隨機過程在金融中的應(yīng)用1.基礎(chǔ)知識

1、 -金融資產(chǎn)定價之應(yīng)用金融資產(chǎn)定價之應(yīng)用隨機隨機過程過程基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識基本概念基本概念馬爾可夫過程馬爾可夫過程隨機分析隨機分析平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程鞅和鞅表示鞅和鞅表示維納過程維納過程Ito定理定理基礎(chǔ)資產(chǎn)價格基礎(chǔ)資產(chǎn)價格衍生產(chǎn)品定價衍生產(chǎn)品定價 第一章第一章 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 知知 識識 第一節(jié)第一節(jié) 概概 率率 第二節(jié)第二節(jié) 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 第四節(jié)第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 條件期望條件期望 第六節(jié)第六節(jié) 指數(shù)分布指數(shù)分布 第七節(jié)第七節(jié) 收斂性和極限定理收斂性和極限定理 第一節(jié)第一節(jié) 概概 率率 一

2、、基本概念一、基本概念 1隨機試驗 其結(jié)果在事先不能確定的試驗。具有三個特性： （1）可以在相同的條件下重復(fù)進行； （2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并能事先明確 試驗的所有可能的結(jié)果； （3）每次試驗前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。 2樣本空間樣本空間 隨機試驗所有可能結(jié)果的集合，記為。其中每一個結(jié)果，稱為樣本點 。樣本空間的一個子集E。 對樣本空間的每一個事件E，都有一實數(shù)P（E）與之對應(yīng)，且滿足： （1）3隨機事件隨機事件 4概概 率率 10）（EP1）（P，21EE（3）對兩兩互不相容的事件序列 （2）)11iiiiEPEP（）（則稱P（E）為事件E的概率概率。 二、概率的性質(zhì)：二、概率的性質(zhì)：

3、 1 0）（P2 ）（）（）（）（EFPFPEPFEP3 )(1)(EPEPc4 設(shè) nEEE，21兩兩互不相容 ，則)11niiiniEPEP（）（5 設(shè)兩兩互不相容的事件 ，21EEiiE1則對于任意事件A，有)1iiEAPAP（）（三、概率的連續(xù)性三、概率的連續(xù)性 1極限事件 對于事件 若 ，21EE1nnEE1n則稱事件序列 1nEn，遞增 ，若 1nnEE1n則稱事件序列 1nEn，遞減。 這樣可定義一個新的事件，記為 nnElimiinnEE1lim1nnEEiinnEE1lim1n1nnEE1n 2連續(xù)性定理 若 是遞增的或遞減的事件序列， 1nEn，)limlimnnnnEPE

4、P（）（證明證明 1nEn，nF11EF cnncininnEEEEF111)(1nnFnEiEni 則即 由包含在 中但不在任何前面的 （ ）中的點組成。 設(shè) 是遞增序列，并定義事件 ：定理定理 111EF 2F3F容易驗證 （ ）是互不相交的事件， 且滿足 iiiiEF11iniiniEF11 nF1n和于是）（）（iiiiFPEP11)1iiFP（)lim1niinFP（)(lim1ininFP)(lim1ininEP)(limnnEP設(shè)E為隨機試驗，為其樣本空間，A、B為任意兩個事件，四、條件概率四、條件概率0）（AP）（）（）（APABPABP|為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率

5、，或簡稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。 若1定義則稱定理定理2（乘法公式）（乘法公式） 2基本公式 假設(shè) 為任意n個事件（ ），nAAA，212n021）（nAAAP)|()|()(21312121AAAPAAPAPAAAPn）（）（121|nnAAAAP若則定理定理3（全概率公式與貝葉斯公式）（全概率公式與貝葉斯公式） 設(shè)事件 兩兩互不相容，nBBB，21iniB10）（iBPni,21，則（1）對任意事件A，有 )|)(1iiniBAPBPAP（）（2）對任意事件A ，若 ，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（）（五、獨立性如果事件A，B滿足）（）（）（

