五章圖像變換

1、電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院光電信息學(xué)院 二一二年二一二年3月月15日日彭真明彭真明E-mail: pengzm_主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹求反運(yùn)算獲得陰圖像什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 直接灰度

2、變換圖像變形什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 幾何變換圖像模糊什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 空間濾波什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 空間域變換F(x,y) ( , )( ,)T f x yF x yf(x,y)空間域空間域圖像變換圖像變換變換域變換域空間域幾何變換、灰度變換、圖像濾波處理等）空間域幾何變換、灰度變換、圖像濾波處理等）什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 頻率域頻率域頻域變換 ( , )( , )T f x yF u v什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 定義1: 設(shè)A是歐氏空間歐氏空間V的一個線性變換,若A保持向量的內(nèi)積不變,即對于任意的，V都

3、有(A，A) = (，)，則稱A為V的正交變換正交變換。什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 定理1: 設(shè)A是n維歐氏空間V的一個線性變換,則下列命題等價: 1) A是正交變換。 2) A保持向量的長度不變,即對于V，|A|=|。 3) A把V的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)閂的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 4) A在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣正交矩陣.注：由單位向量構(gòu)成的正交基稱為注：由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。標(biāo)準(zhǔn)正交基。 什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ 正交矩陣正交矩陣 正交矩陣有以下幾種等價定義： 定義定義2.1: 2.1: A為n階實矩陣,若ATA=E,則稱A為正交矩陣。 定義定義2.2:2.2: A為n

4、階實矩陣,若AAT=E,則稱A為正交矩陣。 定義定義2.3:2.3: A為n階實矩陣,若AT=A-1,則稱A為正交矩陣。 定義定義2.4: 2.4: A為n階實矩陣，若A的n個行（列）向量是兩兩正交的單位向量，則稱A為正交矩陣。圖像的正交變換圖像的正交變換 設(shè)有以下圖像變換：若變換矩陣T為正交矩陣，則稱以上變換為圖像的正交變換。12TFP fP若P1、P2為T分離后得到的變換矩陣，則稱為可分離正交變換，且P1、P2也為正交矩陣。1fT F1112TfPF P常見的圖像變換方法：什么叫圖像變換？什么叫圖像變換？ F Fourier Transform(傅立葉變換傅立葉變換)F Discrete

5、Cosine Transform (離散余弦變換離散余弦變換)F Walsh Transform (沃爾什變換沃爾什變換)F Hadamard Transform (哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換) F Karhunen-Loeve Transform (K-LK-L變換變換)F Wavelet Transform (小波變換小波變換)F 主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹二、傅立葉變換二、傅立葉變換n傅立葉變換提出:n傅立葉（Fo

6、urier） ：法國數(shù)學(xué)家，1768年生。n1822年出版“熱分析理論”，1878年翻譯成英文。提出傅立葉級數(shù)。n傅立葉級數(shù)：周期函數(shù)表示為不同頻率的正弦和/或余弦和。n傅立葉變換：非周期函數(shù)表示為正弦和非周期函數(shù)表示為正弦和/ /或余弦乘以或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分。加權(quán)函數(shù)的積分。n逆變換可以重建原函數(shù)。n應(yīng)用:n信號處理等（快速傅立葉變換FFT算法出現(xiàn)）。二、傅立葉變換二、傅立葉變換=+n=0n=1n=2n=3n=4分解（正變換）分解（正變換）合成（逆變換）合成（逆變換）2/2/1,0,jn Njm Nnmeenm2 ()/, , , ,0,1,2.1jxu yvNex y u vNcos

7、sinjej歐拉公式：歐拉公式：1 1、FourierFourier變換的基函數(shù)變換的基函數(shù)一維基函數(shù)：一維基函數(shù)：2/,0,1,.,1jn NenN二維基函數(shù)：二維基函數(shù)：n對函數(shù)f(x)進(jìn)行傅立葉變換得到F(u)n其逆變換，即將F(u)變換到f(t)為： 2jxuF uf x edx 2jxuf xF u edu2.2.一維連續(xù)一維連續(xù)FourierFourier變換變換nf(x)的傅立葉變換的傅立葉變換F(u) 往往是虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)往往是虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)形式表示為：形式表示為：n定義幅值為：定義幅值為：n定義相位為：定義相位為： F uR ujI u 22F uRuIu arctanI u

