解析幾何講義詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解決解析幾何的基本思路和流程講義稿解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，即由圖形到代數(shù)的問(wèn)題。從這個(gè)意義上講，解決解析幾何問(wèn)題的基本思路和流程就應(yīng)該是（1）畫(huà)出圖形（2）找出幾何關(guān)系（3）把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系(4)代數(shù)運(yùn)算。圖形：形狀、位置、大小三個(gè)要素。函數(shù)解析式 （方程）點(diǎn)的坐標(biāo)（描點(diǎn)） 圖像（圖形）點(diǎn)代數(shù)式因此，解析幾何問(wèn)題要從圖形中的“點(diǎn)”找出幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系?？匆?jiàn)“點(diǎn)”想位置：（1） “點(diǎn)”的自身位置：直角坐標(biāo)系的意義就在于把一個(gè)點(diǎn)的位置分解為一個(gè)水平位置和一個(gè)豎直位置。如點(diǎn)（2,3）的水平位置是相對(duì)于原點(diǎn)方向向右、距離為 2，豎直位

2、置是相對(duì)于原點(diǎn)方向向上、距離為 3.（2） “點(diǎn)”相對(duì)于其他點(diǎn)或線的位置關(guān)系。點(diǎn)表達(dá)位置（水平位置、豎直位置）代數(shù)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系、方程關(guān)系知道位置找關(guān)系表達(dá)關(guān)系幾何關(guān)系：與其他點(diǎn)或線的關(guān)系知道關(guān)系找位置一、關(guān)于直線直線需要確定其形狀和位置。其中形狀即直線的傾斜程度，由直線的傾斜角（或斜率 k，k=tg）確定，位置由直線上的一個(gè)點(diǎn)000(,)P xy確定。因此，直線的代數(shù)表達(dá)式（稱之為直線的方程）是00()yyk xx（k 存在的前提下） 。（1）因?yàn)橹本€的確定需要形狀和位置兩個(gè)要素，所以求直線的方程精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)就需要兩個(gè)相互獨(dú)立的條件。 比如已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或已知

3、一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率等等。（2）如果直線的形狀（即直線的傾斜程度）不能確定（x 或 y 前面有字母系數(shù)） ，那么直線方程表達(dá)的就是過(guò)定點(diǎn)的直線集合。 （如 kx+y-2k+1=0，過(guò)定點(diǎn)（2，-1）的直線集合；X+ky+1=0，過(guò)定點(diǎn)（-1,0）的直線集合等等。（3）如果直線的位置（即直線過(guò)的點(diǎn)）不能確定（x 或 y 前面沒(méi)有字母系數(shù)、形狀確定） ，那么直線方程表達(dá)的就是平行線集合。如 x-2y+k=0，斜率為12k 的平行線集合2x+y+b=0，斜率為 k=-2 的平行線集合等等。從解決函數(shù)問(wèn)題的角度說(shuō)就是：看到字母想分類（這里主要分成兩類） 。二、關(guān)于圓圓的本質(zhì)是均勻變化，需要確定其位

4、置和大小。其中位置由圓心確定， 大小由半徑確定， 因此確定圓的方程需要三個(gè)相互獨(dú)立的條件。解決圓的相關(guān)問(wèn)題主要是用圓的性質(zhì)， 比如弦的性質(zhì) （垂徑定理：弦的中垂線過(guò)圓心。從直線和圓的位置關(guān)系上講就是有兩個(gè)公共點(diǎn)、代數(shù)關(guān)系：方程組有兩組解） 、切線的性質(zhì)（切線垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑。從直線和圓的位置關(guān)系上講就是有一個(gè)公共點(diǎn)、代數(shù)關(guān)系：方程組有一組解） 。從圖形的角度講可以產(chǎn)生直角三角形等。也可以用方程或方程組解決。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（1）弦：可以看成兩個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的位置：點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在圓上.幾何關(guān)系：垂徑定理（垂直關(guān)系）關(guān)系代數(shù)關(guān)系：方程關(guān)系，方程組的解（2）切點(diǎn)：位置：切點(diǎn)在切線

