正弦電流電路

1、 交流電路中，電流的大小和方向，電壓的大小和極性都隨時間的變化而變動，在任瞬時，時變的電流或電壓的數(shù)值，稱為它的瞬時值，并用小寫字母表示，例如瞬時電流記作i(t)，瞬時電壓記作u(t)，也可簡寫為i和u，這同樣表示時間的函數(shù)。由于在不同的瞬時，瞬時值不僅大小不同，正負也不同。因此我們仍規(guī)定，電流的實際方向與參考方向或電壓的實際極性與參考極性致時取正，否則取負。 當時變的電流(或電壓)經(jīng)過相等的時間間隔，瞬時值以同樣的次序重復出現(xiàn)，這種時變電流(或電壓)稱為周期電流(或電壓)，如圖3.l所示。其解析表達式為式中k為任意正整數(shù)，T為周期。它表示電流(或電壓)的波形重復出現(xiàn)時，所經(jīng)過的最短時間間隔。

2、在SI中，主單位為秒(s)。 )()(kTtftfiTtiT0d1 如圖3.2(a)所示電路表示段正弦電路，當正弦電流在指定參考方向下通過該電路時，其解析表達式為imtIisin該式稱為正弦電流的瞬時值表達式。式中三個量Im、 稱為正弦量的三要素。 i Im稱為正弦電流的振幅。它表示正弦電流變化過程中所能達到的最大值，如 時，i=Im。通常用下標“m”標注。 1sinit 稱為正弦電流的角頻率。它表示正弦量的對應的角度隨時間變化的速度，或者說，表示單位時間增加的角度，即 。它反映了正弦量變化的快慢。在SI中，主單位是弧度每秒(即rads)。正弦量變化的快慢還可以用周期(T)和頻率(f)表示。

3、ittddfT1因為正弦量在個周期內對應的角度變化為2弧度，所以角頻率和周期T及頻率f的關系為fT22 稱為正弦電流的初相位或初相角，簡稱初相。它是正弦量在計時起點(t=0)時刻的相角，即 ，它又反映正弦量的初始值，即t=0時刻的值，如 ，即反映正弦量在t=0時的狀態(tài)。而 這個電角是確定正弦量每瞬間狀態(tài)的，決定了正弦量變化的進程，稱之為相位角，簡稱相位。iitit0imtIisin0iit 相位角和初相角均為電角，故有相同單位弧度(rad)，工程中還習慣以度為單位，在計算時，t與 應為相同的單位。畫正弦量的波形時，可以用時間t為橫坐標，也可以用t為橫坐標(見圖3.2)。 i 正弦電流電路中，電

4、流與電壓都是同頻率的正弦量，但是它們的相位并不定都相同，并且經(jīng)常遇到頻率相同的正弦量要比較相位差。設兩個同頻率正弦量分別為 111sintIim222sintIim它們之間的相位之差 ，稱為相位差，用字母表示，即2121tt 兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差，它是個與時間無關的常數(shù)，且與計時起點無關。應當注意，對于兩個不同頻率的正弦量，相位差是個隨時間變化的數(shù)，討論已無意義。 當時 ，稱i1在相位上比i2超前角 ，即在時間上，i1比i2先由負值至正值經(jīng)過零點，或先到達正的最大值。反過來也可以說i2在相位上比i1滯后角 。如圖3.4(a)所示。0圖3.4 同頻率正弦量的相位差 當時

5、，稱i1與i2同相位（可簡稱同相），這時i1與i2同時達到正的最大值，或同時通過零點，如圖3.4(b)所示。0 當時 ，稱i1與i2反相，如圖3.4(c)所示。2當時 ，稱i1與i2正交，如圖3.4(d)所示。 相位差 的單位仍是弧度，習慣上也用度表示，其取值范圍規(guī)定為220,dTIiQKI RT QKRit（式中K為系數(shù)）如果在周期T內，直流電流I和正弦電流i所產(chǎn)生的熱量相等，即QI=Qi，則規(guī)定直流電流I的量值即為正弦電流i的有效值。即有TtiTI02d1 周期量的有效值是瞬時值的平方在個周期內的平均值再開方。所以有效值又稱方均根值。 將正弦電流 代入可得正弦電流的有效值為 imtIisi