8、uR u2.2.一維連續(xù)一維連續(xù)FourierFourier變換變換n用幅值和相位來表示傅立葉變換用幅值和相位來表示傅立葉變換nf(x)的能量譜的能量譜(或功率譜或功率譜)： juF uF u e 222P uF uRuIu2.2.一維連續(xù)一維連續(xù)FourierFourier變換變換n正變換： 12/0( )Njxu NxF uf x en逆變換： 12/01( )Njxu Nnf xF u eN0,1,1xN3.3.一維離散一維離散FourierFourier變換變換0,1,1uNsin(250 )sin(2120 )xtt05101520253035404550-5-4-3-2-10123

9、45Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noisetime (milliseconds)FourierFourier變換和頻率域例析變換和頻率域例析05101520253035404550-2-1.5-1-0.500.511.52Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noisetime (milliseconds)( );yxrandom t05010015020025030035040045050001020304050607080Frequency content of yfrequency (Hz)0501

10、0015020025030035040045050001020304050607080Frequency content of yfrequency (Hz)信號的（功率譜）頻譜信號的（功率譜）頻譜FourierFourier變換和頻率域例析變換和頻率域例析( )( ( )F uf xF( )( ( )F uf yF含噪信號的（功率譜）頻譜含噪信號的（功率譜）頻譜n對于二維信號，定義為： 4.4.二維連續(xù)二維連續(xù)FourierFourier變換變換dxdyeyxfvuFvyuxj)(),(),( 2 dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),( n正變換：n逆變換： 1010)/(2),

11、(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF 1010)/(2),(),(MxNyNvyMuxjevuFyxf 5.5.二維離散二維離散FourierFourier變換變換n正變換：n逆變換：同樣有： 頻譜(幅度): 相位角: 功率譜(能量譜):21 22 ),(),( ),( vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),( ),( ),(222 vuIvuRvuFvuP5.5.二維離散二維離散FourierFourier變換變換E/2-/2f(t)t6.6.空間域與頻率域的關(guān)系空間域與頻率域的關(guān)系一維一維(1D)(1D)變換結(jié)果：變換結(jié)果： 其它022xE

12、xf sinuF uEu 二維二維(2D)(2D)變換結(jié)果：變換結(jié)果：6.6.空間域與頻率域的關(guān)系空間域與頻率域的關(guān)系圖像圖像 f(x,y)的的功率譜功率譜|F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v)6.6.空間域與頻率域的關(guān)系空間域與頻率域的關(guān)系u傅立葉譜：傅立葉譜： |F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2u相位相位: (u,v)= arctan(I(u,v)/R(u,v)(xF)(xF6.6.空間域與頻率域的關(guān)系空間域與頻率域的關(guān)系幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少。相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置。F 平移特性平移特性F 旋轉(zhuǎn)特性旋轉(zhuǎn)特性F 尺度變換（縮放

13、）尺度變換（縮放）F 周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性F 統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性( (平均值平均值) )F 可分離性可分離性F 卷積定理卷積定理F 相關(guān)定理相關(guān)定理7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)平移特性平移特性7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)NvyxujevuFyyxxfvuFyxf/ )(20000),(),(),(),( ),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj 空域空域頻域頻域平移特性平移特性7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)yxyxjNyvxujeeNvNu ) 1(2/2/)(/ )(20000 ) 2/, 2/() 1)(,()(NvNuF

14、yxfyx 平移特性平移特性7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)原圖原圖頻譜頻譜(0值未平移值未平移)頻譜頻譜(0值移到中心值移到中心)平移性質(zhì)平移性質(zhì)7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)3D頻譜頻譜(0值未平移值未平移)3D頻譜頻譜(0值移到中心值移到中心)7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)),(),(),(),(00 kFrfkFrf旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)空域圖像旋轉(zhuǎn)角度空域圖像旋轉(zhuǎn)角度對應(yīng)于頻域?qū)?yīng)于頻域DFTDFT函函數(shù)旋轉(zhuǎn)相同角度。數(shù)旋轉(zhuǎn)相同角度。7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)( , )( , )1(,)(, )|af x yaF u vu vf ax byFaba

15、 b尺度變換特性尺度變換特性7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)(,)( , )F uaN vbNF u vf(x,y)、F(u,v)都是以都是以N為周期的離散函數(shù)。為周期的離散函數(shù)。(,)( , )f xaN ybNf x y周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.500.20.40.60.811.2-15-10-5051015-0.4-0.200.20.40.60.817.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性|),(|),(),(),(),(),(),(),(*vuFvuFvuFvuFvuFyxfvu

