吉林省遼源市2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 帶答案

1、吉林省遼源市2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題帶答案一、單選題1.設(shè)，則“”是“”的( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡(jiǎn)不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件。2.現(xiàn)有兩個(gè)命題：若，則；：若，則雙曲線的離心率為.那么，下列命題為真命題的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】容易判斷假真，再根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷規(guī)律得出答案

2、。【詳解】對(duì)于：當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率為，故為真命題。所以為真命題。故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，是基礎(chǔ)題。3.已知橢圓的離心率，則的值為（ ）A. 3B. 3或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】對(duì)m分類討論，分別求得a2，b2，c2，再根據(jù)離心率可求m.【詳解】當(dāng)m5時(shí)，a2m，b25，c2m5，e2m；當(dāng)0m5時(shí)，a25，b2m，c25m，e2m3；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，考查了橢圓的離心率的公式，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題4.已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）A. B.

3、C. D. 【答案】C【解析】【分析】：取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)向量的加減法的幾何意義和三角形中位線的性質(zhì)，以及已知，對(duì)這個(gè)等式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，再根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合，可以求出離心率.【詳解】如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接， ，因?yàn)椋栽O(shè)，.由橢圓的定義可知：，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了借助向量的加減法的幾何意義和向量的垂直，考查了橢圓的定義及離心率.本題考查了運(yùn)算能力.5.已知直線，當(dāng)變化時(shí)，此直線被橢圓截得的最大弦長(zhǎng)是（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】C【解析】【詳解】法一：直線必過(guò)點(diǎn)，設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則弦.法二：聯(lián)立與得：.，.弦長(zhǎng)當(dāng)，即時(shí)，弦長(zhǎng)最大，最大值為.6.下列說(shuō)法正確的是

4、（ ）A. 設(shè)是實(shí)數(shù)，若方程表示雙曲線，則.B. “為真命題”是“為真命題”的充分不必要條件.C. 命題“，使得”的否定是：“，”.D. 命題“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題是真命題.【答案】B【解析】【分析】逐一分析每一個(gè)命題的真假得解.【詳解】A. 設(shè)是實(shí)數(shù)，若方程表示雙曲線，則(m-1)(2-m)0，所以m2或m1,所以該命題是假命題；B. “為真命題”則p真且q真，“為真命題”則p,q中至少有個(gè)命題為真命題，所以“為真命題”是“為真命題”的充分不必要條件.所以該命題是真命題；C. 命題“，使得”的否定是：“，”.所以該命題是假命題；D. 命題“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題是“則為的極值點(diǎn)”，

5、如函數(shù)，但是不是函數(shù)的極值點(diǎn).所以該命題是假命題.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和復(fù)合命題的真假，考查充要條件和導(dǎo)數(shù)，考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7.若雙曲線的離心率大于2，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率大于2得到不等式：計(jì)算得到虛軸長(zhǎng)的范圍.【詳解】，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，虛軸長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8.以雙曲線右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析可得

6、雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式分析可得右焦點(diǎn)到漸近線的距離d，即可得要求圓的圓心和半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線，其焦點(diǎn)在x軸上，且，則c2，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），漸近線方程為，即，則右焦點(diǎn)到漸近線的距離，則要求圓的圓心為（2，0），半徑，則要求圓的方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程9.若雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，則離心率的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，雙曲線位于一、三象限的漸近線的斜率小于或等于，滿足，由此結(jié)合雙曲線

7、基本量的平方關(guān)系和離心率的公式，化簡(jiǎn)整理即可得到該雙曲線的離心率的取值范圍【詳解】雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程，滿足得，兩邊平方得，即，得即，雙曲線的離心率為大于1的正數(shù)，故選：B【點(diǎn)睛】本題給出雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值范圍，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題10.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值是（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再由準(zhǔn)線方程，得到的方程，解得即可【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為，又拋物線準(zhǔn)線方程為，得，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

8、，屬于基礎(chǔ)題11.兩個(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且ab，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通過(guò)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)計(jì)算出，代入拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由兩個(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且ab可得解得拋物線的方程為，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積與的面積之比為A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)，并設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用

9、韋達(dá)定理得出，由拋物線的定義得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，由拋物線的定義得，得，可得出，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問(wèn)題，考查韋達(dá)定理在直線與拋物線綜合問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義以及韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，并將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為高之比來(lái)處理，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。二、填空題13.設(shè)對(duì)任意的都有， ：存在，使，如果命題為真，命題為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】分別求出命題為真命題的的范圍，由為真，為假，可

