【課件】人教版高中數學新教材必修第二冊9.2.4 總體離散程度的估計9.3統(tǒng)計案例—課件(共25張PPT)

1、9.2.49.2.4總體離散程度的估計總體離散程度的估計 樣本的眾數、中位數和平均數常用來表示樣本樣本的眾數、中位數和平均數常用來表示樣本數據的數據的“中心值中心值”，其中眾數和中位數容易計算，其中眾數和中位數容易計算，不受少數幾個極端值的影響，但只能表達樣本數不受少數幾個極端值的影響，但只能表達樣本數據中的少量信息據中的少量信息. 平均數代表了數據更多的信息，平均數代表了數據更多的信息，但受樣本中每個數據的影響，越極端的數據對平但受樣本中每個數據的影響，越極端的數據對平均數的影響也越大均數的影響也越大.當樣本數據質量比較差時，當樣本數據質量比較差時，使使用眾數、中位數或平均數描述數據的中心位

2、置用眾數、中位數或平均數描述數據的中心位置，可能與實際情況產生較大的誤差，難以反映樣本可能與實際情況產生較大的誤差，難以反映樣本數據的實際狀況，數據的實際狀況，很多時候還不能使我們做出有很多時候還不能使我們做出有效決策效決策. 因此，我們需要一個統(tǒng)計數字刻畫樣本因此，我們需要一個統(tǒng)計數字刻畫樣本數據的數據的離散程度離散程度. 新課引入新課引入思考：思考：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊射擊1010次，每次命中的環(huán)數如下：次，每次命中的環(huán)數如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5

3、7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 777xx甲乙， 新課引入新課引入甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？甲、乙兩名運動員射擊成績中位數、眾數分別為多少環(huán)？甲、乙兩名運動員射擊成績中位數、眾數分別為多少環(huán)？通過簡單的排序可以發(fā)現甲、乙兩名運動員射擊成績的中位數、眾數也都是7如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？在這一次選拔性考核中，你應當如何作出選擇？思考：思考：甲、乙兩人射擊的平均成績相等甲、乙兩人射擊的平均成績相等, ,觀察兩人成績觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？的頻率分布

4、條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數環(huán)數頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（甲）（甲）環(huán)數環(huán)數頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（乙）（乙）甲的成績比較分散，極差較大，甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定. .新課引入新課引入一種簡單的度量數據離散程度的方法就是用極差，根據甲、乙運動員的10次射擊成績，可以得到甲命中環(huán)數的極差=10-4=6 乙命中環(huán)數的極差=9-5=4.

5、可以發(fā)現甲的成績波動范圍比乙的大，極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度，但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，對其他數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少. 我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠， 因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度新課引入新課引入12|nxxxxxxn-+-+-L學習新知學習新知思考：對于樣本數據思考：對于樣本數據x1，x2，xn，用，用 表示這組表示這組數據的平均數設想通過各數據到其平均數的平均距離數

6、據的平均數設想通過各數據到其平均數的平均距離來反映樣本數據的分散程度，那么這個平均距離如何來反映樣本數據的分散程度，那么這個平均距離如何計算？計算？ x為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即22212()()()nxxxxxxn-+-+-L我們稱上式為這組數據的方差（variance).有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成右式形式211()niixxn即2211inixxn或2221111()inniiixxxxnn=-邋 那么標準差的取值范圍是什么？那么標準差的取值范圍是什么？標準差為標準差為0 0的數據有何特點？的數據有何特點？ s0s0，標準差為，標準差為0 0的數據都相等的

7、數據都相等. . 由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術平方根，即學習新知學習新知我們稱上式為這組數據的標準差（standard deviation).如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,，YN,總體平均數為 ,則稱學習新知學習新知Y 總體方差2211()NiiSYYN=-2211() NiiSSYYN總體標準差與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權的形式，如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為Y1,Y2,.,Yk,其中Y,出現的頻數為f(i=1,2,.,k),則總體方差為2211()iiikSf Y

8、YN=-如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,，yn,樣本平均數為 ,則稱 為樣本方差， 為樣本標準差2211()niisyyn=-y2ss思考：思考：對于一個容量為對于一個容量為2的樣本：的樣本：x1,x2(x1s乙可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩(wěn)定. 如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置，如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲.典型例題典型例題例6在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分

9、別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,，x23,其平均數記為 ，方差記為 ;把女生樣本記為y1,y2,.y27,其平均數記為 ,方差記為 ;把總樣本數據的平均數記為 ，方差記為 .根據方差的定義，總樣本方差為x2xsy2ysz2s2327222111()() 50ijijsxzyz2327165.22327xyz典型例題典型例題2327222111()() 50ijijsxzyz232722111()() 50ijijxxxzyyyz23

10、2322211()()2()()() iiiiixxxzxxxxxzxz232311()230,iiiixxxx由可得2323112()()2()() 0iiiixxxzxzxx2712()() 0jjyyyz同理可得典型例題典型例題2327222111()() 50ijijsxzyz232722111()() 50ijijxxxzyyyz232722222111()() ()() 50ijijsxxxzyyyz因此23232727222211111()()()()50ijiijjxxxzyyyz男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59, 女生27人，其平均數和方差分別為160.

