數(shù)學(xué)的均衡（對稱）

1、數(shù)學(xué)的均衡對稱做一個實驗：把你的兩只手正放在桌面上。想象一條垂直平分兩大拇指之間連線的直線，它就是對稱軸。如果把一面鏡子放在這條直線上并傾向左手一點，那么它將在與你右手相應(yīng)的位置形成一個映像。這就是軸對稱。不論是天然的事物還是人工的產(chǎn)品，一個最突出、最直觀的幾何性質(zhì)就是對稱性。在現(xiàn)實世界中，最明顯的是人體的左右對稱性。對稱的概念出現(xiàn)在自然、藝術(shù)、科學(xué)、建筑乃至詩歌中。事實上，它能夠在我們生活的幾乎所有方面找到。有一些東西中它似乎是固有的，以致于我們常常視其為自然。正如大數(shù)學(xué)家外爾所說“對稱性和美緊密相連”。對稱性在數(shù)學(xué)給出嚴密的定義之前，多少還是模糊的，由于對稱性與美聯(lián)系在一起，往往與勻稱也就

2、是比例均勻、一個整體各部分配置平衡以及和諧、優(yōu)美、適中及不走極端有些相似。但是物體的勻稱與空間的幾何圖形的對稱性有一定距離。一只蝴蝶的體態(tài)、一片葉子的形狀、人類的身體、一個完整的圓以及蜂窩結(jié)構(gòu)等等，一看之下給人的感覺是完全均衡的，這多半要歸因于它們的對稱。有時一種形式上的差異，也會成為特殊的吸引人的品質(zhì)。當我們看到一種圖案或雕塑時，無須過分留意即能判定喜歡它或不喜歡它，而它的對稱或差缺，大概是影響我們感覺的重要因素。數(shù)學(xué)中也充滿對稱。從數(shù)學(xué)觀點看，如果能找到一條直線，它分一個對象為兩個全等的部分，或者沿這條直線折疊，能使其中的一部分與另一部分完全重合，那么這一對象就被認為是關(guān)于這條直線為軸對稱

3、。在幾何中，具有這種性質(zhì)的圖形很多，例如，線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓等等。在代數(shù)中，一個函數(shù)的反函數(shù)能夠由改變X和Y坐標的位置來實現(xiàn)。用相應(yīng)的方程可以繪制出一個函數(shù)和它反函數(shù)的圖象，它們是關(guān)于直線y=x對稱的。類似地，如果能找到一個點，使一個對象繞著這個點轉(zhuǎn)動180°，還能和原來重合，那么這一對象就被認為是關(guān)于這個點中心對稱。在幾何中，具有這種性質(zhì)的圖形也很多。如線段、平行四邊形、圓等等。從數(shù)學(xué)上看真正的對稱性是與某種變換或某種操作下的不變性聯(lián)系在一起的。例如，一個圖形具有左右（軸）對稱性，那么它在反射的操作下仍然重合到它本身。一個圓、一個球，在轉(zhuǎn)動之下，我們?nèi)匀坏?/p>

4、到同一的圓和球，這就是轉(zhuǎn)動（中心）對稱性。這兩種對稱性，我們看起來還是比較直觀的。還有一種對稱性，看起來就不那么直觀了，那就是平移對稱性。三角形的所有性質(zhì)幾乎都是與它在空間里的位置無關(guān)的，也就是說，無論我們把三角形移到哪里，它的性質(zhì)都保持。這么看，平移不變性是一種抽象的對稱性，但它也有一種具體的背景，即三維的晶體和二維的壁紙，顯然具有直觀的對稱性。對于具有對稱性的幾何圖形，數(shù)學(xué)研究的問題是什么呢？主要有以下三個：1兩種對稱圖形，它們的對稱性本質(zhì)上是相同還是不同的？2對于各種對稱性加以分類。3證明這種分類是完備的，也就是具有某種對稱性的圖形必定屬于其中之一種。親愛的讀者，你愿意研究這些問題嗎？【

