2021年中考數(shù)學真題分類匯編專題32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題（word版含解析）

1、 專題32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題一、單選題1（四川省雅安市2021年中考數(shù)學真題）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（ ）A0B2C3D42（廣東省2021年中考真題數(shù)學試卷）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式若，則此三角形面積的最大值為（ ）AB4CD53（內(nèi)蒙古通遼市2021年中考數(shù)學真題）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是（ ）A

2、BCD4（江蘇省無錫市2021年中考數(shù)學真題）設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”則下列結(jié)論：函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”其中，正確的有（ ）ABCD5（2021·廣西來賓市·中考真題）定義一種運算：，則不等式的解集是（ ）A或BC或D或6（2021·廣西中考真題）如，我們叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有確定性（如必然存在），互異性（如，），無序性（即改變元素的順序，集合不變）若集合，我們說已知集合，集合，若，則的值是（ ）

3、A1B0C1D27（2021·湖北中考真題）定義新運算“”：對于實數(shù)，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，如：若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A且BC且D8（2021·甘肅武威市·中考真題）對于任意的有理數(shù)，如果滿足，那么我們稱這一對數(shù)為“相隨數(shù)對”，記為若是“相隨數(shù)對”，則（ ）ABC2D3二、填空題9（廣西貴港市2021年中考數(shù)學真題）我們規(guī)定：若，則例如，則已知，且，則的最大值是_10（遼寧省丹東市2021年中考數(shù)學試題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足

4、（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）若，P為的費馬點，則_；若，P為的費馬點，則_11（浙江省寧波市2021年中考數(shù)學試卷）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“倒數(shù)點”如圖，矩形的頂點C為，頂點E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點A若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形的一邊上，則的面積為_12（山東省菏澤市2021年中考數(shù)學真題）定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：當時，函數(shù)圖象的對稱軸是軸；當時，函數(shù)圖象過原點；當時，函數(shù)有最小值；如果，當時，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號是_13（2021·湖南婁底市&#

5、183;中考真題）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作已知，則與的大小關(guān)系是_14（2021·上海中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點，當正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為_15（2021·湖北中考真題）對于任意實數(shù)a、b，定義一種運算：，若，則x的值為_三、解答題16（江蘇省南通市2021年中考數(shù)學試題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”例如，點是函數(shù)的

6、圖象的“等值點”（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C當?shù)拿娣e為3時，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為當兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍17（江蘇省常州市2021年數(shù)學中考真題）在平面直角坐標系中，對于A、兩點，若在y軸上存在點T，使得，且，則稱A、兩點互相關(guān)聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關(guān)聯(lián)點已知點、，點在一次函數(shù)的圖像上（1）如圖，在點、中，點M的關(guān)聯(lián)點是_（填“B”、“C”或“D”）；若在線段上存在點的關(guān)聯(lián)

7、點，則點的坐標是_；（2）若在線段上存在點Q的關(guān)聯(lián)點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）分別以點、Q為圓心，1為半徑作、若對上的任意一點G，在上總存在點，使得G、兩點互相關(guān)聯(lián)，請直接寫出點Q的坐標18（湖南省張家界市2021年中考數(shù)學真題試題）閱讀下面的材料：如果函數(shù)滿足：對于自變量取值范圍內(nèi)的任意，（1）若，都有，則稱是增函數(shù)；（2）若，都有，則稱是減函數(shù)例題：證明函數(shù)是增函數(shù)證明：任取，且，則且，即，函數(shù)是增函數(shù)根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）函數(shù)，_，_；（2）猜想是函數(shù)_（填“增”或“減”），并證明你的猜想19（山東省棗莊市2021年中考數(shù)學真題）小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方

8、法，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行探究因為，即，所以可以對比函數(shù)來探究列表：（1）下表列出與的幾組對應值，請寫出，的值： ， ；1234124230描點：在平面直角坐標系中，以自變量的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：（2）請把軸左邊各點和右邊各點，分別用條光滑曲線順次連接起來：（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：當時，隨的增大而 ；（填“增大”或“減小”）函數(shù)的圖象是由的圖象向 平移 個單位而得到函數(shù)圖象關(guān)于點 中心對稱（填點的坐標） 20（內(nèi)蒙古赤峰市2021年中考數(shù)學真題）閱讀理解：在平面直角坐標系中，點M的坐標為，點N的坐標為，且x1x1，y2y2，若M、N為某

