高中立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題(上)

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何一、空間多邊形及一些基本定義1、.空間多邊形不在同一平面內(nèi)的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.2、若空間折線的最后一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線.3、若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個(gè)不定義的概念，幾何里的平面是無限伸展的.4、平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示.5、平面常用希臘字母、或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.n6、在立體幾何中，大寫字母A，B，C，表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的

2、符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：n Al點(diǎn)A在直線l上；A點(diǎn)A不在平面內(nèi)；nl屬于直線l在平面內(nèi)；na不屬于直線a不在平面內(nèi)；nlm=A直線l與直線m相交于A點(diǎn)；nl=A平面與直線l交于A點(diǎn)；n=l平面與平面相交于直線l.shu二.平面的基本性質(zhì)n公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).n公理2 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.n公理3 經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.n根據(jù)上面的公理，可得以下推論.n推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.n推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.n推

3、論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.三.空間線面的位置關(guān)系n 共面 平行沒有公共點(diǎn)n(1)直線與直線 相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)n 異面(既不平行，又不相交)n 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)n(2)直線和平面 直線不在平面內(nèi) 平行沒有公共點(diǎn)n 相交有且只有一公共點(diǎn)n(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))n 平行沒有公共點(diǎn)、 四.異面直線的判定 n證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.n有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線”. 五.線面平行與垂直的判定n(1)兩直線平行的判定n定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.n如果一條直

4、線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a,a，=b,則ab.n平行于同一直線的兩直線平行，即若ab,bc,則ac.n垂直于同一平面的兩直線平行，即若a，b，則abn兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若,=b,則abn如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即若=b,a,a，則ab.例1、n已知四邊形是ABCD空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn)n求證：EFGH是平行四邊形AHGFEDCBn(2)兩直線垂直的判定n定義：若兩直線成90角，則這兩直線互相垂直.n一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一

5、條垂直.即若bc,ab,則acn一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,b，ab. 三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.n如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a,b,則ab.n三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,，,且=a,=b,=c，則ab,bc,ca.例2、n如圖P是 所在平面外一點(diǎn)， 平面PAB，M是PC的中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)， （1）求證： ；n（2）當(dāng) ， 時(shí)，求MN的長(zhǎng)。 N M P C B AABC,PAPB CB3ANNBMNAB90APB24ABBCn(

6、3)直線與平面平行的判定n定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.n如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a,b，ab,則a.n兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若,l，則l.n如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若,l，l，則l.n在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB.n兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若,a，a，a，則.n如果一條直線與一個(gè)

7、平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a,b，ba，則b.n如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b)例3、n如圖，在正方體中 ，E是AA1的中點(diǎn)，n求證： 平面BDE。1111ABCDABC D1/ACA1ED1C1B1DCBA例4、n已知正方體 ， O是底 對(duì)角線的交點(diǎn).n求證：() C1O面 n （2） 面A B C D1111ABCDABC D11AB D11AB D1AC D1ODBAC1B1A1C例5、n如圖，在正方體 中，E是AA1的中點(diǎn).n（1）求證： 平面BDE；1/AC1111ABCDA

8、B C Dn(4)直線與平面垂直的判定n定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.n如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l.n如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la,a,則l.n一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若,l，則l.n如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若,a=，l，la,則l.n如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若,且a=,則a.例6、n如圖，已知空間四邊形ABCD中， ，E是AB的中點(diǎn)。n求證：（1） 平面CDE;,BCAC ADBDABAEDBC例7、n已知 中 , 面ABC, , 求證： 面 SBC ABC90ACBSAADSCAD SDCBA例8、n已知正方體 ，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).n求證：() C1O面 AB1D1 ；(2) 面 AB1D1 1111ABCDABC D1AC D1ODBAC1B1A1C例9、n正方體中 ，n求證：（1） ；n（2）.ABCDA B C DACB D