2025屆浙江省溫州市高三二模數(shù)學(xué)試題及答案

溫州市普通高中2025屆高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題卷2025.3本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上，將．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊，不要弄破．（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．雙曲線A．的一個(gè)焦點(diǎn)為，則C．3（▲）B．D．2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（▲）A．1B．，則“C．3”是“D．63．已知隨機(jī)變量A．充分不必要條件C．充要條件”的（▲）B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．若向量A．滿足，則在上的投影向量是（▲）B．B．C．D．5．已知數(shù)列A．滿足，若，則的取值范圍是（▲）C．D．?dāng)?shù)學(xué)試題卷第1頁共4頁6．某班級(jí)有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長（單位：小時(shí)），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級(jí)全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值和方差的值分別是（▲）A．C．B．D．7．已知函數(shù)），則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的是（▲A．與B．C．D．與與與8．一個(gè)圓臺(tái)形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個(gè)與圓臺(tái)等高的四棱臺(tái)，棱臺(tái)下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個(gè)球，則所得球的半徑最大值是（▲A．B．C．1D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知二項(xiàng)展開式，則（▲）A．C．B．D．10．在四棱錐平面中，的是（▲）B．分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定A．C．平面D．平面．甲乙兩人用《哪吒2》動(dòng)漫卡牌玩游戲．游戲開局時(shí)桌上有盒動(dòng)漫卡牌，每個(gè)盒子上都標(biāo)有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時(shí)無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是（▲）A．B．C．D．?dāng)?shù)學(xué)試題卷第2頁共4頁（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。把答案填在題中的橫線上。12．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)▲．13．已知是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，（為坐標(biāo)原處切線的斜率是▲．14．函數(shù)滿足：；①則②，．的最大值等于▲．四．解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐的中點(diǎn)．中，是邊長等于2的正三角形，，為（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．1615分）PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之間的鏈接關(guān)系，評(píng)估每個(gè)網(wǎng)頁的相對(duì)重要性．假設(shè)一個(gè)小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個(gè)網(wǎng)頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁開始瀏覽（記為第1（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁上的概率；（2）某廣告公司準(zhǔn)備在網(wǎng)頁中選擇一個(gè)投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問該公司應(yīng)該選擇哪個(gè)網(wǎng)頁？請(qǐng)說明理由．?dāng)?shù)學(xué)試題卷第3頁共4頁1715分）已知函數(shù)．（1）討論（2）若的單調(diào)性；在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；．（3）當(dāng)時(shí)，解方程1817分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是直線右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，到直線與軸的距離之和等于它到點(diǎn)距離的4倍，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，（i）若（ii）若，求直線的方程：，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)線交軸于點(diǎn)，求的最小值．1917分）給定正數(shù)與無窮數(shù)列，若存在具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，都有，則稱數(shù)列．（1）求證：數(shù)列（2）若無窮數(shù)列具有性質(zhì)具有性質(zhì)；，求證：存在正數(shù)，使得；（3）若對(duì)任意正數(shù)，數(shù)列都具有性質(zhì)，則稱為“““：）數(shù)學(xué)試題卷第4頁共4頁一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），則C．3A．B．D．【答案】A【解析】由題意得故選擇：A，所以．2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故選擇：C3．已知隨機(jī)變量A．充分不必要條件C．充要條件【答案】C，則“”是“”的B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若故選擇：C4．若向量，則．故為充要條件．滿足，則在上的投影向量是C．A．B．D．【答案】D【解析】設(shè)投影向量是上的投影向量是，則，所以，即在．1故選擇：D5．已知數(shù)列A．滿足，若C．，則的取值范圍是B．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以．故選擇：B6．某班級(jí)有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長（單位：小時(shí)），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級(jí)全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值和方差的值分別是A．B．C．D．【答案】D【解析】故選擇：D7．已知函數(shù)是，則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的A．與B．與C．與與D．【答案】C【解析】A項(xiàng)：，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)B項(xiàng)：誤；C項(xiàng)：，而，故正2確；D項(xiàng)：故選擇：C，無法重合，故錯(cuò)誤．8．