9、矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”如圖1中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”（1）已知點A的坐標為若點B的坐標為，則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為_；若點C在直線x=4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；（2）已知點P的坐標為，點Q的坐標為， 若使函數(shù)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形 ”有兩個公共點，直接寫出k的取值范圍21（湖北省荊州市2021年中考數(shù)學真題）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)進行了探究，在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如下的函數(shù)圖像請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：_；方程的解為：_

10、；若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是_（2）延伸思考：將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當時，自變量的取值范圍22（2021·江西中考真題）二次函數(shù)的圖象交軸于原點及點感知特例（1）當時，如圖1，拋物線上的點，分別關(guān)于點中心對稱的點為，如下表：（_，_）補全表格；在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關(guān)于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”探究問題（2）當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的

11、取值范圍為_；在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是_（填“”或“”或“”或“”，其中）；若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值23（2021·北京中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應點），則稱線段是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”（1）如圖，點的橫縱坐標都是整數(shù)在線段中，的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是_；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，若是的

12、以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應的長24（2021·四川中考真題）閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（JNpler，15501617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Evler17071783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系對數(shù)的定義：一般地若（且），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：，理由如下：設(shè)，則由對數(shù)的定義得又根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，解答下列問題：（1）填空：_；_，_；（2）求證：；（3）拓展運用：計算25（

13、2021·重慶中考真題）如果一個自然數(shù)的個位數(shù)字不為，且能分解成，其中與都是兩位數(shù)，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱數(shù)為“合和數(shù)”，并把數(shù)分解成的過程，稱為“合分解”例如，和的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，是“合和數(shù)”又如，和的十位數(shù)相同，但個位數(shù)字之和不等于，不是“合和數(shù)”（1）判斷，是否是“合和數(shù)”？并說明理由；（2）把一個四位“合和數(shù)”進行“合分解”，即的各個數(shù)位數(shù)字之和與的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為；的各個數(shù)位數(shù)字之和與的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為令，當能被整除時，求出所有滿足條件的26（2021·重慶中考真題）對于任意一個四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個位上

14、的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：，因為，所以3507是“共生數(shù)”：，因為，所以4135不是“共生數(shù)”；（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說明理由；（2）對于“共生數(shù)”n，當十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除時，記求滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有n27（2021·四川中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（）和直線AxByC0（其中A，B不全為0），則點P到直線AxByC0的距離可用公式來計算例如：求點P（1，2）到直線y2x1的距離，因為直線y2x1可化為2xy10，其中A2，

15、B1，C1，所以點P（1，2）到直線y2x1的距離為：根據(jù)以上材料，解答下列問題： （1）求點M（0，3）到直線的距離；（2）在（1）的條件下，M的半徑r 4，判斷M與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由28（2021·湖北中考真題）數(shù)學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題猜想發(fā)現(xiàn)：由；猜想：如果，那么存在（當且僅當時等號成立）猜想證明：當且僅當，即時，；當，即時，綜合上述可得：若，則成立（當日僅當時等號成立）猜想運用：（1）對于函數(shù)，當取何值時，

16、函數(shù)的值最??？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最小？最小值是多少？拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖設(shè)每間離房的面積為（米2）問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？29（2021·內(nèi)蒙古中考真題）數(shù)學課上，有這樣一道探究題如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，點P為平面內(nèi)不與點A、C重合的任意一點，將線段CP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點，設(shè)直線AP與

17、直線EF相交所成的較小角為，探究的值和的度數(shù)與m、n、的關(guān)系，請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：（1）填空：（問題發(fā)現(xiàn)）小明研究了時，如圖1，求出了_，_；小紅研究了時，如圖2，求出了_，_；（類比探究）他們又共同研究了=120°時，如圖3，也求出了；（歸納總結(jié)）最后他們終于共同探究得出規(guī)律：_(用含m、n的式子表示)；_ (用含的式子表示)（2）求出時的值和的度數(shù)30（2021·山東中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形的對角線，交于點猜想：

