2023年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年級初賽試題解答

2023年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年級預(yù)賽試題解答選擇題答案12３4５６DBＢACA填空題答案123４567８?1０4341２811{19７9,1９85，1991，2０2３}一、選擇題（滿分3６分,每小題只有一個(gè)對的答案，請將對的答案的英文字母代號填入第1頁指定地方,答對得6分，答錯(cuò)或不答均計(jì)0分）1．已知集合A={1,２，３,4,5｝，B={２,3,4,５,6}，則集合Ｃ={(a，ｂ)｜aA,bB，且關(guān)于x的方程x2+２ax+b2=0有實(shí)根｝的元素個(gè)數(shù)為?????12345?????12345xy6?5?4?3?2?1?y=x解當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，x2＋2ax+ｂ2=０有實(shí)根的充要條件為a≥b．設(shè)集合D=｛(ａ,ｂ)｜aA,bB}，D的元素個(gè)數(shù)為5×５=２5個(gè)，而C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整點(diǎn)圖中的黑點(diǎn)所示:因此,Ｃ的元素個(gè)數(shù)等于１0.２．已知,則+等于（A）7．（B)8．（C）９．（Ｄ)10.解．y=ABFGDEOHCxy３．如圖所示，矩形ABCD的對角線BD通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸,點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖像上，若y=ABFGDEOHCxy（A)2．(B)1.(Ｃ)０.(Ｄ）?1.解由于矩形的對角線平分矩形的面積,所以矩形ＣHＯG的面積=矩形ＯFAＥ的面積＝|?2|×|?2|=4．即3ｋ＋1=OG×GＣ＝４，因此k=1．4．定義在R上的偶函數(shù)ｆ(x)，滿足f(x+1)=?ｆ(x)，且在區(qū)間[?1,０]上遞增，則（Ａ).(Ｂ).（Ｃ)．(D）.解根據(jù)題意f(x)＝?f(x＋１)＝?[?f(x+2)]=f（x+2),由于f(x)是偶函數(shù)，即f(a)＝f(?a)，則,，.而?１<?2<0，ｆ(x）在區(qū)間[?1,0］上遞增，所以.5.由１開始的連續(xù)ｎ個(gè)正整數(shù)相乘,簡記為n!=１×2×…×ｎ，如３！=１×２×3＝６,1０！=1×2×3×4×5×6×７×8×9×10=3６28８００等等，則等于（Ａ）.(Ｂ)．(C).(D)．解由于，所以.PDABCNMOθ6．如圖，正方形ＡBCＤ內(nèi)接于⊙O,P為劣弧上一點(diǎn)，ＰＡ交BD于點(diǎn)M，ＰB交ＡＣ于點(diǎn)N,記∠PAC＝θ,若MＮ⊥PAPDABCNMOθ（A)1（B)(C）（D)解∵四邊形AＢCD是正方形,∴∠ＡCB=4５o，DＢ⊥AC,∴∠APB=∠ＡＣB=４5o，∵M(jìn)N⊥PA,∴∠MNＰ=∠ＡPＢ=45o，∴MP=MＮ.∵AC為圓的直徑，∴∠APC=９0o，∴P、M、O、C四點(diǎn)共圓.∴AＭ·ＡP=AO·ＡC2cos2θ?ｔanθ二、填空題（滿分64分，每小題8分,請將答案填入第1頁指定地方)１.求的值．解注意到sin2α+siｎ2(9０o?α）＝sin2α+ｃｏｓ2α=1,ｓiｎ24５o=,ｎ為正整數(shù)時(shí),ｔannα×tａnｎ(90o?α)=ｔａnｎα×ｃoｔnα=(tanα×ｃoｔα)n＝1，tan45o=1，則.2．f(x)是定義在Ｒ上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x+2x+ｂ(b為常數(shù)),求f(?1０)的值．