5、附錄】一、【算經(jīng)十書簡介】唐代初年，數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)奉詔校注了十部算書，作為國子監(jiān)明算科的教材。這十部算書是：周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、綴術(shù)、五經(jīng)算術(shù)和緝古算經(jīng)，統(tǒng)稱算經(jīng)十書，其中綴術(shù)在公元1084年即已失傳。1213年發(fā)現(xiàn)一本署名東漢徐岳著的數(shù)術(shù)記遺，就將它代替綴術(shù)，仍然湊成十部。周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、張邱建算經(jīng)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)的介紹可在本書中查找，下面簡單介紹其它幾部算經(jīng)。綴術(shù)是祖沖之的主要著作，也是算經(jīng)十書中內(nèi)容最艱深的數(shù)學(xué)著作。據(jù)隋書·律歷志記載：“（祖沖之）所著之書，名為綴術(shù)，學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理?！弊鏇_之雖然一生擔任

6、過各種大小官職，但是他一直把科學(xué)研究作為自己的事業(yè)。祖沖之的兒子繼承父業(yè)，進一步鉆研，使綴術(shù)得以補充完善，特別是創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)了球體積公式，完成了劉徽和祖沖之的未竟事業(yè)。祖沖之父子的研究成果大概都保存在他們父子合著的綴術(shù)之中，由于該書失傳，現(xiàn)在只能從唐代學(xué)者李淳風(fēng)為九章算術(shù)的“開立圓術(shù)”所作的注中了解其大概情形。綴術(shù)的失傳，是中國數(shù)學(xué)史上的一個重大損失。緝古算經(jīng)的作者是唐初歷算家王孝通。據(jù)舊唐書記載，王孝通在上緝古算術(shù)表中說：“臣長自閭閻，少小學(xué)算。鐫磨愚鈍，迄將皓首，鉆尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，竟成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣為太史丞。，遂于平地之余，續(xù)狹斜之法，凡二十術(shù)。名曰緝古。請訪能算之人

7、考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金?！比珪?題是關(guān)于歷法的問題外，其余各題都是關(guān)于土木工程、倉庫容積以及勾股定理應(yīng)用的問題。且這些問題都是前人沒有研究或者前人雖已研究，但未能解決的問題，所以表現(xiàn)了很高的獨創(chuàng)性。緝古算經(jīng)共列20個問題，大部分都歸結(jié)為一個三次方程求解。創(chuàng)造了布列三次方程解應(yīng)用問題，并運用開立方法解三次方程的方法。這是一個輝煌成就，不僅是現(xiàn)存中國典籍中關(guān)于解三次方程的最早記述，在世界數(shù)學(xué)史上也是關(guān)于三次方程數(shù)值解法及其應(yīng)用的最古老的珍貴文獻。緝古算經(jīng)原文不易看懂，且題中數(shù)據(jù)較多，計算較繁，是現(xiàn)存算經(jīng)十書中最難學(xué)的一本。夏侯陽算經(jīng)的著作年代應(yīng)在張邱建算經(jīng)之前，但不幸在宋初已經(jīng)失

8、傳。現(xiàn)傳本夏侯陽算經(jīng)很可能是唐代宗時期（763年779年）寫成的韓延算術(shù)。其中有很多乘除速算的例題，并記載了許多唐代的制度、法令和官吏名稱等，有一定的歷史價值，但數(shù)學(xué)上的學(xué)術(shù)價值不大。數(shù)術(shù)記遺一卷，卷首題“漢徐岳撰，北周漢中郡守前司馬臣甄鸞注”。但是書中引用佛經(jīng)詞匯等不符合東漢末年的史實，因此后人疑為甄鸞本人依托偽造又自己注釋的作品。數(shù)術(shù)記遺列有十四種不同的算法。第一種“積算”即一般用的算法，最后一種“計數(shù)”指心算。其它12種包括太乙算、兩儀算、三方算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算和珠算。這些算法中，或用彩色珠子的位置表示各位數(shù)字，或用少數(shù)特制的籌，由籌的方向表示各位數(shù)字。甄鸞意在化簡籌算方法，但效果并不理想。關(guān)于“珠算”倒是值得一提的，這里的“珠算”很可能是元明時代盛行的珠算的先驅(qū)。五曹算經(jīng)是一部為地方行政官員編寫的應(yīng)用算術(shù)書。全書五卷，標題分別為田曹、兵曹、集曹、倉曹和金曹。此算經(jīng)是甄鸞所撰注。五經(jīng)算術(shù)二卷，是將尚書、詩經(jīng)、周易、周官、禮記和論語等經(jīng)籍古注中有關(guān)數(shù)學(xué)計算的敘述加以解釋。也是甄鸞所撰注。一般認為，五曹算經(jīng)和五經(jīng)算術(shù)這兩本書對