橢圓總3課時)

1、2.1.1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓思思考考數(shù)學實驗數(shù)學實驗 (1)取一條細繩，取一條細繩， (2)把它的兩端固定在板把它的兩端固定在板上的兩個定點上的兩個定點F1、F2 (3)用鉛筆尖（用鉛筆尖（M）把細）把細繩拉緊，在板上慢慢移繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的動看看畫出的 圖形圖形1.1.在橢圓形成的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動在橢圓形成的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？的？2.2.在畫橢

2、圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？系？橢圓的定義橢圓的定義 平面上到兩個定點的平面上到兩個定點的距離的和（距離的和（2 2a a）等于）等于定長（大于定長（大于|F|F1 1F F2 2 | |）的點的軌跡叫橢圓。的點的軌跡叫橢圓。 定點定點F F1 1、F F2 2叫做橢圓叫做橢圓的焦點。的焦點。 兩焦點之間的距離叫兩焦點之間的距離叫做焦距（做焦距（2c2c）。）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號

3、表述：橢圓定義的符號表述：1222MFMFac 1. 改變細繩兩端之間的距離，使其改變細繩兩端之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩端點之間的距離嗎？繩長能小于兩端點之間的距離嗎？ 思考：思考： 1. 改變兩端點之間的距離，使其與改變兩端點之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩端點之間的距離嗎？繩長能小于兩端點之間的距離嗎？ 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常的距離之和等于常數(shù)數(shù) 的點的軌跡叫做橢圓。其中這的點的軌跡叫做橢圓。其中這個定點個定點F1，F(xiàn)2

4、叫做焦點，兩焦點的距離叫做叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦焦距距。當常數(shù)當常數(shù)等于等于|F1F2|時軌跡是時軌跡是 當常數(shù)當常數(shù)小于小于|F1F2|時，時， 。（大于（大于|F1F2|）線段線段F1F2無軌跡無軌跡一一.橢圓的定義橢圓的定義F1F2M求曲線方程的一般步驟：求曲線方程的一般步驟：建系建系列式列式設(shè)點設(shè)點化簡化簡代入代入F1F2M1)建系：建系： 以以F1、F2所在直線為所在直線為x軸，線軸，線段段F1F2垂直平分線為垂直平分線為y軸，建軸，建立坐標系。立坐標系。2)設(shè)點：設(shè)點：xOy又設(shè)又設(shè)M M與與F F1 1、F F2 2距離之和等于距離之和等于2a,2a,|F|F1 1F F2

5、 2|=2c(c0),|=2c(c0),設(shè)設(shè)M(x,y)為橢圓上的任意一點，為橢圓上的任意一點，則則F1(-c,0)、F2(c,0)3)限制條件寫出點集：限制條件寫出點集：橢圓的集合為橢圓的集合為:2|21aMFMFMPF1F2MOxy4)代入列出方程代入列出方程:aycxycx2)()(22225)化簡方程：化簡方程：)()(22222222caayaxca,22ca 即即ca 022ca2222()2()xcyaxcy222()acxaxcy移項得移項得平方整理得平方整理得再平方得再平方得 |21MFMFPxyoacbcaOP22|令12222byax122222cayaxb12222by

6、ax) 0( 12222babxay總體印象：對稱、簡潔，總體印象：對稱、簡潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式012222babyax焦點在焦點在y軸：軸：焦點在焦點在x軸：軸：橢圓的標準方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上11625)2(22yx11616)1(22yx口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點在何軸？則判定其焦點在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點坐標，寫出焦點坐標.認知標程方程認知標程方程焦點

7、在焦點在X 軸。（軸。（-3，0）和（）和（3，0）填空：填空： 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標，焦點坐標為：為：_焦距等于焦距等于_;若若CD為過為過左焦點左焦點F1的弦，則的弦，則 F2CD的周長為的周長為_例題例題1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。|CF1|+|CF2|=2a 例例2. 橢圓兩焦點的坐標分別是（橢圓兩焦點的坐標分別是（-4，0）、）、（4，0），橢圓上一點），橢圓上一

