泛函和變分法PPT精選文檔

1、1計(jì)算物理計(jì)算物理3/lesson/ComputationalPhysics3/lesson/ComputationalPhysics泛函和變分法泛函和變分法2泛函和變分法泛函和變分法n泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念n最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題泛函的極值問(wèn)題n其它類型其它類型泛函的極值問(wèn)題泛函的極值問(wèn)題n泛函和變分用于微分方程邊值問(wèn)題泛函和變分用于微分方程邊值問(wèn)題3泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(1/4)(1/4)n泛函的定義泛函的定義n例例( (最短路徑最短路徑) )：設(shè)：設(shè) C 為定義在為定義在 a

2、, , b 上、上、滿足條件滿足條件 y( (a) ) = = y1 1 和和 y( (b) ) = = y2 2 的、所有可的、所有可微函數(shù)微函數(shù) y( (x) ) 的集合。用的集合。用 L 表示這樣一段表示這樣一段曲線的曲線的長(zhǎng)長(zhǎng)( (如右圖所示如右圖所示) )，L = = L y( (x) )n問(wèn)題：沿哪一條路徑的路程最短問(wèn)題：沿哪一條路徑的路程最短n函數(shù)的形式函數(shù)的形式 y( (x) ) 不同不同abOyxAOyxBn例例( (捷線問(wèn)題捷線問(wèn)題) )：質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿一：質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿一條光滑的、從點(diǎn)條光滑的、從點(diǎn) A 到點(diǎn)到點(diǎn) B 的曲線運(yùn)動(dòng)，的曲線運(yùn)動(dòng)，所需的時(shí)間所需的時(shí)間

3、T 取決于曲線的形狀取決于曲線的形狀( (如右圖如右圖所示所示) )，T = = T y( (x) )n問(wèn)題：沿哪一條路徑的下落時(shí)間最短問(wèn)題：沿哪一條路徑的下落時(shí)間最短n函數(shù)的形式函數(shù)的形式 y( (x) ) 不同不同4泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(2/4)(2/4)n定義：設(shè)定義：設(shè) C 是函數(shù)是函數(shù)( (形式形式) )的集合，的集合，B 是實(shí)數(shù)集合；如果對(duì)是實(shí)數(shù)集合；如果對(duì) C 中的任一元素中的任一元素 y( (x) )，在，在 B 中都有一個(gè)元素中都有一個(gè)元素 J 與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，則稱則稱 J 為為 y( (x) ) 的泛函，記為的泛函，記為 J y( (x) )n泛函是

4、函數(shù)的函數(shù)，以函數(shù)為自變量，而非普通變量泛函是函數(shù)的函數(shù)，以函數(shù)為自變量，而非普通變量n最短路徑：最短路徑：L = = L y( (x) )n捷線問(wèn)題捷線問(wèn)題：T = = T y( (x) )n最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函泛函：滿足以下關(guān)系的滿足以下關(guān)系的泛函稱為泛函稱為最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函泛函 其中其中 F ( ( x, , y, , y ) ) 的的稱為核稱為核函數(shù)函數(shù)5泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(3/4)(3/4)n函數(shù)的變分和泛函的變分函數(shù)的變分和泛函的變分n定義：設(shè)定義：設(shè) y( (x) ) 是是泛函泛函 J y( (x) ) 的定義域內(nèi)任意函數(shù)，如果的定義域內(nèi)任意函數(shù)，如果 y( (x) )

5、 變化為定義域內(nèi)的另一新函數(shù)變化為定義域內(nèi)的另一新函數(shù) Y( (x) )，則，則 Y( (x) ) 與與 y( (x) ) 之之差差 d d y = = Y( (x) ) - - y( (x) ) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y( (x) ) 的變分的變分n函數(shù)變分和微分的比較函數(shù)變分和微分的比較n變分和微分都是自變量變分和微分都是自變量 x 的函數(shù)的函數(shù)n微分是微分是同一個(gè)函數(shù)同一個(gè)函數(shù) y( (x) )，由于自變量，由于自變量 x 的取值不同而導(dǎo)的取值不同而導(dǎo)致函數(shù)值致函數(shù)值 y 的變化；變分是由于的變化；變分是由于函數(shù)形式的不同函數(shù)形式的不同而導(dǎo)致而導(dǎo)致函數(shù)值的變化函數(shù)值的變化n函數(shù)求導(dǎo)和求變分可