6、n 22200111dsind0.7072TTmimmIitIttIITT同樣對正弦電壓、正弦電動勢的有效值為mmUUU707. 021mmEEE707. 021即正弦量的有效值等于其最大值的 倍。 21 工程上凡是談到周期電流、電壓或電動勢的量值時，若無特殊說明，都是指有效值而言。在交流測量儀表上指示的電流或電壓也都是有效值。但在分析各種電子器件的擊穿電壓或電氣設備的絕緣耐壓時，要按最大值考慮。 當采用有效值時，正弦電流、電壓的瞬時值表達式可表示成uitUutIisin2sin2 在交流電路中，除要考慮電阻外，還要考慮電感和電容的作用。由于電路中的電壓和電流隨時間變動，使得電路周圍的電場和磁

7、場也隨時間變動。變動的磁場將在電感中產(chǎn)生感應電動勢，變動的電場將在電容中產(chǎn)生位移電流，影響整個電路中電壓與電流的分布。因此研究交流電路時必須引入電感元件和電容元件來建立電路模型。Cuq 式中，C定義為電容元件的電容。即uqC C取決于電容器極板的尺寸及其間介質的介電常數(shù)。 圖3.6 電容元件庫伏特性 電容元件也簡稱為電容，所以電容這術語及其代表符號C，既表示電容元件，又表示電容元件的參數(shù)電容量。 當作用于電容器的電壓變動時，電容器極板上的電荷也隨之變動，聯(lián)接電容的導線中就會有電流通過，若電壓與電流取關聯(lián)參考方向時，則 tuCidd為電容元件上電壓與電流的伏安關系式電容元件上的電壓與電流的另種關

8、系式為 ttttiCutiCtiCtiCu000d1)0(d1d1d1式中 體現(xiàn)了起始時刻t=0之前電流對電容電壓的全部貢獻，稱為電容元件的初始電壓或初始狀態(tài)。而 體現(xiàn)了從t=0到時間t電流的貢獻。若 ，則0d1)0(tiCuttiC0d10)0(uttiCu0d1 電容電流是指與電容極板相聯(lián)接的導線中的傳導電流，它是不能通過電容器極間的絕緣介質的，但這并不違背電流的連續(xù)性。因為根據(jù)電磁場理論，當電場變動時，在介質中要產(chǎn)生位移電流?？梢宰C明：這個位移電流恰好等于聯(lián)接導線中的傳導電流，從而保證了電流的連續(xù)性。 由于我們只分析理想電容元件，不考慮電容器內部的漏電損耗和極化損耗，所以充電過程中電源所

9、做的功全部儲存在電容器的電場之中。當電容器的電壓與電流取關聯(lián)參考方向，則電容C在某瞬間吸收的功率為 uip 從t0到t電容吸收的能量為 02201( )d( )( )2ttW tp tC utut如果u(t0)=0，即電容從零電壓開始充電到u(t)，則在時刻t所儲存的能量為)(21)(2tCutW上式說明，電容元件是種儲能元件，某時刻t的儲能只取決于電容C及這時刻的電容電壓，并與其上電壓的平方成正比。當電壓的絕對值增加時，電容從外界吸收能量，儲存于電場中；電壓的絕對值減小時，電容向外界釋放儲存于其電場的能量，可見電容元件并不消耗能量。同時，電容元件在任何時刻不可能釋放出多于它吸收的能量，因此，

10、它是種無源元件。 使用實際的電容器，當電容量不夠時，可將幾個電容器并聯(lián)使用。圖3.8(a)所示是兩個電容器并聯(lián)。21221121CCuuCuCuqquqCCCCCC兩個并聯(lián)的電容看成是個等效電容C，如圖3.8(b)所示。當n個電容并聯(lián)，則等效電容為nkkCC1（a） （b）圖3.8 電容的并聯(lián) 若單個電容耐壓不夠，可以將幾個電容串聯(lián)使用。圖3.9(a)是兩個電容器的串聯(lián)，根據(jù)電荷守恒原理和KVL 有qCCuuuCCC212111把兩個串聯(lián)的電容看成個等效電容C，如圖3.9(b)所示 12111CCC當n個電容串聯(lián)，則等效電容為nkkCC111（a） （b）圖3.9 電容的串聯(lián)N21圖3.10

