線性代數(shù)：4-5 向量空間（最簡版）

1、 .所謂所謂, 是指在集合是指在集合 V 中可以進(jìn)行加法及中可以進(jìn)行加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算數(shù)乘兩種運(yùn)算. 則則 a + b V; 若若 a V, R, 則則 a V. 具體地說具體地說, 若若 a V, b V,注：注：向量空間必含有零向量向量空間必含有零向量?；貞洠夯貞洠糊R次齊次線性方程組解集的特點(diǎn)？線性方程組解集的特點(diǎn)？(,R )nV n 維實(shí)向量的全體維實(shí)向量的全體 Rn 是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間. 零向量集零向量集0是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間, 稱為稱為零空間零空間。設(shè)設(shè)V 是任一是任一 n 維實(shí)向量空間維實(shí)向量空間，則則最大的實(shí)向量空間最大的實(shí)向量空間最小的向量空間最小的向量空間

2、n0RV 非空集合非空集合V = x = (0, x2 , , xn)T | x2 , , xn R 是是一個(gè)向量空間一個(gè)向量空間. b = ( 0 , b2 , , bn )T V , 則則 a + b = ( 0 , a2 + b2 , , an + bn)T V , a = ( 0 , a2 , , an )T V .因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?a = ( 0 , a2 , , an )T V, 非空集合非空集合V = x = (1 , x2 , , xn )T | x2 , , xn R 不是不是向量空間向量空間. 2a = (2 , 2a2 , , 2an )T V.因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?a = (1 ,

3、 a2 , , an )T V , 則則 齊次齊次線性方程組的線性方程組的解集解集S = x | Ax = 0 是是一個(gè)向量空間一個(gè)向量空間(稱為齊次線性方程組的稱為齊次線性方程組的).因?yàn)橛升R次線性方程組的解的因?yàn)橛升R次線性方程組的解的知：知：解集解集 S 對(duì)解向量的線性運(yùn)算封閉對(duì)解向量的線性運(yùn)算封閉. 非非齊次線性方程組的齊次線性方程組的解集解集S = x | Ax = b , b00不是不是向量空間向量空間 .當(dāng)當(dāng) S 為空集時(shí)，為空集時(shí)，S 不是向量空間不是向量空間.當(dāng)當(dāng) S 非空時(shí)，若非空時(shí)，若 S，則，則A(2 ) = 2b b，知知 2 S .當(dāng)當(dāng)方程組無解時(shí)方程組無解時(shí) 思考思

4、考:除了零空間，向量空間必含有除了零空間，向量空間必含有無窮多無窮多向量向量. (?)基本向量組基本向量組 為為 Rn 的一個(gè)基的一個(gè)基12,n (稱為稱為 Rn 的的自然基自然基), 故故 Rn 的空間維數(shù)為的空間維數(shù)為 n . （1）若把向量空間若把向量空間 V 看做向量組看做向量組, 則則向量空間向量空間V 的的基基就是就是向量組向量組V 的的最大無關(guān)組最大無關(guān)組, 向量空間向量空間V 的的【注意注意】（2）零空間零空間0沒有基沒有基, 規(guī)定其規(guī)定其維數(shù)維數(shù)為為 0 .（3）向量空間的）向量空間的基不唯一基不唯一, 但其但其維數(shù)唯一維數(shù)唯一確定確定.維數(shù)維數(shù)就是向量組就是向量組V 的的秩

5、秩. （4）設(shè)）設(shè) 向量組向量組 1 , 2 , , r是向量空間是向量空間V 的一的一個(gè)基，則個(gè)基，則V 可表示為可表示為112212,rrrV R（即（即向量空間向量空間V 的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)） 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)就是該向量的就是該向量的分量分量. 向量空間向量空間 Rn的向量的向量 x 在在自然基自然基 12,n 因?yàn)橐砸驗(yàn)橐?a1 , a2 , , an 為分量的向量為分量的向量 x 可表示為可表示為2211 12nnnaaxaaaa+ 123221212 ,122,( () )Aa a a 設(shè)設(shè)121403 ,4 2( () ),Bb b驗(yàn)證驗(yàn)證 a1 , a2 , a3 是是 R3 的一個(gè)

6、基的一個(gè)基, 并求并求 b1 , b2 在這在這個(gè)基下的坐標(biāo)個(gè)基下的坐標(biāo).求向量求向量 = (d1 , d2 , , dn)T在基在基 1 = (1, 0, , 0)T, 2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo). 注：在注：在R3中取定一個(gè)中取定一個(gè)基基 a1 , a2 , a3 , 再取一個(gè)新基再取一個(gè)新基b1, b2, b3, 則則b1, b2, b3可由可由a1, a2, a3線性表示線性表示,且且表示式為表示式為(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P 稱稱 (b1 , b2 , b3) = (a1 , a2

7、 , a3)P 為為基變換公式基變換公式，其中系數(shù)矩陣其中系數(shù)矩陣 P = A- -1B 稱為從舊基稱為從舊基a1 , a2 , a3到到新基新基b1 , b2 , b3的的.B = (b1 , b2 , b3) .其中系數(shù)矩陣其中系數(shù)矩陣 P = A- -1B， A = (a1 , a2 , a3) , 思考：思考：1. 過渡矩陣必是可逆矩陣。過渡矩陣必是可逆矩陣。2. 若由基若由基 a1 , a2 , a3 到基到基 b1 , b2 , b3P ,則由基則由基 b1 , b2 , b3 到基到基a1 , a2 , a3 P -1。R3 的兩個(gè)基為的兩個(gè)基為123111:0 ,1 ,1 ;0

8、01 aaa123123:2 ,3 ,7 ,131 bbb(1) 求由基求由基 到基到基(2) 設(shè)向量設(shè)向量c 在基在基下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為-2,1,2, 求求c 在基在基下下(3) 設(shè)向量設(shè)向量c 在基在基下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為-2,1,2, 求求c 在基在基 下下 (1) 設(shè)求由基設(shè)求由基 到基到基(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,令令 A = (a1 , a2 , a3) , B = (b1 , b2 , b3) ，則，則P = A- -1B B = AP， 123123111123( , )(,)011237001131A Ba a a b b b114101000100061311r 114106.131P于于是是c 在在基基下下為為y1 , y2 , y3 , 則則11 1223 312323()yyyyyyc =b +b +bb ,b ,b （2）已知向量）已知向量 c 在基在基下下為為-2,1,2 ，設(shè)向量，設(shè)向量12312322212,c =a +a + aa a a- -()-() 11231232321()2y,yya a ab ,b ,b- -( () )1212331123()212yy,ya a ab ,b ,b- -()()