第二章解線性方程組的直接方法初次修改稿

1、1 高斯消去法高斯消去法 主元素法主元素法 直接三角分解法直接三角分解法 平方根法與改進(jìn)平方根法平方根法與改進(jìn)平方根法 誤差分析誤差分析第二章第二章 線性方程組的直接方法線性方程組的直接方法 2 .,.,.22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa討論討論 n元線性方程組元線性方程組的直接解法的直接解法.3其中其中 ,.212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx.21 nbbbb 方程組的矩陣形式為方程組的矩陣形式為, bAx 若矩陣若矩陣A非奇異非奇異, 即即det(A)0, 則方程組有唯一解則方程

2、組有唯一解. 4 直接解法是指直接解法是指, 若不考慮計(jì)算過(guò)程中的舍入誤若不考慮計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，經(jīng)過(guò)差，經(jīng)過(guò)有限次算術(shù)運(yùn)算就能求出線性方程組的有限次算術(shù)運(yùn)算就能求出線性方程組的精確解精確解的方法的方法. 但由于實(shí)際計(jì)算中舍入誤差的存但由于實(shí)際計(jì)算中舍入誤差的存在在, 用直接解法一般也只能求出方程組的近似解用直接解法一般也只能求出方程組的近似解. Cramer法則是一種不實(shí)用的直接法，下面介法則是一種不實(shí)用的直接法，下面介紹幾種實(shí)用的直接法紹幾種實(shí)用的直接法. 解線性方程組的方法解線性方程組的方法: 直接方法和迭代法直接方法和迭代法. 迭代法是從解的某個(gè)近似值出發(fā)迭代法是從解的某個(gè)近似值出

3、發(fā), 通過(guò)構(gòu)造一通過(guò)構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法. 一般地一般地, 有限有限步內(nèi)得不到精確解步內(nèi)得不到精確解.5 Gauss消元法是一種規(guī)則化的消元法，其基本消元法是一種規(guī)則化的消元法，其基本思想是通過(guò)逐次消元計(jì)算，把一般線性方程組的思想是通過(guò)逐次消元計(jì)算，把一般線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為等價(jià)的上三角形方程組的求解。求解轉(zhuǎn)化為等價(jià)的上三角形方程組的求解。1 Gauss消去法消去法6 322413312321321321xxxxxxxxx消去后兩個(gè)方程中的消去后兩個(gè)方程中的x1得得 166225123232321xxxxxxx再消去最后一個(gè)方程的再消去最后一個(gè)方程的

4、x2得得 613121321xxx消元結(jié)束消元結(jié)束. 5754222512332321xxxxxx經(jīng)過(guò)回代得解經(jīng)過(guò)回代得解:例例 考慮線性方程組考慮線性方程組 順序順序Gauss消去法消去法7 消元過(guò)程消元過(guò)程: 先逐次消去變量先逐次消去變量 x1, x2, 將方程組化將方程組化為同解的上三角形方程組為同解的上三角形方程組. 上過(guò)方法可推廣到一般情況上過(guò)方法可推廣到一般情況 回代過(guò)程回代過(guò)程: 按方程相反的順序求解上三角形方程組按方程相反的順序求解上三角形方程組.8 )1()1()1(3)1(2)1(1)1(3)1(3)1(33)1(32)1(31)1(2)1(2)1(23)1(22)1(21

5、)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)1()1(.),(nnnnnnnnnbaaaabaaaabaaaabaaaabA第一步第一步. 設(shè)設(shè) 依次用依次用, 0)1(11 a),.,3 , 2(,)1(11)1(11niaalii 乘矩陣的第乘矩陣的第1行加到第行加到第 i 行上行上, 得到矩陣得到矩陣:iiijijbbaabb,AA )1()1(1)(1),則線性方程組的增廣矩陣為則線性方程組的增廣矩陣為記記9 )2()2()2(3)2(2)2(3)2(3)2(33)2(32)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)2()2(.0.0.0.)

6、,(nnnnnnnnbaaabaaabaaabaaaabA其中其中njialaajiijij,.,3 , 2,)1(11)1()2( niblbbiii,.,3 , 2,)1(11)1()2( 第二步第二步. 設(shè)設(shè) 依次用依次用0)2(22 a),.,4 , 3( ,)2(22)2(22niaalii 乘矩陣的第乘矩陣的第2行加到第行加到第i 行行, 得到矩陣得到矩陣:10 )3()3()3(3)3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11.00.00.0.)(nnnnnnn(3)(3)baabaabaaabaaaab ,A其中其中

7、njialaajiijij,.,4 , 3,)2(22)2()3( niblbbiii,.,4 , 3,)2(22)2()3( 11 )()()3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)()(.)(nnnnnnnnnnbabaabaaabaaaab ,A這就完成了消元過(guò)程這就完成了消元過(guò)程. 如此繼續(xù)消元下去如此繼續(xù)消元下去, 第第n 1步結(jié)束后得到矩陣步結(jié)束后得到矩陣:12 .,.,.)()()2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa 對(duì)此方程組進(jìn)行回

8、代，就可求出方程組的解對(duì)此方程組進(jìn)行回代，就可求出方程組的解. 對(duì)應(yīng)的方程組變成：對(duì)應(yīng)的方程組變成： . 1 , 2, 1,)(,)(1)()()()(nniaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnn13 能用順序能用順序Gauss消去法求解的條件是在消元過(guò)程中消去法求解的條件是在消元過(guò)程中得到的主元必須全不為得到的主元必須全不為0，即，即), 2 , 1(, 0)(nkakkk 順序順序Gauss消去法通常也簡(jiǎn)稱(chēng)為消去法通常也簡(jiǎn)稱(chēng)為Gauss消去法消去法. 主元素都不為零主元素都不為零矩陣矩陣A的各階順序主子式都不為零的各階順序主子式都不為零. 順序順序Gauss消去法中的消去法