11、實際電感器及電感元件的符號 式中 分別為與對應線匝相交鏈的磁通。如果線圈繞制得很緊密，穿過線圈各匝的磁通近似為相等的，即N21、N21則磁鏈為 N 電感線圈是種儲存磁場能量的電路器件，如果線圈的電阻和匝間電容都很小，消耗的能量和電場儲存的能量可以忽略不計，這時實際的電感線圈可用種理想電路元件電感元件作為它的電路模型，其電路圖形符號如圖3.10（b）所示。電感元件表征實際電感線圈的磁場特性。 如果規(guī)定電流i的參考方向和磁鏈 的參考方向之間符合右手螺旋定則，即i、 的參考方向相關聯(lián)(圖3.10(a)，則電感元件的磁鏈 與元件中的電流i有以下關系Li 式中L定義為電感元件的電感，亦稱自感，即iLL取

12、決于線圈的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)以及附近的介質的導磁性能。 在國際(SI)單位制中，電感的主單位是亨利，記作亨(H)。常用的單位有毫亨和微亨，其換算關系為1毫亨(m H)=103亨(H) 1微亨(H)=106亨(H)當線圈附近沒有鐵磁材料時，電感L為常量，這種電感稱做線性電感。如果在線圈中放入鐵磁材料，則磁鏈 與電流i的比值不等于常量，這種電感稱做非線性電感。 i在直角坐標系中，以電感元件的自感磁鏈 為縱坐標（或橫坐標），電流i為橫坐標（或縱坐標），對于系列的自感磁鏈和電流值可得到條代表自感磁鏈與電流之間的函數(shù)關系曲線，稱做電感的韋安特性曲線，簡稱為韋安特性。線性電感的韋安特性是條通過坐標原點的

13、直線，如圖3.11(a)所示。非線性電感的韋安特性是通過坐標原點的條曲線，如圖3.11(b)所示。電感元件也簡稱為電感，所以電感這術語及其代表符號L，既表示電感元件，也表示電感元件的參數(shù)電感量。 在電感元件中電流i隨時間變化時，磁通 、磁鏈 也隨時間變化，在元件中產(chǎn)生感應電動勢（亦稱自感電動勢）。這種現(xiàn)象稱為電磁感應。感應電動勢e的大小與磁鏈的變化率 成正比，感應電動勢的方向由楞次定律判定（即感應電動勢總是試圖產(chǎn)生感應電流和磁通來阻礙（即反對）原磁通的變化）。tdd 如果選定感應電動勢e的參考方向與磁鏈 的參考方向符合右手螺旋定則，即e與 的參考方向相關聯(lián)，如圖3.10(a)所示，則根據(jù)法拉第

14、電磁感應定律得 tiLtedddd 由感應電動勢而使電感元件兩端具有的電壓稱為感應電壓(亦稱自感電壓)，用u表示。如果選取電壓的參考方向與磁鏈的參考方向符合右手螺旋定則，這時u、e和i參考方向相同，如圖3.10(a)、(b)所示。如1、2節(jié)所述，u為電位降，e為電位升，u與e的參考方向相同時，u=-etiLtudddd所以 為電感元件上電壓與電流的伏安關系式。它表明，電感元件任時刻的電壓不是決定于此時刻的電流值，而是決定于這時刻電流的變化率，故稱電感元件為動態(tài)元件。電流變化越快，電感電壓越大；電流變化越慢，電感電壓越?。划旊娏鞑浑S時間變化時，電感電壓等于零，這時電感元件相當于短路。 ttttu

15、LituLtuLtuLi000d1)0(d1d1d1將上式兩邊積分，便可得出電感元件上的電壓與電流的另種關系式，即式中 體現(xiàn)了起始時刻t=0之前電壓對電感電流的全部貢獻，稱為電感元件的初始電流或初始狀態(tài)。而 體現(xiàn)了從t=0到時間t電壓的貢獻。若 ，則0d1)0(tuLittuL0d10)0(ittuLi0d1 當電感中的電流與兩端電壓取關聯(lián)參考方向時，則電感在某瞬間吸收的功率為uip 從t0到t電感吸收的能量為02201( )d( )( )2ttW tp tL itit如果i(t0)=0，即電感從電流為零值開始充磁到i(t)，則在時刻t所儲存的能量為 )(21)(2tLitW上式說明，電感元件

