余數(shù)性質(zhì)與同余定理(B級)答案

1、 余數(shù)性質(zhì)與同余定理知識框架一、 帶余除法的定義與性質(zhì)1. 定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr, 0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。這個圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關(guān)系。并

2、且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。2. 余數(shù)的性質(zhì) 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)； 余數(shù)小于除數(shù)二、 余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22.余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余

3、數(shù)分別是3和1，所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個余數(shù)差312.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時時，補上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個余數(shù)差為35443.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×13。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以

4、m的余數(shù)一樣，那么與除以m的余數(shù)也一樣一、 同余定理1、 定義整數(shù)a和b，除以一個大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)一樣，就稱a和b對于模m同余或稱a和b在模m下同余，即 ab（modm）2、 同余的重要性質(zhì)與舉例。1aa（modm）（a為任意自然）；2若ab（modm），則ba（modm）3若ab（modm），bc（modm）則ac（modm）；4若ab（modm），則acbc（modm）5若ab（modm），cd（modm），則ac=bd（modm）；6若ab（modm）則anbm（modm）其中性質(zhì)3常被稱為"同余的可傳遞性"，性質(zhì)4、5常被稱為"同余的可乘性，&qu

5、ot;性質(zhì)6常被稱為"同余的可開方性"注意：一般地同余沒有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1則ab（modm）3、 整數(shù)分類：1用2來將整數(shù)分類，分為兩類：1，3，5，7，9，（奇數(shù)）；0，2，4，6，8，（偶數(shù)）2用3來將整數(shù)分類，分為三類：0，3，6，9，12，（被3除余數(shù)是0）1，4，7，10，13，（被3除余數(shù)是1）2，5，8，11，14，（被3除余數(shù)是2）3在模6的情況下，可將整數(shù)分成六類，分別是：0（mod6）：0，6，12，18，24，1（mod6）：1，7，13，19，25，2（mod6）：2，8，14，20，

6、26，3（mod6）：3，9，15，21，27，4（mod6）：4，10，16，22，29，5（mod6）：5，11，17，23，29，重難點一個自然數(shù)被9除的余數(shù)和這個自然數(shù)所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)一樣。同余在解答競賽題中有著廣泛的應(yīng)用在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一些運用技巧和方法例題精講【例 1】 一個兩位奇數(shù)除1477，余數(shù)是49，那么，這個兩位奇數(shù)是多少？【鞏固】 2024除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是22求出符合條件的所有的兩位數(shù)【例 2】 兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_【鞏固】 用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，商為40，余

7、數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這2個自然數(shù)各是多少？【例 3】 一個家庭，有父、母、兄、妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100，父親歲數(shù)最大，問：母親是多少歲? 【鞏固】 有三所學(xué)校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人三校共有高中生2196人有一所學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍；有一所學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的1.5倍；還有一所學(xué)校高中、初中人數(shù)相等三所學(xué)校總?cè)藬?shù)是5480人，那么A?？?cè)藬?shù)是_人【例 4】 求被7除的余數(shù)【鞏固】 一個數(shù)被7除，余數(shù)是3，該數(shù)的3倍被7除，余數(shù)是   

8、60;       ?！纠?5】 若2836，4582，5164，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)一樣且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為_【鞏固】 一個大于1的數(shù)去除290，235，200時，得余數(shù)分別為，則這個自然數(shù)是多少？【例 6】 有這樣一類2009位數(shù)，它們不含有數(shù)字0，任何相鄰兩位（按照原來的順序）組成的兩位數(shù)都有一個約數(shù)和20相差1，這樣的2009位數(shù)共有_個【鞏固】 在兩位數(shù)10，11，98，99中，將每個被7除余2的數(shù)的個位與十位之間添加一個小數(shù)點，其余的數(shù)不變問：經(jīng)過這樣改變之后，所有數(shù)的和是多少?【例 7

9、】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？【鞏固】 已知60，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是，求該自然數(shù)的值【例 8】 答案已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？【鞏固】 已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)Q除以2013的余數(shù)為多少？【例 9】 設(shè)n為正整數(shù)，k被7除余數(shù)為2，k被11除余數(shù)為3，求n的最小值【鞏固】 試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數(shù)n的和【例 10】 一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的

10、余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？【鞏固】 兩位自然數(shù)與除以7都余1，并且，求課堂檢測【隨練1】 已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？【隨練2】 與的和除以7的余數(shù)是_【隨練3】 、為非零自然數(shù)，且被整除。的最小值為。家庭作業(yè)【作業(yè)1】 大于35的所有數(shù)中，有多少個數(shù)除以7的余數(shù)和商相等？【作業(yè)2】 一個三位數(shù)除以36，得余數(shù)8，這樣的三位數(shù)中，最大的是_?！咀鳂I(yè)3】 三個數(shù)：23，51，72，各除以大于1的同一個自然數(shù)，得到同一個余數(shù)，則這個除數(shù)是?！咀鳂I(yè)4】 學(xué)校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量一