高等數(shù)學(xué)1課程教學(xué)大綱1

1、高等數(shù)學(xué)1課程教學(xué)大綱一、課程基本情況課程名稱：高等數(shù)學(xué)。課程英文名稱：Higher Mathematics 1。 課程編號(hào)：BL11001-1，2。課程總學(xué)時(shí)：162學(xué)時(shí)。課程學(xué)分：9學(xué)分。 課程分類：必修，第1學(xué)期考試課；第2學(xué)期考查課。 開(kāi)課學(xué)期：第1學(xué)期（72學(xué)時(shí)），第2學(xué)期（90學(xué)時(shí)）。 開(kāi)課專業(yè)：適合對(duì)數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課要求較高的理工類本科專業(yè)，包括物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)工程、農(nóng)業(yè)機(jī)械化及其自動(dòng)化、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、電氣工程與自動(dòng)化、電子信息工程、土木工程、工程管理等專業(yè)。先修課程：無(wú)。 后續(xù)課程：概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)、積分變換、大學(xué)物理等基礎(chǔ)課和各專業(yè)相應(yīng)專業(yè)課。二、課程的

2、性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)本課程是四年制理工類各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課。在專業(yè)課程結(jié)構(gòu)體系中也是一門不可缺少的重要課程。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)分析方法和運(yùn)用這些方法解決幾何、物理學(xué)、力學(xué)、電工學(xué)、電子學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的初步訓(xùn)練，為后繼課和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)打下必要的基礎(chǔ)。通過(guò)本課程的教學(xué)，主要使學(xué)生獲得函數(shù)的極限與連續(xù)、微分學(xué)及函數(shù)的積分學(xué)知識(shí)及其應(yīng)用；空間解析幾何，多元函數(shù)微積分，曲線曲面積分，級(jí)數(shù)斂散性及函數(shù)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的判定問(wèn)題等方面的基本知識(shí)，基本理論，基本運(yùn)算技能。通過(guò)教學(xué)，要逐步培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力、抽象思維能力和邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并逐步培養(yǎng)自學(xué)

3、能力。三、主要內(nèi)容、教學(xué)基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)本課程主要內(nèi)容包括：一元函數(shù)與初等函數(shù)；函數(shù)與數(shù)列極限的概念與計(jì)算、函數(shù)的連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)的概念與求導(dǎo)法則、微分的概念、計(jì)算；一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用；不定積分的概念與計(jì)算；定積分的概念與計(jì)算；定積分的應(yīng)用；常微分方程的概念以及求解一階、二階常微分方程等；空間解析幾何；多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用，二重積分、三重積分概念及其計(jì)算，曲線積分及其計(jì)算，曲面積分概念及其計(jì)算；級(jí)數(shù)及其收斂性。教學(xué)內(nèi)容中帶（*）號(hào)的部分不同專業(yè)可選用。具體教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)為：（一）函數(shù)、極限、連續(xù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸，區(qū)間與鄰域，函數(shù)的定義與定義域，函數(shù)的有界性、單

4、調(diào)性、奇偶性與周期性，反函數(shù)及其圖形，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)。極限：數(shù)列極限的“-N”、函數(shù)極限的“-”與“-x”定義，函數(shù)的左右極限，無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義，無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系，極限的運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小的比較，等價(jià)無(wú)窮小。函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)與分類，連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)的連續(xù)性（不證），連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性（不證），基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值定理及介值定理。教學(xué)基本要求：對(duì)于中學(xué)學(xué)過(guò)的有關(guān)函數(shù)的內(nèi)容，只需加以復(fù)習(xí)提高不作詳細(xì)講解，掌握極限“-N”的定義，“-”與“-x”的定義，不