9、中的 稱(chēng)為稱(chēng)為主元素主元素.),.,2 , 1()(nkakkk )()2(22)1(11)det(kkkkaaaA 14 順序順序Gauss消去法求解消去法求解n元線性方程組的乘除運(yùn)算量元線性方程組的乘除運(yùn)算量 第第1次消元乘除運(yùn)算量次消元乘除運(yùn)算量: 消元過(guò)程乘除運(yùn)算量消元過(guò)程乘除運(yùn)算量求求 li1: (n1)求求aij(2): (n1)2求求bi(2): (n1)共共 (n21)次次 111)1(1222 nn15 回代過(guò)程乘除運(yùn)算量：回代過(guò)程乘除運(yùn)算量：求求 xn: 1求求 xn1: 2求求 x1: n.n 2116 nknkkk112)1()3(3123nnn n=30時(shí)時(shí), 順序順

10、序Gauss消去法只需消去法只需9890次乘除法運(yùn)算次乘除法運(yùn)算. nnn 21111)1(1222 順序順序Gauss消去法求解消去法求解n元線性方程組的乘除運(yùn)算量元線性方程組的乘除運(yùn)算量17 高斯消去法優(yōu)缺點(diǎn)：高斯消去法優(yōu)缺點(diǎn)： 簡(jiǎn)單易行簡(jiǎn)單易行 要求主元均不為零要求主元均不為零, 因而適用范圍小因而適用范圍小 數(shù)值穩(wěn)定性差數(shù)值穩(wěn)定性差 18例：例：?jiǎn)尉冉夥匠探M單精度解方程組 211021219xxxx 精確解精確解.,1000.00. 1101191 x8個(gè)個(gè).8999.99. 0212 xx8個(gè)個(gè) 用順序用順序Gauss消去法計(jì)算：消去法計(jì)算：911212110/ aal99921)

11、2(2210101010.0 . 011 la8個(gè)個(gè)921)2(21012 lb 9991010011100, 112 xx小主元小主元 可能導(dǎo)可能導(dǎo)致計(jì)算失敗致計(jì)算失敗.2 主元素法主元素法19 若將方程組改寫(xiě)成若將方程組改寫(xiě)成: 110221921xxxx用順序用順序Gauss消去法消去法, 消元得消元得 12221xxx回代得解回代得解: x2=1, x1=1與準(zhǔn)確解非常接近與準(zhǔn)確解非常接近. 可見(jiàn)可見(jiàn), 第一種算法是第一種算法是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的的, 第二種算法是第二種算法是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.20 此例說(shuō)明此例說(shuō)明, 在消元過(guò)程中在消元過(guò)程中, 應(yīng)避免選取絕對(duì)值應(yīng)避免選取絕對(duì)值較小的數(shù)作主元較

12、小的數(shù)作主元. 如例中的第二種解法如例中的第二種解法, 通過(guò)交換通過(guò)交換方程次序方程次序, 選取選取絕對(duì)值較大的元素作為主元絕對(duì)值較大的元素作為主元. 基基于這種想法導(dǎo)出了主元法于這種想法導(dǎo)出了主元法. 為了提高計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性為了提高計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性, 在消元過(guò)程中采在消元過(guò)程中采用選擇主元的方法用選擇主元的方法. 常采用的是常采用的是列主元消去法列主元消去法和和全主元消去法全主元消去法.21 給定線性方程組給定線性方程組 Ax=b, 記記 A(1)=A, b(1)=b, 列主元列主元Gauss消去法的具體過(guò)程如下消去法的具體過(guò)程如下:.1max)1(11)1(1行互換行互換行與第行與第為主

13、元素，第為主元素，第 kaainik 首先在增廣矩陣首先在增廣矩陣 B(1)=(A(1), b(1)的第一列元素中的第一列元素中,取取 然后進(jìn)行第一步消元得增廣矩陣然后進(jìn)行第一步消元得增廣矩陣 B(2)=(A(2), b(2). 列主元消去法列主元消去法22.2max)2(22)2(2行互換行互換行與第行與第為主元素，第為主元素，第kaainik 然后進(jìn)行第二步消元得增廣矩陣然后進(jìn)行第二步消元得增廣矩陣 B(3)=(A(3), b(3). 按此方法繼續(xù)進(jìn)行下去按此方法繼續(xù)進(jìn)行下去, 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) n 1步選主元和消元步選主元和消元運(yùn)算運(yùn)算, 得到增廣矩陣得到增廣矩陣B(n)=(A(n), b(n)

14、. 則方程組則方程組 A(n)x=b(n)是與原方程組等價(jià)的上三角是與原方程組等價(jià)的上三角形方程組形方程組, 可進(jìn)行回代求解可進(jìn)行回代求解. 只要只要|A| 0, 列主元列主元Gauss消去法就可順利進(jìn)行消去法就可順利進(jìn)行. 再在矩陣再在矩陣 B(2)=(A(2), b(2)的第二列元素中的第二列元素中,取取23 全主元素法全主元素法 每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證 . 1| ikl Step k: 選取選取;0|max|)(,)( kijnjikkjiaakk If ik k then 交換第交換第 k 行與第行與第 ik 行行; If jk k

15、 then 交換第交換第 k 列與第列與第 jk 列列; 消元消元列交換改變了列交換改變了 xi 的順序，須記錄的順序，須記錄交換次序交換次序，解完后再換回來(lái)。解完后再換回來(lái)。24例例 用主元素法求解線性方程組用主元素法求解線性方程組計(jì)算過(guò)程保留三位小數(shù)計(jì)算過(guò)程保留三位小數(shù),方程的精確解為方程的精確解為 x1*= 1, x2*=2, x3*=3. 1515613183312111321xxx25 1513181533126111 解解 1. 按列主元素法，求解過(guò)程如下按列主元素法，求解過(guò)程如下 6111153312151318 167. 5944. 0167. 105333. 21015131

