高等代數(shù)課件(北大版)第三章-線性方程組§3-3講課稿

1、高等代數(shù)課件(北大版)第三章-線性方程組3-32）零）零向量向量0可由可由任一向量組的線性表出任一向量組的線性表出. . 3）一向量組中每一向量都可由該向量組線性表出一向量組中每一向量都可由該向量組線性表出. . 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n 4）任一任一 維向量維向量 都是向量組都是向量組12(,)na aa n也稱為也稱為 n 維單位向量組維單位向量組 12,n 的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合1 122.nnaaa 事實(shí)上，有對(duì)任意皆有事實(shí)上，有對(duì)任意皆有12(,),na aa 若能，寫出它的一個(gè)線性組合若能，寫出它的一個(gè)線性組合123(1,2, 3,1),(5, 5

2、,12,11),(1, 3,6,3) 解解：設(shè)：設(shè) ，即有方程組，即有方程組 112233kkk 123123123123522531312631134kkkkkkkkkkkk （1）例例1 判斷向量能否由向量組線性表出判斷向量能否由向量組線性表出. 123, (2, 1,3,4) 對(duì)方程組對(duì)方程組(1)的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣所以方程組所以方程組(1)有解它的一般解為有解它的一般解為 213311331 00 10 0000 000kkk 得得(1)的一個(gè)解的一個(gè)解 ，(1,0,1126311134A 1

3、 5 1 20 3 1 10 0 0 00 0 0 031,k 令令從而有從而有1、定義定義二、向量組的等價(jià)二、向量組的等價(jià)向量組等價(jià)向量組等價(jià). . 若向量組若向量組 中每一個(gè)向量中每一個(gè)向量 12,s (1,2, )iis 若兩個(gè)向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)若兩個(gè)向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)可以經(jīng)向量組可以經(jīng)向量組 線性表出線性表出； 12,t 12,s 皆可經(jīng)向量組皆可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則稱向量組線性表出，則稱向量組向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有：向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有：1) 反身性反身性2) 對(duì)稱性對(duì)稱性 3) 傳遞性傳遞性2、性質(zhì)、性質(zhì)三、線性相關(guān)性三、線性相關(guān)性

4、 1、線性相關(guān)線性相關(guān) 注注：特殊情形特殊情形 2）任意一個(gè)含零向量的向量組必線性相關(guān)任意一個(gè)含零向量的向量組必線性相關(guān). . 定義定義1：如果向量組如果向量組 中有一向量中有一向量12,(2)ss 稱為稱為線性相關(guān)線性相關(guān)的的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組12,s 1）向量組）向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 成比例成比例. 12, 12, 定義定義1：向量組向量組 稱為線性相關(guān)稱為線性相關(guān)12,(1)ss 如果存在如果存在 P 上上不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) 12,sk kk線性相關(guān)的線性相關(guān)的,11220.sskkk 使使在在 時(shí)，時(shí)，定義定義1與與定義定義1是等價(jià)

5、的是等價(jià)的. . 2s 注注：例例2 判斷下列向量組是否線性相關(guān)判斷下列向量組是否線性相關(guān).123(1)(1,2,3),(2,4,6),(3,5, 4) 123(2)(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) 定義定義2：若向量組若向量組 不線性相關(guān)，則稱不線性相關(guān)，則稱12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk向量組向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 2、線性無關(guān)線性無關(guān) 即即則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 11220sskkk必有必有120,skkk 換句話說，換句話說， 對(duì)于一個(gè)向量組

6、對(duì)于一個(gè)向量組12,s 若由若由則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 1）單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量；）單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量；3）一向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一）一向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一單獨(dú)一個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量單獨(dú)一個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量.個(gè)向量可由其余向量線性表出個(gè)向量可由其余向量線性表出. 3、線性相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì)、線性相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì) 2）一個(gè)向量組中若有一向量為零向量，則該向量）一個(gè)向量組中若有一向量為零向量，則該向量組一定線性相關(guān)組一定線性相關(guān).5）如果向量組）如果向量組 線性無關(guān)