5、上、切點(diǎn)在圓上。幾何關(guān)系：與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直關(guān)系代數(shù)關(guān)系：方程組有一組解。三、關(guān)于圓錐曲線（1）圓錐曲線的定義：看到焦點(diǎn)想定義。用定義解決問(wèn)題是解決圓錐曲線問(wèn)題的一個(gè)重要方法。（2）圓錐曲線和直線的位置關(guān)系問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，通常通過(guò)解方程組、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式、函數(shù)等方法解決。也是教學(xué)的難點(diǎn)，難點(diǎn)在于整個(gè)解題過(guò)程的運(yùn)算量比較大，學(xué)生需要過(guò)運(yùn)算關(guān)。如直線與圓錐曲線相交幾何關(guān)系：既在直線上又在曲線上代數(shù)關(guān)系：滿足方程，方程組的解直線和圓錐曲線相切，與直線與圓錐曲線相交類似處理。中點(diǎn)弦：看位置、想關(guān)系（幾何關(guān)系：交點(diǎn)、中點(diǎn)。代數(shù)關(guān)系：方程組做差的直線-點(diǎn)差法

6、）解決問(wèn)題的基本思路和流程就應(yīng)該是（1）畫(huà)出圖形（2）找出幾何關(guān)系（3）把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系(4)代數(shù)運(yùn)算。四、關(guān)注直角三角形在解析幾何中的應(yīng)用 （勾股定理、 向量的應(yīng)用）精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)直線中點(diǎn)直角三角形（圖 1）可以解決“兩點(diǎn)間的距離、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式”的推導(dǎo)。橢圓和雙曲線中直角三角形可以確定橢圓或雙曲線的形狀。五、關(guān)注定義在圓錐曲線中的應(yīng)用（看到焦點(diǎn)想定義）六、關(guān)注函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用（基本不等式、函數(shù)求最值）七、關(guān)注圓錐曲線中的“點(diǎn)” ：看見(jiàn)點(diǎn)想位置八、解析幾何中的“函數(shù)關(guān)系”直線方程可以看做是一次函數(shù)圓的方程、圓錐曲線的方程如果限定 y0

7、或 yb0)相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 M 是線段 AB 的中點(diǎn)，則橢圓 C 的離心率等于_分析：中點(diǎn)弦（看見(jiàn)點(diǎn)想位置） ：點(diǎn)在曲線上（代入方程） ，點(diǎn)在直線上（直線方程沒(méi)有） 。做差體現(xiàn)點(diǎn)在直線上（點(diǎn)差法） 。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：M 是線段 AB 的中點(diǎn)，斜率為123、代數(shù)關(guān)系： “點(diǎn)差”產(chǎn)生斜率和中點(diǎn)。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析 設(shè)點(diǎn) A(x1，y1)，點(diǎn) B(x2，y2)，點(diǎn) M 是線段 AB 的中點(diǎn)，所以 x1x22，y1y22，且x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式作差可得x21x22a2（y21y22）b2，即（x1x2） （x1x2）a2（y1

8、y2） （y1y2）b2，所以y1y2x1x2b2a2，即 kABb2a2.由題意可知， 直線 AB 的斜率為12， 所以b2a212，即 a 2b.又 a2b2c2，所以 cb，e22.5 2014遼寧卷 已知橢圓 C：x29y241， 點(diǎn) M 與 C 的焦點(diǎn)不重合 若M 關(guān)于 C 的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為 A，B，線段 MN 的中點(diǎn)在 C 上，則|AN|BN|_分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置，涉及“中點(diǎn)” ，一般要想中位線，如果是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，要想中線（中線等于斜邊的一半） 。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：看到焦點(diǎn)想定義。三角形的中位線有|GF1|12|AN|，|GF2|12|BN|3、代數(shù)關(guān)系：|AN|