8、點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓方程。求橢圓方程。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程軸上，所以可設(shè)它的方程 為：為：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：192522yx定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；定量：定量：求求a, b的值的值.練習：練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：(2)焦點為焦點為F1(0,2),F2(0,2),且且a=3.22(1) 16xy答案：(1)a= ,

9、b=1,焦點在焦點在x x軸上軸上; ;小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；定量：定量：求求a, b的值的值.622(2)159xy小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；定量：定量：求求a, b的值的值.小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；一種方法：一種方法： 求橢圓標準方程的方法求橢圓標準方程的方法-坐標法坐標法二類方程二類方程: 12222byax0 12222bab

10、xay一個定義：一個定義： 橢圓的定義橢圓的定義 |21MFMFMOxyF1 1F2 2MO2222+=1 0 xyabab標準方程中，分母哪個大，焦點就標準方程中，分母哪個大，焦點就在哪個軸上在哪個軸上12- , 0 , 0，F(xiàn)cF c120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程相相 同同 點點焦點位置的焦點位置的判斷判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標a a、b b、c c 的關(guān)系的關(guān)系焦點在焦點在y y軸上軸上222bac) 0( 12222babxayxyF1 1F2 2 作業(yè)作業(yè):P36第第1、2、3題題 P42第第1、7題題2.1.1橢圓及其標準方程（第橢圓及其標準方程（第2

11、課時）課時） -求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常的距離之和等于常數(shù)數(shù) 的點的軌跡叫做橢圓。這其中的點的軌跡叫做橢圓。這其中個定點個定點F1，F(xiàn)2叫做焦點，兩焦點的距離叫做叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦焦距距。當常數(shù)當常數(shù)等于等于|F1F2|時軌跡是時軌跡是 當常數(shù)當常數(shù)小于小于|F1F2|時，時， 。（大于（大于|F1F2|）線段線段F1F2無軌跡無軌跡復(fù)習：復(fù)習：F1F2MMOxyF1 1F2 2MO2222+=1 0 xyabab標準方程中，分母哪個大，焦點就標準方程中，分母哪個大，焦點就在哪個軸上在哪個軸上12- , 0 , 0，

12、FcF c120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程相相 同同 點點焦點位置的焦點位置的判斷判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標a a、b b、c c 的關(guān)系的關(guān)系焦點在焦點在y y軸上軸上222bac) 0( 12222babxayxyF1 1F2 2填空：填空： 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標，焦點坐標為：為：_焦距等于焦距等于_;若若CD為過為過左焦點左焦點F1的弦，則的弦，則 F2CD的周長為的周長為_例題例題1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的判斷橢圓標準方程的焦點在

13、哪個軸上的準則：準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。|CF1|+|CF2|=2a 例例1. 橢圓兩焦點的坐標分別是（橢圓兩焦點的坐標分別是（-4，0）、）、（4，0），橢圓上一點），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓方程。求橢圓方程。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程軸上，所以可設(shè)它的方程 為：為：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：192522yx定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；定

14、量：定量：求求a, b的值的值.典例分析典例分析例例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程。求適合下列條件的橢圓的標準方程。已知兩個焦點的坐標分別是已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢，橢圓上一點圓上一點P到兩焦點距離的和等于到兩焦點距離的和等于10； 典例分析典例分析變題一變題一:若將若將例例1焦點改為焦點改為(0，-4)、(0，4) 結(jié)果如何？結(jié)果如何？192522xy：將：將例例1 1改為兩個焦點的距離為改為兩個焦點的距離為8 8，橢圓上，橢圓上一點一點P P到兩焦點的距離和等于到兩焦點的距離和等于1010，結(jié)果會怎樣？，結(jié)果會怎樣？192522yx192522xy典例分析典

15、例分析例例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程。求適合下列條件的橢圓的標準方程。已知兩個焦點的坐標分別是已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓，橢圓上一點上一點P到兩焦點距離的和等于到兩焦點距離的和等于10；定量：定量：求求a, b的值的值.小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：定位：定位：確定焦點所在的坐標軸；確定焦點所在的坐標軸；當焦點位置不確定時，分兩種情形討論當焦點位置不確定時，分兩種情形討論隨堂練習隨堂練習寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：(1) ,焦點在焦點在x軸上；軸上；(2) .4,15ac4,1ab22(1)1

