完整初中一次函數及相關典型例題

1、一次函數復習課知識點1一次函數和正比例函數的概念若兩個變量x,y間的關系式可以表示成y=kx+b（k,b為常數，kw0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.例如：y=2x+3,y=-x+2,y=1x等都是一次函數，y=1x,22y=-x都是正比例函數.【說明】（1）一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.（2）一次函數y=kx+b（k,b為常數，bw0）中的一次和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1,一次項系數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.（3）當b=0,kw0時

2、，y=kx仍是一次函數.（4）當b=0,k=0時，它不是一次函數.知識點2函數的圖象把一個函數的自變量x與所對應的y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象.畫函數圖象一般分為三步：列表、描點、連線.知識點3一次函數的圖象由于一次函數y=kx+b（k,b為常數，kw0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0,b）,直線與x軸的交點（-2,0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.k

3、畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點（0,0）,（1,k）即可.知識點4一次函數y=kx+b（k,b為常數，kw0）的性質（1） k的正負決定直線的傾斜方向；k0時，y的值隨x值的增大而增大；k0時，直線與y軸交于正半軸上；當b0,b0時，直線經過第一、二、三象限(直線不經過第四象限)；如圖11-18(2)所示，當k0,bO時，直線經過第一、三、四象限(直線不經過第二象限)；如圖11-18(3)所示，當k0時，直線經過第一、二、四象限(直線不經過第三象限)；如圖11-18(4)所示，當kO,b0時，圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大；(3)當k0時，直線與y軸的正半軸相交；當b=0時

4、，直線經過原點；當b0時，直線與x軸正半軸相交；k當b=0時，即-b=0時，直線經過原點；k當k,b同號時，即-20,bO時，圖象經過第一、二、三象限；當k0,b=0時，圖象經過第一、三象限；當b0,bvO時，圖象經過第一、三、四象限；當k0時，圖象經過第一、二、四象限；當k0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b;當b0時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b.(3)直線bi=kix+bi與直線y2=k2x+b2(kiW0,k20)的位置關系.kiwk2y1與y2相交；k1k2b2yi與y2相交于y軸上同一點(0,bi)或(0,b2);k2,b2yi與y

5、2平行;k2,b2yi與y2重合.典例講解基本題本節(jié)有關基本概念的題目主要是一次函數、正比例函數的概念及它們之間的關系，以及構成一次函數及正比例函數的條件.例i下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？(i)y=-lx;(2)y=-2;(3)y=-3-5x;(4)y=-5x2;(5)y=6x-(6)y=x(x-4)-x2.2分析本題主要考查對一次函數及正比例函數的概念的理解.解：(1)(3)(5)(6)是一次函數，(1)(6)是正比例函數.一2c例2當m為何值時，函數y=-(m-2)x3+(m-4)是一次函數？分析某函數是一次函數，除應符合y=kx+b外，還要注意條件kw0.一2c解：:函

6、數y=(m-2)xm3+(m-4)是一次函數，.m231,.m2.(m2)0,一2c，當m=-2時，函數y=(m-2)xm3+(m-4)是一次函數.小結某函數是一次函數應滿足的條件是：一次項(或自變量)的指數為1,系數不為0.而某函數若是正比例函數，則還需添加一個條件：常數項為0.基礎應用題本節(jié)基礎知識的應用主要包括：(1)會確定函數關系式及求函數值；(2)會畫一次函數(正比例函數)圖象及根據圖象收集相關的信息；(3)利用一次函數的圖象和性質解決實際問題；(4)利用待定系數法求函數的表達式.例3一根彈簧長15cm,它所掛物體的質量不能超過18kg,并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0.5cm,寫

7、出掛上物體后，彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg)之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數.分析(1)彈簧每掛1kg的物體后，伸長0.5cm,則掛xkg的物體后，彈簧的長度y為(l5+0.5x)cm,即y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍就是使函數關系式有意義的x的值，即0Wx18.(3)由y=15+0.5x可知，y是x的一次函數.解：(l)y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍是0WxW18.(3)y是x的一次函數.學生做一做烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米/時，則火車離庫爾勒的距離s(千米)與