6、BPAPABP 設(shè) 是n個事件，如果對于任意 和 ，有 nAAA，21)2(ns sniiis211）（）（）（）（ssiiiiiiAPAPAPAAAP2121則稱事件 相互獨立。 nAAA，21則稱事件A，B相互獨立。 1定義定義兩個兩個n個個2獨立性的性質(zhì) 定理定理4 若事件A，B相互獨立，則 ； ； 分別也相互獨立.定理定理5 設(shè)事件 相互獨立，若其中任意 個事件相應(yīng)地換成它們的對立事件，則所得的n個事件仍然相互獨立。nAAA，21BA與BA與BA與)1(nmm 推論推論 若事件 相互獨立，則 nAAA，21)(11)(11ininiiAPAP)(11)(11ininiiAPAP證證)(

7、1)(11niiniiAPAP)(11niiAPniiAP1)(1) )(1 (11niiAP 一、一維隨機變量的分布一、一維隨機變量的分布 第二節(jié)第二節(jié) 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1隨機變量 設(shè)隨機試驗的樣本空間為設(shè)隨機試驗的樣本空間為 ，如果對于每一，如果對于每一個個 都有唯一的一個實數(shù)都有唯一的一個實數(shù) 與之對應(yīng)，這與之對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系稱為一個隨機變量，記作種對應(yīng)關(guān)系稱為一個隨機變量，記作 或或X。 )(X)(X2分布函數(shù) 隨機變量隨機變量X取值不超過取值不超過x的概率的概率 ， 稱為稱為X的分布函數(shù)（其中的分布函數(shù)（其中x為任意實數(shù)），記為為任意實數(shù)），記為 即即)(xXP)

8、(xF)()(xXPxFx分布函數(shù)分布函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：）具有下列性質(zhì)： 12 是非降函數(shù)，即當(dāng)是非降函數(shù)，即當(dāng) 時，有時，有 )(xF1)(0 xFx21xx )()(21xFxF0)(limxFx1)(limxFx34)()0(xFxFF（x）是右連續(xù)的，即）是右連續(xù)的，即 3分布密度 最常見的隨機變量是離散型和連續(xù)型兩種。最常見的隨機變量是離散型和連續(xù)型兩種。 離散型隨機變量 隨機變量隨機變量X的可能取值僅有有限的可能取值僅有有限個或可列無窮多個。個或可列無窮多個。 設(shè)設(shè) 是離散型隨機變量是離散型隨機變量X的的所有可能的取值，所有可能的取值， 是是 的概率：的概率： ),2, 1

9、(kxkkpkxkkpxXP)(), 2 , 1(k則稱上式為則稱上式為X的的概率分布概率分布或或分布率分布率 。且滿足。且滿足 0kp11kkp3分布密度 連續(xù)型隨機變量 如果對于隨機變量如果對于隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F（x），），存在非負的函數(shù)存在非負的函數(shù)f（x）,使對任意的實數(shù)使對任意的實數(shù)x有有 則稱則稱X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，f（x）稱為）稱為X的概率密的概率密度，且滿足度，且滿足xdttfxF)()(0)(xf1)(dxxf二、隨機變量的聯(lián)合分布二、隨機變量的聯(lián)合分布 1聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)設(shè) 是樣本空間是樣本空間 的的n個隨機個隨機變量，變量， 為任意實數(shù)

10、，則稱為任意實數(shù)，則稱 特別地 為隨機變量的為隨機變量的n維聯(lián)合分布函數(shù)維聯(lián)合分布函數(shù) nXXX，21nxxx，21),(),(221121nnnxXxXxXPxxxF，),()(yYxXPyxF，即是即是X，Y的二維聯(lián)合分布函數(shù)的二維聯(lián)合分布函數(shù) 2二維分布密度 離散型離散型 設(shè)（設(shè)（X，Y）所有可能的取值為）所有可能的取值為 ，而，而 是（是（X，Y）取值）取值 為為 的概率，即的概率，即則稱上式為二維離散型隨機向量（則稱上式為二維離散型隨機向量（X，Y）的）的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律。它滿足它滿足 ),(jiyx, 2 , 1( i), 2 , 1jijp),(jiyxijjipyYxXP)

