飛行管理與交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)

1、西安交通大學(xué) Xian Jiaotong University1.飛行管理問(wèn)題飛行管理問(wèn)題西安交通大學(xué) 在約1萬(wàn)米高空的某邊長(zhǎng)為160公里的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí),記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞,如果會(huì)碰撞,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整每架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角,以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下:(1) 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里;(2) 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)30度;(3) 所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)800公里;(4)

2、進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)與區(qū)域內(nèi) 飛機(jī)的距離應(yīng)在60公里以上;(5) 最多需考慮6架飛機(jī);(6) 不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況。西安交通大學(xué) 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。并對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過(guò)0.01度).飛機(jī)編號(hào)飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)X縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)Y方向角方向角(度度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入新進(jìn)入0052西安交通大學(xué)1.問(wèn)題分析問(wèn)題分析目的：不碰撞。手段：調(diào)整飛行方向角。要求：調(diào)整的幅度盡量小。求解思路：(1) 找出不碰

3、撞的條件。(2)求調(diào)整幅度的極小值。 建立優(yōu)化模型。建立優(yōu)化模型。西安交通大學(xué)題目的條件題目的條件(1) 飛機(jī)在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行。(2) 飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8公里 。 根據(jù) (1)可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一個(gè)正方形區(qū)域,頂點(diǎn)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根據(jù) (2)可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)坐標(biāo)點(diǎn)為圓心、以4公里為半徑的圓狀物體。 每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定。 這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)行過(guò)程中是否相交的問(wèn)題。兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可。 西安交通大學(xué)2.模型假設(shè)模型假設(shè)(1

4、) 飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí),立即作出計(jì)算,每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角改變;(2) 每架飛機(jī)在整個(gè)過(guò)程中至多改變一次方向;(3) 忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響(轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響);(4) 新飛機(jī)進(jìn)入空域時(shí),已在空域內(nèi)部飛行的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)合適,不會(huì)碰撞;(5) 對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。西安交通大學(xué)3.模型的建立模型的建立(1) 圓狀模型圓狀模型 由前面的分析將飛機(jī)作為圓狀模型進(jìn)行研究。兩圓不相交,則表明不會(huì)發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會(huì)發(fā)生碰撞事故。 為了研究?jī)娠w機(jī)相撞問(wèn)題,采用相對(duì)速度作為研究對(duì)象,因?yàn)轱w機(jī)是否相撞的關(guān)鍵是相對(duì)速度。西安交通大學(xué)下圖給出任意兩

5、架飛機(jī)間的關(guān)系。西安交通大學(xué)圖中符號(hào)含義如下: i,j 第i、第j架飛機(jī)的圓心;aij 第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的碰撞角,是兩圓的切線交角中指向圓的那個(gè)角的一半;vij第i架飛機(jī)相對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度;lij第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的圓心距;ij第i架飛機(jī)對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連線的交角。規(guī)定以第i架飛機(jī)為原點(diǎn),ij連線從i指向j為正方向,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角; AB、CD為兩圓的公切線, mi/AB, nj/CD 西安交通大學(xué) 另外再引入記號(hào):i 第i架飛機(jī)的飛行方向與直角坐標(biāo)xoy中x軸正向的夾角(轉(zhuǎn)角);xi 第i架飛機(jī)在坐標(biāo)xoy中的位置矢量;vi 第

6、i架飛機(jī)的飛行速度矢量。 由圖得到兩飛機(jī)不相撞(兩圓不相交)的充要條件是|ij|aij.當(dāng)|ij|aij時(shí),則通過(guò)調(diào)整兩飛機(jī)的方向角i與i,使飛機(jī)不相撞。 西安交通大學(xué)(2) 決策目標(biāo)決策目標(biāo) 題目要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小,這個(gè)盡量小是針對(duì)每架飛機(jī)而言,同時(shí)也要求整體滿意程度(即對(duì)管理層而言,應(yīng)使每架飛機(jī)的調(diào)整都盡量的小). 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí),可以認(rèn)為若對(duì)方向角調(diào)整量最大的飛機(jī)而言,其調(diào)整量可滿意,則由假設(shè)(5)對(duì)其余飛機(jī)調(diào)整量均可滿意。即要求每架飛機(jī)的調(diào)整量都小于某個(gè)數(shù) 故可取目標(biāo)函數(shù)為 ,求其最小值 min 西安交通大學(xué)(3) 由圓狀模型導(dǎo)出的方程由圓狀模型導(dǎo)出的方程飛行方向角改變