一個(gè)圓臺(tái)形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個(gè)與圓臺(tái)等高的四棱臺(tái)，棱臺(tái)下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個(gè)球，則所得球的半徑最大值是（加工過程中不計(jì)損耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①關(guān)于底面切球在內(nèi)；，設(shè)，則，最大內(nèi)，②補(bǔ)成圓錐，內(nèi)接四棱臺(tái)延長后必交于圓錐頂點(diǎn)，考慮，故，解得．故選擇：C【解析二】為上底面圓心，為下底面圓心，記棱臺(tái)為棱臺(tái)最大時(shí)，上下邊之比為，不妨設(shè)，則，，所以球在中點(diǎn)為設(shè)球半徑最大為，球心為，則如圖，球與與圓臺(tái)圍成部分可更大，記中點(diǎn)為交上底面圓于交下底面圓周于，相切，，則設(shè)，則，得，所以．故選擇：C3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知二項(xiàng)展開式，則A．C．B．D．【答案】ACD【解析】A項(xiàng)：令知，正確；B項(xiàng)：令知①，所以，錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，所以，，所以所以，正確；D項(xiàng)：令知②，①+②可得：，正確．故選擇：ACD10．在四棱錐中，的是分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若，即有，則平面，由，所以于，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正確；若平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，若，由B可知D正確；假設(shè)平面平面，即A、C同時(shí)正確或錯(cuò)誤，若相交．若相交，由知延長不平行，故A、C錯(cuò)誤．，設(shè)平面，則平面，當(dāng)且僅當(dāng)，也可能，平面，所以，反之若平面，可能與與必與、交于同一點(diǎn)，由幾何關(guān)系知故選擇：BD11．甲乙兩人用《哪吒2》動(dòng)漫卡牌玩游戲．游戲開局時(shí)桌上有盒動(dòng)漫卡牌，每個(gè)盒子上都標(biāo)有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：與兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時(shí)無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉(zhuǎn)為二進(jìn)制數(shù)，再進(jìn)行“亦或”求和，若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài)。A項(xiàng)：B項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第2盒中拿2個(gè)；，全零，乙勝；C項(xiàng)：，非全零，甲勝：拿走第三盒；5D項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第1盒中拿2個(gè)；故選擇：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12．若復(fù)數(shù)【答案】2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)．【解析】由題意得．故答案為：213．已知是拋物線焦點(diǎn)，在第一象限上的點(diǎn)，是拋物線的（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線在處切線的斜率是．【答案】【解析】設(shè)，則，所，所以以，解得，因?yàn)?，所以．故答案為?4．函數(shù)①滿足：；②．則的最大值等于．【答案】【解析】設(shè)則有且，令，，即，設(shè)，則，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐中，是邊長等于2的正三角形，，為；的中點(diǎn)．（1）求證：（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）證明：作中點(diǎn)，連接，則有，所以，又因?yàn)閺亩钦切?，且為中點(diǎn)，因此，平面，所以．（2）由題，，設(shè)平面與平面夾角為，由三射線定理，解得，即，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．16．（本小題滿分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之間的鏈接關(guān)系，評(píng)估每個(gè)網(wǎng)頁的相對(duì)重要性．假設(shè)一個(gè)小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個(gè)網(wǎng)頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁開始瀏覽（記為第1次停留）．（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁上的概率；（2）某廣告公司準(zhǔn)備在網(wǎng)頁中選擇一個(gè)投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問該公司應(yīng)該選擇哪個(gè)網(wǎng)頁？請(qǐng)說明理由．【解析】（1）（2）所以．．，，7所以，故該公司應(yīng)該選擇網(wǎng)頁．．17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)（1）討論（2）若的單調(diào)性；在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，解方程．【解析】（1）由題，，由于分母（對(duì)），故的正負(fù)由分子決定，記，即，當(dāng)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；時(shí)，注意到是唯一使有，故的點(diǎn)，又觀察到，若在區(qū)間內(nèi)，由于，故，即時(shí)，時(shí)，，故．綜上，當(dāng)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，在在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，考慮到，為使內(nèi)有零點(diǎn)，則極小值點(diǎn)小于零，即，結(jié)合，則的取值范圍為．（3）由題，，記上式為，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，因此，僅有一個(gè)解，注意到待求方程，對(duì)中含的部分單獨(dú)考察，即，，其中關(guān)于的多項(xiàng)式的解為8因此當(dāng)時(shí)可消去．時(shí)，有，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；綜上，原方程的解為．18．（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，到直線與軸的距離之和等于它到點(diǎn)距離的4倍，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，中，已知點(diǎn)是直線（i）若，求直線的方程；（ii）若是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）設(shè)，則有；當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，曲線如圖所示．（2）（i）如圖，，則．設(shè)，解得，所以，所以，所以直線方程為．，（ii）由題意知，且．設(shè)9，因?yàn)樗?，，以其中，所以即，，所以，所以，解得?9．（本小題滿分17分）給定正數(shù)與無窮數(shù)列，若存在具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)