二項式定理習題課

1、222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11rr -nrnrbaCT1第第 項項1r題型題型1 利用利用 的二項展開式解題的二項展開式解題na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二項直接用二項式定理展開式定理展開例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(81

2、10854121)xxxxx221218110854xxxx化簡后再展開化簡后再展開例題例題2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,則則 的值的值( )A A 一定為奇數(shù)一定為奇數(shù)C C 一定為偶數(shù)一定為偶數(shù)B B 與與n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 與與n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所以 為奇數(shù)為奇數(shù) 故選故選( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法嗎能用特殊值法嗎? ?偶偶奇A題型2 利用通項求符合要求的項或項的系數(shù)例例3

3、 3 求求 展開式中的有理項展開式中的有理項93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理項為原式的有理項為: :4484Tx310 xT例例4(044(04全國卷全國卷) )81()xx的展開式中的展開式中 的的系數(shù)為系數(shù)為_5x解解: : 設第設第 項為所求項為所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522rr由可得5x22

4、8( 1)28C的系數(shù)為的系數(shù)為.)2(. 510和第四項的系數(shù)項式系數(shù)的展開式中第四項的二求例xx 分析：第 k+1 項的二項式系數(shù) - 第 k+1 項的系數(shù)-具體數(shù)值的積。cnk解解：.9608c- .120,)2()() 1(310310373103134第四項的系數(shù)是數(shù)是所以第四項的二項式系因為cxxcTT求二項展開式的某一項求二項展開式的某一項, ,或者求滿足某種條或者求滿足某種條件的項件的項, ,或者求某種性質(zhì)的項或者求某種性質(zhì)的項, ,如含有如含有x 項項的系數(shù)的系數(shù), ,有理項有理項, ,常數(shù)項等常數(shù)項等, ,通常要用到二項通常要用到二項式的通項求解式的通項求解. . 注意注意

5、(1)(1)二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別. . (2) (2) 表示第表示第 項項. .3rrnrnrbaCT1r例題點評例題點評題型3 二項式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn 例例6 6 計算并求值計算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):將原式變形將原式變形解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x 例題點評例題點評逆向應用公

6、式和變形應用公式是高中數(shù)逆向應用公式和變形應用公式是高中數(shù)學學的難點的難點, ,也是重點也是重點, ,只有熟練掌握公式的只有熟練掌握公式的正正用用, ,才能掌握逆向應用和變式應用才能掌握逆向應用和變式應用題型題型4 4 求多項式的展開式中特定的項求多項式的展開式中特定的項( (系數(shù)系數(shù)) )例例7 72345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展開式中的展開式中, , 的系數(shù)等于的系數(shù)等于_2x解解: :仔細觀察所給已知條件可直接求得仔細觀察所給已知條件可直接求得 的系的系 數(shù)是數(shù)是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2 運用等比數(shù)列求和公

7、式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展開式中的展開式中,含有含有 項的系數(shù)為項的系數(shù)為6(1)x3x3620C 所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為-202xttxC)3(12123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例8 8求求 展開式中展開式中 的系數(shù)。的系數(shù)。4xrrxC)(44x解解: :可逐項求得可逐項求得 的系數(shù)的系數(shù)8)21 (x的展開式通項為的展開式通項為ssxC)2(8當當 時時2s112428C系數(shù)為系數(shù)為12)31 (x的展開式通項為的展開式通項為1t當當 時時363112C系數(shù)為系數(shù)為所以所以 展開式中的展開式中的系數(shù)為系數(shù)為123

8、824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展開式通項為的展開式通項為當當 時時3r系數(shù)為系數(shù)為-4-4求復雜的代數(shù)式的展開式中某項求復雜的代數(shù)式的展開式中某項( (某項的系數(shù)某項的系數(shù)),),可以逐項分析求解可以逐項分析求解, ,常常對所給代數(shù)式進行化簡常常對所給代數(shù)式進行化簡, ,可以可以減小計算量減小計算量例題點評例題點評題型題型5 5 求乘積二項式展開式中特定的項求乘積二項式展開式中特定的項( (特特 定項的系數(shù)定項的系數(shù)) )例題例題9:9:求求 的展開式中的展開式中 項項 的系數(shù)的系數(shù). .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrC

9、xC x6(1)x 的通項是的通項是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通項是的通項是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通項是的通項是65(1) (21)xx由題意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例題點評例題點評對于較為復雜的二項式與二項式乘積利用兩對于較為復雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算個通項之積比較方便運算題型題型8 8 三項式轉(zhuǎn)化為

10、二項式三項式轉(zhuǎn)化為二項式展開式中的常數(shù)項求例8)11(13xx解：三項式不能用二項式定理解：三項式不能用二項式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項式必須轉(zhuǎn)化為二項式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107的系數(shù)是的展開式中例xxx52)23(14_解：解：原式化為523)2(xx其通項公式為其通項公式為rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指數(shù)為要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468

11、xxxxx2402154的系數(shù)為所以x240240例題點評括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項,合合并時要注意選擇的科學性并時要注意選擇的科學性.也可因式分解化為乘積二也可因式分解化為乘積二項式項式.題型題型6 6 求展開式中各項系數(shù)和求展開式中各項系數(shù)和解：設解：設展開式各項系數(shù)和為展開式各項系數(shù)和為1例題點評例題點評求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項 式中的字母為式中的字母為1 1naaaa210上式是恒等式，所以當且僅當上式是恒等式，所以當且僅當x=1x=1時，時， (2-1) (2-1)n n=

