二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、1浙教版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果y =ax2bx c（a,b,c是常數(shù)，a = 0），特別注意 a 不為零，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。2y = ax bx c（a,b,c是常數(shù)，a = 0）叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像K二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于X = 對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。3、 二次函數(shù)圖像的畫法-五點(diǎn)作圖法：（1） 先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸（2）求拋物線y =ax2 bx - c與坐標(biāo)軸

2、的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B 及拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C，再找到點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y 軸的交點(diǎn) C 及對(duì)稱點(diǎn) D。由 C、M、D 三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。_ 2【例 1】、已知函數(shù) y=x -2x-3，（1） 寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與y 軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù) 圖象的草圖；（2）求圖

3、象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積：（3） 根據(jù)第（1）題的圖象草圖，說出 x 取哪些值時(shí)，y=0 :y0知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣-一般兩根三頂點(diǎn)（1）般一般式：y = ax2 bx c（a, b, c是常數(shù)，a = 0）（2）兩根當(dāng)拋物線y二ax2 bx c與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bx 0有實(shí)根x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2bxa（x - xj（x - x2），二次函數(shù)y = ax2 bx c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng) =a（x -xj（x -X2）。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。2a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點(diǎn)頂點(diǎn)式：

4、y =a（x -h）2 k（a,h,k是常數(shù)，a = 0）當(dāng)題目中告訴我們拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，我們最好設(shè)頂點(diǎn)式，這樣最簡(jiǎn)潔。3【例1】、拋物線y =ax?+bx +c與 x 軸交于 A （1, 0）, B （3, 0）兩點(diǎn)，且過（-1,16）,求拋物線的解析式。是矩形 DEFG 上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1） abc_ 0（或或=）（2）_a 的取值范圍是【例 3】、下列二次函數(shù)中，圖象以直線x= 2 為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)（0,1）的是（）2 2 2 2A.y= （x- 2）+ 1 B .y= （x+ 2）+ 1 C .y= （x- 2）- 3 D.y= （x+ 2）- 3知識(shí)點(diǎn)三、二次函

5、數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x -時(shí)，y最值二 麻一麻一13【例 2】、如圖，拋物線y = ax2bx c與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)A 在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn) C42a4a如果自變量的取值范圍是X1乞X乞X2，那么，首先要看b2a是否在自變量取值范圍治乞X乞x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi),K則當(dāng) x= 一時(shí),2ay最值24ac -b4aX1乞X乞X2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大，則當(dāng)2 2x =x2時(shí)，y最大=ax2bx2c，當(dāng)x二x1時(shí)，y最小=ax1bx1c；如果在此范圍內(nèi)，y 隨 x 的增

6、大而減小，則當(dāng)x =X1時(shí)，y最大二ax；bx1c，當(dāng)x時(shí)，y最小二ax；【例1】、已知二次函數(shù)的圖像（ 下列說法正確的是（）A .有最小值0， 有最大值 3C.有最小值1,有最大值30 xw3）如圖所示，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)B .有最小值1,有最大值 0【例2】、某賓館有 50 個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180 元時(shí)，房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10 元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出 20 元的各種費(fèi)用根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340 元設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x 元（X 為 10的正整數(shù)倍）.（1 ）設(shè)一天訂住的

7、房間數(shù)為y,直接寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量 x 的取值范圍；（2）設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為 w 元，求 w 與 x 的函數(shù)關(guān)系式;（3） 天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？若不在此范圍5知識(shí)點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)y =ax +bx+c（a,b,c是常數(shù),a鼻0）a0a0y1111yI圖像11X0 x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1） 拋物線開口向下, 并向下無限延伸；（2）對(duì)稱軸是 x=-，（2）對(duì)稱軸是 x=-b2a2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b 4ac b、 -， ）；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-,4ac - b2）；2a4a2a4a（3）在對(duì)稱軸的

8、左側(cè)，即當(dāng)bxW - 時(shí)，y 隨 x（3） 在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng) x時(shí)，y 隨2ab時(shí)，V 隨 x 的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減：逍 x 的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；2a（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)bX-時(shí)，y 有最小（4） 拋物線有最高點(diǎn), 當(dāng)x=_u時(shí)，y 有最2a2a4ac b2大值，y最大值=4ac -b2值，y最小值-4a4a22、二次函數(shù)y =ax bx c（a,b, c是常數(shù)，a = 0）中，a、b、c的含義:a表示開口方向：ao 時(shí)，拋物線開口向上a0 時(shí)，圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) =0 時(shí)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；6當(dāng)八：0 時(shí)，圖像與 x 軸沒有交點(diǎn)。7【例 1】、拋物線y