16、FyxfF(0, 0)置于譜方陣置于譜方陣的中心，其余各行的中心，其余各行各列的譜對中心都各列的譜對中心都是共軛對稱的是共軛對稱的。因此，DFT變換只需求半個周期內(nèi)的值便可得到整個周期值。 7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性(平均值平均值) 10102),(1),(NxNyyxfNyxf)0, 0(),(Fyxf f(x,y) F(u,v) F(0,0) 可分離性可分離性7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)卷積定理卷積定理7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuF

17、yxgyxfvuGyxgvuFyxf即: 空間域的卷積運(yùn)算對應(yīng)頻率域的乘積運(yùn)算； 頻率域的卷積運(yùn)算對應(yīng)空間域的乘積運(yùn)算。相關(guān)定理相關(guān)定理7.7.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)),(),(*),(),(vuGvuFyxgyxf*( , ) ( , )( , )( , )fx y g x yF u vG u v即：空間域的相關(guān)運(yùn)算對應(yīng)頻率域的乘積運(yùn)算； 頻率域的相關(guān)運(yùn)算對應(yīng)空間域的乘積運(yùn)算。主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹

18、n為為FT的特殊形式，被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)的的特殊形式，被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)的傅氏變換，即只有余弦項。傅氏變換，即只有余弦項。n變換核固定，利于硬件實現(xiàn)。變換核固定，利于硬件實現(xiàn)。n計算復(fù)雜度適中，有快速算法計算復(fù)雜度適中，有快速算法FCT (類似類似FFT)。n可分離特性，一次二維變換可分解為兩次一維可分離特性，一次二維變換可分解為兩次一維變換變換三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）10102)12(cos2)12(cos),()()(),(NuNvcNvyNuxFycxcyxf正變換：正變換：反變換：反變換：NyvNxuyxfvcucvuFNxNyc212cos212co

19、s,)()(,1010其中：其中：11201)(NkNkNkc三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT） 原圖原圖 DCT系數(shù)系數(shù) 三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT） 原圖原圖 DCT系數(shù)系數(shù) 2211( , ),( , )jux Njvy NP u xeQ y veNNn圖像變換的矩陣表示法圖像變換的矩陣表示法三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）,*,( , )( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , )x yu vF u vP u x f x y Q y vf x yP

20、x u F u v Q v y則有：則有：令令 ( , ), ( , ) ( , ), ( , )N NN NN NN NFF u vff x yPP u xQQ y v令 *,FPfQfP FQ三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT） 一般地，若P是正交矩陣(酉矩陣)，則稱：是圖像的正交變換。 注意到矩陣乘法的定義，可知：TFPfP122cosN NujPNNn從理論推導(dǎo)可知，余弦變換是一種“特殊的”傅立葉變換，令：三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）n故,離散余弦變換(DCT)可表示為： TDCTfPfPA = im2double(imread(rice.png);

21、imshow(A)；P = dctmtx(size(A,1);dct = P*A*P;figureimshow(dct);三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）A = imread(rice.png);imshow(A);dct = dct2(A); figureimshow(log(abs(dct),); colormap(jet(64);colorbar注：任意矩陣求注：任意矩陣求DCT注：方陣求注：方陣求DCT三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）三、離散余弦變換（三、離散余弦變換（DCTDCT）n 8x8 DCT變換矩陣Matlab中中,可用可用dctmtx(8

22、)求出。求出。 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.3536 0.4904 0.4157 0.2778 0.0975 -0.0975 -0.2778 -0.4157 -0.4904 0.4619 0.1913 -0.1913 -0.4619 -0.4619 -0.1913 0.1913 0.4619 0.4157 -0.0975 -0.4904 -0.2778 0.2778 0.4904 0.0975 -0.4157 0.3536 -0.3536 -0.3536 0.3536 0.3536 -0.3536 -0.3536 0.3

23、536 0.2778 -0.4904 0.0975 0.4157 -0.4157 -0.0975 0.4904 -0.2778 0.1913 -0.4619 0.4619 -0.1913 -0.1913 0.4619 -0.4619 0.1913 0.0975 -0.2778 0.4157 -0.4904 0.4904 -0.4157 0.2778 -0.0975主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹Walsh變換上節(jié)介紹的F

