中考數(shù)學(xué)相似(大題培優(yōu))附答案

1、-相似真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1. 如圖，正方形ABCD.等腰Rt BPQ的頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（點(diǎn)P與A. C不重合），(1) 求證：AP=CQ:求證：PA2=AFAD;(2) 若 AP： PC=I: 3,求 taZ CBQ.【答案】(1 )證明：.四邊形ABCD是正方形，. AB=CB , Z ABC=90o , Z ABP+Z PBC=90o,T ABPQ 是等腰直角三角形， BP=BQ, Z PBQ=90% . Z PBC+Z CBQ=90o Z ABP=Z CBCb /.心 ABP旻厶 CBQ, . AP=CQ;T四邊形ABCD是正方形，Z DAC=Z BAC=Z ACB=

2、45%.Z PQB二45°, ZCEP=ZQEB, Z CBQ=Z CPQ,由得 ABP CBQ, Z ABP=Z CBQT Z CPQ=Z APF, Z APF=Z ABP, . A APF- A ABP, ： =,： AF2 = AF AB = AF - AD;AB AP(本題也可以連接PD,證厶APF ADP)(2) 證明：由得 ABP旻厶CBQ,Z BCQ=Z BAC=45% Z ACB二45°J. Z PCQ=45o+45o=90o.,.tanZ CPQ=(；卜,由得AP=CQ,CQ AP l又 AP:PC=I:3, tanZ CPQ= CP CP 3,由得Z C

3、BQ=Z CPQ,1.,.tanZ CBQ=tanZ CPQ= 3.【解析】【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易證 ABP里 CBQ,可得AP=CQ :利用正方形的性質(zhì)可證得Z CBQ=Z CPQ ,再由 ABP里 CBQ可證得Z APF=Z ABP,從而證出厶APF- ABP,由相似三角形的性質(zhì)得證；(2) 由厶ABP牛4 CBQ可得Z BCQ=Z BAC=45可得Z PCQ=45o+45o=90再由三角函數(shù)可CC1得 tanZ CPQ=67t 由 AP:PC=I:3, AP=Ccb 可得 tanZ CPQ=N 再由ZCBQ=ZCPQ 可求出答 案.2. 如圖，在四邊形 A

4、BCD 中，ADBC, Ze = 9“、BC=4, DC=3, AD=&動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出 發(fā)，沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C岀 發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)岀發(fā),當(dāng) 點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）設(shè)的而積為s,直接寫出S與f之間的函數(shù)關(guān)系式是 （不寫取值范（2當(dāng)B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求出此時(shí)r的值.（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)0,且20A=OB時(shí)，宜接寫出IanZBQF=.（4）是否存在時(shí)刻乙使得丄皿若存在，求出r的值：若不存在,請(qǐng)

5、說明理由3（2）解：如圖1,過點(diǎn)P作PH丄BC于點(diǎn)H, Z PHB=Z PHQ=90 Z C=90% ADIl BC, Z CDP=90o,.四邊形PHCD是矩形， PH=CD=3, HC=PD=2t,T CQ=t, BC二4, HQ=CHCQ=t, BH=BC-CH=4-2t, BQ=4-t<. BQ2= (4 - t)2 , BP2=(4 一 2t)2 乎,PQ2= t2 + *、由 BQ2=BP2 可得：(4 - t)2 = (4 - 2t)2 + 9,解得：無解：-/由 BQ2=PQ2 可得：(4 - M = t2 + 9,解得： 6 :4由 BP2= PQ2 可得：(4 - 2

6、t)2 4 *= t2 豐 * ,解得： 3 或 F = 4 ,T當(dāng)F= 4時(shí)，BQ=4-4=0,不符合題意，綜上所述,15(3) W或7 - 6一一4 一 3一一(4) 解：如圖3,過點(diǎn)D作DMIl PQ交BC的延長線于點(diǎn)M,則當(dāng)Z BDM=90o時(shí)，PQ丄BD,即當(dāng) BM2=DM2+BD2 時(shí)，PQ丄BD, ADIl BCt DMIl PQ.四邊形PQMD是平行四邊形， QM=PD=2t, QC=tf CM=QM-QC=t, Z BCD=Z MCD=90°, BD2=BC2+DC2=25, DM2=DC2+CM2=9+t2 , BM2=(BC+CM)2=(4+t)2 ,9由 BM