7、量i 、j 相對(duì)飛行速度方向角ij的改變量ij討論ij 與i 、j的關(guān)系。對(duì)飛行速度矢量vi ，由題目條件有，|vi=|vi=800 =A(km)飛行方向角為i用復(fù)數(shù)表示vi得。iiiAev西安交通大學(xué)記第i,j兩架飛機(jī)飛行方向改變前的速度、兩架飛機(jī)的相對(duì)速度分別為：,11111jiijijiivvvAevAevji飛行方向改變后的速度、相對(duì)速度分別為：222)(2)(2,jiijijiivvvAevAevjjii則相對(duì)飛行速度方向角的改變量ij由 得出。12/ijijvv西安交通大學(xué)定理定理 對(duì)第i,j架飛機(jī),其相對(duì)速度方向的改變量ij等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量的平均值。2jiij故2122

8、sin2sinjiijijjiiijijevv則調(diào)整方向后兩飛機(jī)不相撞的充要條件是： |ij + ij |aij.西安交通大學(xué)總結(jié)以上結(jié)果得如下優(yōu)化模型 min (1) s.t.|ij+ ij |aij.,ij =（i +j） (2) |i |, i=16, (3) |i |30,i=16, (4) 0 30 (5) (4) 線性規(guī)劃模型。 將上述優(yōu)化模型進(jìn)行化簡(jiǎn),可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型。西安交通大學(xué)|ij+ ij |aij可化為：ij+ ij aij 當(dāng)ij0ij + ij -aij 當(dāng)ij2aij -2 ij 當(dāng)ij0 (7) i1 -i2 + j1 -j2 2 ij -2 aij 當(dāng)ija

9、ij(即不會(huì)相撞)。 其中有些飛機(jī)對(duì)有|ij|-aij aij 0.01, 只須將模型中的ai用 ai0.01代替即可。 將調(diào)整后各量再代入模型進(jìn)行計(jì)算得 min= 0即此時(shí)無(wú)需再調(diào)整。經(jīng)模擬程序運(yùn)行可觀察動(dòng)態(tài)結(jié)果是正確的。西安交通大學(xué)6. 6. 模型評(píng)價(jià)與推廣模型評(píng)價(jià)與推廣 (1)此模型采用圓狀模型分析碰撞問(wèn)題是合理的,同時(shí)采用相對(duì)速度作為判斷標(biāo)準(zhǔn),即體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)),又簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算。(2) 建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化,將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。既求到合理的解,又提高了運(yùn)算速度。這對(duì)于解決高速運(yùn)行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果

10、是令人滿意的。(3) 簡(jiǎn)化模型中忽略了ij =0(即兩架飛機(jī)迎面飛行)的情況。 ij =0時(shí),可使用約束條件(7)式或(8)式求出最優(yōu)解。比較此兩組解可得最優(yōu)解。西安交通大學(xué)(4) 模型中的約束條件數(shù)為 +4n=n(n+7)/2 (n是飛機(jī)數(shù)),n增大時(shí),約束條件數(shù)是n的二次函數(shù),計(jì)算量增加不大。 2nC西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模的一些方法數(shù)學(xué)建模的一些方法1 1提問(wèn)題法提問(wèn)題法1）這個(gè)問(wèn)題與什么問(wèn)題相類(lèi)似？2）改變問(wèn)題的某些條件會(huì)怎樣？3）將問(wèn)題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？4）重新組合又會(huì)怎樣？5）我們還可以做些什么工作？6) 還有沒(méi)有需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？7）可否換一種數(shù)學(xué)工具來(lái)解決問(wèn)題？西安交

