解決解析幾何問題的三個關(guān)

1、.膁莂薇裊肇莁蝕肀莆蒀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁膄蕆螆膇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肅聿蕿蟻裊莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈羋袇膄莆羋薇羇節(jié)莇蠆膂膈莆螁羅肄蒞羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆蒀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁膄蕆螆膇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肅聿蕿蟻裊莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈羋袇膄莆羋薇羇節(jié)莇蠆膂膈莆螁羅肄蒞羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆蒀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁膄蕆螆膇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊

2、羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肅聿蕿蟻裊莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈羋袇膄莆羋薇羇節(jié)莇蠆膂膈莆螁羅肄蒞羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆蒀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁膄蕆螆膇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻 解決解析幾何問題的三個關(guān)湖南祁東中等職業(yè)學(xué)校 周子云 湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 翻譯關(guān)例1. 已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）的最小值；（2）的最小值和最大值。解：（1）如圖1，A為橢圓的右焦點，作PQ右準(zhǔn)線于點Q，則由橢圓的第二定義，圖1問題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點P，使其到點B和右準(zhǔn)線的距離之和最小，很明顯，

3、點P應(yīng)是過B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點，最小值為。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點，則根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。即。當(dāng)P到P”位置時，有最大值，最大值為；當(dāng)P到P位置時，有最小值，最小值為。思考：言外之意，弦外之音，你明白了沒有？“換一種說法”可是等價轉(zhuǎn)化中很重要的一招呵。例2設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）求橢圓的方程；（）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。分析：（）易得橢圓的方程為 .（）由（）得A（2，0），B（2，

4、0）.設(shè)M（x0，y0）.M點在橢圓上，y0（4x02）. 又點M異于頂點A、B，2<x0<2，由P、A、M三點共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(

5、y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點兩直線AP與BP的交點P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡后可得.從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。點評：此題的證明思路為證明B點在以MN為直徑的圓內(nèi)MBN為鈍角MBP為銳角·>0所以解這題的思路本質(zhì)是對上述母題的向量方法的充分理解。本題過好翻譯轉(zhuǎn)化關(guān)是解決問題的關(guān)鍵。 運算關(guān)例3. 已知中心在原點O，焦點在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點，且，求此橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于P、兩點。 由方程組消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直線上，

6、把（1）代入，得， 即 化簡后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求橢圓方程為 評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計算。我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。例4已知雙曲線x22y24。求以P(4，1)為中點的雙曲線的弦AB所在的直線的方程。解法一：(設(shè)斜率k，求交點)設(shè)過點P的弦AB的方程為：y1k(x4)代入1得(12k2)x24k(4k1)x32k216k60又P為AB之中點4解得k2故AB所在的直線方程為：2xy70解法二：(設(shè)而不求)設(shè)A(x1，y1)，B(

7、x，y)則由A、B兩點都在雙曲線上，有1得0由于P是AB之中點41代入上式得kAB2AB所在直線的方程為2xy70解法三：(設(shè)而不求)設(shè)A(x1，y1)AB的中點是(4，1)B(8x1，2y1)AB都在雙曲線上(1)(2)得：16x18y15602xy70解法四：（參數(shù)方程法）設(shè)AB所在的直線方程為：代入橢圓方程并整理得P(4,1)為弦的中點， 即即k=2故AB所在的直線方程為：2x-y-7=0 思路關(guān)解析幾何綜合題是高考命題的熱點內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下

8、手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時，不應(yīng)只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感覺走，做到那兒算那兒. 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設(shè)計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運算難關(guān).例5設(shè)直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其

9、二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢

10、圓方程，消去得解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求

11、量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.思考1：取值范圍問題，你能不能提煉出一個什么模式？思考2：對稱問題，你能不能提煉出另一個模式？思考3：對于一個解析幾何大題目，你如何提煉它的“思之路”？思考4：你學(xué)會通過畫圖來尋找解題思路了嗎？例6.在橢

