第5章中心性和聲望

1、第5章 中心性和聲望 5.1 顯著：中心性和聲望 5.2 無向關系 5.3 有向關系 在社會網(wǎng)絡中分析，圖論的主要應用之一是識別社會網(wǎng)絡中“最重要的”角色。網(wǎng)絡中最重要或最突出的行動者通常處于網(wǎng)絡中的戰(zhàn)略位置。本章我們要討論的定義主要基于度、聚集程度、介數(shù)（中介性）、信息，并簡單討論行動者的差異性社會地位和等級。圖圖5.1 在星形圖中，一個節(jié)點的重要性遠遠超過其他節(jié)點，而其他六個節(jié)點可以互換； 在環(huán)形圖中，所有節(jié)點都可以互換，因此中心度也是相等的； 在線形圖中，節(jié)點的中心地位是遞減的。 什么是顯著性？ 如果在網(wǎng)絡中某個行動者具有的連接使其相對于網(wǎng)絡中的其他行動者特別引人注目，我們就認為該行動者

2、具有“顯著性”。2.無向（有向）關系中的顯著性如何確定？ 如果關系是無向的，社會關系矩陣X的第i行和第i列是相同的。因此，行動者i在網(wǎng)絡中的顯著性，取決于社會關系矩陣中g-1個可能連接或輸入項，以此來確定行動者i的地位。如果關系是有向的，那么社會關系矩陣的第i行和第i列則不同，行動者i在網(wǎng)絡中的顯著性，就取決于i所在社會關系的2（g-1）個輸入項。5.1.1 行動者的中心性1.中心性的定義 問題的關鍵在于參與到多種互動中，而不是區(qū)別這些關系是發(fā)起端還是接受端2.中心性的表示 用C表示一個設定的中心量度，是某個特定的 的函數(shù)，假設用A表示一個類的量度，則可表示為 。in)(inCA5.1.2 行

3、動者的聲望 什么是聲望？ 我們把一個有聲望的行動者看作擴展聯(lián)系的目標，也就是關注作為接受者的行動者。換句話說，必須通過觀察指向行動者的聯(lián)系來判定行動者的聲望。因為入度與出度只有在有向關系中才可以進行區(qū)分，所以我們也只能在有向關系中量化行動者的聲望。5.1.3 組群集中度和組群聲望 中心度（集中度）指標的性質：值越大代表該行動者越有可能具有較強的中心性，而相應的其他行動者的非中心性可能越大。 群組級的量是集中度的一個指標，度量行動者的中心差異性和異質性。 Freeman采用一種便利的通用的數(shù)學方法來定義群組級的中心度指標。 是一個行動者的中心度指標，記)(inCA)(max)(*iAiAnCnC

4、 通用的中心度指標為：這個指標的值總是在0和1之間。giiAAgiiAAAnCnCnCnCC1*1*)()(max)()(5.2 無向關系 假定我們有一個行動者集，并且在行動者對之間是單一的“二元的”無向關系。為了找到最重要的行動者，我們將尋找一種能反映行動者處于中心的度量方法。下面我們引入關于中心性的幾個定義，包括最大度、接近度、中介和信息。5.2.1 度中心度 中心性度量（一）節(jié)點的度 行動者度中心度： 標準化： 便可在不同大小的網(wǎng)絡間比較 群組的度中心度： )(din)()(iiDndnC1)()(igndnCiDgiiDDgiiDDDnCnCnCnCC1*1*)()(max)()()2

5、)(1()()(1*ggnCnCCgiiDDD 星形圖達到其最大值1，環(huán)形圖達到最小值0，線形圖的指標067. 0DC 另外一種行動者中心度指標的標準統(tǒng)計度量是度的方差： 這里 是平均行動者度指標，它在0和g-1之間變化。標準化得到圖的密度：gCnCSgiDiDD122)(DCgnCCiDD)(gnCggnCgCiDiDD)() 1()(1 星形圖的密度0.286，環(huán)形圖0.333，線形圖0.286. 注意：像平均度數(shù)和密度這樣的指標并不是真正的集中度度量，集中度應量化單個行動者指標的范圍或變化性，因而 和 是有效地中心度度量，而用來量化行動者平均趨勢而不是變化性的平均度數(shù)或圖密度并不是有效地

