大學(xué)物理習(xí)題課第9章

1、第9章習(xí)題課機(jī)械振動機(jī)械振動簡諧振動簡諧振動的特征的特征簡諧振動簡諧振動的描述的描述簡諧振動簡諧振動的合成的合成阻尼振動阻尼振動受迫振動受迫振動簡諧振動簡諧振動機(jī)械波機(jī)械波機(jī)械波的機(jī)械波的產(chǎn)生產(chǎn)生機(jī)械波的機(jī)械波的描述描述波動過程中波動過程中能量的傳播能量的傳播波在介質(zhì)中波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律的傳播規(guī)律回復(fù)力：回復(fù)力：kxf 動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：0dd222 xtx 運(yùn)動學(xué)方程：運(yùn)動學(xué)方程：)cos( tAx能量：能量：221kAEEEpk EEEpk21 簡諧振動的特征簡諧振動的特征動能勢能相互轉(zhuǎn)化動能勢能相互轉(zhuǎn)化簡諧振動的描述簡諧振動的描述一、描述簡諧振動的物理量一、描述簡諧振動的物理量

2、振幅振幅A： 角頻率角頻率 ：mk 周期周期 T 和頻率和頻率 ：22020 vxA 00 xvtg 相位相位( t + ) 和和 初相初相 ：相位差相位差 ：)()(1122 ttT 2 2TT1 的確定！的確定！1、解析法、解析法)cos( tAx)sin( tAv2.振動曲線法振動曲線法3、旋轉(zhuǎn)矢量法：、旋轉(zhuǎn)矢量法： AAp txo M0 tt 二、簡諧振動的研究方法二、簡諧振動的研究方法24y)(stA -A 1.1.同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成：)()()(21txtxtx )cos( tA)cos(212212221 AAAAA22112211cos

3、cossinsin AAAAarctg A2A1Axx2x1xo1 2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成驅(qū)動力作正功驅(qū)動力作正功 = 阻尼力阻尼力作負(fù)功作負(fù)功逐漸耗盡逐漸耗盡守恒守恒能能 量量振動曲線振動曲線先變化后穩(wěn)定。先變化后穩(wěn)定。逐漸減小逐漸減小振振 幅幅頻頻 率率受受 力力受受 迫迫 振振 動動阻尼振動阻尼振動簡諧振動簡諧振動 運(yùn)動形式運(yùn)動形式22020 vxA kxf vkxf tFvkxf cos0 mk 0 220 策策 otxxtoxt阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動速度共振速度共振位移共振位移共振機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波的產(chǎn)生1、產(chǎn)生的條件：、產(chǎn)生的條件：波源及彈性媒質(zhì)。波源及彈性媒

4、質(zhì)。2、分類：橫波、縱波。、分類：橫波、縱波。3、描述波動的物理量：、描述波動的物理量：波長波長 ：在同一波線上兩個相鄰的相位差為在同一波線上兩個相鄰的相位差為2 的質(zhì)元的質(zhì)元 之間的距離。之間的距離。 周期周期T ：波前進(jìn)一個波長的距離所需的時間。：波前進(jìn)一個波長的距離所需的時間。頻率頻率 ：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某點的完整波的數(shù)目。：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某點的完整波的數(shù)目。波速波速u ：波在介質(zhì)中的傳播速度為波速。波在介質(zhì)中的傳播速度為波速。各物理量間的關(guān)系：各物理量間的關(guān)系：Tu 波速波速u : 決定于媒質(zhì)。決定于媒質(zhì)。 ,T僅由波源決定，與媒質(zhì)無關(guān)。僅由波源決定，與媒質(zhì)無關(guān)。機(jī)械波的描述

5、機(jī)械波的描述波前波前波面波面波線波線波線波線波前波前波面波面1、幾何描述：、幾何描述：2、解析描述：、解析描述：)(cos),(0 uxtAtxy)2(cos),(0 xtAtxy1）能量密度：）能量密度：)(sin0222 uxtAw3）能流密度能流密度(波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度)：uAuwI2221 2）平均能量密度：）平均能量密度：2221 Aw 基本原理：傳播獨立性原理，波的疊加原理。基本原理：傳播獨立性原理，波的疊加原理。波動過程中能量的傳播波動過程中能量的傳播波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律1）相干條件：頻率相同、振動方向相同、相位差恒定）相干條件：頻率相同、振動方向相同、相位差恒