16、也是種儲能元件，某時刻t的儲能只取決于電感L及這時刻的電感的電流值，并與其中電流的平方成正比。當電流的絕對值增加時，電感從外界吸收能量，儲存于磁場中；電流的絕對值減小時，電感向外界釋放儲存于其磁場的能量?？梢姡姼性⒉幌哪芰?。同時，電感元件在任何時刻不可能釋放出多于它吸收的能量，因此，它也是種無源元件。式中A為復數(shù)。a、b為實數(shù)，a稱為A的實部，b稱為A的虛部，j= 稱為虛數(shù)單位，數(shù)學上用i表示，電工中為了與電流i相區(qū)別而改用j來表示。復數(shù)的代數(shù)形式便于對復數(shù)進行加、減運算。1 sincostanarg22AbAaabbaA圖3.14 復數(shù)的矢量表示法 復數(shù)A又可用三角形式表示，即 si

17、njcossinjcosAAAA根據(jù)歐拉公式，復數(shù)又可表示為指數(shù)形式，即 jsinjcoseAAA在電工中常把復數(shù)寫成極坐標形式，即 AA復數(shù)的指數(shù)形式或極坐標形式便于對復數(shù)進行乘、除運算。 應用以上各式可以對復數(shù)的代數(shù)形式和極坐標形式進行相互轉換。要注意的是，在計算輻角時，必須根據(jù)復數(shù)的實部和虛部的正負符號，判斷 角所在象限，并統(tǒng)取絕對值小于的輻角。 兩個復數(shù)相等時，其實部和實部，虛部和虛部應分別相等，或者說模和模、輻角和輻角分別相等。如果兩個復數(shù)的實部相等而虛部等值異號，則這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)。兩個共軛復數(shù)的模相等，輻角互為相反數(shù)。 設 A1=a1+jb1 A2=a2+jb2則 A1A2

18、=(a1a2)+j(b1b2)復數(shù)的加減運算也可用幾何作圖法平行四邊形法和三角形法。圖3.15(a)、(c)分別表示求A1+A2和A1-A2的平行四邊形法，圖3.15(b)、(d)分別表示求A1+A2和A1-A2的三角形法 圖3.15 復數(shù)的加減運算（a） （b） （c） （d） 111 AA222 AA設2121221121AAAAAA則1111122222AAA-AAA用代數(shù)形式也可進行復數(shù)的乘除運算，例如A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2b1b2)+j(a1b2+a2b1)，這里利用了j2= 1的關系。有時我們還需用到j3= j 、j4=1等關系。但在般情況下用指數(shù)形

19、式較簡便，因此在復數(shù)四則運算中，常需進行復數(shù)形式的轉換。 復數(shù) 對應于具有單位長度的矢量，其模為1，輻角為 。個復數(shù)乘以 ，就相當于把表示這個復數(shù)的矢量逆時針方向旋轉 角，因此復數(shù) 稱為旋轉因子。例如當 =90， ，即j為90的旋轉因子，如圖3.16所示。1jejejej90je圖3.16 j旋轉因子 由于在正弦電流電路中，所有響應都是與激勵同頻率的正弦量，所以在分析正弦電流電路時，只要計算電路各處響應的有效值（或振幅）和初相位就可以了。個復數(shù)可以同時表達個正弦量的有效值（或振幅）和初相位，相量表示法就是用復數(shù)表示正弦量的方法。 imtItisin)(它由角頻率、振幅（有效值）和初相位三個要素

20、決定，因此只要能表達它的三個要素，那么這個正弦量就被確定地表示出來了。 為了便于說明相量法，這里構造個復指數(shù)函數(shù) 。根據(jù)歐拉公式，它可以寫作 )( jitmeI。 )sin(j)cos()( jimimtmtItIeIi比較上兩式可知，正弦電流i(t)恰好是復指數(shù)函數(shù) 的虛部，可記為)( jitmeI)( jIm)sin()(itmimeItIti式中是Im取虛部的符號。上式表明，復指數(shù)函數(shù) 與正弦電流具有對應的關系，可用以表示正弦電流。圖3.17可以清楚地看出該式的幾何意義。 )( jitmeI圖3.17 旋轉矢量與正弦波有對應關系 由于正弦電流電路中各正弦量都具有相同的角頻率 ，所以在每個