9、=x2-2x-3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【例 2】、二次函數(shù)y=x2+2x_5有（）A .最大值-5B.最小值一5C.最大值一6D.最小值一6【例 3】、由二次函數(shù) y=2（x_3）2+1，可知（）A.其圖象的開口向下B.其圖象的對(duì)稱軸為直線x = OC.其最小值為 1 D .當(dāng)x：3時(shí)，y 隨 x 的增大而增大【例 4】、已知函數(shù)y =（k _3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，貝 Uk的取值范圍是（）A. k 0 時(shí)y值隨x值增大而減小的是（).231A.y= =xB. y=x1C.y=4xD. y =x【例6】、 若二次函數(shù)y = (xm)21.當(dāng)x wl時(shí)，y隨x的增大而減小，貝U m的取值范

10、圍是（)A .m=l B.m1 C .ml D.m wl知識(shí)點(diǎn)五、二次函數(shù)圖象的平移1對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c 的平移2通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a（x-h ） +k，再遵循 左加右減，上加下減的的原則化為頂點(diǎn)式有兩種方法：配方法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法。在用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后，在寫頂點(diǎn)式時(shí)，要減 去頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，加上頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。2y二ax2 bx沿 y 軸平移：向上（下）平移m（m 0）個(gè)單位，y二ax2bx c變成y二ax2bx c m2（或y二ax bx c - m）3當(dāng)然，對(duì)于拋物線的一般式平移時(shí)，也可以不把它化為頂點(diǎn)式y(tǒng) = ax2bx c:向左（右）平移m（m0）

11、個(gè)單位，y = ax2bx c變成y = a（x m）2b（x m） c（或2y = a(x - m) b(x - m) c)2【例1】、將拋物線 y = -x 向左平移 2 個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（）2 2A.y = -(x 2)B .y = _x2 22C .y = -(x - 2)D .y = -x- 2【例2】、將拋物線 y=x2 2x 向上平移3 個(gè)單位，再向右平移 4 個(gè)單位等到的拋物線是【例 3】、拋物線y =x2可以由拋物線2y = （x+2） -3平移得到，則下列平移過程正確的是（）A.先向左平移2 個(gè)單位，再向上平移3 個(gè)單位B.先向左平移2 個(gè)單位,再向下平移3

12、 個(gè)單位C.先向右平移2 個(gè)單位,再向下平移3 個(gè)單位D.先向右平移2 個(gè)單位,再向上平移3 個(gè)單位2【補(bǔ)】拋物線 y=2x -3x-7在 x 軸上截得的線段的長(zhǎng)度為8【公式】拋物線 y=ax2+bx+c 在 x 軸上截得的線段的長(zhǎng)度為9知識(shí)點(diǎn)六、拋物線y = ax2 bx c中，a、b、c 的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.2b（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置 .由于拋物線y =ax2 bx c的對(duì)稱軸是直線x，故b =0時(shí),2a對(duì)稱軸為y軸；- 0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；-：0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右a a側(cè).口訣-左同，右異

13、 （a、b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)）（3）c的大小決定拋物線y二ax2 bx c與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x=0時(shí)，y二c，二拋物線y二ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）:c = 0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；c 0,與y軸交于正半軸；c：0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則 -:0.a【例 1】、如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=O（=1,則下列關(guān)系中正確的是（）A. a + b= 1B. a b= 1 C . b2a D. ac0 B.bv0 C.cv0 D.a+b+c022【例 3】、如圖

14、所示的二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b 4ac0； （2）c1; （3） 2ab0； （4）a+b+c2a；ax +bx+c=0的兩根分別為-3 和 1;a-2b+c 0 .其中正確的命題是 _.（只要求填寫正確命題的序號(hào)）【例 6】、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對(duì)稱軸，則下列關(guān)系正確的是（）10A. m=n，khB. m=n，kvhC. mn，k=hmvn，k=h11知識(shí)點(diǎn)七、中考二次函數(shù)壓軸題中常用到的公式(浙教版教材上沒講過，但是非常有用，一定要理解性地記憶)A 坐標(biāo)為(xi， yj，點(diǎn) B 坐標(biāo)為(x2， y2)，貝 V AB

