集合與常用邏輯用語

1、第一章集合與常用邏輯用語高考導航考試要求重難點擊命題展望1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關系；(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.集合間的基本關系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關系及運算.4.命題及其關系(1)理解命題的概念；(2)了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題

2、，否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系；(3)理解必要條件，充分條件與充要條件的意義.5.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.6.全稱量詞與存在量詞(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義；(2)能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.本章重點：1.集合的含義與表示、集合間的基本關系與基本運算；2.命題的必要條件、充分條件與充要條件，對所給命題進行等價轉(zhuǎn)化.本章難點：1.自然語言、圖形語言、集合語言之間相互轉(zhuǎn)換；2.充分條件、必要條件的判斷；3.對含有一個量詞的命題進行否定的理解.1.考查集合本身的基礎知識，如集合的概念，集合間的關系判斷和運算等；2.將集合知識與其他知識

3、點綜合，考查集合語言與集合思想的運用；3.考查命題的必要條件、充分條件與充要條件，要求考生會對所給命題進行等價轉(zhuǎn)化；4.要求考生理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.知識網(wǎng)絡1.1集合及其運算典例精析題型一集合中元素的性質(zhì)【例1】設集合Aa1，a3，2a1，a21，若3A，求實數(shù)a的值.【解析】令a13a4，檢驗合格；令a33a0，此時a1a21，舍去；令2a13a1，檢驗合格；而a213；故所求a的值為1或4.【點撥】此題重在考查元素的確定性和互異性.首先確定3是集合A的元素，但A中四個元素全是未知的，所以需要討論；而當每一種情況求出a的值以后，又需要由元素的互

4、異性檢驗a是否符合要求.【變式訓練1】若a、bR，集合1，ab，a0，b，求a和b的值.【解析】由1，ab，a0，b，得或顯然無解；由得a1，b1.題型二集合的基本運算【例2】已知Ax|x28x150，Bx|ax10，若BA，求實數(shù)a.【解析】由已知得A3，5.當a0時，BA；當a0時，B.要使BA，則3或5，即a或.綜上，a0或或.【點撥】對方程ax1，兩邊除以x的系數(shù)a，能不能除，導致B是否為空集，是本題分類討論的根源.【變式訓練2】(2010江西)若集合Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，則AB等于()A.x|1x1B.x|x0C.x|0x1D.【解析】選C.A1,1，B0,)，所以

5、AB0,1.題型三集合語言的運用【例3】已知集合A2，log2t，集合Bx|x214x240，x，tR，且AB.(1)對于區(qū)間a，b，定義此區(qū)間的“長度”為ba，若A的區(qū)間“長度”為3，試求t的值；(2)某個函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍.【解析】(1)因為A的區(qū)間“長度”為3，所以log2t23，即log2t5，所以t32.(2)由x214x240，得2x12，所以B2,12，所以B的區(qū)間“長度”為10.設A的區(qū)間“長度”為y，因為f(x)A的概率不小于0.6，所以0.6，所以y6，即log2t26，解得t28256.又AB，所以log2t12，即

6、t2124096，所以t的取值范圍為256,4096(或28, 212).【變式訓練3】設全集U是實數(shù)集R，Mx|x24，Nx|1，則圖中陰影部分所表示的集合是()A.x|2x1B.x|2x2C.x|1x2D.x|x2【解析】選C.化簡得Mx2或x2，Nx|1x3，故圖中陰影部分為RMNx|1x2.總結(jié)提高1.元素與集合及集合與集合之間的關系對于符號，和，的使用，實質(zhì)上就是準確把握兩者之間是元素與集合，還是集合與集合的關系.2.“數(shù)形結(jié)合”思想在集合運算中的運用認清集合的本質(zhì)特征，準確地轉(zhuǎn)化為圖形關系，是解決集合運算中的重要數(shù)學思想.(1)要牢固掌握兩個重要工具：韋恩圖和數(shù)軸，連續(xù)取值的數(shù)集運

7、算，一般借助數(shù)軸處理，而列舉法表示的有限集合則側(cè)重于用韋恩圖處理.(2)學會將集合語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)、幾何語言，借助函數(shù)圖象及方程的曲線將問題形象化、直觀化，以便于問題的解決.3.處理集合之間的關系時，是一個不可忽視、但又容易遺漏的內(nèi)容，如AB，ABA，ABB等條件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必須分類討論.1.2 命題及其關系、充分條件與必要條件典例精析題型一四種命題的寫法及真假判斷【例1】寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.(1)若m，n都是奇數(shù)，則mn是奇數(shù)；(2)若xy5，則x3且y2.【解析】(1)逆命題：若mn是奇數(shù)，則m，n都是奇數(shù)，假命題；否命題：若

8、m，n不都是奇數(shù)，則mn不是奇數(shù)，假命題；逆否命題：若mn不是奇數(shù)，則m，n不都是奇數(shù)，假命題.(2)逆命題：若x3且y2，則xy5，真命題；否命題：若xy5，則x3或y2，真命題；逆否命題：若x3或y2，則xy5，假命題.【點撥】寫命題的四種形式，關鍵是找出命題的條件與結(jié)論，根據(jù)四種命題結(jié)構(gòu)寫出所求命題.判斷四種命題真假，要熟悉四種命題的相互關系，注意它們之間的相互性.【變式訓練1】已知命題“若p，則q”為真，則下列命題中一定為真的是()A.若p，則qB.若q，則pC.若q，則pD.若q，則p【解析】選B.題型二充分必要條件探究【例2】設m0，且為常數(shù)，已知條件p：|x2|m，條件q：|x2