24、FT、DCT都屬于正弦型變化，其變換核函數(shù)都是正弦函數(shù)型的。還有幾種常用于數(shù)字圖像處理的變換，它們的基函數(shù)不是正弦型函數(shù)，而是方波的各種變形，通常，這些變換計算速度都很快。沃爾什(Walsh)變換，是由+1和-1兩個數(shù)值的基本函數(shù)的級數(shù)展開而構(gòu)成的，它也滿足正交特性。由于Walsh函數(shù)是二值正交函數(shù)，與數(shù)字邏輯中的兩個狀態(tài)相對應(yīng)，因而很適合計算機(jī)處理。1D-Walsh變換沃爾什變換是一種可分離變換。當(dāng)N = 2n時，變換核為： 10)( )(1) 1( 1),(niubxbiniNuxg離散沃爾什變換W(u)為： 1010)( )(1)1( )(1)(NxniubxbinixfNuWbk(x)

25、是x的二進(jìn)制表達(dá)中的第k位。例如n = 3，則對x = 7（111），有b0(x) = 1，b1(x) = 1，b2(x) = 1。 對于N = 2、4、8，Walsh變換核矩陣分別為：1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H可以看出，Walsh變換核是一個對稱矩陣，其行和列是正交的。1111212H1111111111111111414H核矩陣1010)( )(1)1( )(1)(NxniubxbinixfNuW由：可得：)3()2()1()0(41)0(ffffW)3()2()1()0(41)1

26、(ffffW)3()2()1()0(41)2(ffffW)3()2()1()0(41)3(ffffW可見，沃爾什變換本質(zhì)上是將離散序列f(x)的各項值的符號按照一定規(guī)律改變，進(jìn)行加減運(yùn)算，因此，它的運(yùn)算速度相當(dāng)快。例：N=4的1D-Walsh變換沃爾什正、反變換核只相差1/N這個常數(shù)項，因此，計算沃爾什正變換的算法可以直接用來求反變換。10)( )(1) 1(),(niubxbiniuxh沃爾什反變換核為：沃爾什反變換定義為：Walsh反變換二維沃爾什正變換核和反變換核由以下二式給出： 10)( )()( )(11)1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxg10)( )()( )

27、(11)1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxh這兩個變換核完全相同，所以下面給出的二維沃爾什正變換和反變換也具有相同形式： 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NxNynivbybubxbiniiniyxfNvuW2D Walsh變換可分離性沃爾什變換核是可分離的： 10)()(10)()(212111)1(1)1(1),(),(),(),(),(nivbybniubxbiniiniNNvyhuxhvyguxgvuyxg因此，二維沃爾什變換可以分成兩步一維沃爾什變換進(jìn)行。二維沃爾什變換矩陣表示為：GfGNW21二維沃爾什反變換矩陣表示為：GWGf 下

28、圖給出n = 4時沃爾什基本函數(shù)的圖示，其中白色表示1，而陰影表示 1。 010123uv2301230123yx2D Walsh變換基本函數(shù)例：N=4二維沃爾什變換(1)1331133113311331f1111111111111111G圖像矩陣：變換核矩陣：二維沃爾什變換：000000000000100212GfGNW1111111111111111f1111111111111111G圖像矩陣：變換核矩陣：2D Walsh 變換：000000000000000112GfGNW由上述兩個例子可以看出， Walsh變換具有能量集中性質(zhì)，圖像越均勻，能量越集中，因此Walsh變換也可用于圖像壓縮

29、。例：N=4,2D Walsh變換(2)哈達(dá)瑪(Hadamard)變換本質(zhì)上是一種特殊排列的沃爾什變換，因此經(jīng)常被稱作沃爾什-哈達(dá)瑪變換(DWT-DHT)。由于它的變換核矩陣具有簡單的遞推關(guān)系，即高階矩陣可以用低階矩陣求得，因此應(yīng)用比沃爾什變換更為廣泛。最小階(N = 2)的哈達(dá)瑪矩陣是： 11112H用HN代表N階哈達(dá)瑪矩陣，下式給出計算高階哈達(dá)瑪矩陣的迭代關(guān)系： NNNNNHHHHH2Walsh-Hadamard變換1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H1111212H111111111111

30、1111414H2、4、8階Hadamard矩陣二維哈達(dá)瑪正變換核和反變換核：10 )( )()( )( )1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxg10 )( )()( )( )1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxh二維哈達(dá)瑪正變換核和反變換核都是可分離的和對稱的，并且具有相同形式。因此二維哈達(dá)瑪變換正變換和反變換也具有相同形式： 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxfHadamard變