7、2=BD2+DM2 可得：(4 + t)? = 9 + t2 + 25 ,解得： 4,9r -當(dāng) 4時(shí)，Z BDM=90_ 5即當(dāng) 4時(shí)，PQdBD.【解析】【解答】解：(1)由題意可得BQ=BC-CQ=4-t,點(diǎn)P到BC的距=CD=3,1 3-P + 6：.S PBQ=BQ×3=2:(3) 解：如圖2,過點(diǎn)P作PM丄BC交CB的延長線于點(diǎn)W Z PMC=Z C=90%. ADll BC, Z D=90% OAP卜 OBQ,PA AO I.四邊形PMCD是矩形，BQB"2, PM=CD=3, CM=PD=2t,.AD=6, BC=4, CQ=t,PA=2t-6r BQ=4-

8、t, MQ=CM-CQ,=2t-t =ZtZ2t - 6164 - t 一2,解得：_ 6MQ= 5,又T PM=3 Z PMQ二90°,PM16 15 3 HHB. tanZ BPQ= MQ5J6i【分析】（2）點(diǎn)P作PM丄BC,垂足為M,則四邊形PDCM為矩形，根拯梯形的而積公式 就可以利用t表示，就得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、BP=BQ、PB=PQ三 種情況，在RtAPMQ中根據(jù)勾股定理，就得到一個(gè)關(guān)于t的方程，就可以求岀t。（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例可列式求出t,從而根據(jù)正切的左義求岀值：（4）首先假設(shè)存

9、在，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求證。3.（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖2,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角 形AMN,連接CN, NC與AB的位置關(guān)系為:（2）深入探究：如圖2,在等腰三角形ABC中，BA=BC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作 等腰三角形AMN,使ZABC=ZAMN, AM=MN,連接CN,試探究ZABC與ZACN的數(shù)量關(guān) 系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3,在正方形ADBC中，AD=AC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正 方形AMEF.點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN,若BC=10, CN= ,試求EF的

10、長.【答案】（1）NCll AB（2）解：ZABC=ZACN,理由如下：AB _ Ak . BC .tf=i 且Z ABC=Z AMN, ABC AMNAB _AC. ArAA ,T AB=BCt1 Z BAC=纟(180° - Z ABC),AM=MN1 Z MAN= (180° - Z AMN) >T Z ABC=Z AMN, Z BAC=Z MAN, Z BAM=Z CAN, ABM ACN, Z ABC=Z ACN(3) 解：如圖3,連接AB, AN,圖3E四邊形ADBC, AMEF為正方形， Z ABC=Z BAC=45 Z MAN=45o, ZBAC-Z

11、MAC=Z MAN Z MAC 即Z BAM=Z CAN,ABBCAML二一=2AN ' tAB"二AC-=AMA, ABM ACNBM Ab!. BM必二CoS45°= 2 ,CN AC：.BM=2, CM=BC - BM二& 在 Rt AMCtAM= +曲二 W # $ 二 241,. EF=AM=2 Ri .【解析】【解答】解：（1）NCIl AB,理由如下：T A ABC與厶MN是等邊三角形，/. AB=AC, AM=ANt Z BAC=Z MAN=60% Z BAM=Z CAN 1 ABM 與厶 ACN 中，AB = ACZBAM = ZCANAM

12、 = AN , ABM旻 ACN （SAS）, Z B=Z ACN=60%. Z ANC+Z ACN+Z CAN=Z ANC+600+Z CAN=I80% Z ANC+Z MAN+Z BAM=Z ANC+60o+Z CAN=Z BAN+Z ANC=I80% CNIl AB；【分析】（1）由題意用邊角邊易得AABM竺AACN,則可得ZB=ZACN=60°,所以Z BCN+Z B=Z BCA+Z ACN+Z B=180o,根據(jù)平行線的判左即可求解：AB _ AC（2）由題意易得AABCAAMN,可得比例式莎藥，由三角形內(nèi)角和泄理易得 Z BAM=Z CAN,根據(jù)相似三角形的判怎可得 AB

13、MA ACN,由相似三角形的性質(zhì)即可求 解：（3）要求EF的值，只須求得CM的值，然后解直角三角形AMC即可求解。連接AB,AN,由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判泄易得 ABM ACN ,可得比例式 CN AC。 二二 cos45=BM AB2 ,可求得BM的值，而CM=BCBMt解直角三角形AMC即可求得AM的值，即為EF的值。4如圖1在厶ABC中，Z BAC=90% AB=AC=4, D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為 邊向右側(cè)作等腰直角 ADE,其中Z ADE=90o.求證： AGD AHE：（2）如圖3,連接BE,直接寫岀當(dāng)BD為何值時(shí). ABE是等腰三角形:(3在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)