5、定式求極限的訓(xùn)練主要放在羅必達(dá)法則中進(jìn)行，這里不作過(guò)多、過(guò)難的練習(xí)?；境醯群瘮?shù)連續(xù)性可以不全證，振蕩間斷點(diǎn)可不講。對(duì)于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，只要求幾何說(shuō)明。對(duì)于無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系及關(guān)于無(wú)窮小定理只敘述不證明。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念，極限的概念，無(wú)窮小，極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性。教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的分解，數(shù)列極限的“-N”定義，函數(shù)極限的“-”、“-x”定義，函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)定義。（二）導(dǎo)數(shù)和微分教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義，平面曲線的切線與法線，函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，由參數(shù)方程所給定的函數(shù)的

6、導(dǎo)數(shù)。微分的定義與幾何意義，微分形式的不變性。教學(xué)基本要求：正確理解導(dǎo)數(shù)作為變化率的概念，微分是函數(shù)增量的線性主部的概念，以及函數(shù)局部線性化的思想。熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)法。明確初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)這一事實(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，微分的概念。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)作為變化率的概念，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的運(yùn)用，一階微分形式的不變性。（三）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，羅必達(dá)法則，帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。函數(shù)增減性的判別法，函數(shù)的極值及其求法，最大值、最小值問(wèn)題。函數(shù)圖形的凹凸性及其判別法，拐點(diǎn)及其求法，函數(shù)圖形的描繪舉例

7、?；∥⒎值挠?jì)算及其計(jì)算公式，曲率及其計(jì)算公式。教學(xué)基本要求：三個(gè)中值定理采用分析證明或幾何說(shuō)明，可靈活掌握。對(duì)于羅必達(dá)法則，只證明時(shí)的型，對(duì)于泰勒定理只要求了解條件與結(jié)論。函數(shù)取極值的必要條件和充分條件、函數(shù)的凹凸性可作幾何說(shuō)明。教學(xué)重點(diǎn)：拉格朗日中值定理，羅必達(dá)法則，泰勒公式。函數(shù)增減性的判定法，函數(shù)的極值及其求法，最大值、最小值問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：拉格朗日中值定理的證明，泰勒公式，最大值、最小值的應(yīng)用問(wèn)題。（四）不定積分教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式與簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分舉例。積分表的使用法。教學(xué)基本要求：在

8、講有理函數(shù)積分時(shí)，對(duì)于化有理分式為部分分式，只提結(jié)論而不加證明，但需通過(guò)例題把方法講清楚，遞推公式只作介紹。教學(xué)重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：各種積分法。（五）定積分教學(xué)內(nèi)容：定積分的定義，定積分存在定理的敘述，定積分的性質(zhì)與中值定理，定積分作為變上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，定積分的換元積分法與分部積分法，定積分的近似積分公式（簡(jiǎn)介），兩種反常積分的定義。教學(xué)基本要求：正確理解定積分的概念及它與不定積分的聯(lián)系。牛頓萊布尼茲公式，換元積分法及分部積分法來(lái)計(jì)算定積分。教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念，定積分的中值定理，定積分作為變上

9、限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，換元積分法。教學(xué)難點(diǎn)：定積分概念的理解及其利用它求函數(shù)的極限法。（六）定積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：在幾何學(xué)中的應(yīng)用：面積，弧長(zhǎng)，已知平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體的體積；在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例：功，水壓力；平均值與均方根。教學(xué)基本要求：講清微元法，在物理、力學(xué)中的應(yīng)用可選幾個(gè)典例加以介紹。教學(xué)重點(diǎn)：初步掌握應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用微元分析法建立積分表達(dá)式的能力。計(jì)算平面圖形的面積，立體的體積及曲線的弧長(zhǎng)。教學(xué)難點(diǎn)：定積分在物理、力學(xué)中的應(yīng)用。（七）常微分方程教學(xué)內(nèi)容：微分方程的一般定義，階、解、通解、初始條件、特解。變量可分離的微分方程，齊次微分方

