數(shù)字信號處理-z變換(new1)

1、數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)第二章第二章 z變換與離散時間傅立葉變換（變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2.1 本章要點本章要點Z變換定義變換定義序列特性對收斂域的影響序列特性對收斂域的影響Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)離散時間傅立葉變換（序列的傅立葉變換離散時間傅立葉變換（序列的傅立葉變換)利用利用z變換分析信號與系統(tǒng)的頻域特性變換分析信號與系統(tǒng)的頻域特性數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2.2 z變換的定義與收斂域變換的定義與收斂域一、一、z z變換定義變換定義二、二、z z變換收斂域變換收斂域)()()()()()(nxZzXznxzXzXnx

2、nnMznxnn)(只有當(dāng)只有當(dāng) ，z變換才有意義變換才有意義。此時。此時 的取值的取值范圍稱為范圍稱為z變換的收斂域變換的收斂域1、有限長序列：、有限長序列：z21)()(, 0, 0)(2121nnnnznxzXnnnnnnnnx或數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)收斂域為：收斂域為：0, 0,0)3(0, 0,0)2(0, 0,0)1 (212121nnznnznnz當(dāng)當(dāng)且當(dāng)數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)zzzznununxzzzzznununxzzzzznununxnnnznnnnznnnnzn021121121)5()(21)(0211

3、2112121) 1()5(21)(02112112121)5()5(21)(15140314151252110151451例如例如數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2、右邊序列：、右邊序列： 時，時， 時，時， 其其z變換為：變換為：收斂域：收斂域： 1nn 0)(nx1)()(nnnznxzX0,)2(0,) 1 (11nzRnzRxx此時稱該系列為因果序列此時稱該系列為因果序列1nn 0)(nx例如例如zzzznunxzzzznunxnnnznnnnzn212112121)5(21)(212112121)5(21)(1515215151數(shù)字信號處理第二章z變換與離散

4、時間傅立葉變換（DTFT)3、左邊序列：、左邊序列： 時，時，其其z變換為：變換為：收斂域：收斂域： 2nn 0)(nx2)()(nnnznxzX0,0)2(0,0) 1 (22nRznRzxx2nn 0)(nx例如：例如：210212221)5(21)(210212221)5(21)(55525551zzzzznunxzzzzznunxnnnnnznnnnnnzn數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)4、雙邊序列、雙邊序列： 為任意值為任意值 時，時，其其z變換為：變換為：收斂域：第一項收斂域收斂域：第一項收斂域 第二項收斂域第二項收斂域 如果如果 則收斂域為則收斂域為否則

5、不存在否則不存在z變換變換n0)(nx10)()()()(nnnnnnznxznxznxzXxRzzRx) 1 (xxRRxxRzR圖圖2-5 雙邊序列及其收斂域雙邊序列及其收斂域數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)舉例：舉例： ，求收斂域及零點、極點，求收斂域及零點、極點) 1(5 . 0)()2()(5 . 0)() 1 (nunxnunxnn解（解（1）因果序列：）因果序列：(2)左邊序列：左邊序列：5 . 0,5 . 0115 . 0)(10zzzzXnnn零點零點z=0，極點，極點z=0.55 . 0,5 . 0115 . 015 . 05 . 05 . 0)(1

6、1111zzzzzzzXnnnnnn零點零點z=0，極點，極點z=0.5數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2、假如、假如 的的z變換代數(shù)表示式是下式，問變換代數(shù)表示式是下式，問 可能有多少不同的可能有多少不同的收斂域，它們分別對應(yīng)什么序列？收斂域，它們分別對應(yīng)什么序列？)(nx)(zX)21)(94()169()211)(941 (1691)(22122zzzzzzzzX零點零點 極點極點有三種收斂域：有三種收斂域：21,32,32zjzjz43,43, 0zzz21) 1 (z左邊序列左邊序列3221)2( z雙邊序列雙邊序列32)3(z右邊序列右邊序列解：解：數(shù)字信號

7、處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2.3 z反變換反變換)()(nxzX三種方法：圍線積分法（留數(shù)法），部分分式展開法，長除法三種方法：圍線積分法（留數(shù)法），部分分式展開法，長除法*一、圍線積分法（留數(shù)法）一、圍線積分法（留數(shù)法）若函數(shù)若函數(shù) 收斂域為收斂域為 則則)(zXxxRzRmmzznkkzzncncnnnnnnnczzzXsnxczzzXsnxndzzzXjnxndzzzXjCznxzXzCzXmk以外極點：以內(nèi)極點：,)(Re)(,)(Re)(,.2, 1, 0,)(21)(,.2, 1, 0,)(21)()()(1111使用時使用時 ， 分母多項式分母多項式z的階次