21、表示正弦量的旋轉矢量中均含有相同的旋轉因子 。因此，在 中可以略去 ，即可以只用 表示正弦電流(或者說，用t=0時的旋轉矢量來表示正弦電流i)。 是個能反映正弦量的振幅和初相位的復數(shù)，稱為正弦電流的振幅相量，并用下列極坐標形式表示tej)( jitmeItejieImjieImjimmmIeIIij類似地，正弦電流的有效值相量為 2jmiIIIeIi表示正弦量的相量用上面帶小圓點的大寫字母表示，如 、 等是為了與普通的復數(shù)相區(qū)別，這種記法的目的是強調它是正弦量的代表，但在運算過程中與普通的復數(shù)并無區(qū)別。mII則在電阻元件兩端產(chǎn)生的電壓降為u。當取電流i、電壓u參考方向為關聯(lián)參考方向，如圖3.2

22、0(a)所示，則在任瞬間由歐姆定律得 imtIisin圖3.20電阻元件的交流電路、相量模型、電壓與電流波形圖、相量圖及瞬時功率波形圖 sin()sin()mumuuRiRItUt其中 iummmRIUURIU2或電壓u是與電流i同頻率的正弦量，其最大值為RIm，而且，其相位也與電流相位相同，即電壓、電流同時達到最大值或零值，如圖3.20(c)所示。 若用相量表示，則 iuRIUIRU電阻中電壓、電流的相量關系仍服從歐姆定律。其相量圖如圖3.20(d)。 瞬時功率的單位仍是瓦特。 1-cos(22) upuiUIt 瞬時功率由兩部分組成。前部分是常量UI，它與時間無關；后部分是正弦量UIcos

23、(2t+2 )，它的頻率是正弦電流（或電壓）頻率的2倍，如圖3.20(e)所示。由于電壓和電流同相位，所以電壓、電流同時為零，及同時達到最大值。電壓、電流為零時，瞬時功率也為零；電壓、電流達最大值時，瞬時功率也達最大值。而且，在電壓、電流均為負值時，瞬時功率也是正，由于任何瞬間，恒有p0，所以，電阻是耗能元件。 u瞬時功率在周期內的平均值，稱平均功率，用大寫字母P表示，即000002211dd1cos(22) d11dcos 22dTTTuTTuPp tui tTTUIUIttTUI tUIttTTUII RU G圖3.21電感元件的交流電路圖、相量模型、電壓與電流波形圖、相量圖及瞬時功率波形

24、圖在時域中，當通過電感元件的正弦電流為 時，則在電感元件兩端感應出的電壓為u。若設電流i、電壓u的參考方向為關聯(lián)參考方向，如圖3.21(a)所示，則由電感元件的電壓與電流關系得 sin()miiIt= sin(+ )2sin( )mimudiuLLItdtUt 其中2iummLIULIU或 由上式知，電感電壓u是與電流i同頻率的正弦量，其最大值為UmLIm，其相位則超前于電流 或90，也就是說，電壓u到達最大值和通過零值都比電流i早 周期。這是因為決定電感電壓u的不是電流i，而是電流i對時間t的導數(shù)，即 ，所以電壓與電流之間才有相位差存在。其波形如圖3.21(c)所示。 241tidd式中XL

25、稱為電感元件的感抗，具有阻止電流通過的性質。當L的單位為亨利，f的單位為赫茲時，XL的單位為歐姆。當L定時，XL隨頻率f增大而增大，所以在高頻電流作用時，電感線圈有扼流作用。當f時，感抗相當于開路；當f=0（即直流）時感抗相當于短路。因此，可以得出電感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高頻、通低頻”的特性。電壓與電流的最大值或有效值之比為=2mmUULXLfLII感抗的倒數(shù)稱為感納，用BL表示，即111=2LLBXLfL單位為西門子（S）。 值得指出，感抗只能代表電壓與電流最大值或有效值之比，不代表它們的瞬時值之比。而且感抗只對正弦交流電才有意義。 電感中電流與電壓的關系表達成相量形式有 ULI

26、LIUILUiu1j2j或其相量圖如圖3.21(d)所示。 電感L吸收的瞬時功率為 p sin(22)iuiUIt電感儲存磁場能量為 2211= 1-cos(22)22LiWLiLIt 由上式知，瞬時功率是個正弦波，其最大值為UI，頻率為電流或電壓頻率的兩倍。而且在第個1/4周期內電流由零開始上升到最大值，由于此期間電流、電壓的實際方向相同，瞬時功率p為正值，表示電感在吸收能量，并把吸收的能量轉化為磁場能量。所以磁場能量WL由零上升到最大值。當電流達到最大值時，由于電壓為零，瞬時功率為零。在第二個1/4周期內，電流由最大值逐漸減小到零，由于電流、電壓的實際方向相反，瞬時功率p為負值，表示電感在