10、程，一階線性微分方程，三種特殊類型的高階微分方程，線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，歐拉方程（*）。教學(xué)基本要求：線性微分方程解結(jié)構(gòu)包括齊次與非齊次兩種情況，對(duì)于非齊次方程要講明白自由項(xiàng)為兩項(xiàng)之和時(shí)，其特解等于自由項(xiàng)為各項(xiàng)時(shí)的特解之和。關(guān)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，包括自由項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)、多項(xiàng)式以及它們的乘積幾種特解的求法。微分方程的應(yīng)用題，可穿插在相關(guān)內(nèi)容中講。教學(xué)重點(diǎn)：微分方程的概念、解、通解、特解、變量可分離的微分方程，一階線性微分方程，二階線性常系數(shù)微分方程。教學(xué)難點(diǎn)：微分方程的應(yīng)用。（八）向量代數(shù)與空間解析幾何教學(xué)內(nèi)容：向

11、量代數(shù)：向量概念及線性運(yùn)算，投影定理，空間直角坐標(biāo)系，向量的分解與向量的坐標(biāo)，向量的模，單位向量，方向余弦與方向數(shù)，向量的數(shù)量積與向量積，兩向量平行與垂直的條件。平面與直線：平面方程，直線方程，夾角（平面與平面、平面與直線、直線與直線），平行與垂直的條件（平面與平面，平面與直線、直線與直線）。曲面與空間曲線：曲面方程的概念，球面方程，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，空間曲線作為兩曲面的交線?？臻g曲線的參數(shù)方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。二次曲面：旋轉(zhuǎn)曲面，橢球面，拋物面，雙曲面，二次錐面。教學(xué)基本要求：要求熟悉標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的方程與圖形及它所圍的簡(jiǎn)單立體。二次曲面可只講頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為軸的圓錐

12、，關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面，只講以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面。教學(xué)重點(diǎn)：向量概念，向量坐標(biāo)，向量的數(shù)量積、向量積，平面的點(diǎn)法式方程，直線的對(duì)稱方程，曲面方程的概念，一些具體的二次曲面，空間曲線的參數(shù)方程。教學(xué)難點(diǎn)：向量的向量積，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，用截痕法討論二次曲面?？臻g解析幾何應(yīng)以向量為主要工具，注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)用和空間圖形的想象能力。要求熟悉標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的方程與圖形，標(biāo)準(zhǔn)二次曲面以及它們所圍的簡(jiǎn)單立體。二次曲面可只講頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為軸的圓錐，關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面只講以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面。（九）多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：多元函數(shù)：多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的幾何表示，二元函數(shù)的極限

13、與連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的敘述。偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的定義，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)可以交換求導(dǎo)次序的條件（敘述），全微分的定義，全微分存在的充分條件（敘述），多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，方向?qū)?shù)與梯度，多元函數(shù)的極值及其求法。教學(xué)基本要求：全微分存在定理，不證明，結(jié)合例子說(shuō)明，全微分的幾何意義可用幾何說(shuō)明，復(fù)合函數(shù)的微分定理敘而不證，混合偏導(dǎo)數(shù)相等條件也敘而不證。介紹梯度及場(chǎng)的概念。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)難點(diǎn)：全微分定義的引入

14、，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，曲面的切平面方程的推導(dǎo)。（十）重積分教學(xué)內(nèi)容：二重積分：二重積分的定義，二重積分存在性，二重積分的性質(zhì)，二重積分的計(jì)算方法（包括極坐標(biāo)），二重積分在幾何中的應(yīng)用（立體體積、曲面面積），二重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例。三重積分：三重積分的定義及其性質(zhì)，三重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)），三重積分應(yīng)用舉例。教學(xué)基本要求：二重積分化為累次積分的公式，以及二重積分的變量從直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的變換公式，都只作幾何說(shuō)明，不作公式證明，三重積分與此類同，重積分的應(yīng)用著重于運(yùn)用微元分析法，選幾個(gè)例子加以說(shuō)明。教學(xué)重點(diǎn)：二、三重積分計(jì)算中的定限問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：二、三重積分計(jì)算