11、,(0ijp111ijijp2二維分布密度連續(xù)型 如果存在一個非負的二元函數(shù)如果存在一個非負的二元函數(shù)f（x，y）,使對使對任意的實數(shù)任意的實數(shù)x，y有有則稱（則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，）為二維連續(xù)型隨機變量，f（x，y）稱為）稱為（X，Y）的概率密度，滿足：）的概率密度，滿足： xydudvvufyxF),()( ，0),(yxf1),( dxdyyxf3邊緣分布及獨立性 邊緣分布 設(shè)（設(shè)（X，Y）的分布函數(shù)為）的分布函數(shù)為 ，則，則X，Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) 、 ，依次稱為關(guān)于，依次稱為關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，且有的邊緣分布函數(shù)，且有 )(yxF，)(xFX)(yFY

12、),()(xFxFX),()(yFyFY 獨 立 性)(yxF，)(xFX)(yFY則稱隨機變量則稱隨機變量X和和Y是相互獨立的。是相互獨立的。 離散型離散型若隨機變量（若隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律）的聯(lián)合分布律 分別稱為（分別稱為（X，Y）關(guān)于）關(guān)于X和和Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。 , 2 , 1( i), 2 , 1jijjipyYxXP),(ijjiipxXPp1)(則則ijijjpyYPp1)(X和和Y相互獨立相互獨立的充要條件是的充要條件是jiijppp連續(xù)型連續(xù)型若隨機變量（若隨機變量（X，Y）的概率密度為）的概率密度為 則則 X和和Y相互獨立相互獨立的充要條件是的充要條件

13、是),(yxf分別稱為（分別稱為（X，Y）關(guān)于）關(guān)于X和和Y邊緣概率密度。邊緣概率密度。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(),( yxf)(xfX)(yfY4條件分布函數(shù) 離散型 若若 ，則稱，則稱 為在條件為在條件 下，隨機變量下，隨機變量X的條件分布律的條件分布律 。0)jyYP （jijjjijippyYPyYxXPyYxXP),)|（ixX jyY iijijiijppxXPyYxXPxXyYP),)|（同樣同樣為在條件為在條件 下，隨機變量下，隨機變量Y的條件分布律。的條件分布律。 4條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱為在條件稱為在條件 下，隨機變量下，隨機變量X的條件分布律

14、的條件分布律 。同樣同樣稱為在條件稱為在條件 下，隨機變量下，隨機變量Y的條件分布律。的條件分布律。 )(),()|(yfyxfyxfYyY )(),()|(xfyxfxyfXxX 注意注意：分母不等于：分母不等于0第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征一、期望和方差一、期望和方差 1期望期望 設(shè)設(shè)離散型隨機變量隨機變量X的分布律為的分布律為 則則kkpxXP)(, 2 , 1k)(XEkkkpx1 設(shè)設(shè)連續(xù)型隨機變量隨機變量X的概率密度為的概率密度為 ，)(xf則則)(XEdxxxf)(函數(shù)期望函數(shù)期望 當(dāng)當(dāng) X為為離散型隨機變量隨機變量則則 當(dāng)當(dāng)X為為連續(xù)型隨機變量，隨機變量，

15、則則)(XgY)()(XgEYEkkkpxg)(1)()(XgEYEdxxfxg)()(2。方差。方差 稱隨機變量稱隨機變量 的期望為的期望為X的的方差，即方差，即 計算方差時通常用下列關(guān)系式：計算方差時通常用下列關(guān)系式： 2)(XEX)(XD)(2XEXE)(XD22)(XEXE3性質(zhì)性質(zhì)（1）（2） （3） 若若X和和Y相互獨立，則相互獨立，則CCE)(0)(CD)()(XCECXE)()(2XDCCXDniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE（4）0)(XD的充要條件是的充要條件是 1)(XEXP返回返回3性質(zhì)性質(zhì)（5）（柯西）（柯西許瓦茲不等式）許瓦茲不等式） 等式成