31、換數(shù)學(xué)表達(dá)0112323001231230yxuv例：4階Hadamard變換基本函數(shù)以8階哈達(dá)瑪矩陣為例：矩陣右邊的一列數(shù)表示相應(yīng)的矩陣行的符號變換次數(shù)，注意，每一行的這個數(shù)都是不同的。這種符號的變化次數(shù)被稱為這一行的列率(sequency)。526143701111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H列率(sequency)將哈達(dá)瑪變換核矩陣的行重新排序，使得各行的列率遞增。這樣就產(chǎn)生了有序哈達(dá)瑪變換核矩陣：7654321011111111111111111111111111111111111111

32、11111111111111111111111111818H有序Hadamard變換主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹四、四、K-LK-L變換變換 Karhunen-Loeve (K-L)變換是建立在統(tǒng)計特性基礎(chǔ)上的一種變換，也稱為霍特林（Hotelling）變換，因他在1933年最先給出將離散信號變換成一串不相關(guān)系數(shù)的方法。K-L變換的突出優(yōu)點是均方誤差(Mean Square Error, MSE)意義下的最佳變換。因

33、此，在數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)中占有重要地位。 1niiiXyTnTnyyyYxxxX,.,.,2121假定假定:是兩個是兩個n維隨機(jī)向量。維隨機(jī)向量。四、四、K-LK-L變換變換正交矩陣正交矩陣11()mniiiiii mX mybnmyyyYTm,.,21四、四、K-LK-L變換變換若用若用來表示來表示X, 即即則與則與精確表示精確表示存在誤差。即存在誤差。即1niiiXy1( )( )()niiii mX mXX myb 221()()Tniii mmEXmX mE yb如何取如何取bi , i = m+1,n和和 i , i=1,2, ,n，使使均方差最小均方差最小? ?四、四、K-LK-L變換變

34、換均方差：均方差：四、四、K-LK-L變換變換我們可以：我們可以： ,1,.,TiiibE yE Ximn i 取為取為X的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣Cx的特征向量。的特征向量。nm .21Cx特征值特征值Hotelling變換變換 由于由于 i從大到小排列，從從大到小排列，從m+1到到n的特的特征值和是最小的。選征值和是最小的。選取取Y方差最大的前方差最大的前m個分量表示原輸入信號個分量表示原輸入信號X。即。即四、四、K-LK-L變換變換TYXnX的協(xié)方差矩陣記作：TxCEXXXXn式中：12,.,NXE XXXXxiiiC四、四、K-LK-L變換變換 代表均值向量，則存在如下關(guān)系式：n圖像的K

35、-L變換YA XE XxC AA四、四、K-LK-L變換變換A為一個正交變換矩陣(MM)，且滿足：其中，CX為圖像X的協(xié)方差矩陣，為特征值，且1200Mnmiim12 min)(n求圖像向量求圖像向量X的的K-L變換，就是求圖像協(xié)方差矩變換，就是求圖像協(xié)方差矩陣陣Cx的特征向量的特征向量 i，也稱也稱特征向量變換特征向量變換。 n變換后變換后M個個yi分量恢復(fù)圖像分量恢復(fù)圖像X的估計的估計估計值誤差估計值誤差nK-L變換的輸出誤差最小準(zhǔn)則等價于取方差最大變換的輸出誤差最小準(zhǔn)則等價于取方差最大的成分逼近，所以該最佳準(zhǔn)則又稱的成分逼近，所以該最佳準(zhǔn)則又稱方差準(zhǔn)則方差準(zhǔn)則。 miiiymX1)( 四

36、、四、K-LK-L變換變換nK-L變換有時也叫主成分分析（Principal component analysis，PCA）是圖像變換中具有最佳性質(zhì)的一種，常作為標(biāo)準(zhǔn)用來衡量其他變換性能的好壞。n缺點：不利于硬件實現(xiàn)，軟件運(yùn)算量大，沒有快速算法。四、四、K-LK-L變換變換n主要用途：四、四、K-LK-L變換變換數(shù)據(jù)壓縮（圖像壓縮）特征優(yōu)化模式識別（如人臉識別）四、四、K-LK-L變換變換original imageR imageG imageB imageNo.1 feature imageNo.2 feature imageNo.3 feature imagefull reconstruc

37、t imagesonly one feature is used主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹五、五、Wavelet TransformWavelet Transform 小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個世紀(jì)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個世紀(jì)“調(diào)和分析調(diào)和分析”的結(jié)晶的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。 小波變換是小

