數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主成分分析摘要：本文根據(jù)問(wèn)題中的條件和要求，建立了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的主成分分析模型，運(yùn)動(dòng)主成分分析法研究反映每人平均生活消費(fèi)支出情況的六個(gè)指標(biāo)變量之間的關(guān)系。根據(jù)所給的數(shù)據(jù)以生活水平值為因變量，其余變量為自變量，做主成分回歸。從而對(duì)六維變量空間進(jìn)行降維處理，提取出兩個(gè)能夠全面反映原有變量所含信息的新指標(biāo)變量，即主成分。利用原指標(biāo)與主成分的相關(guān)系數(shù)即因子載荷，解釋了各主成分的意義。并利用第一主成分與第二主成分對(duì)16個(gè)地區(qū)進(jìn)行分類。如下表所示：各地區(qū)在第一主成分和第二主成分值（標(biāo)準(zhǔn)化后）地區(qū)北京天津河北山西第一主成分得分3.8516 0.7074 -2.0545 -2.1393 第二主成分得分

2、0.2697 1.2645 1.2167 1.5135 地區(qū)內(nèi)蒙古遼寧吉林黑龍江第一主成分得分-1.2734 0.4404 0.1334 -0.7937 第二主成分得分1.0283 -0.3943 -1.4876 -0.4944 地區(qū)上海江蘇浙江安徽第一主成分得分4.4150 0.26641.1474 -0.6009 第二主成分得分0.5354 -0.00110.0947 -1.5977 地區(qū)福建江西山東河南第一主成分得分-0.6727 -1.3231 -0.3028 -1.8013第二主成分得分-1.9125 -1.6677 0.7403 0.8923【關(guān)鍵字】：主成分分析法 回歸 主成分

3、分類1. 問(wèn)題重述下表1-1是我國(guó)16個(gè)地區(qū)農(nóng)民在某年支出情況的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)的匯總資料，每個(gè)地區(qū)都調(diào)查了反映每人平均生活消費(fèi)支出情況的六個(gè)指標(biāo)。試對(duì)調(diào)查資料中的16個(gè)地區(qū)的農(nóng)民生活水平進(jìn)行主成分分析，并利用前兩個(gè)主成分對(duì)16個(gè)地區(qū)的農(nóng)民生活水平進(jìn)行分類。、表1-1 16個(gè)地區(qū)的農(nóng)民生活水平的調(diào)查數(shù)據(jù) （單位：元）地區(qū)食品（）衣著（）燃料（）住房（）生活用品及其它（）文化生活服務(wù)（）北京190.3343.779.7360.5449.019.04天津135.2036.4010.4744.1636.493.94河北95.2122.839.3022.4422.812.80山西104.7825.116.

4、409.8918.173.25內(nèi)蒙古128.4127.638.9412.5823.993.27遼寧145.6832.8317.7927.2939.093.47吉林159.3733.3818.3711.8125.295.22黑龍江116.2229.5713.2413.7621.756.04上海221.1138.6412.53115.6550.825.89江蘇144.9829.1211.6742.6027.305.74浙江169.9232.7512.7247.1234.355.00安徽153.1123.0915.6223.5418.186.39福建144.9221.2616.9619.5221.7

5、56.73江西140.5421.5017.6419.1915.974.94山東115.8430.2612.2033.6133.773.85河南101.1823.268.4620.2020.504.30 2.模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明模型的假設(shè):（1）題中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠（2）符號(hào)說(shuō)明：未標(biāo)準(zhǔn)化前的協(xié)方差：各地區(qū)六個(gè)指標(biāo)的值。：各主成分的貢獻(xiàn)率。：前m個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率。：主成分的值。3問(wèn)題分析主成分分析是把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化分析的方法。由于多個(gè)變量之間往往存在著一定程度的相關(guān)性。人們自然希望通過(guò)線性組合的方式，從這些指標(biāo)中盡可能快的提取信息。主成分分析試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少

6、的原則下，對(duì)這種多變量的截面數(shù)據(jù)表進(jìn)行最佳綜合簡(jiǎn)化，也就是說(shuō)，對(duì)高維變量空間進(jìn)行降維處理。主成分回歸是在主成分分析法的基礎(chǔ)上，由個(gè)自變量選出前個(gè)主成分，他們是互不相關(guān)的；在保持因變量不變，用這個(gè)主成分作為自變量作回歸；最后把所得的結(jié)果作變量代換，轉(zhuǎn)化成原來(lái)因變量與自變量的關(guān)系。第一主成份的推導(dǎo)： 設(shè)X的協(xié)方差陣為 由于x為非負(fù)定的對(duì)稱陣，則有利用線性代數(shù)的知識(shí)可得，必存在正交陣使得其中為的特征根，不妨假設(shè)。而恰好是由特征根相對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的正交陣。 設(shè)有維正交向量=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即 時(shí)，有最大的方差。因?yàn)?。如果第一主成分表達(dá)的信息不夠，則須找第二主成分。（2）第二主成分：因?yàn)榈谝?，第二?/p>