12、圓 上求一點P ,使它到該橢圓兩焦點的距離之差的絕對值為4.思路一 設(shè)P(x,y)為所求的點,由已知得:上述方程組的求解具有很大的運算量,因而這種方法并不可取.思路二 設(shè)P(x,y)為所求的點,因為P 點到已知橢圓兩焦點的距離之差的絕對值為4,所以由雙曲線的定義可知點P 在雙曲線上,故得:解上述方程組即可得到P 點的坐標(biāo).思路二與思路一相比,其運算量顯然要小得多.但在思路二中仍然需要解一個比較復(fù)雜的方程組,而且思路二還有一定的局限性.比如,將例2 中“到該橢圓兩焦點的距離之差的絕對值為4”改為“到該橢圓兩焦點的距離之積為16”,那么思路二就失效了.此時若采用思路一的方法,則仍需解一個與思路一的

13、運算量相當(dāng)?shù)姆匠探M,因而需要另辟途徑,尋求本題的最佳解法.思路三 設(shè)P(x,y)為所求的點, ，為下、上焦點.由“橢圓上一點到一焦點的距離與該點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率e ”可知由此可得 同理可得: 從而 解方程即得P 點的坐標(biāo)(以下略).比較上述三種思路不難看出,思路三簡捷、明快,堪稱最佳.思路三之所以簡捷明了,其功勞在于、兩式.事實上,、兩式就是焦點在y 軸上的橢圓的焦半徑公式.因此,在得到思路三之后,教師應(yīng)“順藤摸瓜”,適時介紹圓錐曲線的焦半徑公式,并組織若干道與圓錐曲線的焦半徑公式有關(guān)的典型的題目進行教學(xué),讓學(xué)生充分體會圓錐曲線中與焦點弦有關(guān)的一類問題的解題規(guī)律,從而收到良好的教

14、學(xué)效果。例7如圖,已知橢圓的長軸,焦距,過橢圓焦點 作直線,交橢圓與兩點M,N ,設(shè),當(dāng)取什么值時等于橢圓短軸的長.解一 易知 ,橢圓的方程為,直線MN 的方程為.聯(lián)立橢圓與直線方程并消去y 得由韋達(dá)定理得: 又將、代入上式可解出k 的值(以下略).解二 同解一得式.另一方面,由焦點在x 軸上的橢圓的焦半徑公式得 分別為點M 、N 的橫坐標(biāo)),故 .聯(lián)立、可得k 的值(以下略).設(shè) 連結(jié),則由橢圓的定義可知.在中,由余弦定理得,由此式可得同理,連結(jié) ,則在 中可得由此可得cosa 的值(以下略).解四 易知直線MN 的參數(shù)方程為:代入橢圓的方程可得從而不難得到由此可得sina 的值(以下略).

15、這一例題的解法涉及到代數(shù)、三角、平幾、直線及橢圓等部分知識,同時還涉及到處理解幾問題的“韋達(dá)定理法”、“利用焦半徑公式法”、“幾何法”等數(shù)學(xué)重要的思想方法,達(dá)到了以少勝多,解一題覆蓋一大片的效果。一題多解應(yīng)注意從以下幾點:第一,要善于引導(dǎo)學(xué)生從多方位、多角度探求問題的各種解法;第二,既要重視突出問題的一般解法,又要注重比較并尋找問題的最佳解決案;第三,注重培養(yǎng)學(xué)生善于剖析問題的各種解法并進行反思,促進學(xué)生養(yǎng)成一種善于從解題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的良好習(xí)慣;第四,鼓勵學(xué)生突破常規(guī),積極尋找“別出心裁”的創(chuàng)造性解法.上述四點,對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、批判性、深刻性、廣闊性、靈活性、創(chuàng)造性等主要的思維品質(zhì)是具有十分重大意義的。 節(jié)蒅蝿?wù)剌芮`螈膀芁蠆螇衿肅薅袆羂艿蒁裊肄肂莇襖螄芇莃袃羆膀螞袃肈莆薈袂膁膈蒄袁袀莄莀袀羃膇蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆薄聿芃莂薃膁葿蟻薂袁節(jié)薇薁羃蕆蒃薀肆芀荿蝕膈肅蚈蠆袈羋薄蚈羀肁薀蚇膂莆蒆蚆袂腿莂蚅羄蒞蝕蚄肇膇薆蚄腿莃蒂螃衿膆莈螂羈莁芄螁膃膄蚃螀袃蒀蕿蝿羅節(jié)蒅蝿?wù)剌芮`螈膀芁蠆螇衿肅薅袆羂艿蒁裊肄肂莇襖螄芇莃袃羆膀螞袃肈莆薈袂膁膈蒄袁袀莄莀袀羃膇蚈