15、中的積分變?cè)淖鴺?biāo)變換問(wèn)題。（十一）曲線積分與曲面積分教學(xué)內(nèi)容：曲線積分： 曲線積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算法，格林公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，二元函數(shù)的全微分求積，全微分方程的條件與解法（*）,曲線積分的應(yīng)用舉例。曲面積分：曲面積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算法，曲面積分的應(yīng)用舉例，高斯公式（敘述），通量與散度，斯托克斯公式（敘述），環(huán)流量與旋度。教學(xué)基本要求：曲線積分要講平面與空間曲線兩種情況，曲面積分可依積分域?yàn)閦=f（x，y）的情況為例詳講，注意講清面積元的法線方向，介紹曲面的單側(cè)與雙側(cè)問(wèn)題。全微分的條件定理不加證明而結(jié)合例題講其應(yīng)用。高斯公式與斯托克斯公式敘而不證。通量與散度、環(huán)流量與旋度介

16、紹概念及應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：曲線積分的概念及計(jì)算法，格林公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，曲面積分的概念與計(jì)算法，高斯公式，斯托克斯公式。教學(xué)難點(diǎn)：曲面積分的計(jì)算法，斯托克斯公式。（十二）無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：無(wú)窮級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂和條件收斂。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念，冪級(jí)數(shù)的一般概念，阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算，和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分，泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的唯一性，函數(shù)ex、sinx、c

17、osx、ln(1+x)、(1+x)m等的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。傅里葉級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)概念，三角函數(shù)系及其正交性，函數(shù)的傅里葉系數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的充分條件（敘述），奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)，任意區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)；傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式（*）。教學(xué)基本要求：無(wú)窮級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算和連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分只敘述均不證明。傅里葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件要會(huì)使用，掌握任意區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂的關(guān)系，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，泰勒級(jí)數(shù)、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)

18、數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法的用法，泰勒公式余項(xiàng)的討論，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。四 學(xué)時(shí)分配表總學(xué)時(shí)為162學(xué)時(shí)。各部分內(nèi)容相應(yīng)學(xué)時(shí)具體分配如下：順 序內(nèi) 容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配作業(yè)題量備注講授實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)習(xí)題課其它小計(jì)（一）函數(shù)、極限、連續(xù)1221435-45（二）導(dǎo)數(shù)與微分80835-50（三）微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1221430-45（四）不定積分80850-70（五）定積分62830-45（六）定積分的應(yīng)用60618-25（七）微分方程1221440-55（八）空間解析幾何與向量代數(shù)1421640-45（九）多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1822045-55（十）重積分1421625-35（十

19、一）曲線積分與曲面積分1822040-55（十二）無(wú)窮級(jí)數(shù)1621835-45合 570五、課程教學(xué)的主要環(huán)節(jié)（一）教學(xué)方法與手段本課程的教學(xué)方法主要是課堂講授（可借助多媒體），期間針對(duì)學(xué)生作業(yè)的實(shí)際情況，在課堂上可以安排少量時(shí)間的討論或習(xí)題課教學(xué)。（二）作業(yè)作業(yè)是本課程的重要環(huán)節(jié)。通過(guò)作業(yè)，使學(xué)生熟練掌握極限論的相關(guān)理論及其應(yīng)用；掌握微分學(xué)及其在研究函數(shù)的性態(tài)、解決實(shí)際問(wèn)題之中的應(yīng)用；掌握各種積分的方法及用積分解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法；熟練掌握各類微分方程的解法，能初步利用微分方程求解一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，為數(shù)學(xué)建模打下一定的微積分基礎(chǔ)。了解場(chǎng)論的相關(guān)知識(shí)，掌握求數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)、向量函數(shù)的散度場(chǎng)