7、成分線性無(wú)關(guān)所以有條件，尋找第二主成分。，因?yàn)樗浴t對(duì)維向量有。所以取線性變換，則方差次大。依次類推矩陣形式為 。主成分分析把個(gè)原始變量的總方差分解成了個(gè)相互獨(dú)立的變量的方差之和。主成分分析的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，所以一般不會(huì)使用所有個(gè)主成分，忽略一些帶有較小方差的主成分將不會(huì)給總方差帶來(lái)太大的影響。這里我們稱為第k個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率。第一主成分的貢獻(xiàn)率最大，這表明綜合原始變量的能力最強(qiáng)，而的綜合能力依次遞減。若只取m個(gè)主成分，則稱為主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率，累計(jì)貢獻(xiàn)率表明綜合的能力。通常使得累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到一個(gè)較高的百分?jǐn)?shù)（如85%以上）。4模型的建立與求解主成分分析的數(shù)學(xué)模型是，設(shè)6個(gè)變量構(gòu)成6維

8、隨機(jī)向量為。對(duì)作正交變換，令，其中為正交陣，要求的各分量是不相關(guān)的，并且的第一個(gè)方差是最大的，第二個(gè)分量的方差次之，。為了保持信息不丟失，的各分量方差與的各分量方差和相等。其數(shù)學(xué)推導(dǎo)為：（1）由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到未標(biāo)準(zhǔn)化前的協(xié)方差矩陣：設(shè)為一個(gè)6維隨機(jī)向量，并假定存在二階矩，其未標(biāo)準(zhǔn)化前的協(xié)方差記為：則1.0000 0.6635 0.3371 0.7800 0.7058 0.6346 0.6635 1.0000 -0.0810 0.6630 0.9015 0.3748 0.3371 -0.0810 1.0000 -0.0887 -0.0614 0.2542 0.7800 0.6630 -0.08

9、87 1.0000 0.8311 0.3635 0.7058 0.9015 -0.0614 0.8311 1.0000 0.3112 0.6346 0.3748 0.2542 0.3635 0.3112 1.0000（2）由協(xié)方差矩陣R得到特征值，i=1,25.,6，及各個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)、貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，并根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率確定主成分保留的個(gè)數(shù)?？汕蟮?矩陣R所對(duì)應(yīng)的特征值y和特征向量x分別為（x的列式相應(yīng)的特征向量）：x = 0.4811 -0.2570 0.0445 0.2772 -0.7203 -0.3238 0.4612 0.2176 0.1001 -0.6540 -0.2379 0

10、.4957 0.0525 -0.7777 0.5488 -0.1033 0.2355 0.1584 0.4668 0.1806 0.0726 0.6571 0.2900 0.4779 0.4842 0.2438 0.2472 -0.1851 0.4634 -0.6293 0.3173 -0.4355 -0.7877 -0.1370 0.2652 0.0016對(duì)應(yīng)的特征值為：3.5584 1.3163 0.6082 0.3734 0.1072 0.0365設(shè)其特征值（=1,2,6），且，對(duì)應(yīng)的正則化的特征向量為（=1,2,6）則由上式可得：=3.5584 =（0.4811，0.4612，0.05

11、25，0.4668，0.4842，0.3173=1.3163 =（-0.2570，0.2176，-0.7777，0.1806，0.2438，-0.4355=0.6082 =（0.0445，0.1001，0.5488，0.0726，0.2472，-0.7877=0.3734 =（0.2772，-0.6540，-0.1033，0.6571，-0.1851，-0.1370=0.1072 =（-0.7203，-0.2379，0.2355，0.2900，0.4634，0.2652=0.0365 =（-0.3238，0.4957，0.1584，0.4779，-0.6293，0.0016（3）寫(xiě)出m個(gè)基本方

12、程 式中，對(duì)每一個(gè)求他所對(duì)應(yīng)的基本方程組的解，然后令，從而得到用所表示的主成分這樣，就把各特征向量的數(shù)值作為系數(shù)就可以寫(xiě)出預(yù)期的6個(gè)主成分表達(dá)式：=0.4811+0.4612+0.0525+0.4668+0.4842+0.3173=-0.2570+0.2176-0.7777+0.1806+0.2438-0.4355=0.0445+0.1001+0.5488+0.0726+0.2472-0.7877=0.2772-0.6540-0.1033+0.6571-0.1851-0.1370=-0.7203-0.2379-0.2355+0.2900+0.46340.2652=-0.3238+0.4957+