12、=naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例1 10. 0. 的展開式的各項系數(shù)和為的展開式的各項系數(shù)和為_nx) 12(2題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次) )項偶數(shù)項偶數(shù)( (次次) )項系數(shù)的和項系數(shù)的和776016712(31)xa xa xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8

13、256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)是負數(shù)因為7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74例題點評例題點評求二項展開式系數(shù)和，常常得用求二項展開式系數(shù)和，常常得用賦值法賦值法，設，設二項式中的字母為二項式中的字母為1或或-1，得到一個或幾個等，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值式，再根據(jù)結(jié)果求值題型題型9 9 求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項的項與最大二項式系數(shù)的比求其項的最大系數(shù)的展開式中在例，x20) 32(15解解: :設設 項是系數(shù)最大的項項是系數(shù)最大的項, ,則則1

14、r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r項系數(shù)最大的項是即二項式系數(shù)最大的項為第11項,即1020C所以它們的比是137102012812203211532CC例例16 16 在在 的展開式中，系數(shù)的展開式中，系數(shù)絕對值絕對值最大的項最大的項 20)23 (yx解：設系數(shù)絕對值最大的項是第解：設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1r+1項，則項，則1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所

15、以當所以當 時，系數(shù)絕對值最大的項為時，系數(shù)絕對值最大的項為8r812812820923yxCT例例1717求求 的展開式中的展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項最大的項50)21 ( 211rrrrTTTT解：設第解：設第 項是是數(shù)值最大的項項是是數(shù)值最大的項1r展開式中展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項是最大的項是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r211rrrrTTTT解決系數(shù)最大問題，通常設第解決系數(shù)最大問題，通常設第 項是系數(shù)最項是系數(shù)最大的項，則有大的項，則有1r由此確定由此確定r

16、 r的取值的取值例題點評例題點評題型題型10 10 整除或余數(shù)問題整除或余數(shù)問題例例1818。的余數(shù)除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各項均能被前面各項均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余數(shù)是

17、被可見余數(shù)為余數(shù)為正整數(shù)正整數(shù)注意(1)證明證明:9910-1能被能被1000整除整除(2)證明證明:32n+2-8n-9(nN*)能被能被64整除整除(3)9192除以除以100的余數(shù)是的余數(shù)是 (81)(92年三年三南高考南高考)(4)今天是星期日今天是星期日,再過再過290天是星期幾天是星期幾? (一一)(5)11100-1末尾連續(xù)零的個數(shù)是末尾連續(xù)零的個數(shù)是 個個 (3個個)整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,

18、再再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點評例題點評題型題型1 11 1 近似計算問題近似計算問題例例:計算計算(1)(0.997)3的近似值的近似值(精確到精確到0.001)(2)(1.009)5的近似值的近似值(精確到精確到0.001)例例. .某公司的股票今天的指數(shù)為某公司的股票今天的指數(shù)為2,2,以后每天的指以后每天的指 數(shù)都比上一天的指數(shù)增加數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,0.2%,則則100100天后這天后這 公司的股票股票指數(shù)為公司的股票股票指數(shù)為_(_(精確到精確到0.0010.001) )

19、解解: :依題意有依題意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC 2(10.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后這家公司的股票指數(shù)約為天后這家公司的股票指數(shù)約為2.442.44點評近似計算常常利用二項式定理估算前幾項點評近似計算常常利用二項式定理估算前幾項題型題型1 12 2 證明恒等式證明恒等式123119232nnnnnnCCCnCn例求證析析: :本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和. .因為因為 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCC

20、CCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 設nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS例題點評例題點評利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種最常見的方法最常見的方法,證明等式常用下面的等式證明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC例例2020證明證明： 3)11 (2nn1*nNn且當2111111)11 (22221 nCnCnC

21、nnnnn證明證明1(1)(1) 111!kknkkkn nn knCnknknk 通項通項nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以題型題型1 13 3 證明不等式證明不等式例題點評例題點評利用二項式定理證明不等式利用二項式定理證明不等式, ,將展開式將展開式進行合理放縮進行合理放縮鞏固練習鞏固練習一選擇題一選擇題a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展開式的常數(shù)項是展開式的常數(shù)項是1120,1120, 其中實數(shù)其中實數(shù) 是常數(shù)是常數(shù), ,則展開式中各項系數(shù)的和則展開式中各項系數(shù)的和 是是( )( )82 A83 B83 1 或C83 2 或DCnxx)12(2 2 若若 展開式中含展開式中含 項的系數(shù)與含項的系數(shù)與含 項的項的 系數(shù)之比為系數(shù)之比為-5,-5,則則n n等于等于( )( )21x41xA 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B82A83B831或C821或D 3 3 被被4 4除所得的系數(shù)為（除所得的系數(shù)為（ ） A0 B1 C2 D39923331 A632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展開式中展開式中 的系數(shù)是的系數(shù)是_2x2 2 被被2222除所得的余數(shù)為除所得的