8、比分子多項式的階次比分子多項式z的階次高二次或二次以上的階次高二次或二次以上1)(nzzX收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的反時針收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的反時針閉合圍線閉合圍線數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)例：已知例：已知41)(4)(2zzzzX4)3(41)2(441) 1 (zzz求求 三種收斂域下三種收斂域下z的反變換的反變換)(nx解：解：41)(441)(4)(1121zzzzzzzzzXnnn數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT) )2(154) 1(154)(2,154)414(4)(Re)(, 21,1544154)441(41)(Re)(, 12214

9、1)1(1411nununxnzzXsnxnnzzXsnxnnnnnznnnnzn（1）在收斂域中作圍線在收斂域中作圍線c, 當(dāng)當(dāng) 在圍線內(nèi)有一個一階極點在圍線內(nèi)有一個一階極點 當(dāng)當(dāng) 圍線內(nèi)有一個一階極點圍線內(nèi)有一個一階極點 和一個高階極點和一個高階極點故此時改求圍線外留數(shù)。故此時改求圍線外留數(shù)。1)(, 1nzzXn1)(, 2nzzXn0z41z441 z41z1/44zRezjImCn=-2數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)在收斂域中作圍線在收斂域中作圍線c,當(dāng)當(dāng) 在圍線內(nèi)無極點在圍線內(nèi)無極點 ，故，故 ，當(dāng)，當(dāng) ，圍線內(nèi)有一個高階極，圍線內(nèi)有一個高階極點，故此時改

10、求圍線外留數(shù)。點，故此時改求圍線外留數(shù)。1)(, 1nzzXn1, 0)(nnx1)(, 2nzzXn )2(154154)(2,154154)414(4)441(41)(Re)(Re)(, 2221141411nunxnzzXszzXsnxnnnnnnnznzn1/44zRezjImCn=-241z（2）數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)（3）在收斂域中作圍線）在收斂域中作圍線c,當(dāng)當(dāng) 在圍線內(nèi)兩個一階極點在圍線內(nèi)兩個一階極點 。當(dāng)當(dāng) 在圍線內(nèi)兩個一階極點和一個高階極點，現(xiàn)改求圍線在圍線內(nèi)兩個一階極點和一個高階極點，現(xiàn)改求圍線外留數(shù)，由于圍線外無極點，故此時外留數(shù)，由于

11、圍線外無極點，故此時 。 1)(, 1nzzXn 0)(, 1) 1(154154)(1,154154)414(4)441(41)(Re)(Re)(, 1221141411nxnnunxnzzXszzXsnxnnnnnnnznzn1)(, 2nzzXn0)(nxz41/44zRezjImCn=0).*(nM:數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)三、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義三、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義研究線性系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)或正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的頻域表示法。研究線性系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)或正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的頻域表示法。mmjnjmjnjmnjnjeHeemheemhnhnxn

12、ynhLSIenx)()()()(*)()()(,)()(的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)輸入輸入輸出輸出當(dāng)輸入為正弦或復(fù)指數(shù)序列，輸出為同頻的復(fù)指數(shù)序列或正弦序列，其幅度為輸當(dāng)輸入為正弦或復(fù)指數(shù)序列，輸出為同頻的復(fù)指數(shù)序列或正弦序列，其幅度為輸入幅度與頻率響應(yīng)幅度入幅度與頻率響應(yīng)幅度 相乘，相位為輸入相位與頻率響應(yīng)相位相加。相乘，相位為輸入相位與頻率響應(yīng)相位相加。)(njeH數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)四、頻率響應(yīng)的幾何確定法四、頻率響應(yīng)的幾何確定法利用頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系：（利用頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系：（z域收斂域一定要包含單位園）域收斂域一定要包含單位園）jez