13、0.1584+0.4779-0.6293+0.0016各主成分（=1,2,6）的貢獻(xiàn)率（第個(gè)主成分反映的信息量）和累計(jì)貢獻(xiàn)率。（前個(gè)主成分反映的總信息量）。六個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率分別所下表所示：主成分貢獻(xiàn)率累計(jì)貢獻(xiàn)率0.59310.59310.21940.81240.10140.91380.06220.97600.01790.99390.00611.0000最后，將標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本數(shù)據(jù)代入前兩個(gè)主成分=0.4811+0.4612+0.0525+0.4668+0.4842+0.3173和=-0.2570+0.2176-0.7777+0.1806+0.2438-0.4355可得到各地區(qū)在第一

14、主成分和第二主成分的得分情況各地區(qū)在第一主成分和第二主成分值（未標(biāo)準(zhǔn)化前）地區(qū)北京天津河北山西第一主成分得分167.1307 121.9189 79.2343 76.7761 第二主成分得分-28.0084 -19.8101 -18.3375 -21.6388 地區(qū)內(nèi)蒙古遼寧吉林黑龍江第一主成分得分93.5210 118.9345 112.4530 89.1217 第二主成分得分-27.2420 -31.1806 -41.9522 -28.5712 地區(qū)上海江蘇浙江安徽第一主成分得分205.3218 118.7231137.7406 106.9547 第二主成分得分-27.4471 -28.1

15、469-31.7251 -40.5687 地區(qū)福建江西山東河南第一主成分得分102.2007 96.7189 103.5932 80.5728第二主成分得分-39.9080 -39.9484 -20.0456 -20.7458 各地區(qū)在第一主成分和第二主成分值（標(biāo)準(zhǔn)化后）地區(qū)北京天津河北山西第一主成分得分3.8516 0.7074 -2.0545 -2.1393 第二主成分得分0.2697 1.2645 1.2167 1.5135 地區(qū)內(nèi)蒙古遼寧吉林黑龍江第一主成分得分-1.2734 0.4404 0.1334 -0.7937 第二主成分得分1.0283 -0.3943 -1.4876 -0.

16、4944 地區(qū)上海江蘇浙江安徽第一主成分得分4.4150 0.26641.1474 -0.6009 第二主成分得分0.5354 -0.00110.0947 -1.5977 地區(qū)福建江西山東河南第一主成分得分-0.6727 -1.3231 -0.3028 -1.8013第二主成分得分-1.9125 -1.6677 0.7403 0.89235模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)模型的結(jié)果分析：第一主成分中、的系數(shù)相比之下都比較大，只有的系數(shù)比較小。它反映除燃料消費(fèi)低外，其它消費(fèi)基本也都較高。它的貢獻(xiàn)率為59.31%，表達(dá)出的信息量很大。第二主成分中的系數(shù)絕對(duì)值較大，它指的是反映了燃料消費(fèi)的情況。它的貢獻(xiàn)率為21

17、.94%，表達(dá)的信息較大。此時(shí)第一主成分與第二主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)量達(dá)到81.24%。第三主成分中的系數(shù)的絕對(duì)值較大，它指的是農(nóng)民文化生活服務(wù)消費(fèi)的情況，它的貢獻(xiàn)率為10.14%，它表達(dá)的信息已經(jīng)較小。此時(shí)第一、二、三主成分的累積貢獻(xiàn)率已經(jīng)高達(dá)91.38%。第四、五、六主成分的累積貢獻(xiàn)率所占的比例非常的小，所表達(dá)的信息很小。因此對(duì)反映農(nóng)民生活水平?jīng)]有太大的意義，因此完全可以用第一、二主成分表達(dá)各地區(qū)的消費(fèi)情況來(lái)反映農(nóng)民的生活水平，因?yàn)榇藭r(shí)第一主成分與第二主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)量達(dá)到81.24%，所表達(dá)的信息量很大。則利用第一主成分和第二主成分的值作出二維散點(diǎn)（如下圖所示）：未標(biāo)準(zhǔn)化前的散點(diǎn)圖:標(biāo)準(zhǔn)化后的散點(diǎn)圖：從圖中可以看出，這些地區(qū)大體上可分為大致可以四類第一類包括：上海、北京。這些地區(qū)的農(nóng)民燃料消費(fèi)相對(duì)于總消費(fèi)的比率比較趨中，但總體消費(fèi)最高，農(nóng)民生活水平較高。第二類包括：浙江、江蘇、遼寧、黑龍江。這些地區(qū)燃料消費(fèi)相對(duì)于總消費(fèi)的比率相對(duì)趨中。總消費(fèi)普遍低于北京、上海，但明顯高于后兩類地區(qū)。第三類包括：天津、山東、內(nèi)蒙古、河南、河北、山西。這些地區(qū)燃料消費(fèi)相對(duì)于總消費(fèi)的比率較高，農(nóng)民的總體生活水平較低，其中天津、山東的農(nóng)民消費(fèi)水平相對(duì)較高。第四類包括：吉林、安徽、福建、江西。這些地區(qū)燃料消費(fèi)相對(duì)于總消費(fèi)的比率很低。農(nóng)民的生活水平比較低。模型的評(píng)價(jià)：現(xiàn)在農(nóng)民