第5章-誤差理論

1、491492一、 測量誤差產生的原因493494495 鋼尺尺長誤差 Dk 鋼尺檢定,尺長 鋼尺溫度誤差 Dt 鋼尺檢定,溫度 水準儀視準軸誤差 i 中間法水準,前后視等距 經緯儀視準軸誤差 C 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現的符號和數值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。 偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現具有統(tǒng)計學規(guī)律。 偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響

2、。496（四）誤差處理原則497系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和 加改正值等方法抵消。iilX 498l1, l2, ln1,2,n499 4910誤差區(qū)間 d 負誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724

3、以上0000001810505177049535810004911d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0nlimnlimnn21n491222221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中參數稱為“標準差”,其平方 2 稱為“方差”, 方差為偶然誤差(真差)平方的理論平均值：4913nmn2n2221按觀測值的改正值計算中誤差4914m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1m1m2m212m1m2+-22 1149154916二、相對中誤差demdfpm22221)()(將上式積分，得到偶然誤差在任意大小區(qū)間

4、中出現的概率。設以k倍中誤差作為區(qū)間,則在此區(qū)間中誤差出現的概率：4917%7 .999973. 0)m3(%4 .959545. 0)m2(%3 .686826. 0)m(PPPd21)km(222 memp4918一、 算術平均值nllllnlniixnn211x算術平均值為何是該量最可靠的數值？可以用偶然誤差的特性來證明：證明算術平均值是最或然值nn2211lXlXlX4919Xlim0limnlnnnnlXn根據偶然誤差特性：Xnlx將上列等式相加，并除以n,得到：二、 觀測值的改正值最或然值與觀測值之差稱為“觀測值的改正值”(簡稱改正值) v :4920n)1(ilxvii0lxnv

5、vimin)(2lxvvnlxlx, 0)(上列各式相加：說明：一組觀測值取算術平均值后，各個觀測值的改正值之和恒等于零，此可以作為計算的檢核。0)(2lxxdxvvd5-4 觀測值的精度評定49211112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,兩式取總和1nvvn1nvvm4922nllx01nvvm4923 次序觀測值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算術平均值:=120.017 (m)觀測值中誤差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.

6、09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,進行n次觀測，則計算觀測值的真誤差與中誤差：4924iilX nmilxivnlolx1nvvm真誤差5-5 誤差傳播定律4925n21dddD.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4926 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPbaaPddbdbaabP4927)1(,bPiniabiai nabnannbabbaaPP2b22, 0limnbannan

7、nbbaaPPb22222222222,baPbaPmambmmambm49282222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4929iikxZnnxkxkxkZ 2211按照誤差傳布定律，得到線性函數的中誤差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnmnm 4930)1(nnvvnmmxnkxZ xkmzm4931m1 .0)mm2 .0(500m35.67mm7 .134500DmDm1 . 0m35.67D4932yxzyxz222yxzmmm大氣儀器讀數瞄準對中方向22222大氣儀器讀數瞄準對中方向mmmmmm第一步

8、：寫出包含各個自變量(獨立觀測值)的函數式第二步：寫出全微分式(計算對各個自變量的偏導數)第三步：按誤差傳播定律寫出中誤差關系式注意：誤差傳播定律只適用于將各個獨立觀測值作 為自變量。如果觀測值之間是相關的，則得到 的結果將是不嚴格的。4933),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 5-6 誤差傳布定律的應用493422220NnfCNSffSnnSnfCSddd4d0493522222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS49365 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多邊形水平角觀測角度閉合差的規(guī)定多邊形內角(水平

9、角)之和在理論上應為(n-2)180,由于水平角觀測中的偶然誤差，產生角度閉合差：4937180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m4938mm4 . 12 mmhmm22hhmm4939)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04940Lmmoh水準測量等級 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4941sin,cosDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4942222222222222)(sin)cos()(sin)

10、(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49432iimCP ioiioiPmmmmP1,224944n,nm()(測回）測回nnPm又例如水準測量以一公里的高程測量中誤差mo作為單位權中誤差，則L(km)高差測量中誤差及其權為：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(4945212211ppLpppLpLpLpxnnnPLPLxo4946nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,PPPmmxox494722ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式總和，并處以n，得到:nPmmnPmm