11、通大學(xué) 抓住問(wèn)題的關(guān)鍵詞，然后不受約束的浮想聯(lián)翩； 把聯(lián)想到的內(nèi)容記在卡片上。 通過(guò)對(duì)卡片上的內(nèi)容琢磨，激發(fā)產(chǎn)生新的主意。 通過(guò)對(duì)這些卡片的整理，形成解決問(wèn)題的初步思路。2 2 關(guān)鍵詞聯(lián)想法關(guān)鍵詞聯(lián)想法西安交通大學(xué)3 3 整體把握問(wèn)題法整體把握問(wèn)題法 將問(wèn)題分為“三要素”，既初態(tài)、目標(biāo)態(tài)和過(guò)程。初態(tài)：察覺(jué)到的現(xiàn)在狀態(tài)。 “有什么”：如已知的條件、數(shù)據(jù)等。目標(biāo)態(tài)：察覺(jué)到的希望目標(biāo)。 希望什么、避免什么。 過(guò)程：在初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之間發(fā)生作用的行動(dòng)。 “做什么” 形成研究對(duì)象的一個(gè)整體結(jié)構(gòu)。形成研究對(duì)象的一個(gè)整體結(jié)構(gòu)。西安交通大學(xué) 1.1.問(wèn)題問(wèn)題 1.1 1.1 背景背景 在通信工程中，信號(hào)的可靠性

12、是至關(guān)重要的，在信號(hào)的傳輸過(guò)程中，往往遇到噪聲干擾，干擾可能來(lái)自系統(tǒng)的外部，也可能有系統(tǒng)本身的非線性輸出過(guò)程產(chǎn)生。例如有一非線性系統(tǒng)：其輸入與輸出的關(guān)系是 (其中t是時(shí)間)，那么當(dāng)輸入是包含頻率 的信號(hào) 時(shí)，輸出y(t)中不僅包含輸入信號(hào)而且還會(huì)出現(xiàn) 等新的頻率成分,這些新的頻率稱(chēng)為交調(diào),如果交調(diào)的頻率出現(xiàn)在原有頻率 的附近，就會(huì)產(chǎn)生干擾。2(t)u(t)u (t)y12,ff12u(t)cos(2)cos(2)f tf t( ,1,2)ijffi j12,ff2.2.非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)西安交通大學(xué)1.2 1.2 具體問(wèn)題具體問(wèn)題 現(xiàn)有一SCS(非線性)系統(tǒng),其輸入輸出關(guān)

13、系由如下一組數(shù)據(jù)給出：其中A1=25，A2=10，A3=45式輸入信號(hào)的振幅，對(duì)輸入信號(hào)頻率的設(shè)計(jì)要求為：112233( )cos(2)cos(2)cos(2)u tAf tAf tAf t1233640,4150,4655fff(1)(2) 輸出中的交調(diào)均不得出現(xiàn)在 的范圍內(nèi)(i=1,2,3), 此范圍稱(chēng)為 的接受帶（如下圖）5if if輸入信號(hào)為:輸入u0510203040506080輸出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50西安交通大學(xué)(4) 不得出現(xiàn)在的 接收帶內(nèi)（ i,j=1，2，3，ij)(5)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 只取整數(shù)值，且交調(diào)只考慮2階類(lèi)型

14、 （即 ，i,j=1，2，3）和3階類(lèi)型（即 ，i ，j，k=1，2，3）。(3) 定義輸出的信噪比 （單位:dB），其中Bi是 輸出中對(duì)應(yīng)于頻率為 的信號(hào)的振幅，Cn是某一頻率為 的交調(diào)的振幅。若 出現(xiàn)在處 （i=1,2,3）,則 對(duì)應(yīng)的SNR應(yīng)大于10 分貝 。2210lginBSNRCifnfnf6niff ifjfijffifijkfff西安交通大學(xué) 3.1. 3.1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析交調(diào)交調(diào)什么是交調(diào)?交調(diào)是如何產(chǎn)生的?輸入輸出關(guān)系交調(diào)的階?選擇頻率確定信噪比避免交調(diào)的影響西安交通大學(xué)交調(diào)及其階交調(diào)及其階)(2cos)(2cos21) 122cos21()(2cos2cos2cos