16、立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪?dāng)且僅當(dāng) （6）若若X為非負整數(shù)值的隨機變量，則為非負整數(shù)值的隨機變量，則 證證 )()(| )(|222YEXEXYE1)(0XtYP)()(1iXPXEi（7）若）若X為非負值的隨機變量，則為非負值的隨機變量，則 1()()kE XkP Xk0)(1)(dxxFXE）（) 1(XP)2()2(XPXP) 3() 3() 3(XPXPXP)()()(nXPnXPnXP最后對每一叢向列求和，即得。最后對每一叢向列求和，即得。1協(xié)方差協(xié)方差 計算協(xié)方差時通常用下列關(guān)系式：計算協(xié)方差時通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(CovYX)()(YEYXE

17、XE),(CovYX)()()(YEXEXYE2.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) )()(),(CovYDXDYXrXY3性質(zhì)性質(zhì)（1） （2）若）若X和和Y相互獨立，則相互獨立，則 （4） 的充要條件是的充要條件是X與與Y以概率以概率1 線性相關(guān)，即線性相關(guān)，即),(Cov2)()(1,11jnjijiiniiniiXXXDXD0),(CovYX1|XYr（3）1|XYr1)(baXYP返回返回例例1 設(shè)設(shè)X N（0，1），求），求 解解 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，由分部積分得為偶數(shù)時，由分部積分得 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， )(nXE)(nXEdxexxn22210)(nXE)(nXEdxexnxn22221)

18、() 1(2nXEn依次遞推，注意到依次遞推，注意到 ，故，故 1)(0 xE偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135) 3)(1(0)(nnnnnXEn 在一次集會上，在一次集會上，n個人把他們的帽子放到房間的個人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個人隨機地選取一項，求中央混合在一起，而后每個人隨機地選取一項，求每人拿到自己的帽子的人數(shù)每人拿到自己的帽子的人數(shù)X的均值和方差。的均值和方差。 例例2（匹配問題）（匹配問題） 解解 利用表達式利用表達式 nXXXX21其中其中其它個人拿到自己的帽子如果第，01iiX即求即求EX、DX故故 因因nXPi/1) 1(nXEi/1)(221)1(1)(nn

19、nnXDi又又 ),(CovjiXX)()()(jijiXEXEXXE而而其它個人都拿到自己的帽子個人與第如果第，01jijiXX得得11)(jijiXXPXXE， 1| 1 1ijiXXPXP111nn故故 ),(CovjiXX) 1(1nn21n所以所以1)(XE1) 1(121)(22nnCnnXDn) 1(12nn一、矩母函數(shù)一、矩母函數(shù) 第四節(jié)第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1定義定義 稱稱 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 為為X的矩母函數(shù)的矩母函數(shù)2原點原點矩的求法矩的求法 tXe)(tXeEt 利用矩母函數(shù)可求得利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對的各階矩，即對 逐次求導(dǎo)并計算

20、在逐次求導(dǎo)并計算在 點的值：點的值： )(t0t)(tXXeEt )()tXnneXEt （)0()nnXE（3和的矩母函數(shù)和的矩母函數(shù) 定理定理1 設(shè)相互獨立的隨機變量設(shè)相互獨立的隨機變量 的的矩母函數(shù)分別為矩母函數(shù)分別為 ， ， ， 則其和則其和 的矩母函數(shù)為的矩母函數(shù)為 rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr 例例1 設(shè)設(shè)X與與Y是獨立的正態(tài)隨機變量，各自的均值為是獨立的正態(tài)隨機變量，各自的均值為 與與 ，方差為，方差為 與與 ，求，求X+Y的矩的矩母函數(shù)。母函數(shù)。 解解 而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為 122122)(）（YX

21、tYXeEttXeEtYeE)(tX)(tY2/exp)(22ttt所以所以 )(tYX 2/)()exp(2222121tt 二、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 1 .復(fù)隨機復(fù)隨機 變量變量 設(shè)設(shè)X，Y為二維（實）隨機變量，則稱為二維（實）隨機變量，則稱 為復(fù)隨機變量為復(fù)隨機變量.2.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 3 .特征函數(shù)特征函數(shù) iYXZ)()()(YiEXEZE 設(shè)設(shè)X為隨機變量，稱復(fù)隨機變量為隨機變量，稱復(fù)隨機變量 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望itXe)(tXitXeE為為X的特征函數(shù)，其中的特征函數(shù)，其中t是實數(shù)。是實數(shù)。 還可寫成還可寫成 )(tXsincostXiEtXE4特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函

