2022蘇錫常鎮(zhèn)一模 數(shù)學(xué)答案

1、20212022 學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)（參考答案）2022.03一、選擇題：1C 2B 3D 4B 5A 6D 7C 8D二、選擇題：9BCD 10AD 11BC 12AB三、填空題：，1 152，2， 5132 14(0 2 216 3 2三、解答題：本題共 6 小題，共 70 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（10 分） 10 2 5解：sin B + sinC = = sin A，由正弦定理 9 3sin A sin B sinC = = ， a a c5可得b + c = a = 5 以下如所示310cos B + cosC = ，由余弦定理得

2、因?yàn)?a2 c2 b2 a2 b2 c2 10+ + + = ，2ac 2ab 92 2 2 2 2 2 20所以b(a + c b ) + c(a + b c ) = abc ，92 2 2 20所以 ( )( 2 )b + c a b c + bc = abc ，其中 a2 b2 c2 = 2bccos A ，910所以 (b + c)(1 cos A) = a 4 分9 8 1cos 1 sin 1 9 3若 A 為銳角，則 A = 2 A = = ，則 b + c = 5 b2 + c2 a2 (b + c)2 a2 8cos A = = 1= 1， 由余弦定理2bc 2bc bc所以

3、bc = 6，又 b + c = 5，解得b = 2，c = 3或 b = 3，c = 2 所以 ABC 的面積為1 1 2 2 bcsin A = ´ 6´ = 2 2 8 分2 2 3高三數(shù)學(xué) 第1頁(yè)（共 6 頁(yè)）8 1 5若 A 為鈍角，則 A = 2 A = = ，則b + c = < = a ，舍去cos 1 sin 1 39 3 2綜上可得， ABC 的面積為 2 2 10 分b2 + c2 a2 (b + c)2 a2 8因?yàn)閎 + c = 5，由余弦定理 = = = 3 分cos A 1 12bc 2bc bc8 1若 A 為銳角，則 A = 2 A

4、= = ，則cos 1 sin 19 38 11 = ，bc 3所以bc = 6，又 b + c = 5，解得b = 2，c = 3或 b = 3，c = 2 所以 ABC 的面積為1 1 2 2 bcsin A = ´ 6´ = 2 2 7 分2 2 38 1若 A 為鈍角，則 A = 2 A = = ，則cos 1 sin 19 3 8 1 1= ，bc 3所以bc =12 ，又 b + c = 5 ，無(wú)解，舍去 9 分綜上可得， ABC 的面積為 2 2 10 分18（12 分）解：（1）該同學(xué)在每個(gè)項(xiàng)目中得優(yōu)、良、中互為互斥事件，由題意得，1 p p+ + = ，解

5、得 p =116 2 3所以甲在每個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)的概率都為1 p 2+ = 2 分6 2 3設(shè)事件 A 為甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，因?yàn)榧自诿總€(gè)項(xiàng)目中通過(guò)的概率都為23，且在每個(gè)項(xiàng)目中的成績(jī)均相互獨(dú)立， 2 2 2 8p A = ´ ´ = 3 3 3 27所以 ( )答：甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的概率為827 5 分（3）X 的可能取值為 0，1，2，3 6 分 1 2 1 20 P X =1 = ´ = ； 3 3 3 9P(X = ) = ； ( )2 2 1 4 2 2 2 8P(X = )= ´ ´ = ； ( )2 P X = 3 = &

6、#180; ´ = 3 3 3 27 3 3 3 27高三數(shù)學(xué) 第2頁(yè)（共 6 頁(yè)）所以 X 的概率分布為X 0 1 2 3P1329427827 10 分 1 2 4 8 38所以 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)0´ +1´ + 2´ + 3´ = 12 分 3 9 27 27 2719. （12 分）1 1 1a a+ = = 解：（1） 1n n + +n(n 1) n 1 n 1 分1 1a a = ，當(dāng) n2 時(shí)，2 12 11 1 1 1a a = ， a a = 3 2 n n13 2 n n 1， = 1 1 ，所 以 1= 3 分

7、相加得 1a a an nn 1 n當(dāng) n =1時(shí)，a = 也符合上式，所以數(shù)列 1 1 a 的通項(xiàng)公式 ann1= 5 分n1（2）由（1）得 a2 = ，n2n1 1 1 1 1所以 a2 = < = = 8 分 n 1 1 1 1 1n n n n n n22 + +( )( )4 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1所以 +S = + + + ，n 1 1 1 1 1 12 21 2 n +1 1 2 2 + n n +2 2 2 2 2 2 1 1 4n= = 1 + 1 +2n 11 n2 2 4nS <所以 12 分n2n +120（12 分）1 BDC

8、E 1t = 時(shí)， 1= = t = ，即點(diǎn) D，E 分別為 BC， B C 的中點(diǎn)， 解：（1）當(dāng)2BC C B 21 1 1 1在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA ，1AA = BB ，平面1 1BB C C 為平行四邊形，1 1連接 DE，則 DE ，DE = BB ，所以 DE ， DE = AA ，1 1所以四邊形 DEAA1 是平行四邊形，所以 AD 3 分高三數(shù)學(xué) 第3頁(yè)（共 6 頁(yè)）又因?yàn)?AD Ë 平面A EB ，1A E Ì 平面1A EB ，1所以 AD 平面A EB 5 分1（2）方法一：在平面 ABC 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) C 作 AD 的垂線，垂足為