7、線性無關(guān)，而向量組而向量組12,s 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,s 線性表出線性表出.( (習(xí)題習(xí)題3)3) 12,s 都線性無關(guān)都線性無關(guān).4）一個(gè)向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向）一個(gè)向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)；量組也線性相關(guān)；一個(gè)向量組若線性無關(guān)，則它的一個(gè)向量組若線性無關(guān)，則它的任何一個(gè)部分組任何一個(gè)部分組線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組只有零解只有零解； 的充要條件是齊次線性方程組的充要條件是齊次線性方程組(2)有非零解有非零解.6）向量組）向量組 12(,),iiiinaaa 1,2,is （

8、2） 111212112122221122000ssssnnsnsa xa xa xa xa xa xa xaxa x 向量組向量組12(,),1,2, ,iiiinaaais 線性相關(guān)線性相關(guān)特別地，對(duì)于特別地，對(duì)于n 個(gè)個(gè) n 維向量維向量12(,),1,2,iiiinaaain 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式線性無關(guān)線性無關(guān).12,n 線性相關(guān)；線性相關(guān)；12,n 的的縮短組縮短組. .7）若向量組）若向量組 12(,),1,2,iiiinaaais 線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，

9、則向量組 也線性無關(guān)也線性無關(guān) .12,1(,),iiiini naaaa 1,2,is 向量組向量組 常稱為向量組常稱為向量組 12,s 12,s 的的延伸組延伸組；注注：稱為稱為12,s 12,s 而而相關(guān)相關(guān)，則向量組則向量組 也線性相關(guān)也線性相關(guān).12,s 反之，若向量組反之，若向量組 12,s 線性線性8）向量組線性相關(guān)的基本性質(zhì)定理）向量組線性相關(guān)的基本性質(zhì)定理 定理定理2 設(shè)設(shè) 與與 為兩個(gè)為兩個(gè)12,s 12,r i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 則向量組則向量組 必線性相關(guān)必線性相關(guān).12,r ii).rs 向量組，若向量組，若要證要證 線性

10、相關(guān)線性相關(guān)，即證有不全為零的數(shù)即證有不全為零的數(shù)12,r 使使 12,rk kk證：證： 由由i)，有，有 1,1,2,siijjjtir 11220.rrkkk作線性組合作線性組合 11rsijijijxt 11srijijjix t 1122rrxxx 1riiix 11rsijijijx t 若能找到不全為的若能找到不全為的 ，使使 12,rx xx10,1,2,rijiix tjs 中，方程的個(gè)數(shù)中，方程的個(gè)數(shù) s 未知量的個(gè)數(shù)未知量的個(gè)數(shù) r ，在方程組在方程組 （3） 111122121122221122000rrrrsssrrt xt xt xt xt xt xt xt xt

11、x 從而有不全為零的數(shù)從而有不全為零的數(shù) ，使使12,rx xx所以所以（3）有非零解有非零解. 11220rrxxx 所以所以 線性相關(guān)線性相關(guān)。12,r 則也使則也使 11220.rrxxx推論推論2任意任意 n1 個(gè)個(gè) n 維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān). . 推論推論3兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組必含相同個(gè)數(shù)兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組必含相同個(gè)數(shù)推論推論1 若向量組若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 線性表出，且線性表出，且 線線線性無關(guān)線性無關(guān)，則則 12,r .rs 的向量的向量.（任意（任意 個(gè)個(gè) n 維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān). .） ()mn 例例2判斷向量

12、組判斷向量組 是否線性無關(guān)？若線性相關(guān)，求一組非零數(shù)是否線性無關(guān)？若線性相關(guān)，求一組非零數(shù)123(1, 2,3),(2,1,0),(1, 7,9)123,k k k使使1122330.kkk 解：解：1122330,kkk 設(shè)設(shè)即有方程組即有方程組1231231320270 ,390kkkkkkkk 13233,kkkk 解之得解之得1233,1,1,kkk 3k為任意數(shù)為任意數(shù)所以線性相關(guān)所以線性相關(guān). .123, 令令31,k 則有則有使使1122330.kkk 由于由于 123, 線性無關(guān)，于是有線性無關(guān)，于是有 131223000 xxxxxx 設(shè)設(shè)1122330,xxx即即 1311