9、4|1，若p是q的必要非充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】設集合Ax|x2|mx|2mx2m，Bx|x24|1x|x或x.由題設有：qp且p不能推出q，所以pq且q不能推出p，所以AB.因為m0，所以(2m，2m)(，)，故由2m且2m0m2，故實數(shù)m的取值范圍為(0，2.【點撥】正確化簡條件p和q，然后將充分條件、必要條件問題等價轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的包含問題，借助數(shù)軸這個處理集合問題的有力工具使問題得以解決.【變式訓練2】已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，則AB的充要條件是()A.0a2B.2a2C.0a2D.0a2【解析】選A.因為Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，且AB

10、，所以如圖，由畫出的數(shù)軸可知，即0a2.題型三充分必要條件的證明【例3】設數(shù)列an的各項都不為零，求證：對任意nN*且n2，都有成立的充要條件是an為等差數(shù)列.【證明】(1)(充分性)若an為等差數(shù)列，設其公差為d，則()()()().(2)(必要性)若，則，兩式相減得a1nan(n1)an1.于是有a1(n1)an1nan2，由得nan2nan1nan20，所以an1anan2an1(n2).又由a3a2a2a1，所以nN*,2an1an2an，故an為等差數(shù)列.【點撥】按照充分必要條件的概念，分別從充分性和必要性兩方面進行探求.【變式訓練3】設0x，則“xsin2x1”是“xsinx1”的

11、()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若xsinx1，因為x(0，)，所以xsinxxsin2x，由此可得xsin2x1，即必要性成立.若xsin2x1，由于函數(shù)f(x)xsin2x在(0，)上單調(diào)遞增，且sin21，所以存在x0(0，)使得x0sin2x01.又x0sinx0x0sin2x01，即x0sinx01，所以存在x0(0，x0)使得x0sin2x01，且x0sinx01，故充分性不成立.總結(jié)提高1.四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上.2.由于互為逆否命題的兩個命題是等價的，所以我們在證明一個命題的真假時，可

12、以通過其逆否命題的證明來達到目的.適合這種處理方法的題型有：原命題含有否定詞“不”、“不能”、“不是”等；原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；原命題分類復雜，而逆否命題分類簡單；原命題化簡復雜，而逆否命題化簡簡單.3.p是q的充分條件，即pq，相當于分別滿足條件p和q的兩個集合P與Q之間有包含關系：PQ，即PQ或PQ，必要條件正好相反.而充要條件pq就相當于PQ.4.以下四種說法表達的意義是相同的：命題“若p，則q”為真；pq；p是q的充分條件；q是p的必要條件.1.3簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞典例精析題型一全稱命題和特稱命題的真假判斷【例1】判斷下列命題的真假.(

13、1)xR，都有x2x1；(2)，使cos()coscos；(3)x，yN，都有xyN；(4)x0，y0Z，使得x0y03.【解析】(1)真命題，因為x2x1(x)2.(2)真命題，例如，符合題意.(3)假命題，例如x1，y5，但xy4N.(4)真命題，例如x00，y03，符合題意.【點撥】全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即可；特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立.【變式訓練1】已知命題p：xR，使tanx1，命題q：xR，x20.則下面結(jié)論正確的是()A.命題“pq”是真命題B.命題“pq”是假命題C.命題“pq”是真命題D.

14、命題“pq”是假命題【解析】選D.先判斷命題p和q的真假，再逐個判斷.容易知命題p是真命題，如x，p是假命題；因為當x0時，x20，所以命題q是假命題，q是真命題.所以“pq”是假命題，A錯誤；“pq”是真命題，B錯誤；“pq”是假命題，C錯誤；“pq”是假命題，D正確.題型二含有一個量詞的命題的否定【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個實數(shù)x，使x310.【解析】(1)p：xR，x2x0，是假命題.(2)q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題.(3)r：xR，x22x20，是真命

15、題.(4)s：xR，x310，是假命題.【點撥】含有一個量詞的命題否定中，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.【變式訓練2】已知命題p：x(1，)，log3x0，則p為.【解析】x0(1，)，log3x00.題型三命題的真假運用【例3】若r(x)：sinxcosxm，s(x)：x2mx10，如果“對任意的xR，r(x)為假命題”且“對任意的xR，s(x)為真命題”，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】因為由msinxcosxsin(x)恒成立，得m；而由x2mx10恒成立，得m240，即2m2.依題意，r(x)為假命題且s(x)為真命題，所以有m且2m2，故所求m的取值范圍為m2.【點撥】先將滿足命題p、q的m的取值集合A、B分別求出，然后由r(x)為假命題(取A的補集)，s(x)為真命題同時成立(取交集)即得.【變式訓練3】設M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立.已知下列函數(shù)：f(x)；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cosx，其中屬于集合M的函數(shù)是(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號).【解析】.對于，方程1，顯然無實數(shù)解；對于，由方程2x12x2，解得x1；對