18、與有什么關(guān)系？并證明你的猜想（3）解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，已知，求的長31（2021·湖北中考真題）已知等邊三角形，過A點作的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接，把線段繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點P、B在同側(cè)且時，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長度32（2021·江蘇中考真題）如圖，在O中，AB為直徑，P為AB上一點，PA1，PBm（m為常數(shù)，且m0）過點P的弦CDAB，Q為上一動

19、點（與點B不重合），AHQD，垂足為H連接AD、BQ（1）若m3求證：OAD60°；求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；（3）存在一個大小確定的O，對于點Q的任意位置，都有BQ22DH2+PB2的值是一個定值，求此時Q的度數(shù)2021年中考數(shù)學真題分項匯編【全國通用】（第01期） 專題32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題一、單選題1（四川省雅安市2021年中考數(shù)學真題）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（ ）A0B2C3D4【答案】C【分析】根據(jù)題目中所給的運算法則，分兩種情況進行求解即可【詳解】令,當時，即時，令 ，則w與x軸的交點坐標為（2，0），（-1，0），當時，（），

20、y隨x的增大而增大，當x=2時，；當時，即時，令 ，則w與x軸的交點坐標為（2，0），（-1，0），當時，或，（或），的對稱軸為x=1，當時，y隨x的增大而減小，當x=2時，=3，當時，y<3；當，y隨x的增大而增大，當x=-1時，=0；當時，y<0；綜上，的最大值為3故選C【點睛】本題是新定義運算與二次函數(shù)相結(jié)合的題目，解題時要注意分情況討論，不要漏解2（廣東省2021年中考真題數(shù)學試卷）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式若，則此三

21、角形面積的最大值為（ ）AB4CD5【答案】C【分析】由已知可得a+b=6，把b=6-a代入S的表達式中得：，由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值【詳解】p=5，c=4，a+b=2p-c=6由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：設(shè)，當取得最大值時，S也取得最大值當a=3時，取得最大值4 S的最大值為故選：C【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出a+b=6，把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題3（內(nèi)蒙古通遼市2021年中考數(shù)學真題）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一

22、次函數(shù)的特征數(shù)是（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出平移后的直線解析式為，根據(jù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，得到直線經(jīng)過原點，從而求出m，根據(jù)特征數(shù)的定義即可求解【詳解】解：由題意得一次函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后解析式為，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，點A，B，O在同一直線上，直線經(jīng)過原點，m+3=0，m=-3，一次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的特征數(shù)是故選：D【點睛】本題考查了新定義，直線的平移，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點，中心對稱等知識，綜合性較強，根據(jù)點A，B關(guān)于原點對稱得到平移后直線經(jīng)過原點是解題關(guān)鍵4（江蘇省無錫市2021

23、年中考數(shù)學真題）設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”則下列結(jié)論：函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”其中，正確的有（ ）ABCD【答案】A【分析】分別求出的函數(shù)表達式，再在各個x所在的范圍內(nèi)，求出的范圍，逐一判斷各個選項，即可求解【詳解】解：，當時，函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；，當時，函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；，當時，是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；，當時，不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”故選A【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵5（2021

24、·廣西來賓市·中考真題）定義一種運算：，則不等式的解集是（ ）A或BC或D或【答案】C【分析】根據(jù)新定義運算規(guī)則，分別從和兩種情況列出關(guān)于x的不等式，求解后即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意得，當時，即時，則，解得，此時原不等式的解集為；當時，即時，則，解得，此時原不等式的解集為；綜上所述，不等式的解集是或故選：C【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算規(guī)則列出關(guān)于x的不等式6（2021·廣西中考真題）如，我們叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有確定性（如必然存在），互異性（如，），無序性（即改變元素的順序，集合不變）若集合，我們

25、說已知集合，集合，若，則的值是（ ）A1B0C1D2【答案】C【分析】根據(jù)集合的確定性、互異性、無序性，對于集合B的元素通過分析，與A的元素對應分類討論即可【詳解】解：集合B的元素，可得，當時，不滿足互異性，情況不存在，當時，（舍），時，滿足題意，此時，故選：【點睛】本題考查集合的互異性、確定性、無序性。通過元素的分析，按照定義分類討論即可7（2021·湖北中考真題）定義新運算“”：對于實數(shù)，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，如：若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A且BC且D【答案】C【分析】按新定義規(guī)定的運算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項系數(shù)和判別式

