用能量法求變形

1、武漢工業(yè)學(xué)院武漢工業(yè)學(xué)院材材 料料 力力 學(xué)學(xué)教師：教師： 宋少云宋少云QQ:584554223QQ:584554223E-mail: E-mail: 0 緒論1 內(nèi)力及內(nèi)力方程2 內(nèi)力圖3 平面圖形的幾何性質(zhì)預(yù)預(yù)備備知知識(shí)識(shí)強(qiáng)強(qiáng)度度問問題題4 軸向拉伸與壓縮5 剪切與擠壓6 扭轉(zhuǎn)7 彎曲8 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論9 組合變形的強(qiáng)度問題11 積分法求變形12 疊加法求變形13 能量法求變形剛剛度度問問題題10 疲勞強(qiáng)度14 壓桿穩(wěn)定穩(wěn)穩(wěn)定定性性15 超靜定問題16 動(dòng)載荷高高級(jí)級(jí)話話題題能量法求變形能量法求變形第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié)

2、虛功原理第第1節(jié)節(jié) 背景背景L 問題問題 鉸接點(diǎn)的豎值位移是多少？鉸接點(diǎn)的豎值位移是多少？第第1節(jié)節(jié) 背景背景DCABDC1、計(jì)算四根桿的變形。、計(jì)算四根桿的變形。2、由伸長(zhǎng)后的、由伸長(zhǎng)后的BC、AC確定確定C點(diǎn)點(diǎn)3、由、由AD 、伸長(zhǎng)后的、伸長(zhǎng)后的AC確定確定D點(diǎn)點(diǎn) 問題問題 桁架變形后桁架變形后BD長(zhǎng)是多少？長(zhǎng)是多少？第第1節(jié)節(jié) 背景背景 問題問題 鋼架變形后尖端的位移是多少？鋼架變形后尖端的位移是多少？第第1節(jié)節(jié) 背景背景如何求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的變形？如何求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的變形？本章需要解決的主要問題本章需要解決的主要問題1. 何謂應(yīng)變能？如何計(jì)算桿件系統(tǒng)的應(yīng)變能？2. 何謂功能原理？如何用功能原

3、理計(jì)算變形？舉一個(gè)例子。4. 何謂單位載荷法？如何用單位載荷法計(jì)算變形？舉一個(gè)例子。3. 何謂虛功原理？它與理論力學(xué)的虛功原理的聯(lián)系和區(qū)別？第第8 8章章 能量法能量法第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié) 虛功原理第第2節(jié)節(jié) 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能應(yīng)變能應(yīng)變能 桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時(shí)，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能量，儲(chǔ)存于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對(duì)外作功的能力，這種能量稱為彈性應(yīng)變能，簡(jiǎn)稱應(yīng)變能應(yīng)變能.FP第第2節(jié)節(jié) 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能拉伸變形的應(yīng)變能拉伸變形的應(yīng)變能dx+dudxFNxFNx微元的位移微元的應(yīng)變能dxEAFNdxEAF

4、duFdUNN2212桿件的應(yīng)變能LNLdxEAFdUU0202EALFUN22某一段內(nèi)力，截面不變化的梁第第2節(jié)節(jié) 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)變能微元偏轉(zhuǎn)的角度微元的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能某一段內(nèi)力，截面不變化的梁dxGITTddUP2212LPLdxGITdUU0202PGILTU22第第2節(jié)節(jié) 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能彎曲變形的應(yīng)變能彎曲變形的應(yīng)變能(只考慮彎矩只考慮彎矩)d微元偏轉(zhuǎn)的角度dxEIxMdxd)(微元的應(yīng)變能dxEIxMdxMdU2)()(212桿件的應(yīng)變能200( )2llM xUdudxEI第第2節(jié)節(jié) 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能組合變形的應(yīng)變能組合變

5、形的應(yīng)變能第第8 8章章 能量法能量法第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié) 虛功原理第第3節(jié)節(jié) 功能原理功能原理構(gòu)件系統(tǒng)的應(yīng)變能在數(shù)值上等構(gòu)件系統(tǒng)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即所做的功，即 U=W 例例1：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端功能原理求自由端B的撓度。的撓度。CL12TU4解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d ()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例例2：利用功能