6、以交換次序函數(shù)求導(dǎo)和求變分可以交換次序6泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(4/4)(4/4)n最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函泛函的一階和二階變分的一階和二階變分n其中其中 d d J 稱為泛函稱為泛函的一階變分，的一階變分，d d 2 2J 稱為稱為二階變分二階變分n泛函的極值條件就是泛函的極值條件就是一階變分為零：一階變分為零：d d J = = 0 07最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(1/9)(1/9)n最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函的歐拉方程泛函的歐拉方程n最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函的極值泛函的極值歐拉方程歐拉方程n歐拉方程的解僅僅對(duì)應(yīng)極值歐拉方程的解僅僅對(duì)應(yīng)極值函數(shù)，不關(guān)心函數(shù)，不關(guān)心泛函的泛函的大小大小n通過(guò)變分運(yùn)算等

7、價(jià)于通過(guò)變分運(yùn)算等價(jià)于一定邊界條件下的常微分方程一定邊界條件下的常微分方程n例：如下泛函例：如下泛函( (不是不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函泛函) )的極值問(wèn)題的極值問(wèn)題),(),(ddd),(dd )()(21)(0DD2212yxuyxusquyxyxfyxyuxuuJ=-= 等價(jià)于以下邊界條件下的靜電場(chǎng)中的泊松方程等價(jià)于以下邊界條件下的靜電場(chǎng)中的泊松方程),( ),(),( ),(2102222yxqnuyxuyxuyxfyuxu=8最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(2/9)(2/9)n例：求以下例：求以下最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題泛函的極值問(wèn)題1 , 0 ,d)()(101 0 2=xxyyxxyy

8、yJn核函數(shù)和微分方程核函數(shù)和微分方程n滿足邊界條件的極值函數(shù)滿足邊界條件的極值函數(shù)n例：求解例：求解最短路徑最短路徑問(wèn)題問(wèn)題9最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(3/9)(3/9)n例：求解捷線問(wèn)題例：求解捷線問(wèn)題10最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(4/9)(4/9)n歐拉方程的其它算法歐拉方程的其它算法n如果如果 F 中不顯含中不顯含 yn ，不滿足邊界條件，則極值函數(shù)不存在，不滿足邊界條件，則極值函數(shù)不存在n如果如果 F 中不顯含中不顯含 yn如果如果 F 中不顯含中不顯含 x11最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(5/9)(5/9)n例：再求解捷線問(wèn)題例：再求解捷線問(wèn)題12最

9、簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(6/9)(6/9)n例例( (最小旋轉(zhuǎn)面最小旋轉(zhuǎn)面) )：光滑曲線：光滑曲線以點(diǎn)以點(diǎn) A( (x0 0, , y0 0) ) 和和 B(B(x1 1, , y1 1) ) 為端點(diǎn)為端點(diǎn)( (如右圖如右圖) )，求一條曲線，求一條曲線使它使它繞繞 Ox 軸軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所得曲面的面積最小旋轉(zhuǎn)時(shí)所得曲面的面積最小xyABn以以 y( (x) ) 表示任意曲線，得旋轉(zhuǎn)面面積表示任意曲線，得旋轉(zhuǎn)面面積n從歐拉方程的極值問(wèn)題求曲線方程從歐拉方程的極值問(wèn)題求曲線方程13最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(7/9)(7/9)n瑞利瑞利- -里茲法的步驟里茲法的步驟n選一組相對(duì)

10、完備的基函數(shù)選一組相對(duì)完備的基函數(shù) w0 0, , w1 1, , , , wn, , ，線性展開(kāi)，線性展開(kāi) y為待定系數(shù) ),(1iiiixwy=n只取前面只取前面 n 項(xiàng)，作為項(xiàng)，作為 y 的近似，代入的近似，代入泛函，積分泛函，積分),( d)(),(,(d),(2111nniiiniiiIxxwxwxFxyyxFyJ=nJ y = = I( ( 1 1, , 2 2, , , , n) ) 按多元函數(shù)取極值方法按多元函數(shù)取極值方法niIi, 2 , 1 , 0= 求解以上求解以上 n 個(gè)關(guān)于個(gè)關(guān)于 i 的方程，得到系數(shù)的方程，得到系數(shù) i，代入展開(kāi)式代入展開(kāi)式即可得到即可得到 y 的近