6、定波的干涉波的干涉現(xiàn)象：波的反射（波疏媒質(zhì)現(xiàn)象：波的反射（波疏媒質(zhì) 波密媒質(zhì)波密媒質(zhì) 界面處存在界面處存在半波損失半波損失）干涉減弱：干涉減弱：,.)2 , 1 ,0()12( kk krr 122)12( k2）加強(qiáng)與減弱的條件：）加強(qiáng)與減弱的條件：干涉加強(qiáng)：干涉加強(qiáng)：,.)2,1 ,0(2 kk 2010若2010若3）駐波（干涉特例）駐波（干涉特例）波節(jié)：振幅為零的點波節(jié)：振幅為零的點波腹：振幅最大的點波腹：振幅最大的點能量不傳播能量不傳播多普勒效應(yīng)：多普勒效應(yīng)： （以媒質(zhì)為參考系以媒質(zhì)為參考系）1）S 靜止，靜止，R 運(yùn)動運(yùn)動sRRuVu s2）S 運(yùn)動，運(yùn)動，R 靜止靜止ssRVuu

7、 R一般運(yùn)動：一般運(yùn)動：ssRRVuVu 習(xí)題類別習(xí)題類別：振動：振動：1、簡諧振動的判定。（動力學(xué)）、簡諧振動的判定。（動力學(xué)） （質(zhì)點：牛頓運(yùn)動定律。剛體：轉(zhuǎn)動定律。）（質(zhì)點：牛頓運(yùn)動定律。剛體：轉(zhuǎn)動定律。）2、振動方程的求法。振動方程的求法。 由已知條件求方程由振動曲線求方程。由已知條件求方程由振動曲線求方程。3、簡諧振動的合成。、簡諧振動的合成。波動：波動：1、求波函數(shù)（波動方程）求波函數(shù)（波動方程）。 由已知條件求方程由振動曲線求方程。由已知條件求方程由振動曲線求方程。 由波動曲線求方程。由波動曲線求方程。 2、波的干涉（含駐波）。、波的干涉（含駐波）。 3、波的能量的求法。、波的能

8、量的求法。 4、多普勒效應(yīng)。、多普勒效應(yīng)。相位、相位差和初相位的求法：相位、相位差和初相位的求法：解析法解析法和和旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法。1、由已知的初條件求初相位：、由已知的初條件求初相位：已知初速度的大小、正負(fù)以及初位置的正負(fù)。已知初速度的大小、正負(fù)以及初位置的正負(fù)。已知初位置的大小、正負(fù)以及初速度的正負(fù)。已知初位置的大小、正負(fù)以及初速度的正負(fù)。例例1已知某質(zhì)點振動的初位置已知某質(zhì)點振動的初位置 。 0200 vAy且且3 )cos( tAy3 )3cos( tAy例例2已知某質(zhì)點初速度已知某質(zhì)點初速度 。02100 yAv且且 )sin( tAvAAv 21sin0 656 or65 00

9、 y2、已知某質(zhì)點的振動曲線求初相位：、已知某質(zhì)點的振動曲線求初相位：已知初位置的大小、正負(fù)以及初速度的大小。已知初位置的大小、正負(fù)以及初速度的大小。例例3已知某質(zhì)點振動的初位置已知某質(zhì)點振動的初位置 。 AvAy 95. 03 . 000 且且.00的的可可能能值值由由 yvtg.0的的值值的的正正負(fù)負(fù)確確定定由由 y注意！注意！由已知的初條件確定初相位時，不能僅由一個初始由已知的初條件確定初相位時，不能僅由一個初始 條件確定初相位。條件確定初相位。 若已知某質(zhì)點的振動曲線，則由曲線可看出，若已知某質(zhì)點的振動曲線，則由曲線可看出，t = 0 時刻質(zhì)點振動的初位置的大小和正負(fù)及初速度的正負(fù)。時