8、行駛時間t(時)之間的函數關系式是.老師評一評研究本題可采用線段圖示法，如圖馬塞木方600f戰(zhàn)庫爾勒四1】19火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時所走路程為58t千米，此時，距離庫爾勒的距離為s千米，故有58t+s=600,所以，s=600-58t.例4某物體從上午7時至下午4時的溫度M(C)是時間t(時)的函數：M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時)，則上午10時此物體的溫度為C.分析本題給出了函數關系式，欲求函數值，但沒有直接給出t的具體值.從題中可以知道，t=0表示中午12時，t=1表示下午1時，則上午10時應表示成t=-2,當t=-2時，M=(-2)3-5X(-2

9、)+100=102(C).答案：102例5已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.(1)寫出y與x之間的函數關系式；(2)當x=4時，求y的值；(3)當y=4時，求x的值.分析由y-3與x成正比例，則可設y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,則可以寫出關系式.解：(1)由于y-3與x成正比例，所以設y-3=kx.把x=2,y=7代入y-3=kx中，得7-3=2k,k=2.二.y與x之間的函數關系式為y-3=2x,即y=2x+3.(2)當x=4時，y=2X4+3=11.(3)當y=4時，4=2x+3,1.x=.2學生做一做已知y與x+1成正比例，當x=5時，y=12,則y關于x的函數關系

10、式是.老師評一評由y與x+1成正比例，可設y與x的函數關系式為y=k(x+1).再把x=5,y=12代入，求出k的值，即可得出y關于x的函數關系式.設y關于x的函數關系式為y=k(x+1).當x=5時，y=12,12=(5+1)k,k=2.1-y關于x的函數關系式為y=2x+2.【注意】y與x+1成正比例，表示y=k(x+1),不要誤認為y=kx+1.例6若正比例函數y=（1-2m）x的圖象經過點A（xi,yi）和點B（X2,y2）,當xiy2,則m的取值范圍是（）A.m0C.mM2分析本題考查正比例函數的圖象和性質，因為當x1Vx2時，y1y2,、一一一.，1.說明y隨x的增大而減小，所以1

11、-2m,故正確答案為D項.2學生做一做某校辦工廠現(xiàn)在的年產值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元.（1）寫出年產值y（萬元）與年數x（年）之間的函數關系式；（2）畫出函數的圖象；（3）求5年后的產值.老師評一評（1）年產值y（萬元）與年數x（年）之間的函數關系式為y=15+2x.（2）畫函數圖象時要特別注意到該函數的自變量取值范圍為x0,因此，函數y=15+2x的圖象應為一條射線.(3)當畫函數y=12+5x的圖象如圖1121所示.x=5時，y=15+2X5=25（萬元）.5年后的產值是25萬元.例7已知一次函數y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數表達式.分析從圖象上可以看出，它與x軸交于

12、點（-1,0）,與y軸交于點（0,-3）,代入關系式中，求出k為即可.解：由圖象可知，圖象經過點（-1,0）和（0,-3）兩點，代入到y(tǒng)=kx+b中，得0k-3,30b,b3.，此函數的表達式為y=-3x-3.例8求圖象經過點（2,-1）,且與直線y=2x+1平行的一次函數的表達式.分析1圖象與y=2x+1平行的函數的表達式的一次項系數為2,則可設此表達式為y=2x+b,再將點（2,-1）代入，求出b即可.解：由題意可設所求函數表達式為y=2x+b,，圖象經過點（2,-1）,.-l=2X2+b.b=-5,，所求一次函數的表達式為y=2x-5.綜合應用題本節(jié)知識的綜合應用包括：（1）與方程知識的

13、綜合應用；（2）與不等式知識的綜合應用；（3）與實際生活相聯(lián)系，通過函數解決生活中的實際問題.例8已知y+a與x+b（a,b為是常數）成正比例.（1）y是x的一次函數嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數？分析1判斷某函數是一次函數，只要符合y=kx+b（k,b中為常數，且kw0）即可；判斷某函數是正比例函數，只要符合y=kx（k為常數，且k豐0）即可.解：（1）y是x的一次函數.1y+a與x+b是正比例函數，設y+a=k（x+b）（k為常數，且kw0）整理得y=kx+（kb-a）.,kw0,k,a,b為常數，1.y=kx+（kb-a）是一次函數.（2）當kb-a=0,即a=k

