概率統(tǒng)計：第四章 隨機變量的函數(shù)的分布(第一,二節(jié))

1、第四章 隨機變量的函數(shù)的分布 問題、目的、實際意義 設為隨機變量,它的概率分布(分布函數(shù),分布律或概率密度)已知,為連續(xù)函數(shù),則為隨機變量,如何確定的概率分布; 設為二維隨機變量,它的概率分布已知,為連續(xù)函數(shù),則為隨機變量,如何確定的概率分布;這是在實際和理論中既普遍又重要的一類問題.例如在無線電接收中,某時刻接收到的信號是一個隨機變量,那么把這個信號通過平方檢波器輸出的信號為,這時就需要根據(jù)的分布來求的分布.又如在統(tǒng)計物理中,已知分子運動速度的絕對值之分布,要求其動能的分布.再如火炮射擊平面上的目標0時,已知彈著點的分布,要求彈著點到目標0的距離的分布等等.本章只討論一維與二維的的離散型和連

2、續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布.第一節(jié) 離散型隨機變量的函數(shù)的分布實例 測量一個正方形的邊長,其結果是一個隨機變量(為簡單起見把它看成是離散型的).的分布律為 91011120.20.30.40.1求周長和面積的分布律.解 根據(jù)題意, , 的分布律為364044480.20.30.40.1的分布律為811001211440.20.30.40.1 例1 已知隨機變量的分布律為012 試求:(1);(2) 的分布律.解 (方法步驟,列表代入計算復合函數(shù)值)0-103-1135-1012 (1) 的分布律為-1135(2) 的分布律為-103一般地,有如下定理:定理 設離散型隨機變量的分布律為 , (1)

3、若對于的不同取值,的取值也不同,則隨機變量的分布律為 , (2)如果對于的有限個或可列無窮多個不同的取值有則有 .二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布律 實例 一個儀器由兩個主要部件組成,其總長度為此二部件長度的和,這兩個部件的長度和為兩個相互獨立的隨機變量,其分布律如表,X91011P0.30.50.2 Y67P0.40.6求此儀器長度的分布律.解 根據(jù)題意, ;列表計算Z=X+Y151616171718(X,Y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7) P0.120.180.20.30.080.12的分布律.Z15161718P0.120.380.380.12 定理

4、設二維離散型隨機變量的分布律為 , (1)若對于的不同取值，的取值也不相同，則隨機變量的分布律為 , (2) 如果對于的有限對或可列無窮對不同的取值,取相同的值, ,則 .例2 已知二維隨機變量的分布律 YX012-10.10.20.120.20.10.3 試求:(1); (2) ;(3)的分布律.解 (將的取值對列出,計算函數(shù)值,合并相同的值)列表max(X,Y)012222XY+110-11352X+Y-2-10456(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)P0.10.20.10.20.10.3 從而得所求分布律為(1)2X+Y-2-10456P0.10

5、.20.10.20.10.3(2)XY+1-10135P0.10.20.1+0.2=0.30.10.3(3)max(X,Y)012P0.10.20.7例3 設,且相互獨立,試證 . 證明 由已知條件,由于,由互不相容事件概率的可加性和隨機變量的獨立性得 ,故由泊松分布定義知 .例4 設隨機變量相互獨立且服從相同的(01)分布,即,.令 ,試分別求和的分布律.解 根據(jù)題意和題設條件知,的值為(1,0),(1,1),(0,0),(0.1);的可能取值為:2,1,0,-1; , , , , ,于是的分布律為-1012, ,于是的分布律為01第二節(jié) 一維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布例1 設對球的直徑進行

6、測量，測量值在區(qū)間上服從均勻分布，試求球體體積的概率密度. 解 隨機變量的概率密度 ,分布函數(shù);隨機變量的分布函數(shù), , 的概率密度 .其中為的反函數(shù). 例2 由統(tǒng)計物理學知道,氣體分子運動速度的絕對值服從馬克斯威爾分布,即其概率密度為 ,其中參數(shù),試求分子運動動能的概率密度.解 的分布函數(shù) ,當時,當時, , ,于是的概率密度 .將例1,例2的解法一般化,我們有如下定理. 定理一 設連續(xù)型隨機變量的概率密度為,函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調,其反函數(shù)有連續(xù)導數(shù),則是一個連續(xù)型隨機變量,其概率密度為 ,其中為的值域.(證明見書)該定理從理論上對問題進行了徹底解決,實際做題時可套用,也可以按其證明的方法進

7、行做題,而不必記此公式. 求隨機變量的函數(shù)的概率密度的一般方法:先求的分布函數(shù),然后對求導數(shù)得到概率密度.這種方法不僅適用于求一維隨機變量的函數(shù)的概率密度.而且也適用于求二維或更多維的隨機變量的函數(shù)的概率密度.設連續(xù)型隨機變量的概率密度為,函數(shù)(一般函數(shù)),記 ,求隨機變量的分布函數(shù),求導數(shù)得到概率密度. 一般方法如下: , .例3 設,試求(為常數(shù),且)的概率密度. 解 由題設條件, 的概率密度為 , , 先求分布函數(shù)(1) 若,則 ,于是, ;(2) 若,則,于是, ,從而得的概率密度,由正態(tài)分布的定義,可見 ,特別當時,即服從標準正態(tài)分布. (這個結論很有用). 例4 設隨機變量在上服從均勻分布,試求的概率密度. 解 由題設條件, 的概率密度為 ;記 ,所以, .例5設隨機變量在上服從均勻分布,試求的概率密度.解 由題設條件, 的概率密度為 ; ,(1) 當時, ;(2) 當時, ;(3) 當時, ;(4) 當 時, , 此時 所以 .例6 若氣體分子的速度是隨機向量,各分量相互獨立,且均服從,試證服從馬克斯威爾分布 . 證明 由題設條件, 的概率密度分別為 , ; 因為相互獨立,所以()的概率密度為 (1) 當時,;(2) 當