16、16xy 22116yx22(2)116xy例例2 2. .已知橢圓的兩個焦點坐標分別是已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 , , 求它的標準方程求它的標準方程. .)23,25(解法一解法一: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標準方程為所以設(shè)它的標準方程為).0( 12222 babyax由橢圓的定義知由橢圓的定義知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因為又因為 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為

17、. 161022 yx小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標準方程的步驟：1.定位：確定焦點所在的位置；定位：確定焦點所在的位置；2. 設(shè)：設(shè)： 設(shè)出標準方程；設(shè)出標準方程；3.定量：確定定量：確定a,b 例例2.2.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2(-2,0), (2,0), ), (2,0), 并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 , , 求它的標準方程求它的標準方程. .)23,25(解法二解法二: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標準方程為所以設(shè)它的標準方程為).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦點的坐標分

18、別是焦點的坐標分別是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知聯(lián)立聯(lián)立,61022 ba，解得解得因此因此, , 所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為. 161022 yx求橢圓標準方程的解題步驟：求橢圓標準方程的解題步驟：（1）確定焦點的位置）確定焦點的位置；（2）設(shè)出橢圓的標準方程；）設(shè)出橢圓的標準方程；（3）用待定系數(shù)法確定）用待定系數(shù)法確定a、b的值，的值， 寫出橢圓的標準方程寫出橢圓的標準方程. 練習練習2：求適合下列條件的橢圓的標準方：求適合下列條件的橢圓的標準方 程：程： （1)橢圓兩焦點間的距離為橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某，且橢圓上某一

19、點到兩焦點的距離分別等于一點到兩焦點的距離分別等于9和和15； （2）橢圓上一點）橢圓上一點P(3,2)到兩焦點的距離之和到兩焦點的距離之和為為8。小結(jié)：求橢圓的標準方程的步驟：小結(jié)：求橢圓的標準方程的步驟： 求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型；類型；（2）設(shè)設(shè)出標準方程；出標準方程；（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,利用橢圓的定義求方程利用橢圓的定義求方程,有等式：有等式： a2=b2+c2 作業(yè)：作業(yè)： P42第第1,2題題 活頁活頁P932.1.1橢圓及其標準方程（第橢圓及其標準方程（第3課時）課時） -求軌跡方程求軌跡方程(1)(1)建系建系: :

20、 建立直角坐標系；建立直角坐標系；(2)(2)設(shè)點設(shè)點: : 設(shè)所求動點設(shè)所求動點P(x,y);P(x,y);(4)(4)化簡化簡: : 化簡方程；化簡方程；(5)(5)檢驗檢驗：檢驗所得方程檢驗所得方程, ,將多余的點要剔除將多余的點要剔除, , 不足的點要補充。不足的點要補充。(3)(3)列式列式: : 根據(jù)條件列出動點根據(jù)條件列出動點P P滿足的關(guān)系式滿足的關(guān)系式; ;求動點軌跡方程的基本步驟是什么？求動點軌跡方程的基本步驟是什么？復(fù)習復(fù)習例例1. 設(shè)點設(shè)點A,B的坐標分別為的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線直線AM,BM相交于點相交于點M，且它們的斜率之積是，且它們的斜率之積是

21、-4/9,求點求點M的軌的軌跡方程。跡方程。)(5191002522 xyxM的軌跡方程為的軌跡方程為點點“雜點雜點”可不要可不要忘了喲忘了喲這種方法叫直接法這種方法叫直接法或或直譯法直譯法 練習練習:36頁第頁第4題題解：解：例例2 ：將圓將圓 = 4= 4上的點的橫坐標保持不變，上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得的曲線的方程，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得的曲線的方程，并說明它是什么曲線？并說明它是什么曲線？yxo22yx 設(shè)所得的曲線上任一點的坐標為（x，y）,圓 上的對應(yīng)點的坐標為（x，y），由題意可得：22yx yyxx2/22yx因為所以4422yx即1422 yx1 1）將圓按照某個方向均勻地壓縮）將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓（拉長），可以得到橢圓。2 2）利用中間變量求點的軌跡方程）利用中間變量求點的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；的方法是解析幾何中常用的方法；的軌跡。求點上，并且在點垂線段軸作向從