26、兩個方面入手，即可解決【詳解】解：x2+1，x52k，k=0，整理得，方程有兩個實數(shù)根，判別式且由得，解得，k的取值范圍是且故選：C【點睛】本題考查了新定義運算、一元二次方程的根的判別等知識點，正確理解新定義的運算法則是解題的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號之間的對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵此類題目容易忽略之處在于二次項系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視8（2021·甘肅武威市·中考真題）對于任意的有理數(shù)，如果滿足，那么我們稱這一對數(shù)為“相隨數(shù)對”，記為若是“相隨數(shù)對”，則（ ）ABC2D3【答案】A【分析】先根據(jù)新定義，可得9m+4n=0，將整式去括號合

27、并同類項化簡得，然后整體代入計算即可【詳解】解：是“相隨數(shù)對”，整理得9m+4n=0，故選擇A【點睛】本題考查新定義相隨數(shù)對，找出數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計算求值，掌握新定義相隨數(shù)對，找出數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計算求值是解題關(guān)鍵二、填空題9（廣西貴港市2021年中考數(shù)學真題）我們規(guī)定：若，則例如，則已知，且，則的最大值是_【答案】8【分析】根據(jù)平面向量的新定義運算法則，列出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可【詳解】解：根據(jù)題意知：因為，所以當時，即的最大值是8故答案是：8【點睛】本題主要考查了平面向量，解題時，利用了配方法求得二次函數(shù)的最值10（遼寧省丹東市2021年中考數(shù)學試題）已

28、知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）若，P為的費馬點，則_；若，P為的費馬點，則_【答案】5 【分析】作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可作出圖形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60，P為的費馬點則四點共線，即，再用勾股定理求得即可【詳解】如圖,過作，垂足為,過分別作, 則, P為的費馬點5如圖： .將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形， P為的費馬點即四點共線時候，=故答案為：5，【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是

29、解題的關(guān)鍵本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)11（浙江省寧波市2021年中考數(shù)學試卷）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“倒數(shù)點”如圖，矩形的頂點C為，頂點E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點A若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形的一邊上，則的面積為_【答案】或【分析】根據(jù)題意，點B不可能在坐標軸上，可對點B進行討論分析：當點B在邊DE上時；當點B在邊CD上時；分別求出點B的坐標，然后求出的面積即可【詳解】解：根據(jù)題意，點稱為點的“倒數(shù)點”，點B不可能在坐標軸上；點A在函數(shù)的圖像上，設(shè)點A為，則點B為，點C為，當點B在邊DE上時；點A與點B都在邊DE上，點A與點B的縱坐

30、標相同，即，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；點B為，的面積為：；當點B在邊CD上時；點B與點C的橫坐標相同，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；點B為，的面積為：；故答案為：或【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程，坐標與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論的思想進行分析12（山東省菏澤市2021年中考數(shù)學真題）定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：當時，函數(shù)圖象的對稱軸是軸；當時，函數(shù)圖象過原點；當時，函數(shù)有最小值；如果，當時，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號是_【答案】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)特征

31、數(shù)，以及的取值，逐一代入函數(shù)關(guān)系式，然判斷后即可確定正確的答案【詳解】解：當時，把代入，可得特征數(shù)為，函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象的對稱軸是軸，故正確；當時，把代入，可得特征數(shù)為，函數(shù)解析式為，當時，函數(shù)圖象過原點，故正確；函數(shù) 當時，函數(shù)圖像開口向上，有最小值，故正確；當時，函數(shù)圖像開口向下，對稱軸為：時，可能在函數(shù)對稱軸的左側(cè)，也可能在對稱軸的右側(cè)，故不能判斷其增減性，故錯誤；綜上所述，正確的是，故答案是：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸等知識點，牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵13（2021·湖南婁底市·中考真題）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心