10、刻質(zhì)點振動的初位置的大小和正負(fù)及初速度的正負(fù)。關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定振動初速度的正負(fù)確定振動初速度的正負(fù)。yto12考慮斜率?？紤]斜率。例例4 一列平面簡諧波中某質(zhì)元的振動曲線如圖。一列平面簡諧波中某質(zhì)元的振動曲線如圖。 求：求： 1）該質(zhì)元的振動初相。）該質(zhì)元的振動初相。 2）該質(zhì)元在態(tài)）該質(zhì)元在態(tài)A、B 時的振動相位分別是多少？時的振動相位分別是多少？yAtocBA A22 A2）由圖知）由圖知A、B 點的振動狀態(tài)為：點的振動狀態(tài)為：022000 vAyt時，時，由旋轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：yA22 c43 o解：解：1）由圖知初始條件為：）由圖知初始條件為：00 AAvy0 BBvAy由旋

11、轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：AB2 A0 B 3、已知波形曲線求某點處質(zhì)元振動的初相位：、已知波形曲線求某點處質(zhì)元振動的初相位： 若已知某時刻若已知某時刻 t 的波形曲線求某點處質(zhì)元振動的初相的波形曲線求某點處質(zhì)元振動的初相位，則需從波形曲線中找出該質(zhì)元的振動位移位，則需從波形曲線中找出該質(zhì)元的振動位移 y0 的大小的大小和正負(fù)及速度的正負(fù)。和正負(fù)及速度的正負(fù)。12yxouP關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定振動速度的正負(fù)。確定振動速度的正負(fù)。方法：由波的傳播方向，確定比該質(zhì)方法：由波的傳播方向，確定比該質(zhì) 元先振動的相鄰質(zhì)元的位移元先振動的相鄰質(zhì)元的位移 y 。 比較比較y0 和和 y 。，則則若若；則則，若

12、若00000 vyyvyyo由圖知：由圖知： 對于對于1：。則則，00 ovyy。，則則000 vyy對于對于2 ：思考思考? 若傳播方向相反若傳播方向相反 時振動方向如何？時振動方向如何？例例5一列平面簡諧波某時刻的波動曲線如圖。一列平面簡諧波某時刻的波動曲線如圖。 求：求：1）該波線上點）該波線上點A及及B 處對應(yīng)質(zhì)元的振動相位。處對應(yīng)質(zhì)元的振動相位。 2）若波形圖對應(yīng)）若波形圖對應(yīng)t = 0 時，點時，點A處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位。處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位。 3）若波形圖對應(yīng)）若波形圖對應(yīng)t = T/4 時，點時，點A處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位。處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位。解：解：1）由圖知）由圖知

13、A、B 點的振動狀態(tài)為：點的振動狀態(tài)為：00 AAvy0 BBvAy由旋轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：2 A0 B BA2 2）若波形圖對應(yīng)）若波形圖對應(yīng)t = 0 時，時， 點點A 處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位：處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位：20 A3 3）若波形圖對應(yīng)）若波形圖對應(yīng)t = T/4 時，點時，點A處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位：處對應(yīng)質(zhì)元的振動初相位：20 AtT 2 00 A yAxocBA A22 Au求振動方程和波動方程求振動方程和波動方程（1）寫出）寫出x=0處質(zhì)點振動方程；處質(zhì)點振動方程；（2）寫出波的表達(dá)式；寫出波的表達(dá)式；（3）畫出）畫出t=1s時的波形。時的波形。y)(st2422

14、/2例例1.一簡諧波沿一簡諧波沿x軸正向傳播，軸正向傳播，=4m, T=4s, x=0處振動曲線如圖：處振動曲線如圖： 3 3x)x)- -(t(t2 2coscos2 2y y1,1,T T(2)u(2)u ););3 3t t2 2cos(cos(2 2所以y所以y; ;3 3所以所以0,0,；又v；又v3 3得得; ;coscos2 22 22 20,0,由t由t; ;2 2T T2 2; ;2 2A A););Acos(Acos(t t(1)y(1)y0 0 解：解：解：解：1）由題意知：）由題意知： 5002 m200 傳播方向向左。傳播方向向左。2/2A)(my)(mxoA Pm2

