計(jì)量受約束回歸

1、3.6 受約束回歸受約束回歸 在建立回歸模型時(shí)，有時(shí)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論需對(duì)模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。 如： 0階齊次性階齊次性 條件的消費(fèi)需求函數(shù) 1階齊次性階齊次性 條件的C-D生產(chǎn)函數(shù) 模型施加約束條件后進(jìn)行回歸模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱為受約束受約束回歸回歸（restricted regression）; 不加任何約束的回歸稱不加任何約束的回歸稱為無約束回歸無約束回歸（unrestricted regression）。）。受約束回歸受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束一、模型參數(shù)的線性約束 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量 一、模型參數(shù)的線性約束一、

2、模型參數(shù)的線性約束對(duì)模型kkXXXY22110施加約束121kk1得*11121110)1 (kkkkXXXXY或*1133*110*kkXXXY(*)(*)如果對(duì)（*）式回歸得出1310,k則由約束條件可得：1211kkK1k*1k21*12*XXXXXXXYY其中： 然而，對(duì)所考查的具體問題能否施加約束能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有常用的檢驗(yàn)有： F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)， 主要介紹主要介紹F檢驗(yàn)檢驗(yàn)在同一樣本下，記無約束無約束樣本回歸模型為受約束受約束樣本回歸模型為于是eBXY*eBXY)BB(XeBXeBXBXYe* 受約束受約束樣本回歸模型的殘差平方和殘差平方和R

3、SSR為為:于是eeee*ee為無約束無約束樣本回歸模型的殘差平方殘差平方和RSSU(*) 受約束受約束與無約束無約束模型都有相同的相同的TSS由（*）式 RSSR RSSU從而 ESSR ESSU這意味著這意味著，通常情況下，對(duì)模型施加約束通常情況下，對(duì)模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力條件會(huì)降低模型的解釋能力。)BB(XX)BB(eeee* 但是但是，如果如果約束條件約束條件為為真真，則，則受約束受約束回歸模型與回歸模型與無約束無約束回回歸模型具有相同的解釋能力歸模型具有相同的解釋能力，RSSR 與與 RSSU的差異變小。的差異變小?？捎每捎肦SSR - RSSU的大小來檢驗(yàn)約束的真實(shí)性

4、的大小來檢驗(yàn)約束的真實(shí)性根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：) 1(/22UUknRSS) 1(/22RRknRSS)(/ )(22RUURkkRSSRSS于是：于是：) 1,() 1/()/()(URUUURUURknkkFknRSSkkRSSRSSF 如果約束條件無效，如果約束條件無效， RSSR 與與 RSSU的差異較大，計(jì)算的的差異較大，計(jì)算的F值也較大。值也較大。 于是，可用計(jì)算的于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。若的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。若FF ，表明約束條件為假

5、；若表明約束條件為假；若FF ，表明約束條件為真。，表明約束條件為真。kU - kR恰為約束恰為約束條件的個(gè)數(shù)條件的個(gè)數(shù)。 例例3.5.1 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。 根據(jù)需求理論，居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為 ),(01PPXfQ Q:居民對(duì)食品的需求量，X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額P1：食品價(jià)格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價(jià)格總指數(shù)。 零階齊次性零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變 )/,/(010PPPXfQ (*)(*)為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（* *）式與（）式與（* * *）式。）式。 根據(jù)恩格爾定律恩格爾定律，居民

6、對(duì)食品的消費(fèi)支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)冪函數(shù)的變化關(guān)系: 首先,確定具體的函數(shù)形式32101PPAXQ 對(duì)數(shù)變換: 031210lnlnln)ln(PPXQ考慮到零階齊次性零階齊次性時(shí)時(shí))/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)(*)(*)式也可看成是對(duì)（*）式施加如下約束而得0321因此，對(duì)（對(duì)（* * * * *）式進(jìn)行回歸，就意味著原需）式進(jìn)行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件求函數(shù)滿足零階齊次性條件。表表 3.5.1 中中國(guó)國(guó)城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民消消費(fèi)費(fèi)支支出出（元元）及及價(jià)價(jià)格格指指數(shù)數(shù) X (當(dāng)年價(jià)) X1 (當(dāng)年價(jià)) GP (上年=100) FP (上年=10

7、0) XC (1990年價(jià)) Q (1990年價(jià)) P0 (1990=100) P1 (1990=100) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408

8、.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1

9、105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9

10、 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 X：人均消費(fèi)X

11、1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）2004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中國(guó)國(guó)城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民人人均均食食品品消消費(fèi)費(fèi) 特征：特征：消費(fèi)行為在19811995年間表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動(dòng)特征。 建立19811994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型: )ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(0

12、1PPXQ (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按按零階齊次性零階齊次性表達(dá)式回歸表達(dá)式回歸: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ （75.86）(52.66) (-3.62) 為了比較，改寫該式為： 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3lnPPXPPPXQ)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ發(fā)現(xiàn)與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征 例例3.6.

13、13.6.1 中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求實(shí)例中實(shí)例中，對(duì)零階齊次性零階齊次性檢驗(yàn)： 231. 010/003240. 01/ )003240. 0003315. 0(F取=5%，查得臨界值臨界值F0.05(1,10)=4.96 判斷：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。 無約束回歸:RSSU=0.00324， kU=3 受約束回歸:RSSR=0.00332， KR=2 樣本容量n=14， 約束條件個(gè)數(shù)kU - kR=3-2=1這里的這里的F F檢驗(yàn)適合所有

14、關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)如：多元回歸中對(duì)方程總體線性性方程總體線性性的F檢驗(yàn)： H0： j=0 j=1,2,k這里：受約束回歸模型為*0Y) 1/(/) 1/(/ )() 1/(/ )() 1/()/()(knRSSkESSknRSSkRSSTSSknRSSkRSSESSTSSknRSSkkRSSRSSFUUUUUURUURUUR這里，運(yùn)用了ESSR 0。 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個(gè)回歸模型kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(*)(*)(*)式可看成是（*）式的受約束回歸：受約束回歸：H0：02

15、1qkkk相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為：)1(,()1(/(/ )()1(/(/ )(qknqFqknRSSqESSESSqknRSSqRSSRSSFURUUUR 如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, , Xk+q對(duì)沒有解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較?。?否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)有較強(qiáng)的解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較大。 因此，可通過F的計(jì)算值計(jì)算值與臨界值臨界值的比較，來判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：討論： 統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式)1(/()1 (/ )(222qknRqRRFURU 分別為無約束回歸與受約束回歸方程的可決系數(shù)，表明通過變量增減前后回歸方程的可決系數(shù)R2是否有“足夠大”的變化來判斷變量的增減與否2R2UR,ReLAKYeLAKY11eLKALYeLlnKlnAlnYlneLKlnAlnLYln) 1kn,kk(F) 1kn/(RSS)kk/()RSSRSS(FuRUuURUuR李子奈李子奈P920703. 5RSS)7897. 1