32、角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作已知，則與的大小關(guān)系是_【答案】【分析】根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作，當時，三角形為等邊三角形，所以圓心角所對的弧長比半徑大，即可判斷大小【詳解】解：根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作，當時，易知三角形為等邊三角形，弦長等于半徑，圓心角所對的弧長比半徑大，故答案是：【點睛】本題考查了弧度的定義，解題的關(guān)鍵是：理解弧度的定義，從而利用定義來判斷14（2021·上海中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方

33、形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點，當正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為_【答案】【分析】先確定正方形的中心O與各邊的所有點的連線中的最大值與最小值，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求解【詳解】解：如圖1，設(shè)的中點為E，連接OA，OE，則AE=OE=1，AEO=90°，點O與正方形邊上的所有點的連線中，最小，等于1，最大，等于，點P與正方形邊上的所有點的連線中，如圖2所示，當點E落在上時，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如圖3所示，當點A落在上時，最小值當正方形ABCD繞中心O旋轉(zhuǎn)時，點P到正方形的距離d的取值范圍是故答案為：【點睛】本題考查了新定義、正方形

34、的性質(zhì)、勾股定理等知識點，準確理解新定義的含義和熟知正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15（2021·湖北中考真題）對于任意實數(shù)a、b，定義一種運算：，若，則x的值為_【答案】或2【分析】根據(jù)新定義的運算得到，整理并求解一元二次方程即可【詳解】解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：，整理可得，解得，故答案為：或2【點睛】本題考查新定義運算、解一元二次方程，根據(jù)題意理解新定義運算是解題的關(guān)鍵三、解答題16（江蘇省南通市2021年中考數(shù)學試題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求

35、出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C當?shù)拿娣e為3時，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為當兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點”； 函數(shù)的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(，)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)y=x2-2（xm）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對稱，

36、然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案【詳解】解：（1）函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)，令y=x，則，即，解得：，函數(shù)的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）函數(shù)，令y=x，則，解得：(負值已舍)，函數(shù)的“等值點”為A(，)；函數(shù)，令y=x，則，解得：，函數(shù)的“等值點”為B(，)；的面積為，即，解得：或；（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)W的解析式為，令y=x，則，即，解得：，函數(shù)的“等值點”為(-1，-1)，(2，2)；令y=x，則，即，當時，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個“等值點”的情

37、況；當時，觀察圖象，恰有2個“等值點”；當時，W1的圖象上恰有2個“等值點”(-1，-1)，(2，2)，函數(shù)W2沒有“等值點”，整理得：，解得：綜上，m的取值范圍為或【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件17（江蘇省常州市2021年數(shù)學中考真題）在平面直角坐標系中，對于A、兩點，若在y軸上存在點T，使得，且，則稱A、兩點互相關(guān)聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關(guān)聯(lián)點已知點、，點在一次函數(shù)的圖像上（1）如圖，在點、中，點M的關(guān)聯(lián)點是_（填“B”、“C”或“D”）；若在線段上存在點的關(guān)聯(lián)點，則點的坐標

38、是_；（2）若在線段上存在點Q的關(guān)聯(lián)點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）分別以點、Q為圓心，1為半徑作、若對上的任意一點G，在上總存在點，使得G、兩點互相關(guān)聯(lián)，請直接寫出點Q的坐標【答案】（1）B；（2）或；（3）或【分析】由材料可知關(guān)聯(lián)點的實質(zhì)就是將點A繞y軸上點T順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90度的得到點故先找到旋轉(zhuǎn)90°坐標變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即可，（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點坐標變化規(guī)律列方程求解點T坐標，有解則是關(guān)聯(lián)點；無解則不是；關(guān)聯(lián)點的縱坐標等于0，根據(jù)關(guān)聯(lián)點坐標變化規(guī)律列方程求解即可；（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點坐標變化規(guī)律得出關(guān)聯(lián)點，列不等式求解即可；（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點的變化規(guī)律可知圓心是互相關(guān)聯(lián)點，由