10、得一真一假，再由集合運(yùn)算求解.【詳解】由題意：對(duì)于命題，對(duì)任意的，即恒成立，得，即；對(duì)于命題，存在，使，得，解得或，即或?yàn)檎妫瑸榧?，一真一假，真假時(shí)，得；假真時(shí)，得綜上，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，求出命題為真命題的的范圍是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題14.直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為_(kāi)【答案】，【解析】【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法計(jì)算出直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程.【詳解】設(shè)，代入橢圓方程得，兩式作差并化簡(jiǎn)得，即，由點(diǎn)斜式得，即.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓中有關(guān)弦的中點(diǎn)的問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.已

11、知拋物線方程為y24x，直線l的方程為2xy40，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則mn的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先作出圖形，根據(jù)題意可知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離加1，由此可表示出|AH|+|AN|=m+n+1；根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得|AF|+|AH|=m+n+1，結(jié)合所有連線中直線最短的原理，可知當(dāng)A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線時(shí)，m+n最短即可求出其最小值【詳解】如圖所示：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHl于H，AN垂直于拋物線準(zhǔn)線于N，則|AH|+|AN|=m+n+1，連接AF，則|AF|+|AH|=m+n+1，由平面幾何知識(shí)，得當(dāng)A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線

12、時(shí)，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，求得|FH|=即m+n的最小值為【點(diǎn)睛】拋物線中涉及焦半徑問(wèn)題，需要結(jié)合拋物線性質(zhì)：到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解16.已知，且，則_.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)以及模的計(jì)算公式即可求出?！驹斀狻?，且，解得，。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題17.已知命題“函數(shù)的定義域?yàn)镽”；命題“，使得不等式成立”若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】或【解析】【分析】通過(guò)為真命題，為假命題，判斷出的真假性；定義域?yàn)?，被開(kāi)方數(shù)恒大于等于零

13、，分類考慮與的關(guān)系；將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與最值之間的關(guān)系從而計(jì)算出的范圍；綜合考慮真假性，求解出的范圍.【詳解】依題意，和q一真一假，故p和q同真或同假，若p真，則或，解得若q真，則，令，則，所以的值域?yàn)?，若命題q為真，則若和q同真，則；若和q同假，或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為或【點(diǎn)睛】本題考查常用邏輯用語(yǔ)的綜合應(yīng)用，難度一般.存在性問(wèn)題如：已知存在區(qū)間，有，則必有：；恒成立問(wèn)題如：已知任意區(qū)間，有，則必有：.18.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，求值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)得到、，

14、進(jìn)一步求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，故，得到，即對(duì)的限定范圍，再利用韋達(dá)定理與中點(diǎn)公式求得的值【詳解】解：（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為，可得，解得，所以橢圓方程為（2）由，得，得，設(shè)，則，得，符合題意【點(diǎn)睛】本題考查利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線與橢圓的關(guān)系求參數(shù)，求參數(shù)時(shí)需注意題目中根據(jù)位置關(guān)系所隱藏的對(duì)范圍的限制條件，是對(duì)最終結(jié)果取舍的關(guān)鍵。19.已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解

15、析】試題分析：(1)由題意可得： ，則橢圓方程為 (2)分類討論：當(dāng)軸時(shí)，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)處直線方程，利用題意結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系討論最值即可，綜合兩種情況可得.試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（2）設(shè)，當(dāng)軸時(shí)，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)時(shí)，取得最大值，面積也取得最大值.20.：的圓心為，：的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過(guò)與（1）中所求軌跡交于、不同兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，否則，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（

16、2）定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心，根據(jù)題意寫出等式，化簡(jiǎn)即可得出答案。（2）設(shè)直線為，聯(lián)立直線可得到，代入直線:，根據(jù) ，化簡(jiǎn)即可得出答案?！驹斀狻浚?）設(shè)，圓的半徑為 ,由題意有 , 消 得到：，化簡(jiǎn)得（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為： ， 令 聯(lián)立橢圓，得 ，則 ， 所以直線為: ,又 ， 代入化簡(jiǎn)得，直線恒過(guò)定點(diǎn)。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為：，則，點(diǎn)重合。（2）根據(jù)（1）的相關(guān)結(jié)果可用表示的坐標(biāo)、的坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)在拋物線上可得的值并求出的坐標(biāo)，最后利用公式可求面積.【詳解】（1）解法1：，設(shè)，則，由可得，故，同理，故，代入拋物線得：，化簡(jiǎn)得：，同理得：，所以為方程兩根，又由，將代入且，將代入，得，故.故點(diǎn)P的軌跡方程為.解法2：同解法1知，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，易知三點(diǎn)共線，（為實(shí)數(shù)），所以.以下同解法1.（2）由為方程的兩根，可得：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過(guò)證，并說(shuō)明平面，來(lái)證明平面（2）采用建系法