9、BN|2(|GF1|GF2|)4a12.解析 取 MN 的中點(diǎn)為 G，點(diǎn) G 在橢圓 C 上設(shè)點(diǎn) M 關(guān)于 C的焦點(diǎn) F1的對(duì)稱點(diǎn)為 A，點(diǎn) M 關(guān)于 C 的焦點(diǎn) F2的對(duì)稱點(diǎn)為 B，則有精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)|GF1|12|AN|， |GF2|12|BN|， 所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.6、2014山東卷 已知 ab0，橢圓 C1的方程為x2a2y2b21，雙曲線 C2的方程為x2a2y2b21，C1與 C2的離心率之積為32，則 C2的漸近線方程為()A. x 2y0B.2xy0C. x2y0D. 2xy0分析：1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：離心率之積為

10、32，3、代數(shù)關(guān)系：計(jì)算離心率解析 橢圓 C1的離心率 e1a2b2a，雙曲線 C2的離心率 e2a2b2a.由 e1e2a2b2aa2b2a1ba21ba232，解得ba212，所以ba22，所以雙曲線 C2的漸近線方程是 y22x.故選 A.7(2013浙江高考改編)已知拋物線C：y24x，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與拋物線C相切于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析：視為函數(shù)2yx的切線問(wèn)題。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：切線、切點(diǎn)、曲線。切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上。 3、代數(shù)關(guān)系：不妨把拋物線設(shè)為函數(shù)200022200000200122,),(4224121

11、4yyxQyykyxyyyyxyy，切點(diǎn)（所以導(dǎo)數(shù)即斜率）所以，則所求距離為 28過(guò)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左頂點(diǎn)且斜率為 1 的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為B，若|AM|MB|，則該橢圓的離心率為_(kāi)分析：眼睛盯住點(diǎn)中點(diǎn)：想中線、中位線求值：解方程關(guān)系：點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在橢圓上1、畫(huà)圖。 2、幾何關(guān)系：AOBa是腰長(zhǎng)為 的等腰直角三角形，AOMa是斜邊為 的等腰直角三角形精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)3、代數(shù)關(guān)系：易知：,2 2a aM在橢圓上，代入橢圓方程得：22222222136134423abbcaceb a9、2014全國(guó)卷 直線 l1和 l2是圓 x

12、2y22 的兩條切線若 l1與 l2的交點(diǎn)為(1，3)，則 l1與 l2的夾角的正切值等于_分析：關(guān)注切點(diǎn)：切點(diǎn)與圓心的連線垂直切線。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：AOPBOP與全等，APB=2OPA3、代數(shù)關(guān)系：兩點(diǎn)簡(jiǎn)單距離公式、勾股定理、正切公式。解析 如圖所示，根據(jù)題意，OAPA，OA 2，OP 10，所以 PA OP2OA222， 所以 tanOPAOAPA22212， 故 tanAPB2tanOPA1tan2OPA43，即 l1與 l2的夾角的正切值等于43.10、2014四川卷 設(shè) mR，過(guò)定點(diǎn) A 的動(dòng)直線 xmy0 和過(guò)定點(diǎn)B 的動(dòng)直線 mxym30 交于點(diǎn) P(x，y)，則|PA|P

13、B|的最大值是_精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析：看見(jiàn)字母想分類，直線的位置確定、形狀不定，研究其形狀的關(guān)系（必有關(guān)系，研究直線的位置關(guān)系）1、畫(huà)圖2、 幾何關(guān)系：（看到字母想分類） xmy0 表示過(guò)定點(diǎn) A （0,0）的直線集合，mxym30 表示過(guò)定點(diǎn) B（1,3）的直線集合，而且不論 m 為何值，兩條直線互相垂直。ABP是直角三角形3、代數(shù)關(guān)系：勾股定理(也可以用向量處理)。4、 計(jì)算|PA| |PB|的最大值為基本不等式問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。解析 由題意可知，定點(diǎn) A(0，0)，B(1，3)，且兩條直線互相垂直，則其交點(diǎn) P(x，y)落在以 AB 為直徑的圓周上，所以|P