16、8 5333. 210167. 5944. 0167. 10151318 428. 9142. 300167. 5944. 0167. 10151318 .000. 1,000. 2,001. 3123xxx消元消元回代得回代得26 1513181533126111 解解 2. 按全主元素法，求解過(guò)程如下按全主元素法，求解過(guò)程如下 6111153312151318 167. 5944. 0167. 105333. 210151318 167. 5167. 1944. 0051333. 20153118 144. 3572. 10051333. 20151318 .000. 1,000. 3,0

17、00. 2132xxx回代得回代得3x2x27 全主元素法的精度優(yōu)于列主元素法全主元素法的精度優(yōu)于列主元素法, 這是由于全這是由于全主元素是在全體系數(shù)中選主元主元素是在全體系數(shù)中選主元, 故它對(duì)控制舍入誤故它對(duì)控制舍入誤差十分有效差十分有效. 但全主元素法在計(jì)算過(guò)程中但全主元素法在計(jì)算過(guò)程中, 需同時(shí)作行與列的需同時(shí)作行與列的互換互換, 因而因而程序比較復(fù)雜程序比較復(fù)雜, 計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng). 列主元素法的精度雖然稍低于全主元素法列主元素法的精度雖然稍低于全主元素法, 但其但其計(jì)算簡(jiǎn)單計(jì)算簡(jiǎn)單, 工作量大為減少工作量大為減少, 且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論實(shí)且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論實(shí)踐均表明踐均表明, 它與

18、全主元素法同樣具有它與全主元素法同樣具有良好的數(shù)值穩(wěn)良好的數(shù)值穩(wěn)定性定性. 列主元素法是求解中小型稠密線性方程組的最好列主元素法是求解中小型稠密線性方程組的最好方法之一方法之一. 例例3的計(jì)算結(jié)果表明的計(jì)算結(jié)果表明28 Gauss消元法的矩陣表示消元法的矩陣表示 3332312322211312111001001aaaaaaaaaba 133312321131132312221121131211baabaabaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa12arr 13brr 133312321131132312221121131211baabaabaaa

19、aaaaaaaaaaa3 直接三角分解法直接三角分解法兩者等價(jià)兩者等價(jià)29 333231232221131211aaaaaaaaaA,112121aal 113131aal )2()2(33)2(32)2(23)2(22131211:00Aaaaaaaa jiijijalaa11)2( 2, 2 ji其中其中)2(1AAL ,100100131211 llL兩者等價(jià)兩者等價(jià) n=3時(shí)時(shí)Gauss消元法的矩陣表示消元法的矩陣表示30 )2(33)2(32)2(23)2(22131211)2(00aaaaaaaA)2(22)2(3232aal )3()3(33)2(23)2(22131211:00

20、0Aaaaaaa )2(2332)2(33)3(33alaa 其中其中)3()2(2AAL ,10010001322 lL兩者等價(jià)兩者等價(jià)31ALLALA12)2(2)3( )3(1211ALLA 1001001100010001100010001100100131213121llll:11 L 10010001100010001100010001100100013232ll:12 L 1010011001000110010013231213231211211llllllLL32LUaaaaaalllA )3(33)2(23)2(22131211323121000101001條件條件:. 0,

21、 0)2(2211 aa,112121aal ,113131aal .)2(22)2(3232aal :L:U矩陣矩陣A經(jīng)經(jīng)Gauss消元法后得到的上三角矩陣消元法后得到的上三角矩陣.33例例 求矩陣求矩陣 542774322A的三角分解的三角分解.解解 542774322A 860130322, 22421 l, 12231 l 600130322. 23632 l 600130322121012001542774322LUA34 上述上述 n=3的情形可以推廣到一般情形的情形可以推廣到一般情形, 例如例如 n=4 44434241343332312423222114131211aaaaaa

22、aaaaaaaaaaA,112121aal )2(44)2(43)2(42)2(34)2(33)2(32)2(24)2(23)2(2214131211000aaaaaaaaaaaaa,113131aal ,114141aal ,)2(22)2(3232aal ,)2(22)2(4242aal 35 )3(44)3(43)3(34)3(33)2(24)2(23)2(221413121100000aaaaaaaaaaa,)3(33)3(4343aal )4(44)3(34)3(33)2(24)2(23)2(2214131211000000aaaaaaaaaa36LUaaaaaaaaaallllll

23、A )4(44)3(34)3(33)2(24)2(23)2(22141312114342413231210000001010010001條件條件:. 0, 0, 0)3(33)2(2211 aaa:U矩陣矩陣A經(jīng)經(jīng)Gauss消元法后得到的上三角矩陣消元法后得到的上三角矩陣.,112121aal ,113131aal ,)2(22)2(3232aal :L,114141aal ,)2(22)2(4242aal .)3(33)3(4343aal 37 20116126384102785124A 580012600030512424821 l14431 l341241 l 5800120000305

24、12423632 l03042 l 100012000030512442843 lLUA 1000120000305124140301210012000120116126384102785124例例38 )()3(3)3(33)2(2)2(23)2(2211312113213231211111)(nnnnnnnnnnnijaaaaaaaaaallllllLUaA條件條件:. 0, 0, 0)1(11)2(2211 nnnaaa,2,1111niaalii .2,1,)()(nknikaalkkkkikik :L:U矩陣矩陣A經(jīng)經(jīng)Gauss消元法后得到的上三角矩陣消元法后得到的上三角矩陣. Ga

25、uss消元法的矩陣表示消元法的矩陣表示Doolittle分解分解39 矩陣的三角分解矩陣的三角分解定理定理 設(shè)設(shè) A 為為n 階方陣階方陣, 若若 A 的前的前(n 1)階順階順序主子式序主子式 Ai ( i =1, 2, , n 1)均不為均不為0, 則矩陣則矩陣A存在唯一的存在唯一的Doolittle分解分解.)()2(2211iiiiaaaA 存在性：存在性：唯一性：唯一性：反證法反證法40 nnnnnnnnuuuuuuuuuullllllA3332232211312113213231211111 Doolittle分解中分解中 LU 元素的求解次序元素的求解次序 Doolittle分解