解由于f(ｘ）為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0,即20+２×0＋ｂ=0,得b=?1．由奇函數(shù)的性質(zhì)f（?x)＝?f(x),有若x<0，即?ｘ＞0,則?f（x)＝f(?x）=2?x?2x?1,即f(x)=?2?x＋2x+１(ｘ＜０)．所以f(?１０)=?2１０?2×１0+１=?１０43．3．若實(shí)數(shù)x,ｙ,z滿足方程,試擬定(５x+3ｙ?３ｚ)２０2３的末位數(shù)字.解易見x≥7，則≥4,而≥0,又x,y，ｚ滿足方程，所以=４,且=0．所以x=7，ｘ＋y?z=0，（5x+３y?3z）2023=１４2０2３,這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字為4．AABCDEFGIH4.如右圖,正方形ＡBCD被提成了面積相等的８個(gè)三角形,假如AG=，求正方形ＡBCD面積的值．解過F作KL//ＤＣ，取AＢ的中點(diǎn)N，延長GN交AH于Ｐ,設(shè)正方形ＡＢCD的邊長為ａ，ABCDEFPIHLKGN由于△DCI、△ABH的面積都是正方形ABCＤ面積的ABCDEFPIHLKGN由△ADＦ的面積=△DＣL的面積的2倍，得所以KF=2ＣＩ所以F為DI中點(diǎn).易見，E是AF的中點(diǎn),由△FＡG、△FHG的面積相等，可得AP＝PH，即FP為△FAH的一條中線,因此F、P,N是一條直線．同理可證，ＨG的延長線必過ＡE的中點(diǎn)E，所以HＥ為△FＡH的另一條中線，中線FP與HE的交點(diǎn)G為△FAH的重心，.注意FP為梯形AHＩD的中位線，ＦP//BC，所以，所以,所以．而AN=，根據(jù)勾股定理，有,即,所以a2=128.5.已知實(shí)數(shù)m、n滿足ｍ?n=,ｍ2?３n2為質(zhì)數(shù)．若ｍ２?3n2的最大值為a,最小值為b．試擬定a?b的值．解設(shè)m2?3n２=p（p為質(zhì)數(shù))①由ｍ?ｎ=,得m=+ｎ，②把②式代入①式得（+n)2?3n2=ｐ，整理得2n２?2n+p?１0=0,∴Δ=40?8p+８0≥0,∴p≤15．∴p的最大值a=1３,最小值b=２,∴ａ?b=11．6.在△ＡBC的邊BC上有一點(diǎn)D,∠ADB是銳角,P、Q分別是△ABD、△ACＤ的外心,且四邊形APDＱ面積是△AＢC面積的.求sｉn∠AＤB的值.解連結(jié)PQ，易證△ＡQP≌△DQP，由已知得,易證：△APQ∽△ABＣ,所以,所以．連結(jié)ＱC,作QH⊥AC于H,則.所以sin∠ADB=sin∠AQH＝．7.S(x）表達(dá)自然數(shù)x的數(shù)字和,試擬定方程x+S（ｘ)+S（S（x)）＝２０23的解集顯然ｘ<20２3,而S(x)最大為２8,Ｓ(S（x))最大為10,因此x最小為2023?３８=1975.因此1975≤x＜2023,容易實(shí)驗(yàn)得x=2023，S（202３)=5,S（S(20２３）)=５，2023＋5+5=2023;x＝1９91，S（1９91）=20，S(Ｓ(19９1）)=2,1991+２0+2=2023；x=1９8５，S(1９８5）=23,Ｓ(S(1９8５))=5,1９85＋2３+5=2０２3;x=1９７９，S（1９7９)=26,S(S(197９))=8，1979+26+8=2０２3．除此之外的x都不滿足方程，所以解集是{1９79,19８5,199１，2023}．BCADPEFKmnO?8.直角△ＡBＣ中，內(nèi)切圓⊙O切斜邊AB于D,切BC于E,切CA于Ｆ,作DK⊥ＡC于K,ＤP⊥ＢC于P,已知ＡD=ｍ,BCADPEFKmnO?解設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,連接OＤ，OＥ，OF，如圖,則OＤ＝OE=ＯＦ＝r由切線長定理得AD＝AＦ＝m，BD=B