11、6和38.62165.2z 把已知的男生、女生樣本平均數和方差的取值代入，可得251.4862s 2222123() 27() 50 xysxzsyz 學生數平均分方差甲409810乙309212丙309515某市教育部門采用分層隨機抽樣從甲、乙、丙三個學校選取了100名學生的某次考試數學成績（單位：分），并制成如下表格：試估計這次考試數學成績的平均數與方差.鞏固練習鞏固練習100t假假設設通通過過簡簡單單隨隨機機抽抽樣樣，獲獲得得了了戶戶居居民民的的月月均均用用水水量量數數據據（單單位位：）9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 1

12、3.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1

13、4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6實際應用實際應用計算出樣本平均數 = ,樣本標準差s .x8.796.20實際應用實際應用2.59,14.99,23.61,221.19.xsxsxsxs 如圖所示，可以發(fā)現，這100個數據中大部分落在區(qū)間 內，在區(qū)間 外的只有7個.也就是說，絕大部分數據落在 內.,xs xs2 ,2 xs xs2 ,2 xs xs例例2 2 甲、乙兩人同時生產內徑為甲、乙兩人同時生產內徑為25.40mm25.40mm的一種零件，的一種零件，為了對兩人的生產質量進行

14、評比，從他們生產的零件中為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各隨機抽取各隨機抽取2020件，量得其內徑尺寸如下（單位：件，量得其內徑尺寸如下（單位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.44

15、 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.4825.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產零件內徑的尺寸看，誰生產的零件質量較高？從生產零

16、件內徑的尺寸看，誰生產的零件質量較高？ 典型例題典型例題25. 401x甲25. 406x乙0. 037s甲0. 068s乙 甲生產的零件內徑更接近內徑標準，且穩(wěn)定甲生產的零件內徑更接近內徑標準，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產的零件質量較高程度較高，故甲生產的零件質量較高. . 說明：說明：1.1.生產質量可以從總體的平均數與標準差生產質量可以從總體的平均數與標準差兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數與兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數與標準差都是不知道的，我們就用樣本的平均數與標準差都是不知道的，我們就用樣本的平均數與標準差估計總體的平均數與標準差標準差估計總體的平均數與標準差. . 2

17、. 2.問題中問題中25.40mm25.40mm是內徑的標準值，而不是是內徑的標準值，而不是總體的平均數總體的平均數. .例例3 3 在去年的足球甲在去年的足球甲A A聯賽中，甲隊每場比賽平均失聯賽中，甲隊每場比賽平均失球數是球數是1.51.5，全年比賽失球個數的標準差為，全年比賽失球個數的標準差為1.11.1；乙隊；乙隊每場比賽平均失球數是每場比賽平均失球數是2.12.1，全年比賽失球個數的標，全年比賽失球個數的標準差為準差為0.4.0.4.你認為下列說法是否正確，為什么？你認為下列說法是否正確，為什么？ （1 1）平均來說甲隊比乙隊防守技術好；）平均來說甲隊比乙隊防守技術好；（2 2）乙隊

18、比甲隊技術水平更穩(wěn)定；）乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定；（3 3）甲隊有時表現很差，有時表現又非常好；）甲隊有時表現很差，有時表現又非常好；（4 4）乙隊很少不失球）乙隊很少不失球. .典型例題典型例題例例4 4 以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學錄取的新生以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學錄取的新生高考總分的中位數基本穩(wěn)定在高考總分的中位數基本穩(wěn)定在550550分，若某同學分，若某同學今年高考得了今年高考得了520520分，他想報考這所大學還需收分，他想報考這所大學還需收集哪些信息？集哪些信息？要點：要點：（1 1）查往年錄取的新生的平均分數）查往年錄取的新生的平均分數. .若平均數小于中位若平均數小于中位數很多，說明最低錄取線較低，可以報考；數很多，說明最低錄取線較低，可以報考；（2 2）查往年錄取的新生高考總分的標準差）查往年錄取的新生高考總分的標準差. .若標準差較若標準差較大，說明新生的錄取分數較分