很詳細(xì)的快速冪算法

1、快速冪取模算法在網(wǎng)站上一直沒有找到有關(guān)于快速冪算法的一個(gè)詳細(xì)的描述和解釋，這里，我給出快速冪算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個(gè)位啦，畢竟讀C的人較多所謂的快速冪，實(shí)際上是快速冪取模的縮寫，簡(jiǎn)單的說，就是快速的求一個(gè)冪式的模(余)。在程序設(shè)計(jì)過程中，經(jīng)常要去求一些大數(shù)對(duì)于某個(gè)數(shù)的余數(shù)，為了得到更快、計(jì)算范圍更大的算法，產(chǎn)生了快速冪取模算法。有讀者反映在講快速冪部分時(shí)有點(diǎn)含糊，所以在這里對(duì)本文進(jìn)行了修改，作了更詳細(xì)的補(bǔ)充，爭(zhēng)取讓更多的讀者一目了然我們先從簡(jiǎn)單的例子入手：求= 幾。算法1.首先直接地來設(shè)計(jì)這個(gè)算法：int ans = 1;for(int i = 1;i<=b;

2、i+)ans = ans * a;ans = ans % c;這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度體現(xiàn)在for循環(huán)中，為O（b）.這個(gè)算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會(huì)溢出。那么，我們先來看看第一個(gè)改進(jìn)方案：在講這個(gè)方案之前，要先有這樣一個(gè)公式：.這個(gè)公式大家在離散數(shù)學(xué)或者數(shù)論當(dāng)中應(yīng)該學(xué)過，不過這里為了方便大家的閱讀，還是給出證明：引理1：上面公式為下面公式的引理，即積的取余等于取余的積的取余。證明了以上的公式以后，我們可以先讓a關(guān)于c取余，這樣可以大大減少a的大小，于是不用思考的進(jìn)行了改進(jìn)：算法2：int ans = 1;a = a % c; /加上這一句for(int i = 1;i<

3、=b;i+)ans = ans * a;ans = ans % c;聰明的讀者應(yīng)該可以想到，既然某個(gè)因子取余之后相乘再取余保持余數(shù)不變，那么新算得的ans也可以進(jìn)行取余，所以得到比較良好的改進(jìn)版本。算法3：int ans = 1;a = a % c; /加上這一句for(int i = 1;i<=b;i+)ans = (ans * a) % c;/這里再取了一次余ans = ans % c;這個(gè)算法在時(shí)間復(fù)雜度上沒有改進(jìn)，仍為O(b)，不過已經(jīng)好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時(shí)，所以，我們推出以下的快速冪算法?？焖賰缢惴ㄒ蕾囉谝韵旅黠@的公式，我就不證明了。有了上述兩個(gè)公式后

4、，我們可以得出以下的結(jié)論：1. 如果b是偶數(shù)，我們可以記k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。2. 如果b是奇數(shù)，我們也可以記k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c × a ) mod c =(k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。那么我們可以得到以下算法：算法4：int ans = 1;a = a % c;if(b%2=1)ans = (ans * a) mod c; /如果是奇數(shù)，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; /我們?nèi)2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i+)a

5、ns = (ans * k) % c;ans = ans % c;我們可以看到，我們把時(shí)間復(fù)雜度變成了O(b/2).當(dāng)然，這樣子治標(biāo)不治本。但我們可以看到，當(dāng)我們令k = (a * a) mod c時(shí)，狀態(tài)已經(jīng)發(fā)生了變化，我們所要求的最終結(jié)果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)過程是可以迭代下去的。當(dāng)然，對(duì)于奇數(shù)的情形會(huì)多出一項(xiàng)a mod c，所以為了完成迭代，當(dāng)b是奇數(shù)時(shí)，我們通過ans = (ans * a) % c;來彌補(bǔ)多出來的這一項(xiàng)，此時(shí)剩余的部分就可以進(jìn)行迭代了。形如上式的迭代下去后，當(dāng)b=0時(shí)，所有的因子都已經(jīng)相乘，算法結(jié)束。于是便可以在O（

6、log b）的時(shí)間內(nèi)完成了。于是，有了最終的算法：快速冪算法。算法5：快速冪算法int ans = 1;a = a % c;while(b>0)if(b % 2 = 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;將上述的代碼結(jié)構(gòu)化，也就是寫成函數(shù)：int PowerMod(int a, int b, int c)int ans = 1;a = a % c;while(b>0)if(b % 2 = = 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;return ans;本算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設(shè)計(jì)（競(jìng)賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。以下內(nèi)容僅供參考：擴(kuò)展：有關(guān)于快速冪的算法的推導(dǎo)，還可以從另一個(gè)角度來想。=？ 求解這個(gè)問題，我們也可以從進(jìn)制轉(zhuǎn)換來考慮：將10進(jìn)制的b轉(zhuǎn)化成2進(jìn)制的表達(dá)式：那么，實(shí)際上，.所以注意此處的要么為0，要么為1，如果某一項(xiàng)，那么這一項(xiàng)就是1，這個(gè)對(duì)應(yīng)了上面算法過程中b是偶數(shù)的情況，為1對(duì)應(yīng)了b是奇數(shù)的情況不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯(lián)系10進(jìn)制轉(zhuǎn)2進(jìn)制的方法，我們從依次乘到。對(duì)于每一項(xiàng)的計(jì)算，計(jì)算后一項(xiàng)的結(jié)果時(shí)用前一項(xiàng)的結(jié)果的平方取余。對(duì)于要求的結(jié)果而言，為時(shí)ans不用把