6、中心度度量。2DSDC5.2.2 接近中心度 中心度度量方法（二）接近中心度 強調在行動者集中，某一個行動者與所有其他行動者的接近程度。即如果一個行動者能快速的與所有其他行動者產(chǎn)生內在連接，它就是中心行動者。中心度與距離是反向相關的。 行動者接近中心度 表示連接行動者i和j的最短路徑的條數(shù) 行動者接近度指標：下標c代表“接近度”。指標的最大值為弊端：指標僅對連接圖有意義。),(jinnd1-1),()(gjjiicnndnC1-1）（g 標準化： 這個標準化指標的取值范圍在0和1之間，被看作行動者i和所有其他行動者之間的平均距離的倒數(shù)。 對于星形圖，所有其他行動者的指標全部等于0.545，中心

7、行動者的指標 對于環(huán)形圖，行動者指標全部等于0.5，對于線形圖，指標呈多樣化，從0.5降到0.286. )() 1(),(1)(1icgjjiicnCgnndgnC0 . 1)(icnC 群接近中心度：這里 是行動者集合中最大的標準化行動者的接近度 標準化了的行動者接近度指標的方差：這個指標概括了 間的異質性。平均標準接近度)32()2)(1()()(1*gggnCnCCgiiccc)(*nCcgCnCSgicicc122)( )(icnCgnCCicc)(5.2.3 中介中心度 中心度度量（三）中介中心度 如果某個行動者位于其他行動者的最短路徑上，該行動者就處于中心，這表示，為了有一個大的中

8、介中心度，行動者必須在通過更多行動者間的最短路徑之間。 表示連接兩個行動者間最短路的數(shù)目，使用它們中 任意一條路進行通信的概率簡單表示為 表示連接行動者j,k的最短路上包含行動者i的個數(shù) 行動者 中介中心度指標： j和k不同于ijkgjkg1)(ijknginkjjkijkiBgngnC)()( 標準化： 優(yōu)勢：與接近度不同，即使圖是非連通的，這些中介度指標也能計算。2)2)(1( )()(ggnCnCiBiB 群中介度指標： 簡化：)2() 1()()(221*ggnCnCCgiiBBB1)()(1*gnCnCCgiiBBB5.2.4 信息中心度 中心度度量（四）信息中心度 通過選取從一個行

9、動者到另外一個行動者所有的路徑，包含最短路徑，并設定它們各自的權重，計算出兩者間的組合路徑。 首先產(chǎn)生一個gxg的矩陣A,它的對角線元素為： 不在對角線上的元素為：的所有事件的價值總和iiina1相鄰和節(jié)點若節(jié)點不相鄰和節(jié)點若節(jié)點jiijjiijnnxnna11通常地，行動者i的信息中心性指標：指標有最小值0，但無最大值。相對信息指標： 它被界定在0與1之間，指被個別行動者所控制的圖的整個信息流的比例。之間聯(lián)系的值和行動者表示在行動者jixijc,ij1它含有元素 ACgjijgiiiCRCT11,gRTcnCiiiI)2(1)(iiIiIiInCnCnC)()()( 群信息集中度 行動者的平

10、均信息： 均值不是集中度指標，一個真實的群組級信息集中度指標被表示為行動者信息指標的方差：)(iiIInCCgCnCSgiIiII)(1225.3 有向關系 在前面部分，我們討論了無向關系，并且介紹了四種行動者級中心度指標，現(xiàn)在我們討論這些指標和其他類型的指標是怎樣在有向關系上進行計算的。 5.3.1 中心性 （一）度數(shù) 中心度強調作出的選擇，我們記錄每個行動者的出度，而不是度數(shù)（有向關系）： 度數(shù)集中度的群組級指標：) 1()(gxnCiiD21*1*1*) 1()()()()(max)()(gnCnCnCnCnCnCCgiiDDgiiDDgiiDDD （二）接近度 有向關系的行動者級接近度

11、中心度指標為（與無向關系形式一樣）： 一個“改進的”行動者級中心度接近度指標考慮 與它的影響范圍內的行動者的接近程度。我們將其定義為： 表示行動者i影響范圍內的行動者的數(shù)目。指標是群中可達的行動者部分與該行動者可達的哪些行動者的平均距離的比值。gjjiicnndgnC1),(1)(iniJijiiicJnndgJnC),() 1()(*5.3.2 聲望 度數(shù)聲望 最簡單的行動者級聲望測度是每一個行動者的入度，因此，我們定義： 標準化： 鄰近聲望 定義 為在行動者i的影響域內的行動者的數(shù)目。我們定義：iiIiDxndnP)()() 1()(gxnPiiDiIiijiiPInndgInP),()