26、中分解中 LU 的另一求法的另一求法41 nnnnnnnnuuuuuuuuuullllllA3332232211312113213231211111njuajj 1,11U的第一行的第一行 1111ulaii1111ualii L的第一列的第一列 Doolittle分解中分解中 LU 元素的求解元素的求解 右端用矩陣乘法展開(kāi)右端用矩陣乘法展開(kāi), 比較兩邊的第比較兩邊的第1行和第行和第1列得列得42 假設(shè)已求得假設(shè)已求得U 的前的前(r 1)行和行和 L的前的前(r 1)列列, r 1.下面求下面求U 的第的第 r 行和行和 L 的第的第 r 列列. 右端用矩陣乘法右端用矩陣乘法, 比較兩邊的第

27、比較兩邊的第 r行的后行的后(nr+1)個(gè)元素個(gè)元素arj =L的第的第r行行向量與行行向量與U的第的第j列列向量的內(nèi)積列列向量的內(nèi)積( j r )0, 0,(11jjrjjrjuuuu rjjrrrjrjrrjuululula 112211njrulululaujrrrjrjrrjrj ),(112211U的第的第r行行)0, 0, 1,(11 rrrll43.)1()1()(112211的內(nèi)積的內(nèi)積個(gè)分量個(gè)分量列的前列的前的第的第個(gè)分量與個(gè)分量與行的前行的前的第的第 rjUrrLaulululaurjjrrrjrjrrjrjnjr U的第的第r行行44 右端用矩陣乘法右端用矩陣乘法, 比較

28、兩邊的第比較兩邊的第 r列的后列的后(nr)個(gè)元素個(gè)元素air =L的第的第i行行向量與行行向量與U的第的第r列列向量的內(nèi)積列列向量的內(nèi)積( i r )0, 0, 1,(111 iiirriillll)0, 0,(11rrrrruuu rrirrrriririirulululula 112211 niruulululalrrrrriririirir ,)(112211L的第的第r列列 45rrirrrrrriririirirurrUriLauulululal 的內(nèi)積的內(nèi)積個(gè)分量個(gè)分量列前列前的第的第個(gè)分量與個(gè)分量與行前行前的第的第)1()1()(112211nir L的第的第r列列4611u1

29、 irlrru1 jru1 1 rrl1ilirl1rlrjurruju1ru121l12u22u), 2 , 1(nj ), 3 , 2(ni ), 1,(nrrj ), 1(nri 對(duì)對(duì)r=2,3, n,jjau11 1111ualii )(112211jrrrjrjrrjrjulululau rrrrirririiriruulululal)(112211 矩陣三角分解的緊湊格式矩陣三角分解的緊湊格式47)2()2()3()4()7()7()4()2( )5(例例 用緊湊格式求矩陣用緊湊格式求矩陣 542774322A的三角分解的三角分解.解解223224 122 3227 1327 23

30、2)1(4 6123)1(5 LUA 60013032212101200148bLUxbAx 先求先求Ly=b, 得得 y;再求再求 Ux=y, 得得x. 直接三角分解法直接三角分解法或或Doolittle分解法分解法.yDoolittle分解法分解法49 nnnnbbbyyy212121211.11lll Ly=b nkybybykiikikk, 3 , 2,1111l 乘除運(yùn)算量為乘除運(yùn)算量為.2)1( nn50 1 , 2, 1,1nniuxuyxuyxiinijjijiinnnn nnnnnnyyyxxxuuuuuu212122211211. Ux=y 乘除運(yùn)算量為乘除運(yùn)算量為.2)1

31、( nn51例例 用直接三角分解法解用直接三角分解法解 223291076824312321xxx)2()1( )3()4()2()8()7( )6()10(解解21 3224 326 4)1(22 2328 14)1(37 32)1(3310 LUA 30024031211301200152 22329113121321yyy 9149321yyy 9149324312321321yyyxxx 321321xxx 先求先求Ly=b 得得 y 再求再求 Ux=y 得得x53 由于在求出由于在求出uij, lij 和和 yi 后后, aij和和bi就無(wú)需保留了就無(wú)需保留了, 故故上機(jī)計(jì)算時(shí)上機(jī)計(jì)

32、算時(shí), 可把可把 L, U和和y存在存在A, b所占單元所占單元, 回代時(shí)回代時(shí)x 取代取代 y, 整個(gè)計(jì)算過(guò)程中不需要增加新的存儲(chǔ)單元整個(gè)計(jì)算過(guò)程中不需要增加新的存儲(chǔ)單元. 在求一系列在求一系列系數(shù)矩陣相同而右端項(xiàng)不同系數(shù)矩陣相同而右端項(xiàng)不同的線性的線性方程組方程組 Ax=b(k), (k=1, 2 , m) 時(shí)時(shí) (如求逆矩陣如求逆矩陣), 用用三角分解法更為簡(jiǎn)便三角分解法更為簡(jiǎn)便. 每解一個(gè)方程組每解一個(gè)方程組Ax=b(k) 僅需僅需要增加要增加 n2 次乘除法運(yùn)算次乘除法運(yùn)算. 解線性方程組解線性方程組Ax=b 的的 Doolittle三角分解法的計(jì)三角分解法的計(jì)算量約為算量約為n3/

33、3, 與與Gauss消去法相同消去法相同. 54 Crout分解分解定理定理 設(shè)設(shè) A 為為n 階方陣階方陣, 若若 A 的前的前(n 1)階順階順序主子式序主子式 Ai ( i =1, 2, , n 1)均不為均不為0, 則矩陣則矩陣A可以唯一分解為可以唯一分解為其中其中 L 為下三角陣為下三角陣, U 為為單位單位上三角陣上三角陣. LUA 55 列主元的三角列主元的三角分解分解定理定理 設(shè)設(shè) A 為為n 階非奇異方陣階非奇異方陣, 則存在排列則存在排列矩陣矩陣P, 使得使得其中其中 L 為單位下三角陣且為單位下三角陣且 |lij| 1, U 為上三角為上三角陣陣. (在同樣條件下在同樣條