14、動(dòng)過程中，求厶ABE周長的最小值【答案】(1) 明：如圖2,由題意知AABC和AADE都是等腰直角三角形, Z B=Z DAE=450. H為BC中點(diǎn)，AH±BC Z BAH=450=Z DAE. Z GAD=Z HAE.在等腰直角 BAH和等腰直角 DAE中，AH= 2 AB=AG, AE=ADAffyB：.ag7d , AGD AHE：(2) 解：分三種情況：當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=O,如圖3.此時(shí)AB=BE:當(dāng)AB=AE時(shí)，如圖4,此時(shí)E與C重合,圖4.D是BC的中點(diǎn)，1 BD=BC=2 -;當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖5,過E作EH丄AB于H,交BC于M,連接AM,過E作EG丄BC于

15、G,連接DH,A圖5TAE=BE, EH丄AB, AH=BH, AM=BMt. Z ABC=45o,/. AM丄BC, BMH是等腰直角三角形,TAD=DE, Z ADE=90%易得 ADM旻 DEG, DM=EG> Z EMG=Z BMH=45 EMG是等腰直角三角形, ME=MG, 由（1）得： AHD AME, SLDH ,/. Z AHD=Z AME=I35 ME= DH,.ZBHD二45°, MG=DH,BDH是等腰直角三角形， BD=DH=EG=DM= ：綜上所述，當(dāng)BD=O或或2時(shí)，AABE是等腰三角形；（3）解：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位宜記為點(diǎn)M,連接CM,

16、如圖6,此時(shí)，Z ABM=Z BAC=90o, Z AMB=Z BAM=45 BM=AB=AC.四邊形ABMC是正方形. Z BMC=90o Z AMC=Z BMC-Z AMB=45 Z BAM=Z DAE=45o, Z BAD=Z MAE,在等腰直角 BAM和等腰直角 DAE中，AM=PEAB, AE=-ADABAL ABD厶AME. Z AME=Z ABD=45o點(diǎn)E在射線MC上，作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)F, BE+AE=NE+AEAN=NEf+AEz=BEz+AE ABE，就是所求周長最小的 ABE.在 Rt ABN 中，TAB二4, BN=2BM=2AB=8,A

17、N= J擄豐B用二4：. ABE周長最小值為AB+AN=4+4 【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得ZB=ZDAE=ZBAH=45。，所以 AH _ AEZ GAD=Z HAE,計(jì)算可得比例式：G ALt根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角也相等 的兩個(gè)三角形相似可得厶AGDS AHE;（2）根據(jù)等腰三角形的雄義可知分3種情況討論：當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=O,此時(shí) AB=BE: 當(dāng)AB=AE時(shí)，此時(shí)E與C重合，用勾股世理可求得BD的值： 當(dāng)AB=BE時(shí)，過E作EH丄AB于H,交BC于M.連接AM,過E作EG丄BC于G,連接 DH,由已知條件和（1）的結(jié)論可求解：（3）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合

18、時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn)M,連接CM,作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱 點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)巳，由已知條件易證四邊形ABMC是正方形，由已知條件通過計(jì)AM _ AE算易得比例式：亦呢,根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似 可得AABD- AMEjIJZAME=Z ABD=45于是可得點(diǎn)E在射線MC上，根據(jù)軸對(duì)稱的性 質(zhì)可得 ABF就是所求周長最小的 ABE,在Rt ABN中，用勾股左理即可求得AN的值， 則厶ABE周長最小值=AB+AN即可求解匚5. 如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A （0, 4）,與X軸交于點(diǎn)B、 C,點(diǎn)C坐標(biāo)為（& 0）,連接AB

19、、AC.（1）請(qǐng)直接寫岀二次函數(shù)y=ax2+×+c的表達(dá)式；（2）判斷AABC的形狀，并說明理由：（3）若點(diǎn)N在X軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫 出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）,過點(diǎn)N作NMll AC,交AB于點(diǎn) M,當(dāng)AAMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】（1）解：TA （0, 4） , .c=4,把點(diǎn)C坐標(biāo)（8, 0）代入解析式，得：a=- J1 .3一y 獷 X 4J二次函數(shù)表達(dá)式為42.（2）解：令y=O,則解得,xl=8, x2=,-2",二點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0）,由已知可得,在Rt

20、AOB 中,AB-2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 Rt AOC 中 AC-2=AO2+CO2=42+82=80 ,又 T BC=OB+OC=2÷8=10, /.在厶 ABC 中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2,/. A ABC 是直角三角形：（3）解：由勾股定理先求出AC, AC= / ÷=在X軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN時(shí)，NO=CO=8> /.此時(shí)N （8, 0）:在X軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)，NC=AC=M, T CO=8,NO二彳歷-8,此時(shí)N （8朋，0）:在X軸正半軸，當(dāng)AN=CN時(shí)，設(shè) CN=X,則 AN=x, 0N=8-x,在

