線性代數(shù)行列式課件

1、1.4 行列式性質行列式性質目前最快的是目前最快的是IBMIBM的：的：10001000萬億次萬億次/ /秒秒需要考慮用別的方法計算行列式。需要考慮用別的方法計算行列式。為此需要研究行列式的性質。為此需要研究行列式的性質。 用行列式的定義計算行列式，所需機時：用行列式的定義計算行列式，所需機時： 對對n 階行列式：乘法運算次數(shù)階行列式：乘法運算次數(shù) M (n-1)次次/項項 n！項！項 (n-1)n! 次次 n 10, M 32,659,200 1百萬次百萬次/秒的計算機，需機時：秒的計算機，需機時：32秒秒 n 15, M 1.81013 1百萬次百萬次/秒的計算機，需機時：秒的計算機，需機

2、時：13.0年年 1億次億次/秒的計算機，秒的計算機， 需機時：需機時：50.6天天 n 20， M 4.61019 1億次億次/秒的計算機，秒的計算機， 需機時：需機時：350,828年年一、行列式的性質一、行列式的性質 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等. .記記111212122212nnnnnnaaaaaaaaa DT D11121naaa21222naaa12nnnnaaa行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉置行列式轉置行列式. DTDv顯然顯然 . .TT()DD 證明證明 的轉置行列式記ijaDdet111211121121222122221212Tnnn

3、nnnnnnnnnbbbaaabbbaaaDbbbaaa, 2 , 1,njiabjiij即按定義按定義.1121)(21)(21212121nppppppnppppppnnnnaaabbbDT 又因為行列式又因為行列式 D 可表示為可表示為.121)(2121nppppppnnaaaD故故.TDD 證畢證畢 互換行列式的任意兩行（列）互換行列式的任意兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .設行列式設行列式說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質凡是對式的性質凡是對行行成立的對成立的對列列也同樣成立也同樣成立. . 因此，在后面的性質中

4、，如果對行列都成因此，在后面的性質中，如果對行列都成立的性質，我們立的性質，我們只證明對行只證明對行成立。成立。)det(ijaD,21212111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaaj第第 行行交換其第交換其第 i 行和第行和第 j行，行，有有,212121112111nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaDi第第 行行j第第 行行由行列式定義可知，由行列式定義可知， 中任一項可以寫成中任一項可以寫成Di第第 行行又因為又因為)2(1111nijnjinpipjppnpjpippaaaaa

5、aaa顯然（顯然（2 2）式右端是取自不同行不同列的）式右端是取自不同行不同列的 個元素的個元素的乘積，并且它們的行標在乘積，并且它們的行標在 中是標準排列的，所以中是標準排列的，所以1Dn)3() 1(111)(nijnijnpipjppppppaaaaD是是 中的一項。因為排列中的一項。因為排列 和排列和排列 的奇偶性相反，所以（的奇偶性相反，所以（1 1）式和）式和（3 3）式差一個負號，所以）式差一個負號，所以 中任意一項的相反數(shù)中任意一項的相反數(shù)是是 中的一項，所以中的一項，所以1Dnijpppp1njipppp11DDD1證畢證畢記法：記法：為了方便以后的敘述和運算，我們引入下列為

6、了方便以后的敘述和運算，我們引入下列記號記號) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaa例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 571266853825361567用用 表示行列式表示行列式 的第的第 行，用行，用 表示表示 的第的第 列。則列。則 表示交換表示交換 的第的第 行和第行和第 行，行， 表示交換表示交換 的第的第 列和第列和第 列。列。 irDiDjjcijjirr Djicc Dij32rr 57126685321

7、cc 825361567 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都有一個公因子有一個公因子 ，則可以把公因子，則可以把公因子 提到行列提到行列式記號之外，即有式記號之外，即有kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 證明證明由行列式定義知由行列式定義知例如，對任意的例如，對任意的a，b，c，都有，都有0321321cbannnniniinaaakakakaaaa212111211ninpippakaa)() 1(11ninpippaaak11) 1(kD例如例如1131111022221