34、件下, 也可推出也可推出PA有有Crout分解分解) LUPA 定義定義(排列陣排列陣) 單位陣經(jīng)若干次兩行互單位陣經(jīng)若干次兩行互換后而得到的矩陣換后而得到的矩陣.56 nnnnnnnnnddddxxxxbacbacbacb12112111122211dAx 特殊的稀疏矩陣特殊的稀疏矩陣 解三對(duì)角方程組的追趕法解三對(duì)角方程組的追趕法解三對(duì)角方程組解三對(duì)角方程組57 追趕法是求三對(duì)角線性方程組的三角分解法追趕法是求三對(duì)角線性方程組的三角分解法. 追趕法本質(zhì)上是追趕法本質(zhì)上是Gauss消元法消元法. 二階常微分方程邊值問(wèn)題的差分離散方程組二階常微分方程邊值問(wèn)題的差分離散方程組, 熱熱傳導(dǎo)方程以及船

35、體數(shù)學(xué)中建立的三次樣條函數(shù)的三傳導(dǎo)方程以及船體數(shù)學(xué)中建立的三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角或三彎矩方程組均為三對(duì)角方程組轉(zhuǎn)角或三彎矩方程組均為三對(duì)角方程組.58 4433322211bacbacbacb122bal 443332)2(2110bacbacbcb122)2(2clbb )2(233bal 443)3(32)2(21100bacbcbcb233)3(3clbb )3(344bal )4(43)3(32)2(211000bcbcbcb344)4(4clbb 例例 4階三對(duì)角矩陣的三角分解階三對(duì)角矩陣的三角分解59 )4(43)3(32)2(211000bcbcbcb 1111432lll 443

36、3322211bacbacbacb例例 4階三對(duì)角矩陣的三角分解階三對(duì)角矩陣的三角分解單位下二對(duì)角陣單位下二對(duì)角陣上二對(duì)角陣上二對(duì)角陣60定理定理 設(shè)三對(duì)角矩陣設(shè)三對(duì)角矩陣A滿足下列條件滿足下列條件 0|)12(0|,|0|11nniiiiiabnicacabcb則它可以分解成則它可以分解成A=LU nnnnnbacbacbacb11122211 nnnucucuculll132211321111 三對(duì)角矩陣的三角分解三對(duì)角矩陣的三角分解對(duì)角占優(yōu)陣對(duì)角占優(yōu)陣單位下二對(duì)角陣單位下二對(duì)角陣 上二對(duì)角陣上二對(duì)角陣工程中得到的工程中得到的三對(duì)角陣多數(shù)三對(duì)角陣多數(shù)滿足此條件滿足此條件61 nnnnnba

37、cbacbacb11122211 nnnucucuculll132211321111 三對(duì)角矩陣三角分解中三對(duì)角矩陣三角分解中LU的求解次序的求解次序nniiullululu 1322162 nnnnnbacbacbacb11122211 nnnucucuculll13221132111111bu 122ual 1222clbu 對(duì)對(duì) k=3, , n 1 kkkual1 kkkkclbu 三對(duì)角矩陣三角分解中三對(duì)角矩陣三角分解中LU的求解的求解 右端用矩陣乘法展開(kāi)右端用矩陣乘法展開(kāi), 比較兩邊元素得比較兩邊元素得乘除運(yùn)算量乘除運(yùn)算量 2n263 解解三對(duì)角方程組的追趕法三對(duì)角方程組的追趕法d

38、LUxdAx 先求先求Ly=d, 得得 y;再求再求 Ux=y, 得得x.y追：消元過(guò)程追：消元過(guò)程趕：回代過(guò)程趕：回代過(guò)程64 Ly=d nkydydykkkk, 3 , 2,111l 乘除運(yùn)算量為乘除運(yùn)算量為 n1 nnnddddyyyylll32132132111165 Ux=y 1, 2, 1,1nkuxyxuyxkkkkknnnc 乘除運(yùn)算量為乘除運(yùn)算量為 2n1 nnnnyyyyxxxxucucucu321321132211追趕法總的乘除追趕法總的乘除運(yùn)算量運(yùn)算量 5n466 追趕法的實(shí)質(zhì)就是追趕法的實(shí)質(zhì)就是Gauss消元法消元法, 只是由于系只是由于系數(shù)中出現(xiàn)了大量的零數(shù)中出現(xiàn)了

39、大量的零, 在計(jì)算過(guò)程中將它們撇開(kāi)在計(jì)算過(guò)程中將它們撇開(kāi), 從而使計(jì)算公式大大簡(jiǎn)化從而使計(jì)算公式大大簡(jiǎn)化, 也大大減少了計(jì)算量也大大減少了計(jì)算量. 為節(jié)省計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元為節(jié)省計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元, 計(jì)算得到的計(jì)算得到的 lk, uk 分別分別存放在存放在 ak, bk 的存儲(chǔ)單元內(nèi)的存儲(chǔ)單元內(nèi), 而而 yk, xk 存放在存放在 dk 的的存儲(chǔ)單元內(nèi)存儲(chǔ)單元內(nèi). 當(dāng)系數(shù)矩陣為滿足定理?xiàng)l件的當(dāng)系數(shù)矩陣為滿足定理?xiàng)l件的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣時(shí)時(shí),追趕法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性追趕法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性.674 平方根法與改進(jìn)的平方根法平方根法與改進(jìn)的平方根法求解對(duì)稱(chēng)正定方程組求解對(duì)稱(chēng)正定方程組, 即即