14、A|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|PA|2|PB|225，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)等號(hào)成立11 2014安徽卷 設(shè) F1， F2分別是橢圓 E： x2y2b21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1的直線交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x 軸，則橢圓 E 的方程為_(kāi)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置，A 點(diǎn)在橢圓上且水平位置確定，代入橢圓方程可得 A 點(diǎn)坐標(biāo)。三點(diǎn)共線、長(zhǎng)度關(guān)系，可以考慮121AFFBMF與相似或向量求出 B 點(diǎn)坐標(biāo)，B 點(diǎn)在橢圓上代入即可。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：AF2x 軸，121AFFBMF與相似，點(diǎn) A,B 在

15、橢圓上。F1，F(xiàn)2分別是橢圓 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦點(diǎn)3、代數(shù)關(guān)系：易知 A(c，b2)，根據(jù)三角形相似可求出 B，代入橢圓方程可得 b.解析 設(shè) F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中 c 1b2，則可設(shè) A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得AF13F1B，故2c3x03c，b23y0，即x053c，y013b2，代入橢圓方程可得25（1b2）919b21，解得 b223，故橢圓方程為 x23y221.122014全國(guó)卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為33，過(guò) F2的直線 l 交 C 于 A，B 兩點(diǎn)若A

16、F1B精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)的周長(zhǎng)為 4 3，則 C 的方程為()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y241分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置，關(guān)注焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想定義。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：看到焦點(diǎn)想定義。2Rt OF C解3、代數(shù)關(guān)系：AF1B 的周長(zhǎng)為 4 3，勾股定理。解析 根據(jù)題意，因?yàn)锳F1B 的周長(zhǎng)為 4 3，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4 3，所以 a 3.又因?yàn)闄E圓的離心率 eca33，所以 c1，b2a2c2312，所以橢圓C 的方程為x23y221.13、2014新課標(biāo)全國(guó)卷 已知點(diǎn) A(0，2)，橢

17、圓 E：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32， F 是橢圓 E 的右焦點(diǎn)， 直線 AF 的斜率為2 33，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求 E 的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) A 的動(dòng)直線 l 與 E 相交于 P，Q 兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ 的面積最大時(shí)，求 l 的方程精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析：看見(jiàn)離心率想直角三角形，看見(jiàn)最值想基本不等式或函數(shù)。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：Rt OBFRt OAF和邊的關(guān)系,OPQ 的面積最大3、(1)解三角形可得 E 的方程(2)解方程組，利用弦長(zhǎng)公式求 PQ，利用點(diǎn)到直線的距離公式求高，表達(dá)出OPQ 的面積，利用基本不等式或函數(shù)解決最值問(wèn)題。解：(1)設(shè) F(c

18、，0)，由條件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程為x24y21.(2)當(dāng) lx 軸時(shí)不合題意，故可設(shè) l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120，當(dāng)16(4k23)0，即 k234時(shí)，x1，28k2 4k234k21，從而|PQ| k21|x1x2|精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)4 k21 4k234k21.又點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d2k21.所以O(shè)PQ 的面積SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.設(shè) 4k23t，則 t0，SOPQ4tt244t4t.

19、因?yàn)?t4t4，當(dāng)且僅當(dāng) t2，即 k72時(shí)等號(hào)成立，滿足0，所以，當(dāng)OPQ 的面積最大時(shí)，k72，l 的方程為 y72x2或 y72x2.14、2014新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè) F1，F(xiàn)2分別是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)，M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2與 x 軸垂直，直線 MF1與C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 N.(1)若直線 MN 的斜率為34，求 C 的離心率；(2)若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.分析：與 11 題類似。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2與 x 軸垂直，直線 MN