15、00設(shè)波動方程為：設(shè)波動方程為：)2cos(0 xtAy由旋轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：o4Ay40 )42002500cos( xtAy2）mx100)45500cos( tAy)45500sin(500dd tAtyvy例例2 一平面簡諧波在一平面簡諧波在 t = 0 時刻的波形圖，設(shè)此簡諧波的頻率時刻的波形圖，設(shè)此簡諧波的頻率 為為250Hz，且此時質(zhì)點且此時質(zhì)點P 的運(yùn)動方向向下的運(yùn)動方向向下 , 。 求：求：1）該波的波動方程；）該波的波動方程； 2）在距）在距O點為點為100m處質(zhì)點的振動方程與振動速度表達(dá)式。處質(zhì)點的振動方程與振動速度表達(dá)式。m200 例例3 位于位于 A,B兩點

16、的兩個波源兩點的兩個波源,振幅相等振幅相等,頻率都是頻率都是100赫茲，赫茲，相位差為相位差為 ,其其A,B相距相距30米，波速為米，波速為400米米/秒，求秒，求: A,B 連線連線之間因干涉而靜止各點的位置。之間因干涉而靜止各點的位置。解：取解：取A點為坐標(biāo)原點，點為坐標(biāo)原點，A、B聯(lián)線為聯(lián)線為x軸，取軸，取A點的振動方程點的振動方程 :)cos( tAyA在在x軸上軸上A點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)2cos( xtAyA B點的振動方程點的振動方程 :)0cos( tAyB BAxxm30 x30O在在x軸上軸上B點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)30(20cos xtAy

17、B 因為兩波同頻率同振幅同方向振動因為兩波同頻率同振幅同方向振動,所以相干為靜止的點滿足：所以相干為靜止的點滿足： ) 12()30(22 kxx,.2, 1, 0 k相干相消的點需滿足：相干相消的點需滿足： )1(230 kxsec/4mu ,.2, 1, 0217 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1 可見在可見在A、B兩點是波腹處。兩點是波腹處。BAxxm30 x30 )12()30(22 kxx, 2, 1, 0 k則有：則有：)(2cos xTtAy入入223)(2cos xTtA)(2cos xTtA反反入入yyy )2cos()2cos(2 xTtA

18、解解:設(shè)入射波的波函數(shù)為設(shè)入射波的波函數(shù)為：)2(2cos xOPTtAy反反合振動為：合振動為：例題例題4：如圖，一平面簡諧波沿：如圖，一平面簡諧波沿ox軸正向傳播，軸正向傳播，BC為波密媒為波密媒質(zhì)的反射面，波由質(zhì)的反射面，波由P點反射，點反射，OP=3/4,DP=/6.在在t=0時點時點O處處的質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動。求點的質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動。求點D處入射處入射波與反射波的合振動方程（設(shè)振幅都為波與反射波的合振動方程（設(shè)振幅都為A,頻率都為頻率都為）。）。 xxBCPDO入射入射反射反射)2cos()22cos(2 xTtAy 12/72cos)22c

19、os(2 TtAyD)22cos(6cos2 TtA)22cos(232 TtA)(2sin3SItA 將將D點的坐標(biāo)代入上式，有點的坐標(biāo)代入上式，有所以有所以有故有故有：又由又由時時處處0,0 tx00cos2 vAy且且 2/ )(2cos1TtxAy)/(2cos2TtxAy21yyy)21/2cos()21/2cos(2TtxAnx21/2)21(21nx2121/2nxnx21例例5. 設(shè)入射波的表達(dá)式為設(shè)入射波的表達(dá)式為 反射點為一固定端設(shè)反射時無能量損失，求反射點為一固定端設(shè)反射時無能量損失，求 (1) 反射波的表反射波的表達(dá)式；達(dá)式； (2) 合成的駐波的表達(dá)式；合成的駐波的表