15、 間的距離，即線段 AB 的長(zhǎng)度為.X, -X22y1-y22(這實(shí)際上是根據(jù) 勾股定理 得出來的)2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(Xi, yi),Bg,y2), AB 中點(diǎn) P的坐標(biāo)為(Xp,yp)由 Xp-Xi=X2-Xp，得 Xp二仝X2,2同理 yp二上 上，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(仝y2) 2 2 23、兩平行直線的解析式分別為：y=kix+bi, y=k2X+b2，那么 ki=k2，也就是說當(dāng)我們知道一條直線的k 值，就一定能知道與它平行的另一條直線的 k 值。4、兩垂直直線的解析式分別為：y=kiX+bi, y=k2X+b2，那么 kiXk2

16、=-1，也就是說當(dāng)我們知道一條直線的k 值，就一定能知道與它垂直的另一條直線的k 值。(對(duì)于這一條，只要能靈活運(yùn)用就行，不需要理解)以上四條，我稱它們?yōu)樽鴺?biāo)系中的“四大金剛”一2【例 1】、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y= -X+2X+3與 X 軸交于 A B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) D 是該拋物 線的頂點(diǎn).(1)求直線 AC 的解析式及 B D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn) P 是 x 軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P 作直線 I / AC 交拋物線于點(diǎn) Q,試探究：隨著 P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn) Q,使以點(diǎn) A P、Q、C 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q

17、的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.(3) 請(qǐng)?jiān)谥本€ AC 上找一點(diǎn) M，使 BDM 的周長(zhǎng)最小，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo).【例 2】、如圖，已知拋物線 y= - x2+bx+c 與一直線相交于 A(- 1,0), C( 2, 3)兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) N.其頂點(diǎn)為 D.( 1) 求拋物線及直線 AC 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)點(diǎn) M( 3, m),求使 MN+M 啲值最小時(shí) m 的值；(3)若拋物線的對(duì)稱軸與直線 AC 相交于點(diǎn) B, E 為直線 AC 上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EF/ BD 交拋物線于點(diǎn) F,以 B, D, E, F 為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)

18、說明理由；1、兩點(diǎn)間距離公式：如圖：點(diǎn)1213【例 3】、如圖，拋物線y=X?x-4與 x 軸交于 A, B 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右邊），與 y 軸交于 C,連接 BC,以42BC 為一邊，點(diǎn) 0 為對(duì)稱中心作菱形 BDEC 點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（m 0）,過 P 作 x 軸的垂線 I 交拋物線于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn) A、B C 的坐標(biāo)；）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 I 分別交 BD BC 于點(diǎn) M N。試探究 m 為何值時(shí)，四邊形 CQM 是平行四邊形， 此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形 CQBM 勺形狀，并說明理由。（3）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 EB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存

19、在點(diǎn) Q 使BDQ 為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。【練習(xí)】1、平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4m，距地面均為 1m 學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 2.A. 0 B. 1C. 2D. 3135m 處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是1 . 5 m，則學(xué)生丁的身高為（建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示）（）A. 1. 5 m B . 1. 625 m C. 1. 66 m D . 1. 67 m匚2x_11 xW3 i2、已知函數(shù)科刁”， 則使 y=k 成立

20、的 x 值恰好有三個(gè)，則 k 的值為（）2l（x5） 1（x3）144.如圖，已知二次函數(shù) y=x?+bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一 1 , 0）,（ 1, 2）,當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值6.已知二次函數(shù)y =ax2 bx c的圖像如圖，其對(duì)稱軸x = -1b2. 4acabc - 02a - b=0a b c - 0a - b c：0，則正確的結(jié)論是（）27.拋物線y二ax bx c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是_ .（填寫序號(hào)）拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）;函數(shù)y = ax2+bx + c的最大值為 6；1拋物線的對(duì)稱軸是x = ;28

21、.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（一 2, 4）,2（1）求厶 OAB 的面積；（2）若拋物線y=-x -2x c經(jīng)過點(diǎn) A.求 c 的值；將拋物線向下平移 m 個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括 OAB 的邊界），求 m 的取值范圍（直接寫出答案即可）.y 軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 所得拋物線的解析式是（).C.y - -(x -1)222D.y - -(x 1)4給出下列結(jié)果x21012y04664C D在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.范圍是_ .5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線2A.y - -（x 1）2OA.1512-9、“已知函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A （ c, 2）,，這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。”題2 -目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函 數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說