21、Rt AON 中,也+（8 - x=,解得:=5, ON=3, A 此時(shí) N （3, 0）:在 X 軸正半軸，當(dāng) AC=NC 時(shí)，AC=NC= 4i , /. ON= 4 + & 二此時(shí) N （皿+8, 0）:綜上所述：滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)是（-8, 0）、（8, 0）、（3, 0）、（8+皿，0）:（4）解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n, 0）,則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD丄X軸于點(diǎn)D,MDIl OA,厶BMD-厶BAO,.0A=4 , BC=IO , BN=n+2 ,BMMDj. B 'TC ,：.OAT SAMN =S ABN-S BMN=BM _ Mb 1» BA OA

22、, MNIl AC,2：.MD= <5( n+2 )(n + 2) X (n + 2)+5, . - JvO, . n=3時(shí)，S有最大值，當(dāng) AMN面積最大時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)1 1 1 -.BN OA _ -BN 9 MD =-為（3, 0）【解析】【分析】（1）用待圧系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式:（2）因?yàn)閽佄锞€交X軸于B、C兩點(diǎn)，令y=0,解關(guān)于X的一元二次方程可得點(diǎn)B的坐 標(biāo)，然后計(jì)算AB、BC、AC的長，用勾股宦理的逆定理即可判斷：（3）由（2）可知AC的長，由題意可知有4種情況：在X軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN時(shí)； 1x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)；在X軸正半軸，當(dāng)AN=CN時(shí)：在X軸正半軸，

23、當(dāng)AC=NC時(shí)：結(jié)合已知條件易求解；（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n, 0）,則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD±x軸于點(diǎn)D,由平行于三角 形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得 BMD- BAO,于是有比BM _ MbBM _ BNMD _ BN例式習(xí) OA ,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得鬲 BC ,所以習(xí)瓦將已知線段代 入比例式可將MD用含n的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的構(gòu)成可得S AMN= S ABN- S BMN=2 BNOAJBNMD,將BN、MD代入可得關(guān)于n的二次函數(shù)，配成頂點(diǎn)式根據(jù)二次函數(shù)的 性質(zhì)即可求解。6. 如圖，點(diǎn)A. B的坐標(biāo)分別為（4, 0、（0. 8，

24、點(diǎn)C是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在 X軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且0E=20C.設(shè)OE=t （t>0）,矩形OEDC與厶AOB 重合部分的面積為S.根據(jù)上述條件，回答下列問題：（1）當(dāng)矩形OEDC的頂點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)t=4時(shí)，求S的值；（3）直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出解題過程）：（4）若 S=I2,則 t=【答案】（1）解：由題意可得Z BCD=Z BOA=90% Z CBD=Z OBA, BCD- BOA,BC cD.B' OA 而 CD = OE=t, BC=8-CO=8- 2 , OA=4,t8 t 2 _ t16則8-彳8 一：，解得t

25、=5 ,16當(dāng)點(diǎn)D在直線AB ±時(shí)，t= 5(2) 解：當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E與A重合，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)F,CF oA則由 CBz 4 OBA得少 OB、CF _4 即 8 _ 2 6,解得 CF=3,1 1 S= 2 OC(OE+CF)= 2 ×2×(3+4) = 716 1(3) 解：當(dāng) 0<t時(shí)，S=t21617 當(dāng) 5 <t4 時(shí)，S=-V6t2+ot-161 當(dāng) 4<t16 時(shí),SJ*+2t(4) 816【解析】【解答】解：(3)當(dāng)0 CtS了時(shí)，如圖(1),16TA (4,0) , B (0z8).直線AB的解析式為y=-2x+8,t t

26、 G (t<2t+8) zF(4-55 DF=4,DG=8,當(dāng)4<t16時(shí)，如圖(3)-t2 + IOt - 1616T CDIl OA, BCF- 4 BOA,BC Cb.baiCF CF=4-L X 4 x 8-Lxi-8- BOA-O BCF-1 1t2+2t=12,整理，得 t2-32t+192=0.（4由題意可知把S=12代入S= - "t2+2t中，%解得 t=8zt2=24>16 （舍去）：當(dāng) S=12 時(shí)，t=8【分析】（1）首先判斷出ABCD-ABOa,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 BC : BO=CD : OA ,根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段的和差得出