6、原理求：利用功能原理求C截面的撓度。截面的撓度。解：解：UMxEIxl22( )dP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab1210222022ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例例3：利用功能原理求力的作用點(diǎn)的水平位移。其：利用功能原理求力的作用點(diǎn)的水平位移。其中中1，2，3，4桿的長(zhǎng)度均為桿的長(zhǎng)度均為L(zhǎng).P12345第第8 8章章 能量法能量法第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié) 虛功原理第第4節(jié)節(jié) 虛功原理虛功原理回顧：理論力學(xué)中的虛功原理回顧

7、：理論力學(xué)中的虛功原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所做的虛功之和等于所做的虛功之和等于0.0.第第4節(jié)節(jié) 虛功原理虛功原理材料力學(xué)中的虛功原理材料力學(xué)中的虛功原理在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，等于梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功。等于梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功。初始狀態(tài)初始狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)給定虛位移后的狀態(tài)給定虛位移后的狀態(tài)第第4節(jié)節(jié) 虛

8、功原理虛功原理材料力學(xué)中的虛功原理材料力學(xué)中的虛功原理在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，等于梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功。等于梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功。外力虛功外力虛功 = = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 = = 虛應(yīng)變能虛應(yīng)變能第第8 8章章 能量法能量法第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié) 虛功原理問題： 如何求C點(diǎn)的位移？（1）抄錄原結(jié)構(gòu)形成新結(jié)構(gòu)（不要外力）（2）在新結(jié)構(gòu)的C點(diǎn)施加單位載荷（3）新結(jié)構(gòu)在單位載荷下處于彈性平

9、衡（3）新結(jié)構(gòu)在單位載荷下處于彈性平衡（4）讓新結(jié)構(gòu)的C點(diǎn)發(fā)生虛位移，其大小等于原結(jié)構(gòu)在C點(diǎn)的實(shí)位移（4）讓新結(jié)構(gòu)的C點(diǎn)發(fā)生虛位移，其大小等于原結(jié)構(gòu)在C點(diǎn)的實(shí)位移（5）讓新結(jié)構(gòu)的D,E點(diǎn)如同C點(diǎn)一樣發(fā)生虛位移（5）讓新結(jié)構(gòu)的D,E點(diǎn)如同C點(diǎn)一樣發(fā)生虛位移（6）讓新結(jié)構(gòu)的其它點(diǎn)如同C點(diǎn)一樣發(fā)生虛位移，并把這些新點(diǎn)連成線原結(jié)構(gòu)：要求原結(jié)構(gòu)：要求C點(diǎn)的點(diǎn)的位移位移新結(jié)構(gòu)：施加單位新結(jié)構(gòu)：施加單位載荷載荷讓新結(jié)構(gòu)發(fā)生虛位讓新結(jié)構(gòu)發(fā)生虛位移，每個(gè)點(diǎn)的虛位移，每個(gè)點(diǎn)的虛位移等于原結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)移等于原結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的實(shí)位移點(diǎn)的實(shí)位移小結(jié)單位力法單位力法虛位移原理：在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一個(gè)虛位移原理

10、：在外力作用下處于平衡的梁結(jié)構(gòu)，任意給它一個(gè)虛位移，則虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功，等于，等于梁的內(nèi)力在虛梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功變形上所做的虛功。外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功=？梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功梁的內(nèi)力在虛變形上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功單位力法的使用步驟單位力法的使用步驟（1）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程（2）在所求點(diǎn)施加單位載荷，得到單位載荷結(jié)構(gòu)（3）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩方程（4）使用公

11、式進(jìn)行計(jì)算例例1：試用莫爾定理計(jì)算：試用莫爾定理計(jì)算圖圖所所示懸臂梁自由示懸臂梁自由端端B的的撓度。撓度。解解：（1）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成單位載荷結(jié)構(gòu)）形成單位載荷結(jié)構(gòu)（3）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩1QM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：解解：（1）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。（2）形成單位載荷結(jié)構(gòu)）形成單位載荷結(jié)構(gòu)（3）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩（4）使用公式計(jì)算）使用公式計(jì)算B點(diǎn)位移點(diǎn)位移直接用功能原理求解此題直接用功能原理求解此題P力在力在B