27、發(fā)出功率，原先儲存在磁場中的能量逐漸釋放直到全部放完。以后過程與前相似，如圖3.21(e)所示。電感元件是儲能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率為零。 0011dsin 22d0TTiPp tUIttTT但它的瞬時功率卻不為零。工程上常把它的瞬時功率的最大值稱為無功功率。即22LLLUQUII XX 表示外部能量轉換為磁場能量的最大速率。 圖3.23電容元件的交流電路圖、相量模型、電壓與電流波形圖、相量圖及瞬時功率波形圖 在時域中，當作用于電容元件兩端的正弦電壓為sin( )muuUt時，則在電容中通過的電流為i。若設電流i、電壓u的參考方向為關聯(lián)參考方向，如圖3.23(a)所示，則由電容元

28、件的電壓與電流關系得sin(+)sin()2mumiduiCCUtItdt 其中 2uimmCUICUI或2由上式可知，通過電容的電流i是與電壓u同頻率的正弦量，其最大值為ImCUm。其相位超前于電壓或90(或電壓滯后于電流2因為，決定電容電流i的不是電壓u，u對時間t的導數(shù)，即tudd，所以電流與電壓之間)。這是而是電壓才有相位差存在。其波形如圖3.23(c)所示。電壓與電流的最大值或有效值之比為112mCmUUXIICfC式中XC稱為電容元件的容抗，具有阻止電流通過的性質。當C的單位為法拉，f的單位為赫茲，XC的單位是歐姆。當C定時，XC隨頻率f的增大而減小。當f時，容抗相當于短路；當f=

29、0（即直流）時，容抗相當于開路。因此，可以得出電容元件具有“通交流、阻直流”或“通高頻、阻低頻”的特性。容抗的倒數(shù)稱為容納，用BC表示，即12CCBCfCX 單位是西門子（S）。 值得指出，容抗只能代表電壓與電流最大值或有效值之比，不能代表瞬時值之比。而且，容抗只對正弦交流電才有意義。電容中電流與電壓的關系表達成相量形式有 ICUCUIUCIui1j2j或其相量圖如圖3.23(d)所示。 電容C吸收的瞬時功率為 sin(22)upuiUIt電容儲存的電場能量為 22111-cos(22)22CuWCuCUt 由上式知，瞬時功率是個正弦波，其最大值為UI，頻率為電壓或電流頻率的兩倍，而且在第個1

30、/4周期內，電壓由零開始上升到最大值，由于此期間電壓、電流的實際方向相同，瞬時功率p為正值，表示電容在吸收能量，并把吸收的能量轉化成電場能量。所以電場能量WC由零上升到最大值。當電壓達到最大值時，由于電流為零，瞬時功率為零。在第二個1/4周期內，電壓由最大值逐漸減小到零，由于電壓、電流的實際方向相反，瞬時功率為負值，表示電容在發(fā)出功率，原先儲存在電場中的能量逐漸釋放直到全部放完。以后過程與前面類似，如圖3.23(e)所示。 電容元件是儲能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率為零。0011dsin 22d0TTuPp tUIttTT電容瞬時功率的最大值 22=CCCUQUII XX 稱為無功功率

31、，它代表外部能量轉化為電場能量的最大速率。在SI制中其主單位為無功伏安，記作乏(var)。應用KCL時，般對參考方向流出節(jié)點的電流相量取正號，反之取負號。01nkkI基爾霍夫電流定律(KCL)的相量表達式 01nkkU基爾霍夫電壓定律(KVL)的相量形式為 圖3.28 RLC串聯(lián)交流電路 假設通過它的電流為 itIisin2各電壓、電流取關聯(lián)參考方向，由KVL和VCR得 1jj1jjjjjRLCLCUUUURILIICRLIRXXIRX IC設Z= R+jX，則IZU稱為歐姆定律的相量形式，式中復數(shù)Z稱為復阻抗，它等于電壓相量除以對應端點的電流相量。 復阻抗的實部就是電路的電阻R；復阻抗的虛部