20、的斜率為34，211MF FFNP與相似，且|MN|5|F1N|，3、代數(shù)關(guān)系：(1)易知 Mc，b2a ，21234MFFF(2) 直 線 MN 在 y 軸 上 的 截 距 為 2 ， 故b2a 4 ， 由211MF FFNP與相似，易知 N 的坐標(biāo)。代入橢圓方程計(jì)算即可。解：(1)根據(jù) c a2b2及題設(shè)知 Mc，b2a ，2b23ac.將 b2a2c2代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 C 的離心率為12.(2)由題意知，原點(diǎn) O 為 F1F2的中點(diǎn)，MF2y 軸，所以直線 MF1與 y 軸的交點(diǎn) D(0，2)是線段 MF1的中點(diǎn)，故b2a4，即 b24a.由|MN|5|

21、F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè) N(x1，y1)，由題意知 y10，y00)，則切線斜率為x0y0，切線方程為 yy0 x0y0(xx0)，即 x0 xy0y4，此時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線的交點(diǎn)分別為4x0，0，0，4y0.故其圍成的三角形的面積S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知，當(dāng)且僅當(dāng) x0y0 2時(shí) x0y0有最大值 2，此時(shí) S 有最小值 4，因此點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 2， 2)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)由題意知2a22b21，a2b23a2，解得 a21，b22，故 C1的方程為 x2y221.(2)由(1)知 C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 3，

22、0)，( 3，0)，由此可設(shè) C2的方程為x23b21y2b211，其中 b10.由 P( 2， 2)在 C2上，得23b212b211，解得 b213，因此 C2的方程為x26y231.顯然，l 不是直線 y0.設(shè)直線 l 的方程為 xmy 3，點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy 3，x26y231，得(m22)y223my30.又 y1，y2是方程的根，因此y1y223mm22，y1y23m22，由 x1my1 3，x2my2 3，得x1x2m（y1y2）2343m22，x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m2m22.因?yàn)锳P( 2x1， 2y1)，BP( 2x2，

23、2y2)，由題意知APBP0，所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40，將代入式整理得2m226m46110，解得 m3621 或 m621.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因此直線 l 的方程為x(3621)y 30 或 x(621)y 30.16、 2014北京卷 已知橢圓 C：x22y24.(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設(shè) O 為原點(diǎn)，若點(diǎn) A 在橢圓 C 上，點(diǎn) B 在直線 y2 上，且OAOB，試判斷直線 AB 與圓 x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論分析：看見(jiàn)的想位置，A 在橢圓上滿足其方程，B 在直線上滿足其方程，OAOB，用向量表達(dá) A、B

24、的坐標(biāo)關(guān)系。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：A 在橢圓上（設(shè)出坐標(biāo)）、B 在直線 y2 上（設(shè)出坐標(biāo)），且 OAOB3、代數(shù)關(guān)系：直線 AB 與圓 x2y22 的位置關(guān)系，圓心到直線的距離公式解決。解：(1)由題意，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y221.所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 C 的離心率 eca22.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(2)直線 AB 與圓 x2y22 相切證明如下：設(shè)點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因?yàn)?OAOB，所以O(shè)AOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.當(dāng) x0t 時(shí)，y0t2

25、2，代入橢圓 C 的方程，得 t 2，故直線 AB 的方程為 x 2.圓心 O 到直線 AB 的距離 d 2，此時(shí)直線 AB 與圓 x2y22 相切當(dāng) x0t 時(shí)，直線 AB 的方程為 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心 O 到直線 AB 的距離d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此時(shí)直線 AB 與圓 x2y22 相切17、 2014江西卷 如圖所示，已知雙曲線 C：x2a2y21(a0)的右焦點(diǎn)為 F，

26、點(diǎn) A，B 分別在 C 的兩條漸近線上，AFx 軸，ABOB，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)BFOA(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求雙曲線 C 的方程；(2)過(guò) C 上一點(diǎn) P(x0，y0)(y00)的直線 l：x0 xa2y0y1 與直線 AF相交于點(diǎn) M，與直線 x32相交于點(diǎn) N.證明：當(dāng)點(diǎn) P 在 C 上移動(dòng)時(shí)，|MF|NF|恒為定值，并求此定值分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置，研究 A、B、F 的位置及關(guān)系。1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系： （1）點(diǎn) A，B 分別在 C 的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)) （2）P(x0，y0)(y00)在 C 上，直線 l：x0 xa2y