39、點E坐標求出點Q坐標即可【詳解】解：在平面直角坐標系中，設(shè)，點，關(guān)聯(lián)點，將點A、點、點T向下平移個單位，點T對應點與原點重合，此時點A、點對應點、，繞原點旋轉(zhuǎn)90度的坐標變化規(guī)律為：點（x，y）順時針旋轉(zhuǎn)，對應點坐標為（y，-x）；逆時針旋轉(zhuǎn)對應點坐標為（-y，x），繞原點旋轉(zhuǎn)90度的坐標對應點坐標為或，即順時針旋轉(zhuǎn)時，解得：，即關(guān)聯(lián)點，或逆時針旋轉(zhuǎn)時，解得：，即關(guān)聯(lián)點，即：在平面直角坐標系中，設(shè)，點，關(guān)聯(lián)點坐標為或，（1）由關(guān)聯(lián)點坐標變化規(guī)律可知，點關(guān)于在y軸上點的關(guān)聯(lián)點坐標為：或，若點是關(guān)聯(lián)點，則或，解得：，即y軸上點或，故點是關(guān)聯(lián)點；若點是關(guān)聯(lián)點，則或，無解，故點不是關(guān)聯(lián)點；若點是關(guān)聯(lián)點

40、，則或，無解，故點不是關(guān)聯(lián)點；故答案為：B；由關(guān)聯(lián)點坐標變化規(guī)律可知，點關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點的坐標為或， 若，解得：，此時即點，不在線段上；若，解得：，此時即點，在線段上；綜上所述：若在線段上存在點的關(guān)聯(lián)點，則點故答案為：；（2）設(shè)點與點是關(guān)于點關(guān)聯(lián)點，則點坐標為或，又因為點在一次函數(shù)的圖像上，即：，點在線段上，點、，當， 或，當；綜上所述：當或時，在線段上存在點Q的關(guān)聯(lián)點 （3）對上的任意一點G，在上總存在點，使得G、兩點互相關(guān)聯(lián)，故點E與點Q也是關(guān)于同一點的關(guān)聯(lián)，設(shè)該點，則設(shè)點與點是關(guān)于點關(guān)聯(lián)點，則點坐標為或，又因為在一次函數(shù)的圖像上，即：，點，若，解得：，即點，若，解得：，即點，綜上所述：或【

41、點睛】本題主要考查了坐標的旋轉(zhuǎn)變換和一次函數(shù)圖像上點的特征，解題關(guān)鍵是總結(jié)出繞點旋轉(zhuǎn)90°的點坐標變化規(guī)律，再由規(guī)律列出方程或不等式求解18（湖南省張家界市2021年中考數(shù)學真題試題）閱讀下面的材料：如果函數(shù)滿足：對于自變量取值范圍內(nèi)的任意，（1）若，都有，則稱是增函數(shù)；（2）若，都有，則稱是減函數(shù)例題：證明函數(shù)是增函數(shù)證明：任取，且，則且，即，函數(shù)是增函數(shù)根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）函數(shù)，_，_；（2）猜想是函數(shù)_（填“增”或“減”），并證明你的猜想【答案】（1），；（2）減，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；（2）根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)

42、 中的猜想成立【詳解】解：（1）， （2）猜想：是減函數(shù)；證明：任取，則 且，即 函數(shù)是減函數(shù)【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答19（山東省棗莊市2021年中考數(shù)學真題）小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行探究因為，即，所以可以對比函數(shù)來探究列表：（1）下表列出與的幾組對應值，請寫出，的值： ， ；1234124230描點：在平面直角坐標系中，以自變量的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：（2）請把軸左邊各點和右邊各點，分別用條光滑

43、曲線順次連接起來：（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：當時，隨的增大而 ；（填“增大”或“減小”）函數(shù)的圖象是由的圖象向 平移 個單位而得到函數(shù)圖象關(guān)于點 中心對稱（填點的坐標） 【答案】（1）5，；（2）見解析；（3）增大；上，1；【分析】（1）將和分別代入函數(shù)中，即可求出的值；（2）把軸左邊各點和右邊各點，分別用條光滑曲線順次連接起來即可；（3）根據(jù)函數(shù)的增減性即可得；根據(jù)函數(shù)即可得；函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可得【詳解】解：（1）對于函數(shù)，當時，即，當時，即，故答案為：5，；（2）把軸左邊各點和右邊各點，分別用條光滑曲線順次連接起來如下：（3）當時，隨的增大而增大