8、32112012213211402證畢證畢用數(shù)用數(shù) 乘以行列式乘以行列式 等于等于 中某一行中某一行（列）所有元素同乘以數(shù)（列）所有元素同乘以數(shù) 。kkDD例如例如：111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaakakkak111213212223312333aaaaaaaakkak推論推論3 3：若行列式若行列式 D 某行某行( (列列) )元素全為零，則元素全為零，則D = 0。0002130124推論推論2 2：若行列式中有兩行若行列式中有兩行( (列列) )元素成比例，則元素成比例，則D = 0。例如例如例如例如注意：做題時不容

9、易發(fā)現(xiàn)。注意：做題時不容易發(fā)現(xiàn)。04102094251性質性質4 4若行列式的第若行列式的第 行（列）各元素都是兩數(shù)行（列）各元素都是兩數(shù)之和：之和： 則行列式則行列式 可分解可分解為兩個行列式為兩個行列式 與與 的和。其中的和。其中 的第的第 行是行是 ，而，而 的第的第 行是行是 ，其他各，其他各行與原行列式相同，即行與原行列式相同，即i12121111211112111121122121212iiiniiinnnnnnnnniiinnnnnnnniiinbbbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaacccbccc ), 2 , 1(njcbaijijijDDDDiiniibbb21,Di

10、iniiccc21,DDD例如：例如：3333abca b ca b cabc abccabca bbcaabbca bbcacca bcabcacabcabababcabcbcabcacabcabcabc注：注：不是任意兩個行列式可以相加，必須只有除一行不是任意兩個行列式可以相加，必須只有除一行（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。( () )328應有 個0 0性質性質5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行對應的元素上去，行列式不變列式不變111112

11、12221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如證明證明由性質由性質4 4右邊右邊11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa 左邊左邊注意：注意：k可以為可以為0 0。第第 i 列和第列和第 j 列對應元素成比例，列對應元素成比例， 由性質由性質3的推論的推論2知知011111212221jjnjjnnnjnjnnakaaaakaaaakaaa 例例二、應用舉例二、應用舉例計算行列式計算行列式常用方法常用方法：利用運算把行列

12、式：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3351110243152113 D解解3351110243152113 D41rr 211311024315335111101605510019182403351125rr 132rr 143rr 111016055100191824033511110160112019182403351532rr 1110160191824011203351532007600112033515111016019182401120335152312rr 248rr 43rr 76003200112033

13、515343rr 200032001120335157600320011203351540例例2 2 計算計算 n 階行列式階行列式nnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD321321321321解解D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2nnnnnnnnaxaaaaaxaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaaax3221322132213221)()()()(jcc 1nj, 2 nnnnnaxaaaaxaaaaxaaaaaax32323232211111)(xxxaaaaaaxnn0000000001)(3221112()nnnxaaax 注：行（列）和行列

14、式注：行（列）和行列式1rri),2(ni例例3 3 計算計算 n 階行列式階行列式nDn001030100211111D分析分析 若用行列式性質若用行列式性質5，有，有1rri), 2(ni1110121011101111n解解Djjcc11ni, 2njnj00003000020111112)11 ( !2njjn注：箭型行列式。一般有以下四種形式：注：箭型行列式。一般有以下四種形式：箭型行列式解題方法：用對角線上的元素消去非零箭型行列式解題方法：用對角線上的元素消去非零行（列）的元素。行（列）的元素。nDn001030100211111例例4 4 （2000.5）計算）計算 n 階行列式

15、階行列式nxxxxxxxxxxxxxxxxDn321解解nD1rri), 2(ninxxxx001030100211箭型行列式11jjccni, 2nxxxjxxnj00003000020) 1(2)1 ( !1njjxn例例5 5 計算計算 n 階行列式階行列式注：注：可化為箭型行列式可化為箭型行列式的行列式。的行列式。解題方法：通過一（兩）次行列式性質的應用，化解題方法：通過一（兩）次行列式性質的應用，化 為箭型行列式求解。為箭型行列式求解。nxxxx001030100211nnnnnnnbababababababababaD212221212111解解nD1rri), 2(ni11121212121111nnnnaba