22、數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函數(shù)與分布函數(shù)特征函數(shù)與分布函數(shù) 相互唯一確定。相互唯一確定。特別特別 當(dāng)當(dāng) 存在時，有存在時，有 )()(xfxF)(tdxxfeitx)()(xfdtteitx)(215特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 對任何實數(shù)對任何實數(shù)t， 1| )(|tX證證 1| )(| )(|itXitXXeEeEt性質(zhì)性質(zhì)2 證證性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)設(shè)a，b為任意實數(shù)，為任意實數(shù)， ，則，則Y的特的特征函數(shù)征函數(shù) 有有證證 )()(ttXX )( tXsincosXtiXtE）（）（sincostXiEtXEsincostXiEtXE)(tXbaXY)(tY)()(atetXitbY)(

23、)(baXitYeEt)itbXatieeE（)XatiitbeEe（)(ateXitb性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)相互獨立的隨機變量設(shè)相互獨立的隨機變量 的的特征函數(shù)分別為特征函數(shù)分別為 ， ， 則和則和 若隨機變量若隨機變量X的的 n階絕對矩存在，即階絕對矩存在，即 |nXE則則X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 有有n階導(dǎo)數(shù)，且有階導(dǎo)數(shù)，且有 ) (tX)0()()()(kXkkiXEnk, 2 , 1rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 )(tY)(1t)(2t)(tr例例2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函數(shù)。

24、的特征函數(shù)。解解 由于由于 所以所以 ekkXPk?。?(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee例例3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從服從a，b上的均勻分布，求上的均勻分布，求X的的特征函數(shù)。特征函數(shù)。 解解 X的概率密度為的概率密度為 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb例例4 設(shè)設(shè)X B（n，p），求），求X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 及及和和 。 解解 X的分布律為的分布律為所以所以 )(tX）（ XE）（XDknkknqpckXP ）（)(tXknkknnkitkqpce0knkitknnkqpec)(0

25、nitqpe)(由性質(zhì)由性質(zhì)4知知 npqpedtdiXEtnit0|)(）（2202222|)()(pnnpqqpedtdiXEtnit）（故故 ）（ XD22)XEXE（）（npq常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)見教材見教材一、條件期望的定義一、條件期望的定義 第五節(jié)第五節(jié) 條件期望條件期望 離散型離散型 其中其中連續(xù)型連續(xù)型 其中其中)|(jyYXE)|(1jiiiyYxXPx)(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP)|(yYXEdxyxfx)|()|(yxf條件概率密度條件概率密度 二、全數(shù)學(xué)期望公式二、全數(shù)學(xué)期望公式 定理定理1 對一切

26、隨機變量對一切隨機變量X和和Y，有有 連續(xù)型連續(xù)型 是隨機變量是隨機變量Y的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng) 時取值時取值因而它也是隨機變量。因而它也是隨機變量。 )|(YXEyY )|(yYXE離散型離散型 )|(YXEE)(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXEdyyfyYXEXEY)()|()(證證 只證（只證（X，Y）是離散型隨機向量時的情況）是離散型隨機向量時的情況 )()|(1jjjyYPyYXE)()|(11jjijiiyYPyYxXPx),(11jijiiyYxXPx),(11jijiiyYxXPx)()(1XExXPxiii 一礦工困在礦井中，要到達安全地帶，有三個一礦工困在礦井中，

27、要到達安全地帶，有三個通道可選擇，他從第一個通道出去要走通道可選擇，他從第一個通道出去要走3個小時可個小時可到達安全地帶，從第二個通道出去要走到達安全地帶，從第二個通道出去要走5個小時又個小時又返回原處，從第三個通道出去要走返回原處，從第三個通道出去要走7個小時也返回個小時也返回原處。設(shè)任一時刻都等可能地選中其中一個通道，原處。設(shè)任一時刻都等可能地選中其中一個通道，試問他到達安全地點平均要花多長時間。試問他到達安全地點平均要花多長時間。 例例1 解解 設(shè)設(shè)X表示礦工到達安全地點所需時間，表示礦工到達安全地點所需時間，Y表示表示他選定的通道，則由定理他選定的通道，則由定理1可知可知 )( XE)