12、點(diǎn)豎直方向做的功能等于點(diǎn)豎直方向做的功能等于桿件桿件AB儲(chǔ)存的應(yīng)變能。儲(chǔ)存的應(yīng)變能。（1）計(jì)算結(jié)構(gòu)的彎矩方程。）計(jì)算結(jié)構(gòu)的彎矩方程。（2）使用功能原理求）使用功能原理求B點(diǎn)位移點(diǎn)位移用積分法求解此題用積分法求解此題（1）計(jì)算結(jié)構(gòu)的彎矩方程。）計(jì)算結(jié)構(gòu)的彎矩方程。（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程用積分法求解此題用積分法求解此題（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程（3）代入邊界條件求）代入邊界條件求c和和d.用積分法求解此題用積分法求解此題（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程（3）代入邊界條件求）代入邊界條件求c和和d.（4）得到）得到B點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度三種方法的比較三

13、種方法的比較積分法積分法功能原理功能原理單位載荷法單位載荷法例例2：試用莫爾定理計(jì)算試用莫爾定理計(jì)算圖圖所所示懸臂梁自由示懸臂梁自由端端B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角。（1）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。）計(jì)算原結(jié)構(gòu)的彎矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成單位載荷結(jié)構(gòu)）形成單位載荷結(jié)構(gòu)（3）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩）計(jì)算單位載荷結(jié)構(gòu)的彎矩由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：x1QM(x)（4）使用公式計(jì)算）使用公式計(jì)算B點(diǎn)位移點(diǎn)位移問問 題題 1可以用功能原理直接可以用功能原理直接計(jì)算計(jì)算B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角嗎？點(diǎn)的轉(zhuǎn)角嗎？如何用積分法計(jì)算如何用積分法計(jì)算B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角？點(diǎn)的轉(zhuǎn)角？問問 題題 2C如何計(jì)算任意

14、點(diǎn)如何計(jì)算任意點(diǎn)C的位移和轉(zhuǎn)角？的位移和轉(zhuǎn)角？例例3 3 試求圖示剛架試求圖示剛架ABCABC在均布荷載在均布荷載 q q 的作用下的作用下A A點(diǎn)的垂點(diǎn)的垂直位移和直位移和C C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。尺寸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。尺寸L L和和EIEI已知。剛架剪力和軸已知。剛架剪力和軸力忽略不計(jì)。力忽略不計(jì)。例例2 2 試求圖示剛架試求圖示剛架ABCABC在均布荷載在均布荷載 q q 的作用下的作用下A A點(diǎn)的垂點(diǎn)的垂直位移和直位移和C C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。尺寸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。尺寸L L和和EIEI已知。剛架剪力和軸已知。剛架剪力和軸力忽略不計(jì)。力忽略不計(jì)。qLRqLRqLRcycxA, 2/, 2/解解：1 1、求剛架的、求剛架

15、的 支座反力支座反力： 2 2、列出各段的彎矩方程、列出各段的彎矩方程：AB段段：)0(2)(1211LxxqxMBC段段)0(2)(222LxLxqxMARcxRcyR1x2xBLLqACARcxRcyR1xABC2x1sP3 3、計(jì)算計(jì)算A A點(diǎn)的垂直位移，點(diǎn)的垂直位移，應(yīng)在應(yīng)在A A點(diǎn)上加點(diǎn)上加 一個(gè)垂直方向單位力一個(gè)垂直方向單位力 , ,此時(shí)此時(shí)：1sP1, 1, 1cycxARRR各段的彎矩方程為：各段的彎矩方程為：)0()(1110LxxxM)0()(2220LxxxMBC段：段：根據(jù)莫爾積分法：根據(jù)莫爾積分法：EJqLEJdxxMxMfLA247)()(40（正，與（正，與 方向

16、一致）方向一致）sPAB段：段：4 4、計(jì)算、計(jì)算C C截面轉(zhuǎn)角，截面轉(zhuǎn)角，應(yīng)在應(yīng)在C C截面上加截面上加 一個(gè)單位力偶一個(gè)單位力偶 ，此時(shí)：，此時(shí)：1sM0,/ 1,/ 1cycxARLRLR)0(0)(110LxxM)0(/1)(2220LxLxxM根據(jù)莫爾積分法：根據(jù)莫爾積分法：EJqLEJdxxMxMLc12)()(30（負(fù)，與（負(fù)，與 方向相反）方向相反）sMARcxRcyR1xABC2x1sM各段的彎矩方程為：各段的彎矩方程為：ABAB段：段：BCBC段：段：例例3 3 求圖示桁架節(jié)點(diǎn)求圖示桁架節(jié)點(diǎn)D D的垂直位移的垂直位移 及及C C、D D的相對(duì)的相對(duì) 位移位移 。 DfCDf