40、其中其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣為對(duì)稱(chēng)正定陣.bAx 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性, 平方根法的計(jì)算量是平方根法的計(jì)算量是Gauss消去消去法的一半法的一半.68 對(duì)稱(chēng)正定陣的對(duì)稱(chēng)正定陣的Cholesky分解分解定理定理 若若 A 是對(duì)稱(chēng)正定陣是對(duì)稱(chēng)正定陣, 則存在唯一的非奇異則存在唯一的非奇異下三角陣下三角陣L, 使得使得且且 L的對(duì)角元素皆為正數(shù)的對(duì)角元素皆為正數(shù), 即即 lii 0 ( i=1, 2, , n).TLLA 證明證明 A可進(jìn)行可進(jìn)行Doolittle分解分解.A為對(duì)稱(chēng)正定陣為對(duì)稱(chēng)正定陣, 它的它的n個(gè)順序主子式均大于個(gè)順序主子式均大于0, 設(shè)設(shè)ULA 其中其中 為單位下三角陣為單位下三角陣,

41、 U為上三角矩陣為上三角矩陣.L用反證法用反證法69 nnuuuU2211 nnuuu2211 111UD 對(duì)對(duì)U進(jìn)一步分解進(jìn)一步分解.iiijuu A對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).TLU A正定正定對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣D的對(duì)角元均為正的對(duì)角元均為正.令令),(diag2211nnuuuD 則則TTTLLLDDLUDLULA 其中其中 為非奇異下三角陣為非奇異下三角陣, 且對(duì)角元均為正且對(duì)角元均為正.DLL A=LLT.iju70 333222312111333231222111333231222111llllllllllllaaaaaaA對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)00 A為為3階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣求

42、L? 2332322313222312131112222212111211llllllllllllll對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)1131311121211111 , , lallalal 322232213122222221 ,allllall 33233232231 alll : column1st: column2nd:column3rd22213132322212222/ ) ( ,lllallal 2322313333llal 71例例 對(duì)下列矩陣進(jìn)行對(duì)下列矩陣進(jìn)行Cholesky分解分解, 241111 al, 1112121 lal, 3113131 lal,1111al ,112121lal ,1

43、13131lal ,2212222lal ,2231213232lllal .2322313333llal 22565172624A, 41172212222 lal, 24/8)(2221313232 lllal349222322313333 llal 323041002LTLLA 72 A為為n階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣求L?21l11l22l1nl2nl2kl1klkklnklnnl L L中元素的求解次序中元素的求解次序 依次求依次求L的第一列的第一列, 第二列第二列, , 第第n列列.73)0 , 0 , 0 , 0 ,(111ll )0 , 0 , 0

44、,(22212lll )0 , 0 ,(3332313llll ),(321nnnnnnlllll . nnnnnnnnnnnnllllllllllllaaaaaaA122121112122211121222111對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng))(),(1jillllajkjkikjiij A為為n階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣求L?li 為為 L的第的第 i 個(gè)行向量個(gè)行向量74 ),(),(),(),(),(),(21221211nnnnTllllllllllllLLA)(),(1jillllajkjkikjiij 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) A為為n階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣

45、求L?752111111),(llla 11111),(llllaiii 求求 L 的第一列的第一列2222212222),(lllla 22221122),(llllllaiiii 求求 L 的第二列的第二列 A為為n階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣求L?1111al ), 3 , 2(/1111nilalii 2212222lal ), 3()(2221122nilllaliii 76 A為為n階對(duì)稱(chēng)正定陣階對(duì)稱(chēng)正定陣, A=L LT, 怎樣求怎樣求L?2212221),(kkkkkkkkkklllllla kkikkkkikikikiiklllllllllla 11

46、2211),( 設(shè)已經(jīng)求得設(shè)已經(jīng)求得 L 的前的前k1列列, 現(xiàn)求現(xiàn)求L 的第的第 k 列列 ( k=3, 4, , n)(212221 kkkkkkkklllal,ki 對(duì)對(duì)kkkkkikikiikiklllllllal)(112211 Matlab函數(shù)：函數(shù)：chol 77 6023021912295631269 Acolumn1st112121/lal 431231 /l13341 /l1111al column2nd22222221all 1)2(5222 l3222322131allll 11/ )2)(4 9(32 l4222422141allll 01/ )2)1)( 2(42

47、l例例 求正定陣求正定陣 的的Cholesky分解分解.3911 l23621 /l113131/lal 114141/lal 解解 L1423 011 78column4th44244243242241allll 1)2()0()1(6 22244 lcolumn3rd33233232231alll 2)1()4(212233 l43433342324131allllll 22/)1)(0()4)(1(0(43 l例例 求正定陣求正定陣 的的Cholesky分解分解.解解 6023021912295631269 A L1423 011 22179bxLLbAxT 先求先求 Ly=b, 得得

48、y,再求再求 LTx=y, 得得 x. 解正定線性方程組的解正定線性方程組的平方根法平方根法或或Cholesky分解法分解法.y平方根法平方根法或或Cholesky分解法分解法 設(shè)設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定陣為對(duì)稱(chēng)正定陣80定理定理 若若 A 是對(duì)稱(chēng)正定陣是對(duì)稱(chēng)正定陣, 則存在唯一的則存在唯一的單位單位下三下三角陣角陣L和對(duì)角陣和對(duì)角陣D, 使得使得且且 D的對(duì)角元素皆為正數(shù)的對(duì)角元素皆為正數(shù). 對(duì)稱(chēng)正定陣的對(duì)稱(chēng)正定陣的LDLT分解分解TLDLA LUA nnuuuU2211iju nnuuu2211 111iiijuuUD 證明證明 A對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).TLU A正定正定對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣D的對(duì)角元均為正的對(duì)角元