28、|(YXEE) 1() 1|(YPYXE) 2() 2|(YPYXE) 3() 3|(YPYXE )7()5(331EXEX15)(XE所以所以 設(shè)在某一天內(nèi)走進一個商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望設(shè)在某一天內(nèi)走進一個商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等于等于100的隨機變量，又設(shè)這些顧客所花的錢都為的隨機變量，又設(shè)這些顧客所花的錢都為數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望是10元的相互獨立的隨機變量，再設(shè)一個元的相互獨立的隨機變量，再設(shè)一個顧客化錢時和進入該商店的總?cè)藬?shù)獨立，試問在給顧客化錢時和進入該商店的總?cè)藬?shù)獨立，試問在給定的一天內(nèi)，顧客們在該店所化錢的期望值為多少？定的一天內(nèi)，顧客們在該店所化錢的期望值為多少？ 例例2 解解 設(shè)設(shè)

29、N 表示進入該店的顧客人數(shù)，表示進入該店的顧客人數(shù)， 表示第表示第i個顧個顧客所花的錢數(shù)，客所花的錢數(shù)， iX則則N 個顧客所花錢的總數(shù)為個顧客所花錢的總數(shù)為 NiiX1則一天內(nèi)顧客們在該店所化錢的期望值是則一天內(nèi)顧客們在該店所化錢的期望值是 NiiXE1NiiNXEE1|）（而而 從而從而 由假設(shè)由假設(shè)所以所以 NiinNXE1|）（niinNXE1|）（niiXE1）（)(XnENiiNXE1|）（)(XNENiiXE1)()()(XENEXNEE100)(NE10)()(iXEXE于是于是 NiiXE1100010100它說明顧客們花費在該店錢數(shù)的期望值為它說明顧客們花費在該店錢數(shù)的期望

30、值為1000元。元。 三、條件期望的應(yīng)用三、條件期望的應(yīng)用 定理定理2 設(shè)設(shè)X、Y是隨機變量，是隨機變量， 是是Borel函數(shù)，函數(shù)， 證證 下面的命題說明在均方意義下，在已知隨機變量下面的命題說明在均方意義下，在已知隨機變量X的條件下，的條件下， 是是Y的最佳預(yù)測。的最佳預(yù)測。則則 )|(XYE)(xg)(2XgYE)|(2XYEYE|)(2XXgYE|)()|()|(2XXgXYEXYEYE|)|(2XXYEYE|)()|(2XXgXYEE)|(2XYEYE|)()|(XXgXYE由于由于 當(dāng)當(dāng)X取定值時是常數(shù)，取定值時是常數(shù)， )()|(XgXYE所以所以 )()|(XgXYE0| )|

31、(XXYEYE故得故得 |)(2XXgYE|)|(2XXYEYE由定理由定理1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。 通常當(dāng)我們觀察到通常當(dāng)我們觀察到 時，時， 是一切對是一切對Y的估值中均方誤差最小的一個，我們稱的估值中均方誤差最小的一個，我們稱之為之為Y關(guān)于關(guān)于X的回歸的回歸。 例例3 設(shè)身高為設(shè)身高為x（cm）的男子，其成年兒子的身高）的男子，其成年兒子的身高服從均值為服從均值為 ，方差為，方差為10的正態(tài)分布，問身高的正態(tài)分布，問身高為為175cm的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值是多少？是多少？令令X表示父親身高，表示父親身高，Y表

32、示兒子身高，則表示兒子身高，則 xX )|(xXYE3x解解 3XY N（0，10）與與X獨立獨立 Y的最佳預(yù)測是的最佳預(yù)測是 )175|(XYE)175|3(XXE)175|(3175XE178)(178E即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值是即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值是178cm。 一、指數(shù)分布的定義一、指數(shù)分布的定義 第六節(jié)第六節(jié) 指數(shù)分布指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的概率密度為 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 則稱則稱X具有參數(shù)為具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。 0,00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0（二、無記憶性二、無記憶性 若