17、解解：要求桁架節(jié)點(diǎn)：要求桁架節(jié)點(diǎn)D D的垂直位移，應(yīng)在的垂直位移，應(yīng)在D D點(diǎn)加一垂點(diǎn)加一垂直單位力直單位力 , , 在此單位力作用下各桿內(nèi)力值在此單位力作用下各桿內(nèi)力值記為記為 . . 1sP1NiFP12345LLABD3030C112345LLABD3030CAyRByR12345ABDC11為了為了計(jì)算節(jié)點(diǎn)計(jì)算節(jié)點(diǎn)C C、D D間的相對(duì)位移間的相對(duì)位移，應(yīng)在，應(yīng)在C C、D D點(diǎn)兩點(diǎn)兩節(jié)點(diǎn)連線上加一對(duì)相反的單位力節(jié)點(diǎn)連線上加一對(duì)相反的單位力, ,并求出這對(duì)力作并求出這對(duì)力作用下各桿內(nèi)力用下各桿內(nèi)力, ,記為記為 . .2NiF根據(jù)莫爾積分法根據(jù)莫爾積分法: :510139. 4iiNi

18、NiDEAPLEALFFf(正值，方向與正值，方向與 一致一致。) )sP5102577. 0iiNiNiCDEAPLEALFFf（正值，相對(duì)位移方向與所（正值，相對(duì)位移方向與所 設(shè)一對(duì)向背的單位力方向一設(shè)一對(duì)向背的單位力方向一 致致, ,即兩點(diǎn)距離加大即兩點(diǎn)距離加大。 ) 桿桿 件件 iL NiF 01NiF 02NiF 1 AC 2 CB 3 AD 4 DB 5 CD 3/2L3/2LLL3/ L-P-P2/3PP-1-12/31000012/3P2/3、計(jì)算時(shí)，、計(jì)算時(shí)，由單位力和實(shí)際載荷分別引起的內(nèi)力應(yīng)采用相由單位力和實(shí)際載荷分別引起的內(nèi)力應(yīng)采用相 同同的正負(fù)號(hào)規(guī)定的正負(fù)號(hào)規(guī)定。 若為

19、正值，則與所加單位力的方向若為正值，則與所加單位力的方向 相同，否則，則相反。相同，否則，則相反。應(yīng)用莫爾積分法時(shí)應(yīng)注意：應(yīng)用莫爾積分法時(shí)應(yīng)注意：、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為廣義力和廣義位移廣義力和廣義位移。若若 為兩點(diǎn)間的為兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移，則單位力是施加在兩點(diǎn)上的相對(duì)線位移，則單位力是施加在兩點(diǎn)上的 方向相反的一對(duì)單位力，其作用線與兩點(diǎn)的連線重合。方向相反的一對(duì)單位力，其作用線與兩點(diǎn)的連線重合。第第8 8章章 能量法能量法第2節(jié) 桿件的應(yīng)變能第3節(jié) 功能原理第1節(jié) 背景第5節(jié) 單位力法第6節(jié) 卡氏定理第4節(jié) 虛功原理 2 1 3F1F2F3 332

20、211212121FFFWV,123 2 1 3F1F2F312iiF1122iiFFF112212iiiiVF FFF6012iiF1122iiVFFF1122iiiiFFFF iiVF iiVFiiFV iiFV xFxFEAxFEAxxFFFViiiid)()(2)d(NN2N xFxTGIxTGIxxTFFViiiid)()(2)d(pp2 xFxMEIxMEIxxMFFViiiid)()(2)d(2 ijnjjjiiFFEAlFFV N1NiiFV 2)d(2)d(2)d(2p22N llliEIxxMGIxxTEAxxFFxFxMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFiiid)(

21、)(d)()(d)()(pNN FABCMelae1e11)()(MxlFalMxM 111)(xlaFxM 1)(1e11 lxMxM222)(FxxM 0)(e22 MxM222)(xFxM ABClaFx1x2eRAMFaFllMe 1011d)()(xFxMEIxMwlCABClaFx1x220e222210e11d)()(d)()(xMxMEIxMxMxMEIxMalA 202222d)()(xFxMEIxMa )( )363(13e2 FalaMFlaEI)63(1eFlalMEI MeABCDaa2aMe)(21 eaRRMMaFFFAyD FRDFRAxFRAyFFAx RxMMaFxM)