15、)(2121211212332211tkktkkAAtkAtutkAtkAtkAtuuk(t)可能產(chǎn)生可能產(chǎn)生k階類(lèi)型的交調(diào)階類(lèi)型的交調(diào);西安交通大學(xué)1).不考慮系統(tǒng)外部的干擾。2).擬合出的輸入輸出關(guān)系，對(duì)輸入信號(hào) 自變量u(t)為負(fù)的部分也是成立的。注注: 假設(shè)是論文研究中要用到的, 不要硬湊。 不要寫(xiě)題目明確給出的條件。 假設(shè)個(gè)數(shù)不要太多。 在研究過(guò)程中對(duì)假設(shè)進(jìn)行修改。2.2.模型假設(shè)模型假設(shè)西安交通大學(xué)3.3.模型建立與求解模型建立與求解確定輸入輸出關(guān)系配置頻率確定信噪比數(shù)據(jù)擬合理論分析、計(jì)算機(jī)計(jì)算系數(shù)的確定西安交通大學(xué)+xyy=f(x)(xi,yi)i數(shù)據(jù)擬合的一般提法為數(shù)據(jù)擬合的一

16、般提法為: : 已知某函數(shù)y=f(x)的一組測(cè)量數(shù)據(jù) (xi,yi)(i=1,2,n),要尋求一個(gè)函數(shù)g(x),使g(x)與上述測(cè)量數(shù)據(jù)在某種準(zhǔn)則下最為接近。 即g(xi)yi,則可以用g(x)近似代替f(x)。西安交通大學(xué)221111,. ,( ) ()()iiinnmiiiikkiiiiixywing xsw g xywa gxy 給定一組數(shù)據(jù)（ ， ），權(quán)系數(shù) ，求一廣義多項(xiàng)式，使達(dá)到極小。1 1 線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合00( )( )( ),mkkmkkkgxg xa gx設(shè)是 線 性 無(wú) 關(guān) 的 函 數(shù) 系稱(chēng) 為 廣 義 多 項(xiàng) 式 問(wèn)題歸結(jié)為，求問(wèn)題歸結(jié)為，求 a1,a2

17、, am 使使 s 最小最小。 因?yàn)閍1,a2, am 都以線性形式出現(xiàn),故稱(chēng)此方法為線性最小二乘擬合。權(quán)系數(shù)wi根據(jù)需要可靈活選擇。西安交通大學(xué)111110(1,2,. )()()0()()(),(1,2,. )knmijjiikiijmnnijikijiikijiikmawa gxy gxw gx gxaw y gxkm s由 得整理得0( )mkkgx 上方程稱(chēng)為正規(guī)方程組. 對(duì)于給定的測(cè)量數(shù)據(jù),只要函數(shù)系 選得合適,就可以從正規(guī)方程組中解出a1,a2, am .西安交通大學(xué)2.2.多項(xiàng)式插值擬合：多項(xiàng)式插值擬合：101,. ,( )( )iinkkkiixying xa xg xy給定

18、一組數(shù)據(jù)（ ， ），求一多項(xiàng)式，使3.3.樣條函數(shù)擬合樣條函數(shù)擬合( (略略) )西安交通大學(xué)g(x)=a1g1(x)+ +amgm(x)中函數(shù)中函數(shù)gg1 1(x), (x), g gm m(x)(x)的選取的選取 1. 1. 通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定 g(x)g(x)；+g=a1+a2xg=a1+a2x+a3x2g=a1+a2x+a3x2g=a1+a2/xg=aebxg=ae-bx 2. 2. 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過(guò)直觀判斷確定作圖，通過(guò)直觀判斷確定 g(x)： 3. 3. 取取g(x)為為x 的多項(xiàng)式函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)西安

19、交通大學(xué) (1).輸入輸出關(guān)系的確立輸入輸出關(guān)系的確立 根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)條件,首先要確定輸入 輸出的函數(shù)關(guān)系.這是一個(gè)數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題。 由于交調(diào)是因?yàn)檩斎雞(t)的乘方產(chǎn)生的.故此處用多項(xiàng)式擬合輸入輸出關(guān)系是恰當(dāng)?shù)?。輸入u0510203040506080輸出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50用什么函數(shù)擬合？西安交通大學(xué) 那么,我們?cè)囉貌煌螖?shù)的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合來(lái)比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn): 用4次的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時(shí),擬合出的多項(xiàng)式,其次數(shù)4的項(xiàng)的系數(shù)非常小(10),以致不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。 故用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合已達(dá)到精度了。 uk(t)可能產(chǎn)生k階類(lèi)型的交調(diào);