14、b時，y是x的正比例函數.例9某移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先交50元月租費，然后每通話1分，再付電話費0.4元；“神州行”使用者不交月租費，每通話1分，付話費0.6元（均指市內通話）若1個月內通話x分，兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元.（1）寫出y1,y2與x之間的關系；（2）一個月內通話多少分時，兩種通訊方式的費用相同？（3）某人預計一個月內使用話費200元，則選擇哪種通訊方式較合算？分析這是一道實際生活中的應用題，解題時必須對兩種不同的收費方式仔細分析、比較、計算，方可得出正確結論.解：（1）y1=50+0.4x（其中x0,且x是整數）y2=0.6x（其中x0,

15、且x是整數）(2)二,兩種通訊費用相同,1 .yi=y2,即50+0.4x=0.6x.2 .x=250.，一個月內通話250分時，兩種通訊方式的費用相同.(3)當yi=200時，有200=50+0.4x,3 .x=375(分).4 “全球通”可通話375分.當y2=200時，有200=0.6x,15 .x=333-(分).31,“神州行”可通話3331分.3c1,375333-,3二選擇“全球通”較合算.例10已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0.(1)求y與x之間的函數關系式；(2)畫出函數的圖象；(3)觀察圖象，當x取何值時，y0?(4)若點(R6)在該函數的圖象上，求m的值；(5

16、)設點P在y軸負半軸上，(2)中的圖象與x軸、y軸分別交于A,B兩點，且Saabp=4，求P點的坐標.分析由已知y+2與x成正比例，k,這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函可設y+2=kx,把x=-2,y=0代入，可求出數關系式，再根據函數圖象及其性質進行分析，點(mx6)在該函數的圖象上，把x=mxy=6代入即可求出m的值.解：(1)y+2與x成正比例，設y+2=kx(k是常數，且kw0);當x=-2時，y=0.0+2=k,(-2),k=-1.，函數關系式為x+2=-x,即y=-x-2.(2)列表；-2y-20描點、連線，圖象如圖11-23所示.(3)由函數圖象可知，當xW-2時，y0.，當x0.點(

17、m6)在該函數的圖象上， .6二-m-2,m=-8.(5)函數y=-x-2分別交x軸、y軸于A,B兩點,.A(-2,0),B(0,-2). .c1 SaAB巧.|AP|OA|=4,88)|BP|=-4.|OA|2，點P與點B的距離為4.又二B點坐標為(0,-2),且P在y軸負半軸上，.P點坐標為(0,-6).例11已知一次函數y=(3-k)x-2k2+18.(1) k為何值時，它的圖象經過原點？(2) k為何值時，它的圖象經過點(0,-2)?(3) k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x?(4) k為何值時，y隨x的增大而減??？分析函數圖象經過某點，說明該點坐標適合方程；圖象與y軸的交點在y軸

18、上方，說明常數項bO;兩函數圖象平行，說明一次項系數相等；y隨x的增大而減小，說明一次項系數小于0.解：(1)圖象經過原點，則它是正比例函數.22k2183k0,0,k2k2當k=-3時，它的圖象經過原點.(2)該一次函數的圖象經過點(0,-2)-2=-2k2+18,且3-kW0,.-.k=V110.當k=J10時，它的圖象經過點(0,-2)(3)函數圖象平行于直線y=-x,3-k=-1,k=4.當k=4時，它的圖象平行于直線x=-x.(4)二,隨x的增大而減小，3-k3.當k3時，y隨x的增大而減小.例12判斷三點A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一條直線上.分析由于兩點確定

19、一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函數表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上.解：設過A,B兩點的直線的表達式為y=kx+b.由題意可知，1 3kb,k1,2 0b,b2. 過A,B兩點的直線的表達式為y=x-2.，當x=4時，y=4-2=2. 點C(4,2)在直線y=x-2上. 三點A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一條直線上.學生做一做判斷三點A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數形結合思想在數學問題中的廣泛應用.例13老師講完