13、jzHeH)()(數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)NkkjMmmjjeHjjjNkkjMmmjMNjNkjkMmjmjNkkMmmdeceKeHeeHeHdeceKeedecKeHzdzcKzHj11)(arg11)(111111)()()()()()()()1()1()()1()1()(mjce其中其中稱為零點向量幅度稱為零點向量幅度mjde其中其中稱為極點向量幅度稱為極點向量幅度數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)圖圖2-19 頻率響應(yīng)的幾何解釋頻率響應(yīng)的幾何解釋(a) 幾何解釋；幾何解釋； (b) 頻率響應(yīng)的幅頻特性曲線頻率響應(yīng)的幅頻特性曲線)

14、(jeH數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)例：例：求因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，頻率響應(yīng)幅頻特性，并判斷該濾波器為高通、低求因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，頻率響應(yīng)幅頻特性，并判斷該濾波器為高通、低通、帶通、帶阻濾波器通、帶通、帶阻濾波器) 1()()(naynxny nuanhazzazzazzXzYzHn極點零點, 0,11)()()(11a該系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)該系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)cos1sin)(cos211sincos11)()sin(cos11)()(2222aaarctgeHarctgaaaaeHjazHeHjjezjj數(shù)字信號處理第二

15、章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)根據(jù)極點位置確定濾波器性質(zhì)：根據(jù)極點位置確定濾波器性質(zhì)：0a10無限長無限長IIR低通濾波器低通濾波器序列變換緩慢序列變換緩慢0幅值最大幅值最大幅值最小幅值最小 n0數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)-1aa0有限長有限長FIR濾波器濾波器數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)例：已知例：已知)(nx有傅里葉變換有傅里葉變換)(jeX，用，用)(jeX表示下列信號的傅里葉變換。表示下列信號的傅里葉變換。(a) )3()2()(1nxnxnx (b)2)(*)()(3nxnxnx (c) )() 1()(22nxnn

16、x解解(a)因為因為3232)()3()2()()3()3()()2()2()()()()(jjjjjjjjjeeeXnxnxDTFTeXenxnxeXenxnxeXnxeXnx數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)(b)2)()(2)()()()()()()()()(*)(jjjjnnjnnjnnjeXeXnxnxDTFTeXnxDTFTeXenxenxenxnxDTFT數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)(c)jjjjeXdeXdnxnDTFTdeXdnxnDTFTdedXjnnxDTFT222222)()() 1()(1)()()(數(shù)字信號處理第二章

17、z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)例例. 已知用下列差分方程描述的一個線性移不變因果系統(tǒng)已知用下列差分方程描述的一個線性移不變因果系統(tǒng) ) 1()2(43) 1()(nxnynyny (a) 求這個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點圖并指出其收斂區(qū)域；求這個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點圖并指出其收斂區(qū)域； (b) 求此系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；求此系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)； (c) 此系統(tǒng)是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，請找一個滿足上述差分方程的穩(wěn)此系統(tǒng)是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，請找一個滿足上述差分方程的穩(wěn) 定的（非因果）系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。定的（非因果）系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。 解：解：)21)(23(43)()()(2zzzzzzz

18、XzYzH(a)零點：零點：z=0，極點，極點:z=3/2,z=-1/2,收斂域收斂域23z)Im( z)Re(z2321數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)(b)(212321)(212321)21)(23()(nunhzzzzzzzzHnn(c)2321 z)(2121) 1(2321)(212321)21)(23()(nununhzzzzzzzzHnn數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)1. 下圖是一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，試列出系統(tǒng)差分方程，下圖是一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，試列出系統(tǒng)差分方程，求系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)求系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng) 31,2,1110abb時，

19、求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)時，求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) , 畫出系統(tǒng)零極點圖和幅頻響應(yīng)曲線。畫出系統(tǒng)零極點圖和幅頻響應(yīng)曲線。解：由圖：直接寫出：解：由圖：直接寫出：) 1()() 1()(101nxbnxbnyany) 1(312)(31)(,31,312)(1nununhzzzzHnn數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT) 1()() 1()()1 ()()()()1)()()()() 1()() 1()()(10111111111011111110nxbnxbnyanyzazXzXzXzazXzbbzYzXnxnxanxnxbnxbny附：附：數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)Im( z)Re(z312910cos325cos4312)(jjjeeeH)(jeH26322314143022321零點零點極點極點數(shù)字信號處理第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)1、由于、由于z的變換式是冪級數(shù)，只有冪級數(shù)收斂時，的變換式是冪級數(shù)，只有冪級數(shù)收斂時，z變換才有