20、 題目要求考慮二階和三階類(lèi)型的交調(diào); 故最高次數(shù)必定3。擬合多項(xiàng)式的最高次數(shù)是多少? 注注: 擬合函數(shù)一般只對(duì)內(nèi)插有效擬合函數(shù)一般只對(duì)內(nèi)插有效, 外推一般不可靠。外推一般不可靠。西安交通大學(xué)設(shè)擬合多項(xiàng)式為:230123 y(t)=a( )( )( )a u ta uta u t 在所給的數(shù)據(jù)中有u=0時(shí),y=0.故選取a0=0較好。于是擬合多項(xiàng)式化為:23123 y(t)=( )( )( )a u ta uta u t(3.1)(3.2)112233 y= xxxaaa 用線性最小二乘擬合，對(duì)y(t)進(jìn)行三元回歸確定系數(shù)。記23123,xu xuxu(3.3)則(3.2)式變?yōu)?西安交通大學(xué)2

21、i11i22i33i1 (y xxx) ,9niSaaan令123,a a a求 使S為最小。由 ，得正規(guī)方程組:0,1,2,3iSia211212313111112121223232111121312323331111,nnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiiaxax xax xx yax xaxax xx yax xax xaxx y西安交通大學(xué)1230.24409 0.045383 -0.00041327aaa解得： 高階誤差為2.6716e-007，故三階擬合是比較精確的。得輸入輸出關(guān)系式為： 010203040506070800102

22、03040506070809010023( )0.24409 ( )0.045383( )0.00041327( ) y tu tu tu t擬合曲線如圖：擬合曲線如圖：(3.4)西安交通大學(xué)也可以用也可以用Mathematica求出求出擬合函數(shù)：擬合函數(shù)： 函數(shù)形式函數(shù)形式 功能功能 . . Fitdate，funs，vars 用變量為vars,函數(shù)類(lèi)為funs,按 最小二乘法擬合一組數(shù)據(jù)date程序：程序：date = 0, 0, 5, 2.25, 10, 6.80, 20, 20.15, 30, 35.70, 40, 56.40, 50, 75.10, 60, 87.85, 80, 98

23、.50Fitdate, u, u2, u3, u結(jié)果：結(jié)果：0.244091 u + 0.0453829 u2 - 0.000413273 u3西安交通大學(xué)假設(shè)： 輸入輸出關(guān)系(3.4)對(duì)u(t)為負(fù)的部分也是成立。1,1,2,32, ,1,2,33, , ,1,2,3iijijkf iffi jfffi j k階:階:階:(2) (2) 頻率約束條件下的初步配置頻率約束條件下的初步配置 將輸入代入(3.4)式，經(jīng)整理得到輸出y(t)的頻率成分有以下幾種:31( )cos(2)kkku tAf t(3.5)輸入西安交通大學(xué)1223640,4150,46556, ,1,2,36, , ,1,2,

24、36 ,1,2,3ijkijkmijffffffi j kffffi j k mffi j 由約束條件（1），（2）,（4）得如下不等式組：(3.6) 直接用計(jì)算機(jī)求解滿足上述條件的頻率組，計(jì)算量較大。先化簡(jiǎn)。因?yàn)椋?33776,1,2,3196 ,1,2,36, ,1,2,3ijijijkfffi jfffi jffffi j k 西安交通大學(xué)故約束條件只剩下3階交調(diào)一部分：1223640,4150,4655( , )2( , , ) ijijkfffd i jffijg i j kfffijk (3.7) 用計(jì)算機(jī)求解滿足（3.7）的頻率組。具體作法是: 采用窮舉法,逐一選出滿足（3.7）