20、“一次函數”這節(jié)課后，讓同學們討論下列問題：(1) x從0開始逐漸增大時，y=2x+8和y=6x哪一個的函數值先達到30?這說明了什么？(2)直線y=-x與y=-x+6的位置關系如何？甲生說：y=6x的函數值先達到30,說明y=6x比y=2x+8的值增長得快.”乙生說：直線y=-x與y=-x+6是互相平行的.”你認為這兩個同學的說法正確嗎？分析1(1)可先畫出這兩個函數的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當x2時，6x2x+8,所以，y=6x的函數值先達到30.(2)直線y=-x與y=-x+6中的一次項系數相同，者B是-1,故它們是平行的，所以這兩位同學的說法都是正確的.解：這兩位同學的說法都正確.例14某

21、校一名老師將在假期帶領學生去北京旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價優(yōu)惠.”乙旅行社說：“所有人按全票價的6折優(yōu)惠.”已知全票價為240元.（1）設學生人數為x,甲旅行社的收費為y甲元，乙旅行社的收費為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費；（2）就學生人數討論哪家旅行社更優(yōu)惠.分析先求出甲、乙兩旅行社的收費與學生人數之間的函數關系式，再通過比較，探究結論.解：（1）甲旅行社的收費y甲（元）與學生人數x之間的函數關系式為y甲=240+1X240x=240+120x.乙旅行社的收費y乙（元）與學生人數x之間的函數關系式為y乙=240X60%X（x+1）=144x+144.（2）當丫甲=丫

22、乙時，有240+120x=144x+144,.24x=96,1.x=4.當x=4時，兩家旅行社的收費相同，去哪家都可以.當y甲y乙時，240+120x144x+144,24xv96,x4.當x4時，去乙旅行社更優(yōu)惠.當y甲y乙時，有240+120x96,l.x4.當x4時，去甲旅行社更優(yōu)惠.小結此題的創(chuàng)新之處在于先通過計算進行討論，再作出決策，另外，這兩個函數都是一次函數，利用圖象來研究本題也不失為一種很好的方法.學生做一做某公司到果園基地購買某種優(yōu)質水果，慰問醫(yī)務工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案.甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8

23、元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元.（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數關系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當購買量在什么范圍時，選擇哪種購買方案付款少？并說明理由.老師評一評先求出兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數關系式，再通過比較，探索出結論.（1）甲方案的付款y甲（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數關系式為y甲=9x(x-3000);乙方案的付款y乙(元)與所購買的水果量x(千克)之間的函數關系式為y乙=8x+500O(x3000).(2)有兩種解法：解法1:當丫甲=丫

24、乙時，有9x=8x+5000,.x=5000. 當x=5000時，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以.當y甲y乙時，有9x8x+5000,.x3000, 當3000WxW5000時，甲方案付款少，故采用甲方案.當y甲y乙時，有9x8x+5000,x5000. 當x5000時，乙方案付款少，故采用乙方案.解法2:圖象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數圖象，如圖11-24所示，由圖象可得：當購買量大于或等于3000千克且小于5000千克時，y甲y乙即兩種方案付款一樣；當購買量大于5000千克時，y甲丫乙，即選擇乙方案付款最少.【說明】圖象法是解決問題的重要方法，也是考查學生讀圖能力的有

25、效途徑.例15一次函數y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x0時，y隨x的增大而增大，則有：當x=-3,y=-5;當x=6時，y=-2,把它們代入y=kx+b中可得53kb,26kb,1一，.13，函數解析式為y=-x-4.4,當k0）,y=kx+b.又.當x=20時，y=1600;當x=30時,y=2000,160020kb,.k領200030kb,b800.二.y與x之間的函數關系式為y=40x+800（x0）.（2）當x=50時，y=40X50+800=2800（元）.，每名運動員需支付2800抬0=56（元答：每名運動員需支付56元.例2已知一次函數y=kx+b,當x=-4時，y的值

26、為9;當x=2時，y的值為-3.（1）求這個函數的解析式。(2)在直角坐標系內畫出這個函數的圖象.分析求函數的解析式，需要兩個點或兩對x,y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個函數的解析式，進而畫出這個函數的圖象.解：(1)由題意可知94kb,k232kb,b1.1x02y10，這個函數的解析式為x=-2x+1.(2)列表如下：描點、連線，如圖1126所示即為y=-2x+1的圖象.例3如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距.某項研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數，下表是測得的指距與身高的一組數據.圖11-26指距d/cm2021