27、0y1 與直線 AF 相交于點(diǎn) M，與直線 x32相交于點(diǎn) N.3、代數(shù)關(guān)系： （1）ABOB，BFOA(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))可以用向量處理，求出雙曲線方程。 （2）解方程組求出 M、N，計(jì)算|MF|NF|為定值即可。解：(1)設(shè) F(c，0)，因?yàn)?b1，所以 c a21.由題意，直線 OB 的方程為 y1ax，直線 BF 的方程為 y1a(x精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)c)，所以 Bc2，c2a .又直線 OA 的方程為 y1ax，則 Ac，ca ，所以 kABcac2acc23a.又因?yàn)?ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故雙曲線 C的方程為x23y21.(2)由(1)

28、知 a 3，則直線 l 的方程為x0 x3y0y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因?yàn)橹本€ AF 的方程為 x2，所以直線 l 與 AF 的交點(diǎn)為M2，2x033y0，直線 l 與直線 x32的交點(diǎn)為 N32，32x033y0，則|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一點(diǎn)，則x203y201，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)代入上式得|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0

29、943，所以|MF|NF|232 33，為定值18、2014四川卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距為 4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點(diǎn)，T 為直線 x3 上任意一點(diǎn)，過(guò) F作 TF 的垂線交橢圓 C 于點(diǎn) P，Q.證明：OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)|TF|PQ|最小時(shí)，求點(diǎn) T 的坐標(biāo)分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系： （1）短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 （2）F 為橢圓 C 的左焦點(diǎn)，T 為直線 x3 上任意一點(diǎn)，過(guò) F作 TF 的垂線交橢圓 C 于點(diǎn) P，

30、Q.3、代數(shù)關(guān)系： （1）利用短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形解三角形求出橢圓方程。 （2）設(shè)直線方程，解方程組求出精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)PQ 的中點(diǎn)坐標(biāo)， 可以得到 OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))；（3）計(jì)算 TF 與 PQ 的長(zhǎng)（弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式） ，轉(zhuǎn)化為函數(shù)或基本不等式處理即可。解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是x26y221.(2)證明：由(1)可得，F(xiàn) 的坐標(biāo)是(2，0)，設(shè) T 點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線 TF 的斜率 kTFm03（2）m.當(dāng) m0 時(shí)，直

31、線 PQ 的斜率 kPQ1m.直線 PQ 的方程是 xmy2.當(dāng) m0 時(shí)，直線 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式設(shè) P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 將直線 PQ 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0.所以 y1y24mm23，y1y22m23，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)x1x2m(y1y2)412m23.設(shè) M 為 PQ 的中點(diǎn)，則 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為6m23，2mm23 .所以直線 OM 的斜率 kOMm3，又直線 OT 的斜率 kOTm3，所以點(diǎn) M 在直線 O

32、T 上，因此 OT 平分線段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.當(dāng)且僅當(dāng) m214m21，即 m1 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)|TF|PQ|取得最小值故當(dāng)|TF|PQ|最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)或(3，1)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)19、(2013廣東高考)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c0)到直線l：xy20 的距離為3 22.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋

33、物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|BF|的最小值分析：切點(diǎn)、切線、曲線，處理切線問(wèn)題。最值問(wèn)題想基本不等式。1、畫(huà)圖2、 幾何關(guān)系： 注意到直線l：xy20 的斜率是 1， 所以FAB是等腰直角三角形3、代數(shù)關(guān)系：FB=3 22，所以 AF=3，又因?yàn)?A（0，-2） ，所以 c=1.拋物線C的方程為x24y.【思路點(diǎn)撥】(1)由點(diǎn)到直線的距離公式，建立關(guān)于c的方程，求出c，進(jìn)而寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PA，PB