9、 H，連結(jié)C1H ，則Ð 為二面角C AD C 的平面角，即Ð = ，C HC C HC1 1 13CHD在直角三角形C1HC 中， C1C = 3 ，所以CH = 3 在直角三角形CHA中， CH = 3 ， AC = 3 ，A B CH 3 2所以sin CAHÐ = = < ，又因?yàn)?#208;CAH 為銳角，AC 3 26所以 cosÐCAH = 且 03 < ÐCAH < ， 4所以點(diǎn) H 在線段 AD 的延長(zhǎng)線上 9 分 6 + 2 3 CHCDA中， ÐCDH = + ÐCAH = ，CD =

10、 = 6 3 2sin sin( )sin ÐCDH4 6，所以tBD 3 2 (6 3 2)= = = 12 分 BC 3 22 2方法二： A A1 平面 ABC ，又ÐBAC = 90 ，以 AB，A C，AA為正交基底建立如圖所1示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz ，則點(diǎn) A( 0，0，0) ， B(3，0，0) ， D(0，3，0) ， C ，1(0 3 3)從而AC = ， ，BC = ( 3，3，0)，BD = tBC = ( 3t，3t，0) ，所 以 AD = (33t，3t，0) 1 (0 3 3)設(shè)平面 AC1D 的一個(gè)法向量為ìïn

11、，n1 = (x，y，z) ，由 í ，有ï 1 × = 0n ADîì3(1 t)x + 3ty = 0，í +，3y 3z = 0î取 1 ( 1 1 )n = t，t ，t ，又平面 ADC 的一個(gè)法向量為 2 (0 0 1)n = ， ，因?yàn)槎娼荂1 AD C 的大小為3，所以n n1 2s 1= 9 分3 2即1 = 1t3t2 4t + 22，得t2 4t + 2 = 0 ，又因?yàn)?0 < t <1，所以 t = 2 2 12 分高三數(shù)學(xué) 第4頁(yè)（共 6 頁(yè)）21（12 分）解：（1）因?yàn)闄E圓 C

12、的離心率為22，且其右焦點(diǎn) F 到右準(zhǔn)線的距離為 3 ，所以ca2= ，且2a2c = ，解得 a = 6 ， c = 3 2 分c 3所以b2 = a2 c2 = 3 ，所以橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x + y = 4 分2 216 3（2）設(shè)直線 MN 的方程為 y = x + m ，點(diǎn)M (x ，y ) ，1 1N(x ，y )，2 2A(x ，y ) ，0 0ì2 2x yï + =1，直線 MN 的方程與橢圓方程聯(lián)立得 í 6 3ï = +îy x m，ì + = 4 x x m，ï1 23ïï =

13、22m 6則 3x2 + 4mx + 2m2 6 = 0 ，所以 íx x ，1 23 ïï 16m 12(2m 6) 0D = 2 2 >，ïî由y y y y1 0 + 2 0 = 0 2x x + (m x y )(x + x ) 2x (m y ) = 0 x x x x ，得1 2 0 0 1 2 0 01 0 2 02m 6 4 2 + = ，整理得，所以 2 (m x y )( m) 2x (m y ) 00 0 0 03 323ì 2y x = 0，(2 ) 2 4 0 í =y x m + x y =

14、 ，所以 0 0 10 分0 0 0 02x y 4 0，î0 0因?yàn)辄c(diǎn) A 在第一象限，所以ìx =2，0í =y 1，î0所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A(2，1) 12 分高三數(shù)學(xué) 第5頁(yè)（共 6 頁(yè)）22（12 分）解：（1）當(dāng) a = e 時(shí)，f (x) = x e ln x + (x e) ，2則e 2x + (1 2e)x e (2x +1)(x e)2 ¢ = + = ，（ x > 0 ）f (x) 1 2(x e) =x x x令 f ¢(x) > 0 ，得 x > e；令 f ¢(x) <

15、 0 ，得 x < e ；所以，函數(shù) y = g(x) 的單調(diào)增區(qū)間為(e,+¥) ，單調(diào)減區(qū)間為(0,e) 3 分（2）a x2 + a x a2 (ln 2e) ¢ = + = ，f (x) ln a 2(x e)x x令 t(x) = 2x2 + (ln a 2e)x a = 0，因?yàn)?D = (ln a 2e)2 + 8a > 0 ，所以方程 2x2 + (ln a 2e)x a = 0 ，有兩個(gè)不相等的實(shí)根x，x （1 2x < x ），1 2a又因?yàn)?x1x2 = < 0 ，所以2x < < x ，令1 0 2x = x ，列

16、表如下0 2x( 0，x )0x0(x ，+ ¥)0f ¢ x 0 +( )f (x) 減 極小值 增所以 f (x) 存在極值點(diǎn)x 7 分0因?yàn)?2x 2 + (ln a 2e)x a = 0，所以 2x 2 2ex = a x ln a ，0 0 0 0 0x記 u(t) = t x lnt ， ¢( ) =1 0 ，u t 0t當(dāng)0 < t < x 時(shí)，u¢(t) < 0 ， u(t) 單調(diào)遞減；當(dāng)t > x 時(shí)， u¢(t) > 0 ，u(t) 單調(diào)遞增0 0所以當(dāng)t = x 時(shí)， u(t) = t x lnt 的最小值為u(x