13、22233()()()0 xxxxxx 例例3已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，向量線性無關(guān)，向量123, 證明：證明： 線性無關(guān)線性無關(guān). .123, 解之得解之得 1230.xxx所以所以 123, 線性無關(guān)線性無關(guān) .112, 223, 331, 證：證：1、極大線性無關(guān)組、極大線性無關(guān)組 i) 12,iiir 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組極大無關(guān)組. 一個(gè)部分組一個(gè)部分組12,iiir 若滿足若滿足 定義定義12,s 為為nP中的一個(gè)向量組，它的中的一個(gè)向量組，它的設(shè)設(shè)線性表出線性表出；12,iiir (1)jjs ii) 對(duì)任意的對(duì)任意的 ,

14、 可經(jīng)可經(jīng)j 四、極大線性無關(guān)組秩四、極大線性無關(guān)組秩則稱則稱 12,iiir 為向量組為向量組 12,s 的一個(gè)的一個(gè)1）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組不是唯一的）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組不是唯一的.注注3）一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身）一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身. .4）一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià)）一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià). . 5）一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都含有相同）一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都含有相同 個(gè)數(shù)的向量個(gè)數(shù)的向量. . 2）向量組和它的任一極大無關(guān)組等價(jià)）向量組和它的任一極大無關(guān)組等價(jià). .（根據(jù)定理（根據(jù)定理2的推論的推論1即

15、得）即得）定義定義向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為這個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)：一個(gè)向量組線性相關(guān)的充要條件是一個(gè)向量組線性相關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量個(gè)數(shù)相同；它的秩與它所含向量個(gè)數(shù)相同；它的秩它所含向量個(gè)數(shù)它的秩它所含向量個(gè)數(shù).向量組的向量組的秩秩. 2、向量組的秩、向量組的秩 1）一個(gè)向量組線性無關(guān)的充要條件是）一個(gè)向量組線性無關(guān)的充要條件是2）等價(jià)向量組必有相同的秩）等價(jià)向量組必有相同的秩. .3）若向量組）若向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩線性表出，則秩 12,s 秩秩 12,t （習(xí)題（習(xí)題10） 例例4設(shè)設(shè)12(1,

16、1,2,4),(0,3,1,2), 345(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6) 1）證明：）證明： 線性無關(guān)線性無關(guān). .12, 2）把）把擴(kuò)充成一個(gè)極大無關(guān)組擴(kuò)充成一個(gè)極大無關(guān)組. .12, 1）證：）證： 由于不成比例，由于不成比例，12, 2）解：）解：線性無關(guān)線性無關(guān). .12, 1122330,kkk 由由即即1312123123303027042140kkkkkkkkkk 132333,kk kkk 為自由未知量為自由未知量. .解得解得123, 線性相關(guān)線性相關(guān). .即即 可經(jīng)線性表出可經(jīng)線性表出.12, 3 1122340,kkk 由由1230.kkk

17、解得解得124, 線性無關(guān)線性無關(guān). .即即 不能由線性表出不能由線性表出.12, 4 即即13123123120310220420kkkkkkkkkk 112234450,kkkk 知，知，再由行列式再由行列式10 121 31 12 12 542 06存在不全為零的數(shù)使存在不全為零的數(shù)使1234,k k k k1245, 線性相關(guān)線性相關(guān). .0 故即為由故即為由 擴(kuò)充的一個(gè)極大無關(guān)組擴(kuò)充的一個(gè)極大無關(guān)組.12, 124, 1 0 1 20 3 0 30 1 0 14 2 0 6 例例5求向量組求向量組12(1, 1,2,4),(0,3,1,2), 345(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6) 的極大無關(guān)組的極大無關(guān)組. .10 3121 3 01 12 1 72 542 14 06A 解：解： 作矩陣作矩陣對(duì)矩陣對(duì)矩陣A作初等行變換化階梯形作初等行變換化階梯形1 0 3120 3 3030 1 1010 2 242A1 0 3120 0 0000 1 1010 0 0441 0 3120 1 1010 0 0440 0 000 B由矩陣由矩陣 B 知線性無關(guān)且為極大無關(guān)組知線性無關(guān)且為極大無關(guān)組.124, 125, 135, 134, 附附 求向量組的極大無關(guān)組的一般步驟：求向量組的極大無關(guān)組的一般步驟：12,s 則就