34、的斜率，寫(xiě)出切線PA，PB的方程，通過(guò)構(gòu)造方程，得到直線AB的方程(3)因?yàn)閨AF|和|BF|都是拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，故可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，要求|AF|BF|的最小值，需要建立關(guān)于y的目標(biāo)函數(shù)，然后求該函數(shù)的最小值精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【嘗試解答】(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x24cy(c0)，由點(diǎn)到直線的距離公式，得|0c2|113 22，解得c1(負(fù)值舍去)，故拋物線C的方程為x24y.(2)由x24y，得y14x2，其導(dǎo)數(shù)為y12x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x214y1，x224y2，切線PA，PB的斜率分別為12x1，

35、12x2，所以切線PA的方程為yy1x12(xx1)，即yx12xx212y1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20.因?yàn)榍芯€PA，PB均過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以xx1，yy1和xx2，yy2為方程x0 x2y02y0 的兩組解所以直線AB的方程為x0 x2y2y00.(3)由拋物線定義可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由x0 x2y2y00，x24y，消去x并整理得到關(guān)于y的方程為y2(2y0 x20)yy200.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得y1

36、y2x202y0，y1y2y20.所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)y20 x202y01.又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0y020，即x0y02，所以y20 x202y012y202y052y012292，所以當(dāng)y012時(shí)，|AF|BF|取得最小值，且最小值為92.,20、2014全國(guó)卷 已知拋物線 C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F，直線 y4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P，與 C 的交點(diǎn)為 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)過(guò) F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 AB 的垂直平分線 l與 C 相交于 M

37、，N 兩點(diǎn)，且 A，M，B，N 四點(diǎn)在同一圓上，求 l 的方程分析：看見(jiàn)點(diǎn)想位置，研究 A，M，B，N 四點(diǎn)的位置及關(guān)系。1、畫(huà)圖精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2、幾何關(guān)系： （1）看到焦點(diǎn)想定義。 （2）A，M，B，N 四點(diǎn)在同一圓上，轉(zhuǎn)化為直角三角形。3、代數(shù)關(guān)系：DB 是 AB 的一半，BE 是 MN 的一半，點(diǎn)到直線的距離公式算出 ED，勾股定理即可解決。解：(1)設(shè) Q(x0，4)，代入 y22px，得 x08p，所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由題設(shè)得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2，所以 C 的方程為 y24x.(2)依題意知 l 與坐標(biāo)軸不垂

38、直，故可設(shè) l 的方程為 xmy1(m0)代入 y24x，得 y24my40.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1y24m，y1y24.故線段的 AB 的中點(diǎn)為 D(2m21，2m)，|AB| m21|y1y2|4(m21)又直線 l 的斜率為m，所以 l 的方程為 x1my2m23.將上式代入 y24x，并整理得 y24my4(2m23)0.設(shè) M(x3，y3)，N(x4，y4)，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)則 y3y44m，y3y44(2m23)故線段 MN 的中點(diǎn)為 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|4（m21） 2m21m2.由于線段 MN

39、 垂直平分線段 AB，故 A，M，B，N 四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|BE|12|MN|，從而14|AB|2|DE|214|MN|2，即4(m21)22m2m22m2224（m21）2（2m21）m4，化簡(jiǎn)得 m210，解得 m1 或 m1，故所求直線 l 的方程為 xy10 或 xy10.21、 已知橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(2,0)， 離心率為22.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為103時(shí)，求直線MN的方程精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)分析：看見(jiàn)離心率想直角三角形，看見(jiàn)字母想分類，看見(jiàn)點(diǎn)想位置。研究 M、N 位置及關(guān)系1、畫(huà)圖2、幾何關(guān)系：（1）2AOF為等腰直角三角形（2）直線yk(x1)過(guò)定點(diǎn)（1,0）3、代數(shù)關(guān)系：AMN的面積為103，解方程組計(jì)算 MN 的長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離公式算出高即可。【思路點(diǎn)撥】(1)由橢圓的性質(zhì)，構(gòu)建方程，求a2，b2；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程， 求弦長(zhǎng)|MN|表示出AMN的面積， 確定k得方程【嘗試解答】(1)由a2，離心率e22，c222，則c