12、1()( 基于鄰近的群組級聲望指標： 平均值： 方差： 地位或等級聲望 定義 為行動者集合中的行動者i的行動者等級聲望度giiPPgnPP1)(giPiPPgPnPS122)()(iRnP)()()()(2211gRgiRiRiiRnPxnPxnPxnP 例如，如果 那么，若令則，上述公式系統(tǒng)表示為： 或 命名這個與特征值相關的特征向量為這個向量的元素為行動者等級聲望指標： 17252752 xxnnn選擇，結果是和被)()()(752nPnPnPRRR) )(,),(),(21gRRRnPnPnPPPXP0)(PXI) )(,),(),(211gRRRnPnPnPp1p比較和擴展 結論 中介

13、度指標最能體現(xiàn)圖中重要行動者的本質，接近中心度指標在非連通圖中不能被計算，以及星形圖總得到最大的中心度得分，同時環(huán)形圖得到最小的集中度。另外，還有一些不顯而易見的發(fā)現(xiàn)： 三種中心度度量在34種圖的排序上有明顯不同。 中介度的行動者中心度和群集中度的變化范圍最大，即中介中心度產(chǎn)生最大的行動者方差。 度中心度的行動者中心度和群集中度的變化范圍是最小的，即度中心度可產(chǎn)生最小的方差。第6章 結構平衡和傳遞性 6.1 結構平衡 6.2 可聚類性 6.3 可聚類性的一般化 6.4 傳遞性 6.5 總結6.1 結構平衡 什么是平衡 結構平衡關注的不是單一個體，而是個體的集合或是組群。在一個組群內，我們必須逐

14、一考慮所有的人，如果兩個人互相喜歡（網(wǎng)絡中的一個“+”關系），并且他們在對其他所有人的評價上都保持一致，這個組群在結構上就是平衡的。6.1.1 符號無向關系 我們假定可以用一個帶符號的無向關系來描述P的態(tài)度，那么用來度量P對對象X態(tài)度的P和X之間的連線，當態(tài)度為正面的時候帶“+”，當態(tài)度為負面的時候為“-”。三元關系（P-O-X）圖6.1 八種可能的P-O-X三元關系XPO 一個回路如果有偶數(shù)條符號為負邊，那么這個回路總是帶正號。這八個圖自然的就分成了兩個子集：一個子集包含帶正回路的四個圖，一個子集包含帶負回路的四個圖。 平衡 當回路的符號為正時，我們將定義一個由節(jié)點和節(jié)點之間的連線構成的三元

15、關系是平衡的。這樣，圖6.1第一行的四個圖都是平衡的，第二行的四個圖則不平衡。 定義6.1 當且僅當所有的回路為正時，符號圖就是平衡的 如果一個圖不包含回路，它就是既非平衡也非不平衡或稱虛平衡。6.1.2 符號有向關系 定義6.2 當且僅當所有的半回路都為正時，一個符號有向圖是平衡的。6.1.3 平衡性檢驗 如果我們將圖看成一個社會關系矩陣的形式，可以看出如果圖是平衡的，那么社會關系矩陣對角線上的元素的p次冪，必須是非負的。因為回路的最大長度為g,因此我們不必讓社會關系矩陣的冪大于g。6.1.4 平衡指數(shù) PC為圖（有向圖）中的正回路（正半回路）的個數(shù)，TC為回路（半回路）的個數(shù)，平衡指數(shù)就是

16、PC/TC。 總結 結構平衡最重要的方面就是平衡圖中的節(jié)點能夠被分成兩個子集或類。6.2 可聚類性 定義6.3 一個符號圖是可聚的，如果能夠把圖的節(jié)點分成有限個子集，且子集必須滿足：同一子集中兩個節(jié)點之間由正邊連接，不同子集中兩個節(jié)點之間由負邊連接。這種由聚類得到的子集就叫做類。 一個平衡的符號圖有一個或兩個類。一個不平衡的符號圖仍可以是可聚的，而且可以有不止兩個類。 聚類定理 定理6.1 當且僅當圖中不包含只有一條負邊的回路時，符號圖存在聚類。 定理6.2 對于任何完全符號圖，下列四種表述都是等價的：圖是可聚類的。 圖有唯一的聚類方法。 圖中不存在僅有一條負邊的（任何長度的）回路。 圖中不存在僅有一條負邊的長度為3的回路。 小結 三元關系是關鍵。6.3 可聚類性的一般化