49、均為正.81 對(duì)稱(chēng)正定陣的對(duì)稱(chēng)正定陣的LDLT分解本質(zhì)上是對(duì)分解本質(zhì)上是對(duì)A作作Doolittle分解分解, 即即LU分解分解.LDLT分解中的分解中的 D= LU分解中的分解中的U的對(duì)角部分的對(duì)角部分LDLT分解中的分解中的 L = LU分解中的分解中的L82 對(duì)稱(chēng)正定矩陣對(duì)稱(chēng)正定矩陣A的的LU分解分解, 計(jì)算量可以計(jì)算量可以節(jié)省一半節(jié)省一半), 2 , 1(11njaujj ), 2(1111niuulii 求求U的第的第1行行 求求L的第的第1列列 對(duì)稱(chēng)正定陣的對(duì)稱(chēng)正定陣的LDLT分解中分解中L, D的計(jì)算的計(jì)算 先對(duì)對(duì)稱(chēng)正定陣先對(duì)對(duì)稱(chēng)正定陣A作作LU分解分解83), 1(nkiuulk

50、kkiik )()()1()1(2211njkulululaujkkkjkjkkjkj 求求U的第的第k行行 (k=2, 3, , n) 求求L的第的第k列列 (k=2, 3, , n) 對(duì)稱(chēng)正定陣的對(duì)稱(chēng)正定陣的LDLT分解中分解中L, D的計(jì)算的計(jì)算節(jié)省了計(jì)算量節(jié)省了計(jì)算量 nnuuuD2211 求求D84例例 求矩陣求矩陣 222322191631522624A的的 LDLT分解分解.解解42 642 46415 231 91919 2 42 413 3232 1614122 )4()2( )6()5()1( )19()2( )3( )2( )22(4244 9385 1311210121

51、23001210001L 16944DTLDLA 86 解正定線性方程組的解正定線性方程組的改進(jìn)改進(jìn)平方根法平方根法或或LDLT分解法分解法.bxLDLbAxT 先求先求 Ly=b, 得得 y,再求再求 LTx=D 1y, 得得 x.y改進(jìn)改進(jìn)平方根法平方根法或或LDLT分解法分解法 設(shè)設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定陣為對(duì)稱(chēng)正定陣87 平方根法與改進(jìn)的平方根法的優(yōu)點(diǎn)平方根法與改進(jìn)的平方根法的優(yōu)點(diǎn) 計(jì)算無(wú)須選主元計(jì)算無(wú)須選主元, 由于正定性由于正定性, 計(jì)算過(guò)程是計(jì)算過(guò)程是數(shù)數(shù)值穩(wěn)定值穩(wěn)定的的 計(jì)算量是計(jì)算量是Gauss消元法的一半消元法的一半 由于對(duì)稱(chēng)性由于對(duì)稱(chēng)性, 實(shí)際計(jì)算可存儲(chǔ)一半實(shí)際計(jì)算可存儲(chǔ)一半 是求

52、解中小型稠密正定線性方程組的好算法是求解中小型稠密正定線性方程組的好算法885 誤差分析誤差分析 用直接法解線性方程組，初始數(shù)據(jù)會(huì)有誤差，用直接法解線性方程組，初始數(shù)據(jù)會(huì)有誤差，計(jì)算過(guò)程同樣會(huì)產(chǎn)生誤差，這就需要對(duì)這些誤計(jì)算過(guò)程同樣會(huì)產(chǎn)生誤差，這就需要對(duì)這些誤差作一些分析差作一些分析. 主要數(shù)學(xué)工具：主要數(shù)學(xué)工具：向量范數(shù)，矩陣范數(shù)，條件數(shù)向量范數(shù)，矩陣范數(shù)，條件數(shù)89 向量范數(shù)向量范數(shù) 向量范數(shù)是用來(lái)度量向量向量范數(shù)是用來(lái)度量向量長(zhǎng)度長(zhǎng)度的的, 它可以看成是它可以看成是二、三維解析幾何中向量長(zhǎng)度概念的推廣二、三維解析幾何中向量長(zhǎng)度概念的推廣.定義定義(向量范數(shù)向量范數(shù)) 對(duì)任一向量對(duì)任一向量

53、x Rn，按照一定，按照一定規(guī)則確定一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，該實(shí)數(shù)記為規(guī)則確定一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，該實(shí)數(shù)記為|x|，若，若|x|滿足下面三個(gè)性質(zhì)：滿足下面三個(gè)性質(zhì)：1) |x| 0；|x|=0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=0(零向量零向量) 正定性正定性2) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) ， | x|=| | |x| 齊次性齊次性3) 對(duì)任意向量對(duì)任意向量 x, y Rn，|x+y| |x|+|y| 三角不等式三角不等式則稱(chēng)該實(shí)數(shù)則稱(chēng)該實(shí)數(shù)|x|為為向量向量x的范數(shù)的范數(shù).90|max|,.,| |,max|121ininxxxxx Rn中常用的三種范數(shù)中常用的三種范數(shù)其中其中 x1, x2, , xn 分別是分別是

54、x 的的n個(gè)分量個(gè)分量. 1-范數(shù)范數(shù) niinxxxxx1211|.|2112222212)(.| niinxxxxx 2-范數(shù)范數(shù) -范數(shù)范數(shù) 用向量范數(shù)的用向量范數(shù)的定義定義來(lái)驗(yàn)證來(lái)驗(yàn)證, 即驗(yàn)證它們滿足向量即驗(yàn)證它們滿足向量范數(shù)定義中的三個(gè)性質(zhì)范數(shù)定義中的三個(gè)性質(zhì).向量的模向量的模91定義定義(范數(shù)等價(jià)范數(shù)等價(jià)) 在在Rn中有兩個(gè)范數(shù)中有兩個(gè)范數(shù)| |和和| | , 若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)M, m 0, 使得對(duì)任意的使得對(duì)任意的 n 維向量維向量 x, 都有都有|xMxxm 則稱(chēng)這兩個(gè)范數(shù)則稱(chēng)這兩個(gè)范數(shù)等價(jià)等價(jià). Rn中范數(shù)的重要性質(zhì)中范數(shù)的重要性質(zhì): 范數(shù)等價(jià)定理范數(shù)等價(jià)定理92范數(shù)等