38、波變換是2020世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在信號處信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探震勘探、流體力學(xué)、電磁場、流體力學(xué)、電磁場、CTCT成象、機(jī)器視覺、故成象、機(jī)器視覺、故障診斷、分形、數(shù)值計算障診斷、分形、數(shù)值計算等已有重大突破。隨著小波等已有重大突破。隨著小波分析在理論上的不斷發(fā)展，其應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷拓展。分析在理論上的不斷發(fā)展，其應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷拓展。 小波變換具有良好的局部時頻聚焦特性，而被稱為小波變換具有良好的局部時頻聚焦特性，而被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。五、小波變換五、小波變換(Wa

39、velet Transform)(Wavelet Transform)n傅立葉變換的不足：五、小波變換五、小波變換(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)n傅立葉變換的不足：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。tf(t)時間時間振幅振幅WtF(u)時間時間頻率頻率n加窗傅立葉變換(Window Fourier Transform)五、小波變換五、小波變換(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)五、小波

40、變換五、小波變換(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)nWindow Fourier Transform注：分析中，一般要取小時窗，因此也叫短時傅立葉變換注：分析中，一般要取小時窗，因此也叫短時傅立葉變換(Short-time fourier transform, STFT)。nShort Time Fourier Transform(STFT)nGabor transform(1946)nWigner-Ville Distribution (WVD) 2()2( ,)tjG teexd*1,/2/22jgWtg tgted ( , )jG tw texd

41、五、小波變換五、小波變換(Wavelet Transform)(Wavelet Transform)n窗口函數(shù)窗函數(shù)五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnGabor transform(1946) (1900 - 1979) 22( ,)tjG teexd Gabor變換是為了提取信號Fourier變換的局部信息，使用了一個Gauss函數(shù)作為窗函數(shù)。 它屬于加窗傅立葉變換，Gabor函數(shù)可以在頻域不同尺度、不同方向上提取相關(guān)的特征。 *1,/2/22jgWtg tgted五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnWig

42、ner-Ville Distribution (1902-1995) 在Wigner-Ville 分布中使用解析解析信號信號g(t)而不是原實際信號x(t)的優(yōu)點在于: 第一,解析信號的處理中只采用頻譜正半部分,因此不存在由正頻率項和負(fù)頻率項產(chǎn)生的交叉項； 第二,使用解析信號不需要過采樣,同時可避免不必要的畸變影響。五、五、Wavelet TransformWavelet TransformnWigner-Ville Distribution 五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn如輸入信號為：cos() , 010( )cos(3) ,1020cos(

43、5) , 2030ttf ttttt GaborWDFtime (sec)frequencyWDF-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-20246810time (sec)frequencyGabor-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-20246810五、五、Wavelet TransformWavelet Transform“小波小波”（wavelet)wavelet)就是一種就是一種“尺度尺度”很小的波動，并很小的波動，并具有時間和頻率特性。具有時間和頻率特性。 時間A時間Bn什么是小波？什么是小波？ 五、五、Wavelet TransformWave

44、let Transform小波函數(shù)必須滿足以下兩個條件的函數(shù)：小波必須是振蕩的；(1) 小波的振幅只能在一個很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1 小波例1圖2 小波例2五、五、Wavelet TransformWavelet Transform不符合小波特點的例子圖4圖3五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn什么是小波？ 小波基表示發(fā)生的時間和頻率小波基表示發(fā)生的時間和頻率“時頻局域性” 圖解：Fourier變換的基(上)小波變換基(中)和時間采樣基(下)的比較時間采樣基時間采樣基小波基小波基Fourier基基)(1)()()(),(,abxax

45、dxxxfbaWbabaf五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn連續(xù)小波變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式 02,)(),(1)(adadbxbaWCxfbaf五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn連續(xù)小波變換示意圖連續(xù)小波變換示意圖小波 (t)和原始信號f(t)的開始部分進(jìn)行比較 .計算系數(shù)C該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高.小波右移k得到的小波函數(shù)為 (t-k) ，然后重復(fù)步驟1和2，直到信號結(jié)束 .擴(kuò)展小波，如擴(kuò)展一倍，得到的小波函數(shù)為 (t/2) 重復(fù)步驟14 .n1822年Fourier變換,