32、 CLXXX是電路中感抗與容抗之差，稱電抗。感抗和容抗總是正的，而電抗為代數(shù)量，可正可負。電路可用阻抗Z來等效，如圖3.28(c)所示。 復阻抗也可以表達成指數(shù)形式、極坐標形式和三角形式，如 sinjcosjZZZeZZ式中22221XRCLRZ是復阻抗的模，稱為RCLRX1arctanarctan阻抗的輻角，稱為阻抗角，可正可負，視X的正負而定。顯然Z和R、X的單位相同，都是。由上兩式知，復阻抗的模Z與其實部R和虛部X構成個直角三角形，稱為阻抗阻抗模，總是正值。是復三角形，如圖3.29所示。圖3.29 RLC串聯(lián)電路的阻抗三角形 由于電抗CLXXXCL1與頻率有關，因此，在不同的頻率下，RL

33、C串聯(lián)電路有不同的性質，下面分別進行說明。 1. 當 時，X0， ，電壓 超前電流 ，電路中電感的作用大于電容的作用，這時電路呈現(xiàn)電感性。電路阻抗可以等效成電阻與電感串聯(lián)的電路。CL10UI2.當 時，X=0， ，電壓 與電流 同相，電路中電感的作用與電容的作用相互抵消，這時電路呈現(xiàn)電阻性。電路阻抗等效成電阻R。3.當 時，XXC，ULUC時，電壓 等于三個電壓相量之和，畫出相量圖，如圖3.30(a)所示。由圖可知，電壓 超前電流 ，超前的角度即 。2. 當XL=XC，UL=UC時，電壓 的模等于電阻上電壓 的模，即U=UR，而且 與電流 同相。相量圖如圖3.30(b)所示。這種情況稱為RLC

34、串聯(lián)電路發(fā)生串聯(lián)諧振，亦稱為電壓諧振。3. 當XLXC，UL0， ，電流 超前電壓 ，電路中電容的作用大于電感的作用，這時電路呈現(xiàn)電容性。電路導納可以等效成電阻與電容并聯(lián)的電路。LC10IU2. 當 時，B=0， ，電流 與電壓 同相，電路中電感的作用與電容的作用相互抵消，這時電路呈現(xiàn)電阻性。電路導納可等效成電導G。3. 當 時，BBC時，ICIL ，電流 等于三個電流相量之和，畫出相量圖，如圖3.35(a)所示。由圖可知，電流 超前電壓 ，超前的角度即 。2. 當BL=BC時，IC=IL ，電流 的模等于電導上電流 的模，即I=IG，而且與電壓 同相。相量圖如圖3.35(b)所示。這種情況稱

35、為RLC并聯(lián)電路發(fā)生并聯(lián)諧振，亦稱為電流諧振。IIGIUUI3. 當 時， ，電流 等于三個電流相量之和，畫出相量圖，如圖3.35(c)所示。由圖可見，此時電流 滯后電壓 ，滯后的角度即 。LCBBLCIIIU在相量圖中不難看出，電流相量 、 、 可以組成個直角三角形，稱為電流三角形，如圖3.35(d)所示。 IGIBII這說明并聯(lián)電路端電流的有效值并不等于各并聯(lián)元件上電流有效值直接相加。各電流有效值之間存在的關系為 GBBGIIIIIarctan22比較圖3.34與圖3.35(d)，可以看出，同電路的導納三角形與電流三角形是相似的，因為將導納三角形的每邊乘以U，即得電流三角形。 由于這兩種等

36、效電路有相同的伏安關系(VCR)，即 和 ，顯然有ZY=1，利用這關系可進行兩種等效電路參數(shù)的互換。IUZUIYBGXRXXRRXRZYjjj112222若已知負載的等效阻抗Z=R+jX,則它的等導納為2222XRXBXRRG即同理，若已知負載的等效導納Y=G+jB，則它的等效阻抗為 XRBGBBGGBGYZjjj1122222222BGBXBGGR即上兩式就是負載串聯(lián)電路與并聯(lián)電路等效互換的條件 從以上兩式看出：等效電導G，并不等于電阻R的倒數(shù)，并且還與電抗及頻率有關；等效電納B，也不是電抗X的倒數(shù)，并且也與電阻R及頻率有關。這就是說，按某頻率由上兩式算出的等效參數(shù)，只有在該頻率電源作用下才