11、似，再計(jì)算可得到的近似，再計(jì)算可得到 J y n取前面取前面 n11 項(xiàng)，重復(fù)以上項(xiàng)，重復(fù)以上2 2和和3 3步，直至步，直至 J y 收斂收斂14最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(8/9)(8/9)n求解以下泛函的極值求解以下泛函的極值函數(shù)函數(shù)0) 1 ()0( ,d)4()(1 0 22=-=yyxxyyyxyJn取滿足邊界條件的基函數(shù)：取滿足邊界條件的基函數(shù)：w i = = x i (1-(1-x) )n只取前面只取前面 n 項(xiàng)，作為項(xiàng)，作為 y 的近似的近似15最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題最簡(jiǎn)泛函的極值問(wèn)題(9/9)(9/9)n瑞利瑞利- -里茲法的關(guān)鍵：選擇合適的基函數(shù)里茲法的關(guān)鍵：選擇合

12、適的基函數(shù)n冪函數(shù)：冪函數(shù)：1,1, x, , x2 2, , = = x i n三角函數(shù)：三角函數(shù)：1,1, cos x, , sin x, , cos 2 2x, , sin 2 2x, , n其它：盡量同時(shí)滿足邊界條件其它：盡量同時(shí)滿足邊界條件16其它類型泛函的極值問(wèn)題其它類型泛函的極值問(wèn)題(1/4)(1/4)n依賴于多個(gè)函數(shù)的泛函依賴于多個(gè)函數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式=10 212121d),(,xxmmmxyyyyyyxFyyyJn歐拉方程歐拉方程miyFxyFii, 2 , 1 , 0)(dd=-n例：求解以下泛函的極值問(wèn)題例：求解以下泛函的極值問(wèn)題1 , 0 , 1

13、, 0d)2(,2/02/02/ 0 22=-=xxxxzzyyxyzzyzyJn解：解：17其它類型泛函的極值問(wèn)題其它類型泛函的極值問(wèn)題(2/4)(2/4)n例：不均勻的介質(zhì)中，折射率為例：不均勻的介質(zhì)中，折射率為 n( (x, , y, , z) )，光的傳播速度，光的傳播速度為為 c/ /n。求光從。求光從 A( (x0 0, , y0 0, , z0 0) ) 到到 B( (x1 1, , y1 1, , z1 1) ) 的傳播路徑的傳播路徑n設(shè)設(shè) 過(guò)過(guò) A 和和 B 的某條光滑曲線：的某條光滑曲線：y = = y( (x), ), z = = z( (x) )n費(fèi)馬原理：光沿由費(fèi)馬原

14、理：光沿由 A 到到 B 的所需時(shí)間最短的曲線行進(jìn)的所需時(shí)間最短的曲線行進(jìn)=B A 22B A d1),(d,xzyczyxnvszyTn泛函的極值問(wèn)題：要求泛函的極值問(wèn)題：要求 T 取極小值取極小值18其它類型泛函的極值問(wèn)題其它類型泛函的極值問(wèn)題(3/4)(3/4)n依賴于函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的泛函依賴于函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式 =10 )(d),(xxmxyyyyxFyJn歐拉方程歐拉方程0dd) 1()(dd)(dd)(22=- -mmmmyFxyFxyFxyFn例：求解以下泛函的極值問(wèn)題例：求解以下泛函的極值問(wèn)題1 , 1 , 0d)4(214/04/04/ 0 22=

15、-=- =xxxxyyyyxyyyJn解：解：19其它類型泛函的極值問(wèn)題其它類型泛函的極值問(wèn)題(4/4)(4/4)n依賴于多元函數(shù)的泛函依賴于多元函數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式y(tǒng)uqxupyuqxupyxqqppuuyxFyxuyxuJD=222111121212121 , , ,dd),(),(),(n歐拉方程歐拉方程0)()( , 0)()(222111=-=-qFypFxuFqFypFxuFn例：拉普拉斯方程的第三類邊界問(wèn)題例：拉普拉斯方程的第三類邊界問(wèn)題=)( , 02222 unuyuxu 該定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下泛函的極值問(wèn)題該定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下泛函的極值問(wèn)題-=s u uyxyuxuyxuJd)21(dd )()(21),(22220泛函和變分用于泛函和變分用于(1/1)(1/1)n斯特姆斯特姆- -劉維型方程劉維型方程 L y = = l l r r ( (x) ) yn本征值：本征值：l l1 1 l l2 2 l l3 3 n本征函數(shù)：本征函數(shù)：y1 1( (x), ), y2 2( (x), ), y3 3( (x), ), 構(gòu)成完備正交系構(gòu)成完備正交系mnbanmnnnxxxyxyxyxxLydrrl= d)()()( ),()()(n任意函數(shù)任意函數(shù) f( (x)