46、在頻域的定位最準(zhǔn)確，無任何時域定位能力。n函數(shù),時域定位完全準(zhǔn)確，頻域無任何定位能力n1946年Gabor變換，STFT，窗函數(shù)的大小和形狀與時間和頻率無關(guān)而保持固定不變。不構(gòu)成正交基。n1982年Burt提出金字塔式圖像壓縮編碼，子帶編碼(subband coding),多采樣率濾波器組(multirate sampling filter bank).n1910年Harr提出規(guī)范正交基。n1981年Stormberg對Harr系進(jìn)行改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在。n1984年,Morlet提出了連續(xù)小波。n1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出離散的小波基。n1986

47、年,Meyer證明了不可能存在時域頻域同時具有正則性的正交小波基，證明了小波的自正交性。n1987年,Mallat統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換，給出了快速算法。n1988年,Daubecies在NSF/CBMS的小波專題研討會進(jìn)行了講座。小波分析發(fā)展簡史小波分析發(fā)展簡史 小波基（小波基（尺度函數(shù)尺度函數(shù)和和小波函數(shù)小波函數(shù)）可以通過給定濾波系）可以通過給定濾波系數(shù)生成。數(shù)生成。 有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。是對稱的，有的是非對稱的。 小波的小波的近似系數(shù)近似系數(shù)和和細(xì)節(jié)系數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過濾波系數(shù)直接導(dǎo)可

48、以通過濾波系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是 Daubechies 等的重要發(fā)現(xiàn)，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基等的重要發(fā)現(xiàn)，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基礎(chǔ)。礎(chǔ)。0123456-1010123456-1010123456-101f=sin(t), a=1f=sin(2t),a=1/2f=sin(4t),a=1/4f=(t), a=1f= (2t),a=1/2f= (4t),a=1/4v時間平移就是指小波函數(shù)在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。u尺度函數(shù)(Scaling function, , phiphi) 父小波函數(shù)；父小波函數(shù)；

49、 近似空間（低頻）；近似空間（低頻）；u小波函數(shù)(Wavelet function, psi) 母小波函數(shù)；母小波函數(shù)； 細(xì)節(jié)空間（高頻）細(xì)節(jié)空間（高頻） xxjkjk,構(gòu)成Vj+1的正交基。 xx和滿足下列關(guān)系式（二尺度方程）： 222211n Zn Znxl nxnxh nxnl nh nh nln其中稱為低通濾波器，稱為高通濾波器。且五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn離散小波變換中的(x)與(x) 五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn部分小波函數(shù)部分小波函數(shù)(x)及其尺度函數(shù)及其尺度函數(shù)(x)基函數(shù)和濾

50、波系數(shù)基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar) “近似”基函數(shù)“細(xì)節(jié)”基函數(shù)分解低通濾波器分解高通濾波器重構(gòu)低通濾波器重構(gòu)高通濾波器Lo_D= 0.7071 0.7071Hi_D =-0.7071 0.7071Lo_R= 0.7071 0.7071Hi_R =0.7071 -0.7071 基函數(shù)和濾波系數(shù)基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4-正交正交,不對稱不對稱 )基函數(shù)和濾波系數(shù)基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4-正交,近似對稱)基函數(shù)和濾波系數(shù)基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior3.7雙正交，對稱)n信號的多尺度分解： 011122JJJjJnkkkkn Zkjkjjkkjjkkn Zjjkkn Zf xcxncxdxcdccl

51、 nkMattlatddh nk稱為尺度系數(shù)，稱為小波系數(shù)，它們的計算：一維 算法五、五、Wavelet TransformWavelet Transform五、五、Wavelet TransformWavelet Transform一級分解一級分解harr五、五、Wavelet TransformWavelet Transform二級分解二級分解harr四級分解四級分解harr五、五、Wavelet TransformWavelet Transform2D小波變換是由1D小波變換擴(kuò)展而來的，2D尺度函數(shù)和2D小波函數(shù)可由1D尺度函數(shù)和小波函數(shù)張量積得到，即： ;LLLHHLHHxxyxxyx

52、xyxxy圖像的2D小波變換包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)濾波和2-下采樣。五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn二維多尺度分析：五、五、Wavelet TransformWavelet Transform圖像的小波變換（一級分解）圖像的小波變換（一級分解）垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象對角細(xì)節(jié)圖像的小波分解圖像的小波分解( (金字塔分解金字塔分解) )小波基函數(shù)一覽p wavemngr(read) ; %讀取小波函數(shù)名及相關(guān)信息。五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn幾個Matlab函數(shù)dwt()dwt()函