25、式的頻率組(在計(jì)算過(guò)程中,不妨設(shè)f1f210 (B)。因此,需從上述6組解中,進(jìn)一步求出滿足SNR要求的解。西安交通大學(xué)1231233333311133331113(33, ,1 , ,1(cos )(cos )(cos )()()()222()2jjikkijkiijjkkijkIIIIII iijkijkI vvvijkv v vi j kyaAAAeeeeeeaAAAaAAAe 將y3表為復(fù)數(shù)形式1 12233123123(33,3()2i nnnnnnnnnayCe y3為周期函數(shù)，可將其展為Fourier級(jí)數(shù)：3 31 12 2123,31231 1 12 2 2InInInn n

26、nCyeeed d d 西安交通大學(xué)于是y3中對(duì)應(yīng)于單頻率成份i的系數(shù)是)(,)(,)(,31, 0, 01 , 0, 020, 1, 00, 1 , 010, 0, 10, 0, 1fCCfCCfCC對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)歸納為一般形式： y3中對(duì)應(yīng)于單頻率成份i的系數(shù)Cn1, n2 , n3滿足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 1類(lèi)似地得,y3中對(duì)應(yīng)于頻率成份2i-j,i+j-k的系數(shù)Cn1, n2 , n3滿足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 3.西安交通大學(xué)0, 0, 10, 0, 12312213133123)(1,31,33

27、0, 0, 1)663(22)2(11321321CCAAAAAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 故y3中對(duì)應(yīng)于1的系數(shù)是：)663(422312213130, 0, 10, 0, 1AAAAAaCD得對(duì)應(yīng)于頻率f1的振幅為:)663(4231221313111AAAAAaAaB計(jì)算信噪比中所需頻率的振幅。西安交通大學(xué)22133123)2()(1,31,330, 1, 2322)2(121321321AAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 22130, 1, 20, 1, 2432AAaCD得對(duì)應(yīng)于頻率2f1-f2的振幅為:類(lèi)似得對(duì)應(yīng)于頻率f1+f

28、2-f3的振幅為:32131, 1 , 143AAAaD西安交通大學(xué)歸納得y(t)中有關(guān)頻率的振幅為:1對(duì)應(yīng)于頻率fi的振幅Bi(i=1,2,3)為)()663(422331ikjAAAAAaAaBkijiiii2對(duì)應(yīng)于頻率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)為jiAAa23433對(duì)應(yīng)于頻率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅為：321323AAAa 將上述各種頻率的振幅用于(2)中求出的滿足頻率約束條件的6組配置,分別計(jì)算出有關(guān)的信噪比SNR,檢驗(yàn)是否SNR10(dB).最終求出滿足條件的解有二組: (36,42,55), (35,49,55)西安交通大學(xué)4.4.穩(wěn)

29、定性分析穩(wěn)定性分析(1) 解關(guān)于擬合多項(xiàng)式系數(shù)的穩(wěn)定性解關(guān)于擬合多項(xiàng)式系數(shù)的穩(wěn)定性 由前可以看出，擬和多項(xiàng)式的系數(shù)不會(huì)影響交調(diào)頻率的改變，但各種頻率的振幅將隨擬和多項(xiàng)式的系數(shù)發(fā)生變化。故須討論擬合多項(xiàng)式系數(shù)變化時(shí)對(duì)信噪比的影響，即當(dāng)擬和多項(xiàng)式的系數(shù)在什么范圍變化時(shí)，設(shè)計(jì)頻率的解具有不變性(原解仍為解,非解仍為非解)。33221)()()()(tuatuatuaty設(shè)另一個(gè)擬和多項(xiàng)式為：西安交通大學(xué)類(lèi)似得 中有關(guān)頻率的振幅為:1對(duì)應(yīng)于頻率fi的振幅Bi(i=1,2,3)為)()663(422331ikjAAAAAaAaBkijiiii2對(duì)應(yīng)于頻率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)為jiAAa23433對(duì)應(yīng)于頻率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅為：321323AAAa)(ty 計(jì)算有關(guān)的信噪比,并使1,2組頻率仍為解,36組頻率仍為非解。即可得 的變化范圍, 在此范圍內(nèi)解是穩(wěn)定的。321,aaa西安交通大學(xué)22323232322322232132322213222221321