27、CD=OE=t, BC = 8-C0 = 8. OA= 4,利用比例式即可得出方程，求解得出t的值：（2）當(dāng)t二4時(shí)，點(diǎn)E與A重合，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)F,則由 CBF- A OBA得CF :CB=OA : OB ,根據(jù)比例式得出方程，求解得出CF的長，根據(jù)梯形的而積公式即可算出答 案：16（3）當(dāng)0<t了時(shí)，如圖（1）,英重疊部分的而積就是矩形的而積，根據(jù)矩形的面積16公式即可得出函數(shù)關(guān)系式：當(dāng)了<t4時(shí)，如圖（2）,利用待定系數(shù)法，求出直線AB 的解析式，根據(jù)和坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)分別表示 出G,F的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出DF的長，DG的長，根據(jù)S=S

28、 OiCoED-SADFG即可得出函數(shù)關(guān)系 式:當(dāng)4VtG6時(shí)，如圖（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)得岀CDIl OA,根據(jù)平行于三角形一邊的 直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出ABCF-ABOa,由相似三角形的對(duì) 應(yīng)邊成比例得岀BC： BO=CF: OA,根據(jù)比例式表示出CF的長，再根據(jù)S=SA A-SABCF即可得 出函數(shù)關(guān)系式。7. 書籍開本有數(shù)學(xué)開本指書刊幅面的規(guī)格大小.如圖，將一張矩形E卩刷用紙對(duì)折后可 以得到2開紙，再對(duì)折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙.若這張矩形印刷用紙的短邊長為a.（1）如圖，若將這張矩形印刷用紙ABCD（ABBC）進(jìn)行折疊，使得BC與AB重合，

29、點(diǎn) C落在點(diǎn)F處，得到折痕BE：展開后，再次折疊該紙，使點(diǎn)A落在E處，此時(shí)折痕恰好經(jīng)Ab過點(diǎn)B,得到折痕BG,求況的值.（2）如圖，2開紙BClH和4開紙AMNH的對(duì)角線分別是HC、HM.說明HC±HM.（3）將圖中的2開紙、4開紙、8開紙和16開紙按如圖所示的方式擺放，依次連接點(diǎn)A、B、M、I,則四邊形ABMl的而積是.（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）【答案】（1）解：T四邊形ABCD是矩形，. Z ABC =ZC = 90°.T第一次折疊使點(diǎn)C落在AB上的F處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B. Z CBE =Z FBE = 45°,. Z CBE = Z CEB = 4

30、5。，. BC-CE- a, BE =伍.T第二次折疊紙片，使點(diǎn)A落在E處，得到折痕BG,. AB=BE=回,二N AM -（2）解：根據(jù)題意和（1）中的結(jié)論，有AH =BH 2 ,2 AM AH兩_反_ T.四邊形ABCD是矩形，. Z A -ZB - 90% MAH- HBC,/. Z AHM =ZBCH. Z BCH ÷ Z BHC = 90% Z AHM ÷ Z BHC 二 90% Z MHC Zr 90°,HC丄HlVl.（3）32【解析】【解答】解:（3）如圖,y1y21 根據(jù)題意知(1)中的結(jié)論,有 BC=AD= 2 a, AF=IG= a, Nl=

31、MP= 4 a, OP= a,又T Z C=Z ADE=90oz Z BEC=Z AEDz BCE ADE, I S BCE=S ADE同理可得，S AFH=S IGH S AlNQ=S MPQz四邊形ABMl的而積二S IlynADOf+S畑形IGON+S梯形BMPC1 11y/2 層1-aX <3 十a(chǎn)X -a ÷ -（a十a(chǎn)）Ca -a?2 2422424=32.【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)及第一次折疊使點(diǎn)C落在AB上的F處，可得岀 Z CBE=Z FBE=Z CEB=45o,可得出CE=BC,利用勾股左理可用含a的代數(shù)式求出BE的長， 再根據(jù)第二次折疊紙片，使點(diǎn)A落在E

32、處，得到折痕BG,可用含a的代數(shù)式表示岀AB的 長，然后求出AB與BC的比值。（2）利用（L）的結(jié)論，可用含a的代數(shù)式表示岀AH. BH. AM的長.就可求岀AM _ Ah亦-無，利用矩形的性質(zhì)可得岀ZA = ZB,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，證明 MAH- HBC,利用相似三角形的性質(zhì)，去證明Z AHM + Z BHC = 90然后利用垂直的 圧義可解答。(3) 利用已知條件證明 ABCE 更 AADE,可證得 Sabce=Sude, S afh=S gh, S nq=S mpq ,再 根據(jù)四邊形ABMl的面積=S m形ADOF+S址形IGON+SBMPC »可求岀答案°C1

33、5, _、V = ar + bx + （a 0）&如圖，拋物線2經(jīng)過A （-3ZO） , C（5,0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)D.(1) 求拋物線的解析式：(2) 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t,過點(diǎn)P作PM丄BD,交BC于點(diǎn)M,以PM為正方形的一邊，向上作正方形 PMNQ,邊QN交BC于點(diǎn)R,延長NM交AC于點(diǎn)E. 當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上； 在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求 岀此時(shí)刻的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由.15【答案】(1)解：Ty=a2+bx+