53、數(shù)函數(shù)dwt()dwt()函數(shù)函數(shù)idwt()idwt()函數(shù)函數(shù)wcodemat()wcodemat()函數(shù)函數(shù)dwt2()dwt2()函數(shù)函數(shù)idwt2()idwt2()函數(shù)函數(shù)wavedec2()wavedec2()函數(shù)函數(shù)示例示例1 1：2D2D圖像的小波分解圖像的小波分解示例示例2 2：圖像的：圖像的2 2級小波分解級小波分解五、五、Wavelet TransformWavelet Transformn超小波(Beyond Wavelet)分析技術(shù) Curvelet 曲波 Ridgelet 脊波 Bandelet 帶波 Beamlet 束波,小線波 Wedgelet 楔波 Surfa

54、celet 面小波 Directionlet 方向波方向波 Contourlet 輪廓波輪廓波 Shearlet 剪切波剪切波多尺度幾何分析多尺度幾何分析.主要內(nèi)容u圖像變換概述圖像變換概述u傅立葉變換傅立葉變換u離散余弦變換離散余弦變換u Walsh- Hadamard 變換變換u K-L變換變換u 小波變換小波變換u 圖像變換的新方法介紹圖像變換的新方法介紹六、近期新的變換方法六、近期新的變換方法n分?jǐn)?shù)階傅立葉變換 Fractional Fourier Transform (FrFT):nS變換 Stockwell 變換變換n19291980 早期未被人們重視的研究。n1980年，V.Na

55、mias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。n1994年， L.B.Ameida將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換n簡介：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)0-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)/2FT0.1 FT?n問題提出：1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換n定義一：信號的p階FRFT是一個線性積分運(yùn)算，

56、即：( )( , ) ( )ppF s uKt u s t dt221cotexpcot,22sin( , )(),2(),(21)pjtutujjnKt utuntun其中：tuv1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換n定義二：cossinsincosutvw ,2pp其中：稱為階數(shù)。tuv1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換n物理意義：FT: 時間域時間域 頻率域頻率域FrFT: 時間域時間域 分?jǐn)?shù)域分?jǐn)?shù)域 注注: 分?jǐn)?shù)域分?jǐn)?shù)域介于時間域和頻率介于時間域和頻率域之間。部分像時間，部分像域之間。部分像時間，部分像頻率。頻率。 某一角度某一角度下的下的FrFT等效于順時針旋轉(zhuǎn)等效于順

57、時針旋轉(zhuǎn)角度下角度下的的Gabor 變換，即變換，即 FRFT( ) = with angle n物理意義：,cossin , sincosXxGu vGuvuv1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換因此：因此：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4wF(w)00.010.2-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.8

58、11.21.41.6wF(w)/ 2-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)-5-4-3-2-1012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6wF(w)/ 43 /41 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換)cotexp(cot1)(2iiFrFT1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換FrFT of a Delta Function22exp( 2)1tanexp(tan2sectan)FrFTiii 1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換FrFT of a Sine Function22ex

59、p( 2)1tanexp(tan2sectan)FrFTiii 1 1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換FrFT of a Sine Functionn1996年，Stockwell等人，首次提出的一種新的時頻分析方法Stockwell 變換(簡稱S變換)，它是非平穩(wěn)信號時頻分析的有力工具。n2003年，高靜懷(西安交大)、Pirmegar等人采用廣義高斯窗代替高斯窗，提出廣義S變換。2 2、S S變換變換n簡介：2 2、S S變換變換n特點：S變換是一種介于STFT和WT之間的時頻分析方法，它與STFT和WT既有密切聯(lián)系又具有不同的特點。(1)變換結(jié)果是一個時間局部譜，克服了STFT不能調(diào)

60、節(jié)分析窗口頻率的缺點，并與傅氏譜保持直接聯(lián)系。(2)引進(jìn)了小波的多分辨分析，具有WT的自適應(yīng)時頻窗、輸入長度不受時窗的限制，而且基本小波不必滿足容許性條件等優(yōu)越性質(zhì)。n基本S變換定義：2 2、S S變換變換n廣義S變換定義：dteepfthpfSftiptf22)(2222)(),(22()22( ,)( )2ftiftfSfh teedt2 2、S S變換變換333256cos 2 (10)cos 2 ()0:25572.55122:131cos 2*0.7122:131105:136cos 20105:136 ,1 255nnnTnTnh nThnnhnTnTnS變換的應(yīng)用：2 2、S S