44、，故答案為：增大；因為函數(shù)，所以函數(shù)的圖象是由的圖象向上平移1個單位而得到，故答案為：上，1；因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故答案為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵20（內(nèi)蒙古赤峰市2021年中考數(shù)學真題）閱讀理解：在平面直角坐標系中，點M的坐標為，點N的坐標為，且x1x1，y2y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”如圖1中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”（1）已知點A的坐標為若點B的坐標為，則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為_；若點C在直線x=4上，且點

45、A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；（2）已知點P的坐標為，點Q的坐標為， 若使函數(shù)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形 ”有兩個公共點，直接寫出k的取值范圍【答案】（1）12；或；（2）【分析】（1）由相關(guān)矩形的定義可知，要求點A、B的“相關(guān)矩形”的周長，利用點A，點B的坐標求出“相關(guān)矩形”的邊長即可；由“相關(guān)矩形”的定義知， AC必為正方形的對角線，所以可得點C坐標，設(shè)直線AC的解析式為，代入A，C點的坐標，求出k，b的值即可；（2）首先確定P，Q的“相關(guān)矩形”的另兩個頂點坐標，結(jié)合函數(shù)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形 ”有兩個公共點，求出k的最大值和最小值即可得到結(jié)論【詳解】解：（1）

46、點A的坐標為，點B的坐標為，點A、B的“相關(guān)矩形”如圖所示，點A、B的“相關(guān)矩形”周長= 故答案為：12；由定義知，AC是點A，C的“相關(guān)矩形”的對角線，又點A，C的相關(guān)矩形是正方形，且點C的坐標為或設(shè)直線AC的解析式為，將，代入解得，將，代入解得，符合題意得直線AC的解析式為或（2）點P的坐標為，點Q的坐標為，點P，Q的“相關(guān)矩形”的另兩個頂點的坐標分別為（3，-2），（6，-4）當函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，-2）時，k=-6，當函數(shù)的圖象經(jīng)過（6，-4）時，k=-24，函數(shù)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形 ”有兩個公共點時，k的取值范圍是：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答此題需要理解

47、“相關(guān)矩形”的定義，綜合性較高，一定要注意將新舊知識貫穿起來21（湖北省荊州市2021年中考數(shù)學真題）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)進行了探究，在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如下的函數(shù)圖像請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：_；方程的解為：_；若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是_（2）延伸思考：將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當時，自變量的取值范圍【答案】（1）關(guān)于y軸對稱；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，當時，自變量的取值范圍為或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可直接進行作答；

48、由函數(shù)圖象及方程可得當y=-1時，自變量x的值，則可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，進而問題可求解；由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，進而問題可求解；（2）由函數(shù)圖象平移可直接進行求解，然后結(jié)合函數(shù)圖象可求解x的范圍問題【詳解】解：（1）由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對稱，（答案不唯一）；故答案為關(guān)于y軸對稱；由題意及圖象可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，如圖所示：方程的解為；故答案為；由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，如圖所示：由圖象可得若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是；故答案為；（2）由題意得：將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再

49、向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，則平移后的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可得：當時，自變量x的取值范圍為或【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵22（2021·江西中考真題）二次函數(shù)的圖象交軸于原點及點感知特例（1）當時，如圖1，拋物線上的點，分別關(guān)于點中心對稱的點為，如下表：（_，_）補全表格；在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關(guān)于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”探究問題（2）當時，若拋物線與它的“

50、孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_；在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是_（填“”或“”或“”或“”，其中）；若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值【答案】（1）2，0；見解析；（2）；m=1【分析】（1）根據(jù)中心對稱的定義求解即可；根據(jù)表格，描點，連線即可；（2）畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；結(jié)合（1）的圖象以及（2）的圖象即可回答；根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點為，則圖象L的頂點為 (3m，)，再根據(jù)題意即可求解【詳解】（1）點B(-1，3)與點B(5，-3)關(guān)于點A中心對稱，點A的坐標為(，)，即A(2，0)，故答案為：2，0；描點，連線，得到的圖象如圖所示：（2）當m=1時，拋物線L為，對稱軸為，它的“孔像拋物線”L的解析式為，對稱軸為，畫出草圖如圖所示：拋物線L與它的“孔