27、2223身高h/cm160169178187(1)求出h與d之間的函數關系式；(不要求寫出自變量d的取值范圍)(2)某人身高為196cm,一般情況下他的指距應是多少?分析設h與d之間的函數關系式是h=kd+b(kw。)當d=20時，h=160;當d=21時,h=169.把這兩對d,h值代人h=kd+b得16020kb,k9,16921kb,b20.圖11-27所以得出h與d之間的函數關系式，當h=196時，即可求出d.解：(1)設h與d之間的函數關系式為h=kd+b(kw0)由題中圖表可知當d=2O時,h=16O;當d=21時，h=169.把它們代入函數關系式，得16020kb,.k9,169

28、21kb,b20.，h與d之間的函數關系式是h=9d-20.（2）當h=196時，有196=9d-20.d=24.，當某人的身高為196cm時，一般情況下他的指距是24cm.例4汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米/時，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數關系用圖象（如圖1128所不）表不應為（）分析本題主要考查函數關系式的表達及函數圖象的知識，由題意可知，汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數關系式是s=400-100t,其中自變量t的取值范圍是0WtW4,所以有0WsW400,因此這個函數圖象應為一條線段，故淘汰掉D.又因為在S=

29、400-100t中的k=-1000,，s隨t的增大而減小，所以正確答案應該是C.答案：C小結畫函數圖象時，要注意自變量的取值范圍，尤其是對實際問題.例5已知函數：（1）圖象不經過第二象限；（2）圖象經過點（2,-5）.請你寫出一個同時滿足（1）和（2）的函數關系式：.分析這是一個開放性試題，答案是不惟一的，因為點（2,-5）在第四象限，而圖象又不經過第二象限，所以這個函數圖象經過第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一點，就可以確定出函數的解析式.設經過第一、二、四象限的直線解析式為y=kx+b（kw。，另外的一點為（4,3）,把這兩個點代入解析式中即可求出k,b.34kb,k4,1.y

30、=4x-13.52kb,b13.答案：y=4x-13【注意】后面學習了反比例函數二次函數后可另行分析例6人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關.如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數，另么b=0.8(220-a).(1)正常情況下，在運動日一個16歲的學生所能承受的每分心跳的最高次數是多少？(2)一個50歲的人運動10秒時心跳的次數為20次，他有危險嗎？分析(1)只需求出當a=16時b的值即可.(2)求出當a=50時b的值，再用b和20X60=120(次)相比較即可.解：(1)當a=16時，b=0.8(220-16)=163.2(次).，正常情況下

31、，在運動時一個16歲的學生所能承受的每分心跳的最高次數是163.2次.(2)當a=50時，b=0.8(220-50)=0.8X170=136(次)，表示他最大能承受每分136次.而20X四=120136,所以他沒有危險.10一個50歲的人運動10秒時心跳的次數為20次，他沒有危險.例7某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲存化肥100噸和50噸，全部調配給A縣和B縣.已知C,D兩縣運化肥到A,B兩縣的運費(元/噸)如下表所示.目賽的C縣D縣A縣35401E且3045(1)設C縣運到A縣的化肥為x噸，求總運費W(元)與x(噸)的函數關系式，并寫出自變量x的

32、取值范圍；(2)求最低總運費，并說明總運費最低時的運送方案.分析1利用表格來分析C,D兩縣運到A,B兩縣的化肥情況如下表.地A具（90噸B#（8噸）cidooffE）口后（50噸）眥（IXf）則總運費W（元）與x（噸）的函數關系式為W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10x+4800.自變量x的取值范圍是40x90.解：（1）由C縣運往A縣的化肥為x噸，則C縣運往B縣的化肥為（100-x）D縣運往A縣的化肥為（90-x）噸，D縣運往B縣的化肥為（x-40）噸.由題意可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）=10x+4800.自變量x的取值范圍為40x90.，總運費W（元）與x（噸）之間的函數關系式為w=1Ox+480O（40x0,，W隨x的增大而增大.當x=40時，Wt小值=10X40+4800=5200（元）.運費最低時，x=40,90-x=5