33、隨機變量若隨機變量X滿足滿足 則稱隨機變量則稱隨機變量X是是無記憶的無記憶的。 如果我們把如果我們把X看作某儀器的壽命，則看作某儀器的壽命，則X的無記的無記憶性表示憶性表示 :|sXPtXtsXP0ts， 在儀器已工作了在儀器已工作了t 小時的條件下，它至少工作小時的條件下，它至少工作 小時的概率與它原來至少工作小時的概率與它原來至少工作s 小時的概率是小時的概率是相同的。相同的。 換句換句話說話說 如果儀器在時刻如果儀器在時刻t是完好的，則它的剩余壽是完好的，則它的剩余壽命的分布就是原來壽命的分布。命的分布就是原來壽命的分布。ts 考慮一個有兩名營業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)考慮一個有兩名營業(yè)員的郵局

34、。假設(shè)當(dāng)A進去進去時，他發(fā)現(xiàn)一名營業(yè)員正在給時，他發(fā)現(xiàn)一名營業(yè)員正在給B辦事而另一名營業(yè)辦事而另一名營業(yè)員正在為員正在為C服務(wù)。還假設(shè)已告訴服務(wù)。還假設(shè)已告訴A ，一旦，一旦B或或C離開離開就為他服務(wù)。如果一個營業(yè)員為一個顧客所花的時就為他服務(wù)。如果一個營業(yè)員為一個顧客所花的時間服從均值是間服從均值是 的指數(shù)分布。三個顧客中的指數(shù)分布。三個顧客中A最后最后離開郵局的概率是多少？離開郵局的概率是多少？ 例例1 解解 考慮考慮A發(fā)現(xiàn)一個營業(yè)員有空的時刻，此時發(fā)現(xiàn)一個營業(yè)員有空的時刻，此時B與與C中有中有一個剛好離開而另一個仍在接受服務(wù)。一個剛好離開而另一個仍在接受服務(wù)。 由指數(shù)分布的無記憶性，這另

35、一個人在郵局再花由指數(shù)分布的無記憶性，這另一個人在郵局再花費的時間也服從指數(shù)分布，其均值仍為費的時間也服從指數(shù)分布，其均值仍為 ，即仿佛他才開始服務(wù)即仿佛他才開始服務(wù) ./1/1因此由對稱性，他在因此由對稱性，他在A之前結(jié)束服務(wù)的概率為，之前結(jié)束服務(wù)的概率為，故故A最后離開郵局的概率也是最后離開郵局的概率也是 。2/12/1 三、失效率函數(shù)三、失效率函數(shù) 指數(shù)變量的無記憶性可有指數(shù)分布的失效指數(shù)變量的無記憶性可有指數(shù)分布的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險率函數(shù)）進一步予以闡明。率函數(shù)（也稱風(fēng)險率函數(shù)）進一步予以闡明。 1定義定義 設(shè)設(shè) 是一個非負連續(xù)隨機變量是一個非負連續(xù)隨機變量X的分布的分布函數(shù)，其密度

36、函數(shù)函數(shù)，其密度函數(shù) ， )(tF)(tf則則 )()()(tFtft 稱為稱為X 的的失效（或風(fēng)險）率函數(shù)失效（或風(fēng)險）率函數(shù)。 )(1)(tFtF)(tXP存活函數(shù)存活函數(shù) 2 的直的直觀解釋觀解釋 為了闡明的意義，把為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件設(shè)想為某種元件的壽命，且的壽命，且X假定已經(jīng)存活假定已經(jīng)存活t 小時，我們要小時，我們要求再過時間求再過時間dt它失效的概率，即考慮它失效的概率，即考慮 由于由于 可見可見 表示一個表示一個t 歲的元件將失效的可能性大小，歲的元件將失效的可能性大小，即元件將失效的概率強度。即元件將失效的概率強度。 |tXdttXtP|tXdttXtP,tXPtXdttXtPtXPdttXtP)()(tFdttfdtt)()(t)(t 3生起率生起率 假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，一個一個t 歲的元件的剩余壽命的分布與一個新歲的元件的剩余壽命的分布與一個新元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。 事實上事實上 指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù)指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù) 常常稱為分布的稱為分布的生起率生起率（或速率）。（或速率）。 )()()