離散數(shù)學克萊姆法則

1、山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院1.5 克萊姆（克萊姆（Cramer）法則）法則111212122212( , ,1,2, )ijnnnnnna i jnaaaaaaDaaa 的系數(shù)構(gòu)成的行列式為方程組的系數(shù)行列式11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb由線性方程組由線性方程組（1）山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院jDDjn其中是把系數(shù)行列式 中的第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后得到的 階行列式，即0,(1,21. .,5 1)jjnnDDxjnD（克萊姆法則）含 個方程 個未知量的線性方程組（1），當其系數(shù)行列式

2、時有惟一解定理111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb1121222212nnnnnnbaabaaDbaa 1111212221nnnnnnabaabaDaba 山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院克萊姆法則的證明：克萊姆法則的證明： （1）存在性）存在性 （2）惟一性）惟一性1221231221112131111112211, ()1()nnnnnnDDD

3、DxxxxDDDDDDDDaaaabDDDDa Da Da DbD存在性證明:將代入方程，成立。即同理類推 111221111112222212112211()()()nnnnnnnnnnb Ab Ab AaDb Ab Ab Aab Ab Ab Aa 121111221121122222112211211111111221111111121121222212212,nnnnnnnnnnnnnnnnccca ca ca cbacacacba cacacbnAAAa c Aa c Aa c Ab Aac Aac Aac Ab A惟 一 性 證 明 :設(shè),是 方 程 組 的 解 則成 立 。上 面

4、個 方 程 分 別 乘則 211112211111=nnnnnnnnnna c Aac Aac Ab ADcD將 兩 邊 相 加 ， 整 理 得 到 山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院11 1122111121 122222221 122nnjjnnjjnnnnnnjnnja xa xa xAb Aa xa xa xAb Aa xa xa xAb A12,jjnjDjAAAn用 中第列元素的代數(shù)余子式依次乘方程組（1）明的證個方程，得n把 個方程依次相加，得11111nnnkkjkjkjjknkjnkkka Axa Axa Ax1nkkjkb A11 11221121 1222221 122nnnnn

5、nnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11121210jjnnja Aa Aa AD0jD山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院,jijxDx ijD由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知：上式中除了 的系數(shù)等于其余 ()的系數(shù)均等于0，而等式右端為,即122123,nnDDDDxxxxDDDD1,2,jjDxDjn0D當時，方程組解（2）有惟一 （2）由于方程組與方（2）（1組），程所以山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院克萊姆（Cramer, Gabriel, 1704-1752）瑞士瑞士數(shù)學家。1704年7月31日生于日內(nèi)瓦。1752年1月 4日卒於法國塞茲河畔巴尼奧勒。早年在日內(nèi)瓦讀書，17

6、24 年起在日內(nèi)瓦加爾文學院加爾文學院任教，1734年成為幾何學幾何學教授，1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰伯努 利、歐拉等人學習交流，結(jié)為摯友。後又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數(shù)學名家，回國後在與他們的長期通信 中，加強了數(shù)學家之間的聯(lián)系，為數(shù)學寶庫也留下大量有價值的文獻。 主要著作是代數(shù)曲線的分析引論（1750），在此著作中，應(yīng)用了著名的克萊姆法則，即由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數(shù)學家馬克勞林得到，1748年發(fā)表，但克萊姆的優(yōu)越符號使之流傳。山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院123412341234123422452

7、3333230 xxxxxxxxxxxxxxxx1.5.1解例線性方程組注注: 1. Cramer1. Cramer法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等相等的情形。的情形。2. 2. 理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x線性方程組齊次線性為方程組.易知，120nxxx一定是它的解，稱為零解零解。若有一組不全為零的數(shù)是它的解，稱為非零解非零解。山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院1.5.0.2D

8、 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則定它只有零解理如果齊次線性方程組等價說明有非零解123123222123, ,000(1)a b cxxxaxbxcxa xb xc x例1.5.2滿足何種條件時，下列方程組只有零解；(2)有非零解？?0.D 其系數(shù)行列式山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院2123123123(1)20(21)20(21)01.5.3.xkxxxkxxkxkxkxk設(shè)齊次線性方例程組有非零解，求 值 123123123124023010 xxxxxxxxx問 取何值時，齊次線性方程組有非零解？練習 =0， =2或3答案= .山東財政學院統(tǒng)計與數(shù)理學院思考題思考題: :當線性方程組的系數(shù)行列式為零時當線性方