34、 2 經(jīng)過 A ( - 3, O) , C (5, 0)兩點(diǎn)，159a 3b + =0 務(wù)25a+5b+j=01a =解得： b = T ,_1.15V-XJ十 X 子拋物線的解析式為22V _ X- y TU (2)解：T '2'22 (x2-2x+l) +2=(X-I),.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, 8).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,$ k + iu = 8則 '5k + m 二 0 ,解得： Jn = Jo ,所以直線BC的解析式為y= - 2×+10.V拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)D, BD=8, CD=5 - 1=4.T PM丄BD, PMIl CD,

35、BPM-厶 BDC,BP _ Ph：.bd a,t Ph即N _ N1解得：PM=N,1：.OE=I+t.1：.ME=-2(l+t)+10=8-t.四邊形PMNQ為正方形，1 1：.NE=NM+ME=8 - t+ t=8 -纟匕1 1 點(diǎn)N的坐標(biāo)為(l+2t, 8 - Wt), 若點(diǎn)N在拋物線上，1 1 1則-2 (l+t - 1) 2+8=8 -",整理得，t (t-4)二0,解得WO (舍去),t2=4,所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上； 存在.理由如下：1TPM=Et,四邊形PMNQ為正方形，1 QD=NE=8 - Et.直線BC的解析式為y= - 2×+10,1

36、：.-2×+10=8 -",1解得：x=4t+l,1 1 QR= 4t+l - I= 4t1又T EC=CD - DE=4- 2t,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得QR=EC,1 1即 t=4-1516解得：t=7,此時(shí)點(diǎn)P在BD上16所以，當(dāng)t=E時(shí)，四邊形ECRQ為平行四邊形【解析】【分析】（1）用待泄系數(shù)法，將A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=a×2+bx+,得出一 個(gè)關(guān)于a,b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，從而得出拋物線的解析式；（2）首先求出拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求岀直線BC的解析式為y=- 2x+10.根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離得出BD,

37、CD的長度，根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平 行得出PMIl CD,根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截，其它兩邊，所截的三角形與原三角 形相似得出 BPM- BDC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BP : BD = PM : CD ,進(jìn) 而得出關(guān)于t的方程，求解得出PM,進(jìn)而得出0E,ME,根據(jù)正方形的性質(zhì)由NE=NM+ME得出 NE的長，進(jìn)而表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若點(diǎn)N在拋物線上，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)的特點(diǎn)，得岀 關(guān)于t的方程，求解得岀t的值，所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；存在.理由 如下：根拯PM的長及正方形的性質(zhì)從而表示出QD=NE的長度，進(jìn)而得岀方程，求出X的 值，進(jìn)而表示出QR根據(jù)線段

38、的和差及平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得QR=EC,從而得 出關(guān)于t的方程，求解得岀答案。9. 如圖 1, 一副直角三角板滿足 AB=BC, AC=DE, Z ABC=Z DEF=900, Z EDF = 30o【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放宜于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞 點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Q（1）【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中，CE _ 如圖2,當(dāng)EA1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給岀證明.CE=2 如圖3,當(dāng)EA匸時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.CE=JJI 根據(jù)你對(duì)（1）. （2）的探究結(jié)果.試寫出當(dāng)EA時(shí)，EP與

39、EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為,其中Q的取值范禺是（直接寫出結(jié)論，不必證明）CE（2）【探究二】若EA 且AC=30cm,連續(xù)PQ,設(shè)厶EPQ的而積為S（Cm2）,在旋轉(zhuǎn)過 程中： S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由. 隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)AEPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不岀相應(yīng)S值的取值范圍.CE _【答案】（1）解：當(dāng)EA 1時(shí)，PE=QE.即E為AC中點(diǎn)，理由如下：連接BE,ABC是等腰直角三角形， BE=CE,Z PBE=Z C=45%又T Z PEB÷Z BEQ=90% Z CEQ+Z BEQ二90°, Z PEB=Z CEQ,在厶PEB

40、和厶QEC中，ZPEB = ZCEQ BE = CE ZPBE = ZC t PEB雯 QEC (ASA),PE=QE:EP： EQ=EA:EC=I:2：理由如下：作 EM丄AB, EN丄BC, Z EMP=Z ENQ=90%又 Z PEN+Z MEP=Z PEN+Z NEQ二90°, Z MEP=Z NEQZ MEP-厶 NEQ, EP： EQ=ME:NEz又T Z EMA=ZENC=90。，ZA=ZG MEA- NEC, ME:NE=EA:EC,CE=2EA .：.EP： EQ=EA:EC=I:2.:EP： Ecl=l:m： 0<m2+(2)解：存在CE=2由【探究一】中（