55、價(jià)定理范數(shù)等價(jià)定理: Rn中任意兩個(gè)范數(shù)等價(jià)中任意兩個(gè)范數(shù)等價(jià). |2xnxx |1xnxx121|1xxxn Rn中范數(shù)的重要性質(zhì)中范數(shù)的重要性質(zhì): 范數(shù)等價(jià)定理范數(shù)等價(jià)定理例例 1-范數(shù)范數(shù), 2-范數(shù)和范數(shù)和 -范數(shù)是兩兩等價(jià)的范數(shù)是兩兩等價(jià)的.93 當(dāng)不需要指明使用哪一種向量范數(shù)時(shí)，就用記當(dāng)不需要指明使用哪一種向量范數(shù)時(shí)，就用記號(hào)號(hào)|.| 泛指任何一種向量范數(shù)泛指任何一種向量范數(shù). 有了向量的范數(shù)就可以用它來(lái)衡量向量的有了向量的范數(shù)就可以用它來(lái)衡量向量的大小大小和表示向量的和表示向量的誤差誤差. 設(shè)設(shè) x 為為Ax=b 的精確解，的精確解，x*為其近似解為其近似解|*|xx |*|*|

56、*|xxxxxx 或或 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差94 矩陣范數(shù)是用于定義矩陣矩陣范數(shù)是用于定義矩陣“大小大小”的量，類(lèi)似的量，類(lèi)似于向量范數(shù)，可以定義于向量范數(shù)，可以定義 n 階方陣階方陣A的范數(shù)的范數(shù).定義定義(矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)) 設(shè)設(shè)A為為n 階方陣，階方陣，按照一定規(guī)按照一定規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為|A|, 若若|A|滿足：滿足：1) |A| 0, |A|=0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)；時(shí)；2) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) ， | A|=| | |A|；3) 對(duì)任意兩個(gè)對(duì)任意兩個(gè)n階方陣階方陣A, B, 都有都有 |A+B| |A|+|B|;4) |AB| |

57、A| |B| (相容性條件相容性條件)則稱(chēng)則稱(chēng)|A|為為矩陣矩陣A的范數(shù)的范數(shù). 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)95 常用的三種矩陣范數(shù)常用的三種矩陣范數(shù) 1-范數(shù)或范數(shù)或列范數(shù)列范數(shù) 2-范數(shù)或范數(shù)或譜范數(shù)譜范數(shù) -范數(shù)或范數(shù)或行范數(shù)行范數(shù) 用矩陣范數(shù)的用矩陣范數(shù)的定義定義來(lái)驗(yàn)證來(lái)驗(yàn)證, 即驗(yàn)證它們滿足矩陣即驗(yàn)證它們滿足矩陣范數(shù)定義中的四個(gè)性質(zhì)范數(shù)定義中的四個(gè)性質(zhì). njijnia11|max|A| niijnja111|max|A|)(|max2AAAT .)(max的的最最大大特特征征值值是是矩矩陣陣其其中中AAAATT 96|max|max|1|xAxAxAxx 定理定理 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣

58、，| |是是Rn中的向量范數(shù)中的向量范數(shù), 則則是一種矩陣范數(shù)是一種矩陣范數(shù), 稱(chēng)其為稱(chēng)其為由向量范數(shù)由向量范數(shù) | |誘導(dǎo)出的誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)矩陣范數(shù). 由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)范數(shù)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性性質(zhì)：矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性性質(zhì)：設(shè)矩陣范數(shù)是由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的，則對(duì)任意設(shè)矩陣范數(shù)是由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的，則對(duì)任意n階階方陣方陣A, 以及任意的以及任意的n維向量維向量x, 有有|xAAx 97 常用的三種矩陣范數(shù)均是由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的常用的三種矩陣范數(shù)均是由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的. 對(duì)于給定的向量范數(shù)對(duì)于給定的向量范數(shù)1-范數(shù)范數(shù), 2-范數(shù)及范數(shù)及 -范數(shù)范數(shù),

59、 可以可以證明由它們誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)分別為證明由它們誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)分別為 1-范數(shù)或范數(shù)或列范數(shù)列范數(shù) 2-范數(shù)或范數(shù)或譜范數(shù)譜范數(shù) -范數(shù)或范數(shù)或行范數(shù)行范數(shù) njijnia11|max|A| niijnja111|max|A|)(|max2AAAT 98 實(shí)際計(jì)算常用實(shí)際計(jì)算常用1-范數(shù)與范數(shù)與 -范數(shù)因其范數(shù)因其計(jì)算比較簡(jiǎn)單計(jì)算比較簡(jiǎn)單, 理論證明常用理論證明常用2-范數(shù)因?yàn)樗幸恍┓稊?shù)因?yàn)樗幸恍┖眯再|(zhì)好性質(zhì). 由矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性性質(zhì)知對(duì)任意由矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性性質(zhì)知對(duì)任意n階方陣階方陣A, 以及任意的以及任意的n維向量維向量x, 有有111|xAAx 222|xA

60、Ax |xAAx誤差分析誤差分析中常用中常用99 矩陣的誤差可用矩陣范數(shù)表示矩陣的誤差可用矩陣范數(shù)表示. 設(shè)設(shè)A*是是A的近似矩陣的近似矩陣|*|AA |*|*|*|AAAAAA 或或 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 矩陣范數(shù)的等價(jià)定理也成立矩陣范數(shù)的等價(jià)定理也成立.100 方程組的狀態(tài)與方程組的狀態(tài)與條件數(shù)條件數(shù)例例方程組方程組I , 200001. 1, 22121xxxx 0221xx方程組方程組II ,00001. 200001. 1, 22121xxxx 1121xx 右端項(xiàng)有右端項(xiàng)有0.00001的差別的差別, 最大相對(duì)誤差為最大相對(duì)誤差為 0.5 10 5, 但解分量的相對(duì)誤