37、是正確的。還應注意B與X的符號總是相反的。圖3.39 實際電阻器的電路模型 圖3.40 實際電感器的電路模型 圖3.41 實際電容器的電路模型及其相量圖 圖3.42 兩阻抗串聯(lián)及等效電路 根據(jù)基爾霍夫電壓定律可以寫出它的相量表示式 IZZIZIZUUU212121 兩個串聯(lián)阻抗可用個等效阻抗Z來代替，在同樣電壓的作用下，電路中電流的有效值和相位保持不變。即IZU式中Z=Z1+Z2，稱為串聯(lián)電路的等效阻抗。等效電路如圖3.42(b)所示。 同理可得，對于n個阻抗串聯(lián)而成的電路，其等效阻抗為 12nZZZZ阻抗的串聯(lián)存在分壓關系。當兩個阻抗Z1和Z2串聯(lián)時，兩個阻抗的電壓分配為 UZZZUUZZZ

38、U21222111式中U是總電壓，1U、2U分別為Z1和Z2上的電壓。圖3.45 兩阻抗并聯(lián)及等效電路 根據(jù)基爾霍夫電流定律可以寫出它的相量表示式21212111ZZUZUZUIII兩個并聯(lián)阻抗可用個等效阻抗Z來代替，在同樣電壓的作用下，電路中電流的有效值和相位保持不變。即 ZUI式中21111ZZZ，即2121ZZZZZ，Z稱為并聯(lián)電路的等效阻抗。等效電路如圖3.45(b)所示。 同理可得，對于n個阻抗并聯(lián)而成的電路，其等效阻抗為 12nYYYY或12n1111ZZZZ阻抗的并聯(lián)存在分流關系。當兩個阻抗Z1和Z2并聯(lián)時，兩個阻抗的電流分配為 IZZZIIZZZI21122121式中I是總電流

39、，1I、2I分別為Z1和Z2上的電流。 例3.25 圖3.48(a)示測量電感線圈的參數(shù)R和L的電路。若已知三個電壓表的讀數(shù)分別為U=149V，U1=50V，U2=121V，且R1=5 ，f1=50Hz。求線圈的參數(shù)。（a） （b）圖3.48 例3.25電路及相量圖解：由相量圖應用余弦定理計算 418. 0121502149121502cos2222122221UUUUU線圈的阻抗角3 .657 .1141807 .114電路中電流 1055011RUIA 2cos5.06URI電阻2sin35mH22LXULfIf電感 （1）選擇個參考相量。對于串聯(lián)電路，選電流為參考相量；對于并聯(lián)電路，選電

40、壓為參考相量；對于混聯(lián)電路，可根據(jù)已知條件選定電路內部某并聯(lián)部分電壓或某串聯(lián)部分電流為參考相量；對較復雜的混聯(lián)電路，常選末端電壓或電流為參考相量。用相量圖求解正弦電流電路的方法大體歸納如下： （3）根據(jù)題給的條件，把所給的電氣條件轉化成相量圖中的幾何關系，準確地得出電路的相量圖，最后根據(jù)相量圖中的相量關系，利用三角函數(shù)定律及幾何知識進行求解。（2）以參考相量為基準，根據(jù)電路的具體結構及參數(shù)，利用R、L、C元件VCR和KCL、KVL的相量形式定性地畫出電路的電壓、電流相量圖。要注意KCL和KVL的相量形式反映在相量圖上應為閉合的三角形或多邊形。設二端網(wǎng)絡的端電壓和端口電流的參考方向如圖3.50(a)所示。為簡便起見，設電流為參考正弦量，即 ，電壓超前于電流的相角為 ，即該無源二端網(wǎng)絡的等效阻抗的阻抗角，則0iuiutIisin2utUusin2該網(wǎng)絡吸收的瞬時功率為 2sinsincoscos 2coscos 2upuiUIttUItUIUIt式中 為恒定分量，它與時間無關為常量； 為正弦分量，它的頻率是電流或電壓頻率的兩倍，其波形圖如圖3.50(b)所示。 cosUItUI2cos圖3.50 無源二端網(wǎng)絡及p、 i、 u波形圖 為了便于說明二端網(wǎng)絡的有功功率和無功功率，由前式可得 tUItUIp2sinsin2cos1co