41、2）知當(dāng)EA 時(shí)，EP： EQ=EA: EC=I: 2：1設(shè) EQ=x,則 EP=1III.S=2EPEQ=2x2=42 ,當(dāng)EQ丄Be時(shí)，EQ與EN重合時(shí)，而積取最小，/ AC=30, ABC是等腰直角三角形， AB=BC=15,CE=2 EA , AC=3O>/. AE=1O, CE=20,在等腰Rt CNE中， NE=:Io Q.當(dāng) X=IOv時(shí)，Smin=50 （cm2） J當(dāng)EQ=EF時(shí)，S取得最大，TAC=DE二30, ZDEF=90°, Z EDF=30%在 Rt DEF 中，Eb. ta30°= DE,3. EF=30× 3 =10,此時(shí) E

42、PQ面積最大,SfnaX=75（ Crn;由（1）知 CN=NE=5 zBC=15 BN=IO Q在 Rt BNE 中，BE=5、丿冗,當(dāng) X=BE=5時(shí)，S=62.5cm2 ,.當(dāng)50<S62.5時(shí)，這樣的三角形有2個(gè)：當(dāng)S=50或62.5<S75時(shí),這樣的三角形有1個(gè).【解析】【解答】（1）作EM丄AB, EN丄BC,T Z B=Z PEQ=90% Z EPB+Z EQB=I80%又 Z EPB+Z EPM=I80°, Z EQB=Z EPMz MEP-厶 NEQ, EP： EQ=ME:NEz又T Z EMA=Z ENC=90% Z A=Z C, MEA- NEC,

43、ME:NE=EA:EGCE. EA ,：.EP:EQ=EA:EC=l:m>. EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP： EQ=l:m,. 0<m2+ (當(dāng) m>2+ 時(shí)，EF 與 BC 不會(huì)相交)【分析】【探究一】根據(jù)已知條件得E為AC中點(diǎn)，連接BE,根據(jù)等腰直角三角形的性 質(zhì)可BE=CE, ZPBE=Z C=45o,由同角的余角相等得ZPEB=ZCEQ,由全等三角形的判左 ASA可得 PEB里 QEC,再由全等三角形的性質(zhì)得PE=QE. 作EM丄AB, EN丄BC,由相似三角形的判泄分別證 MEP-厶N(yùn)ECb MEA NEC,再 由相似三角形的性質(zhì)得EP： EQ=ME:NE=EA

44、:EC,從而求得答案. 作ElVI丄AB, EN丄BC,由相似三角形的判泄分別證 MEP-厶N(yùn)EQ, MEA- A NEC,再 由相似三角形的性質(zhì)得EP： EQ=ME:NE=EA:EC,從而求得答案.1【探究二】設(shè)EQ=X,根據(jù)【探究一】(2)中的結(jié)論可知?jiǎng)tEP=Zx,根據(jù)三角形面積公 式得岀S的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)EQ丄BC時(shí)，EQ與EN重合時(shí)，而積取最小；當(dāng)EQ=EF 時(shí)，S取得最大；代入數(shù)值計(jì)算即可得岀答案.根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)求得當(dāng)EQ與BE重合時(shí)，AEPQ的面積，再來分情況討論即可.3V =X + b10. 如圖1直線I：曠 與X軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是16線段O

45、A上一動(dòng)點(diǎn)(0<AC<7),以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作OA交X軸于另一點(diǎn) D,交線段AB于點(diǎn)E,連結(jié)OE并延長交C)A于點(diǎn)F.(1) 求直線I的函數(shù)表達(dá)式和tanZ BAO的值：(2) 如圖2,連結(jié)CE,當(dāng)CE=EF時(shí)， 求證： OCE& OEA： 求點(diǎn)E的坐標(biāo)：(3) 當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OEEF的最大值.3 3V = AZ b【答案】(1)解：把A (4, 0)代入4 y得 ×4+b=0,解得b=3,3V -'N 直線I的函數(shù)表達(dá)式為4 B (0,3)，TAO丄BO, OA二4 BO=3,3. tanZ BAO= 4 . CE=EF, Z C

46、AE=Z EAF,又 AC=AE=AF, Z ACE=Z AEF, Z OCE=Z OEA,又T Z COE=Z EOA, OCE-厶 OEA.解：如圖，過點(diǎn)E作EH丄X軸于點(diǎn)H,3T taZ BAO= 4 ,設(shè) EH=3x, AH=4×,/. AE=AC=5×t OH=4-4×,. OC=4-5×z OCE-厶 OEA,Ob OC莎二殛，即 0E2=0A0C,. (4-4×) 2+ (3x) 2二4 (4-5×),12解得×1=25, X2=O (不合題意，舍去)5236AE (丟，).(3)解：如圖，過點(diǎn)A作AM丄OF于