20、達(dá)式； (3) 波腹和波節(jié)的位置波腹和波節(jié)的位置 解解：(1) 反射點是固定端，所以反射有相位突變反射點是固定端，所以反射有相位突變 ，且反射波振，且反射波振幅為幅為A，因此反射波的表達(dá)式為，因此反射波的表達(dá)式為 (3) 波腹位置：波腹位置： 波節(jié)位置：波節(jié)位置： , n = 1, 2, 3, 4,在在x = 0處發(fā)生反射，處發(fā)生反射，(2) 駐波的表達(dá)式駐波的表達(dá)式n = 1, 2, 3, 4,在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。面波在行進(jìn)方向上振幅不變。借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅的變化：借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅

21、的變化：討論討論: : 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅證明：因為證明：因為在一個周期在一個周期T內(nèi)通過內(nèi)通過1S和和2S面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等,TSITSI2211 SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA 所以所以, ,平面波振幅相等：平面波振幅相等：u1S2S2224 rS 2211rArA ;rS2114 2r由于振動的相位隨距離的增加而由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡諧波的波函數(shù)：面簡諧波的波函數(shù)：)(cosurtrAy 1r球面波球面波TSAuTSAu222212122121 所以振幅與

22、離波源的距離所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位成反比。如果距波源單位距離的振幅為距離的振幅為ArA則距波源則距波源r r處的振幅為處的振幅為例例6 一個點波源位于一個點波源位于O點，以點，以O(shè)為圓心作兩個同心球面，半徑分為圓心作兩個同心球面，半徑分 別為別為R1 、R2 。在兩個球面上分別取相等的面積在兩個球面上分別取相等的面積S 1和和 S 2， 則通過它們的平均能流之比則通過它們的平均能流之比P 1 / P2為：為：uSAP22211R2Ro1S2S1S2S21RRPP222212212121uSAuSA2222212144RARA1221RRAA1221121SuAP22222

23、21SuAP2122222121RRAAPP1、已知某簡諧振動的振動曲線如圖所示，位移的單位為厘米，、已知某簡諧振動的振動曲線如圖所示，位移的單位為厘米， 時間的單位為秒，則簡諧振動的振動方程為：時間的單位為秒，則簡諧振動的振動方程為：cmtxEcmtxDcmtxCcmtxBcmtxA)4/3/4cos(2)3/23/4cos(2)3/23/4cos(2)3/23/2cos(2)3/23/2cos(2) )(cmx1o)(st21 C 322、圖示為一向右傳播的簡諧波在、圖示為一向右傳播的簡諧波在 t 時刻的波形圖，時刻的波形圖，BC為波密為波密 介質(zhì)的反射面，介質(zhì)的反射面，P點反射，則反射波

24、在點反射，則反射波在 t 時刻的波形圖為時刻的波形圖為:yxoACBPxoAPyxoAPyxoAPyxoAPy B （A）（B）（C）（D）3、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿 x 軸負(fù)方向傳播。已知軸負(fù)方向傳播。已知 x = x0 處質(zhì)點的處質(zhì)點的 振動方程為振動方程為 。若波速為。若波速為u，則此波的則此波的 波動方程為：波動方程為：)cos(0 tAy 00000000/)(cos)/)(cos)/)(cos)/)(cos) uxxtAyDuxxtAyCuxxtAyBuxxtAyA A ox0 xx)(cos),(0 uxtAtxy4、一質(zhì)點同時參與了兩個同方向的簡諧振動，它們的振動方、一

25、質(zhì)點同時參與了兩個同方向的簡諧振動，它們的振動方 程分別為程分別為 其合成運(yùn)動的運(yùn)動方程為其合成運(yùn)動的運(yùn)動方程為 x = ( )()12/19cos(05.0)()4/cos(05.021SItxSItx )12cos(05.0 t1M1x2x2M5、已知三個簡諧振動曲線，則振動方程分別為：、已知三個簡諧振動曲線，則振動方程分別為：txcos1 .01)2cos(1 .02tx)cos(1 .03txto10)(cmx102x2133x1x1x3x2x)2cos(1 tAy6、兩相干波源、兩相干波源S 1 和和 S 2 的振動方程是的振動方程是 ， S 1 距距P 點點 6 個波長，個波長， S 2 距距P 點為點為13 / 4 個波長。兩波在個波長。兩