有幾個不同的零點.【變式探究】設(shè)f(x)=lnx+x2,則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)考點二、二次函數(shù)的零點例2、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2,aCR(1)若不等式f(x)<0的解集為1,2,求不等式f(x)>1

5、x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x2+1在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.【變式探究】已知f(x)=x2+(a21)x+(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.考點三函數(shù)零點的應(yīng)用例3、2017課標(biāo)1,理21已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍函數(shù) g(x) =bf (2 x),其中2一|x|,x<2,

6、【變式探究】已知函數(shù)f(x)=X22x>2bCR.若函數(shù)y=f(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A.(7,)B.(,7)C.(0,7)D.(7,2)4444【方法規(guī)律】函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【變式探究】m2+2mn-1men,對于實數(shù)mn定義運(yùn)算“"：nn®n=2m設(shè)f(x)=(2x-1)(x1),且關(guān)于x的方程f(x)=a恰有三個互不相等的實數(shù)根x1,x

7、2,x3,則x1+x2+x3的取值范圍是.考點四、分段函數(shù)的模型例4、2017課標(biāo)3,理15設(shè)函數(shù)f (x)x 1, x C1x則滿足f(x) f(x -) 1的2x, x 0,2x的取值范圍是.【變式探究】已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件10.8-71x20<x<1030的銷售收入為 Rx)萬元，且Rx) =108 1 000x>10 3x(1)寫出年利潤W萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？

8、(注：年利潤=年銷售收入一年總成本)【方法技巧】(1)很多實際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本(均值)不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.【變式探究】國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票每張收費900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費15000元.(1)寫出飛機(jī)票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大

9、利潤？高考鏈接1.12017北京，理14】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點A的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點B的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i=1,2,3.記Q為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q,Q,Q中最大的是.記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則0,e,P3中最大的是.A零件購(件)工作時向小骯I2.12016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)IxL<tnr,作其中m;0,若存在x卜4m,v>m實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是3.【2016高考

10、上海理數(shù)】已知,函數(shù)(一十。).(1)當(dāng)時，解不等式（2）若關(guān)于工的方程/（工-1。213-4彳+2"-5=0的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍；（3）設(shè)jaO，若對任意函數(shù)“工）在區(qū)間,+/+上的最大值與最小值的差不超過1,求4的取值范圍.4.【2015高考浙江，理71存在函數(shù)滿足，對任意工w大都有（）A.；sin"iLS二二.爐B.j：、in2n二C./（X'+l）=|x-l|D.jx+2a）=|a+1|5 .【2015高考湖南，理15】已知f（x）=/一,若存在實數(shù)b,使函數(shù)xlx>ag（x）=/仆）-b有兩個零點，則。的取值范圍是.6 .【2015

11、高考江蘇，13】已知函數(shù),g（£）=|0,0,則方Jx-4|-2.a>1程/.圻+5（/）|二l實根的個數(shù)為7.12015高考天津，理8】已知函數(shù)函數(shù)*"）二方-27）,其中g(shù)f,若函數(shù)尸恰有4個零點，則力的取值范圍是（）7?+00|0,1-,2（A）14）I4/（C）I4/（D）'4/2XH3,Jt21工）=，,8 .【2015高考浙江，理10】已知函數(shù)Ug（,則八八一3）=八工）的最小值是9 .【2015高考四川，理13】某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位："'）滿足函數(shù)關(guān)系"八（e=2,718A為自然對數(shù)的底數(shù)

12、，k、b為常數(shù)）。若OjT1Cy1該食品在0的保鮮時間設(shè)計192小時，在22c的保鮮時間是48小時，則該食品在33亡的保鮮時間是小時。10.12015高考上海，理10】設(shè)尸為小卜二K0,2的反函數(shù),則尸"廣的最大值為12. 【2015高考浙江,理18】已知函數(shù)=,記是1/001在區(qū)間TJ上的最大值.(1)證明：當(dāng)I門|占2時，；(2)當(dāng)口，b滿足時(口/)至2,求|小斗的最大值.13. (2014湖南卷)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()p+q(p+1)(q+1)1f(A.2B.2C.VpqD.'(p

13、+1)(q+1)112X214. (2014湖南卷)已知函數(shù)f(x)=x+e2(x<0)與g(x)=x+ln(x+a)的圖像上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是()A(8,-1e)B.(-8,m)c.一泊，eeD.一乖,羽,xCR.若方程 f(x) -a|x- 1| =015. (2014天津卷)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為16. (2014浙江卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(1)=f(2)=f(3尸3,則()AC.c<3B.3<c<66<c<9D.c>9，一.一一一，一、支式一，一，,一，17. (2014全國卷)右函數(shù)f(x)=cos2x+asinx在區(qū)間,是減函數(shù)，則a的取值范圍是.CD18. (2014江西卷)已知函數(shù)f(x)=51x1,g(x)=ax2-x(aR).若fg(1)=1,則a=()A