47、點(diǎn)過點(diǎn)0作ON丄AB于點(diǎn)N,T tanZ BAO=乞4. COSZ BAO= 5,16：.AN=OA-CosZ BAO= 5 9設(shè) AC=AE=G16：.EN= 5 -G. 0N±AB, AM丄OE1 Z ONE=Z AME=90o, EM=纟 EE又 Z OEN=Z AEMZ OEN-厶 AEM,OE E.忌瓦1即 oe2ef=aeen,16 OEEF=2AEEN=2r （ f32812816 OEEF=-2r2+ 5 r-2 （r- 5）25 （0<r< 5 ） z8 128當(dāng)尸了時(shí)，OEEF有最大值，最大值為厲.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線I解析式即可求

48、岀b值從而得直線I的函數(shù)表 達(dá)式，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切立義即可求得答案.（2）如圖，連結(jié)AF,根據(jù)等腰三角形 性質(zhì)等邊對(duì)等角可得兩組對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)相似三角形的判泄即可得證如圖，過點(diǎn)E作EH丄X軸于點(diǎn)H,根據(jù)銳角三角函數(shù)正切值即可設(shè)EH=3x, AH=4×,從 而得出AE、OH、OC,由中相似三角形的性質(zhì)可得0E2=0A0C,代入數(shù)值即可得一個(gè)關(guān) 于X的方程，解之即可求出E點(diǎn)坐標(biāo).（3）如圖，過點(diǎn)A作AM丄OF于點(diǎn)M,過點(diǎn)0作ON丄AB于點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)泄義1616OE可求得AN=OA-Cosz BAO= AC=AE=rz則EN=-G根據(jù)相似三角形判立和性質(zhì)可知五=E3216f

49、c,KP OEEF=-2r2+5r= （OVrVT）,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求此最大值.11. 如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的OC與y軸相切于點(diǎn)A,作直徑AD,過點(diǎn)D作OC的切 線I交X軸于點(diǎn)B, P為直線I上一動(dòng)點(diǎn)，已知直線PA的解析式為：y=kx+3.（1）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫出P隨k變化的函數(shù)關(guān)系式.（2）設(shè)OC與PA交于點(diǎn)M,與AB交于點(diǎn)N,則不論動(dòng)點(diǎn)P處于直線I上（除點(diǎn)B以外） 的什么位置時(shí)，都有AAMN-A ABP.請(qǐng)你對(duì)于點(diǎn)P處于圖中位置時(shí)的兩三角形相似給予證 明：32（3）是否存在使AAMN的面積等于N的k值？若存在，請(qǐng)求出符合的k值：若不存在， 請(qǐng)說明理由.【答案】（2）解：Ty

50、軸和直線I都是OC的切線，. OA丄AD, BD = AD;又ToA丄0B,. Z AOB = Z OAD=Z ADB=900, /.四邊形 OADB 是矩形：T OC 的半徑為 2, /.AD = OB=4：點(diǎn)P在直線I上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4, P）:又點(diǎn)P也在直線AP上，.p = 4k+3/ Z ADN = 90o - Z DAN, ZABD=90° - ZDAN,. Z ADN = Z ABD.又Z ADN = Z AMN, Z ABD=Z AMN, T Z MAN=Z BAP, ：* AMN-心 ABP（3 ）解：存在理由：把 x = 0 代入 y = kx+3 得：y = 3

51、 ,即 OA = BD = 3 , AB =Qa” + BM = / / = 5,AD Db 4X3125 ,. AN2 = AD2 - DN2 =TSaabd= ±ABDN= ADDB. DN= AB256C122 -(-)5AN E_ AN _ S ASF() SZJAIfv 二(r-) S AET 二: AMN ABP, S ASP AP ,即AJJA嚴(yán) 當(dāng)點(diǎn) P 在 B 點(diǎn)上方時(shí)，V AP2 = AD2+PD2 = AD2+ (PB-BD) 2 = 42+ (4k+3 - 3 ) 2 = 16(k2+l), 或 AP2=AD2+PD2=AD2÷ (BD - PB) 2=42÷ (3-4k-3) 2 = 16 (k2+l),SAABP= 2PBAD= 2 (4k+3) ×4=2 (4k+3), S abp 256 X 2(4k 3) 32(4k +3) 32.AFe25 X 16 (¥ + 1)25(Ie ÷ 1)25.整理