畢業(yè)論文一淺談高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法

1、 廣西師范學(xué)院師園學(xué)院廣西師范學(xué)院師園學(xué)院學(xué) 生 畢 業(yè) 論 文（2010 屆）廣西師范學(xué)院教務(wù)處制題目（中文）題目（中文） 淺談高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法淺談高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法 （英文）（英文） Introduction to the Mathematical Method is Commongly Used in Higher Mathematics 系別系別： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系 專(zhuān)業(yè)：專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)班級(jí)： 數(shù)本數(shù)本 06010601 姓名：姓名： 馬超馬超 學(xué)號(hào)學(xué)號(hào): : SY0611121SY0611121 指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師： 誠(chéng)誠(chéng) 信信 聲聲

2、明明我聲明，所呈交的畢業(yè)論文是本人在老師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我查證，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，我承諾，論文中的所有內(nèi)容均真實(shí)、可信。畢業(yè)論文作者簽名： 簽名日期： 年 月 日摘摘 要要:本文淺談高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法，方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，掌握數(shù)學(xué)方法不僅對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助,而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及研究中也是相當(dāng)重要的方法。本文闡述數(shù)學(xué)方法的意義及重要性和幾種常用的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)具體的例子講述幾種常用數(shù)學(xué)方法的解題步驟和證明過(guò)程，這對(duì)于學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)具有一定的意義。關(guān)關(guān)鍵鍵詞詞 :高等數(shù)學(xué) ；數(shù)

3、學(xué)方法；證明；解題步驟Abstract: This article introducts to common mathematical method in higher mathematics.Dealing with mathematical method is the guiding ideology and basic slightly. Mastering the mathematical method not only has a greatly help for us to study mathematics,but also in higher mathematics learn

4、 and research is very important.This paper expounds the meaning and signficance of mathematical methods and several commom mathematical methods,and through the concrete example about several common mathematical methods of problem solving steps and that certificate process,it has certain significance

5、 to learn the university mathematics.Keywords: Higher mathematics;Mathematical methods;certificate;The problem solving steps目錄1. 關(guān)于高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)方法 （1）1.1 簡(jiǎn)述高等數(shù)學(xué) （1）1.2 掌握數(shù)學(xué)方法的重要性 （1）1.3 掌握數(shù)學(xué)方法的意義 （1）2. 高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法 （1）2.1 概念法 （1）2.2 數(shù)學(xué)美的啟迪對(duì)稱(chēng)性方法 （2）2.3 歸納類(lèi)比法 （3）2.3.1 類(lèi)比法 （3）2.3.2 歸納法 （4）2.4 反證法 （5）2.5 換元法 （

6、6）2.6 逆推法 （7）2.7 構(gòu)造函數(shù)法 （8）2.8 待定系數(shù)法 （9）2.9 猜想、驗(yàn)證法（9）2.9.1 由不完全歸納法產(chǎn)生猜想（10）2.9.2 由類(lèi)比產(chǎn)生猜想（10）2.9.3 由直觀產(chǎn)生猜想（11）參考文獻(xiàn) （12）致謝 （13）- 1 -淺談高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法淺談高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法1 1 關(guān)于高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)方法關(guān)于高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)方法1.11.1 簡(jiǎn)述高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)述高等數(shù)學(xué)我們知道高等數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的，無(wú)論哪一個(gè)學(xué)科都涉及到高等數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)和掌握現(xiàn)代教學(xué)工具起著至關(guān)重要的作用。一向都受到各個(gè)院校的領(lǐng)導(dǎo)及學(xué)生的重視。但是由于高等數(shù)學(xué)是抽象的基礎(chǔ)學(xué)科，難

7、度是相當(dāng)大的，它可以說(shuō)包含著各學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)，其中包括數(shù)學(xué)分析、常微分方程以及解析幾何等各個(gè)學(xué)科，因此它具有嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性。所以我們要學(xué)好高等數(shù)學(xué)必須掌握一定的數(shù)學(xué)方法以及了解它的發(fā)展史，這樣才能對(duì)高等數(shù)學(xué)做到無(wú)所畏懼。1.21.2 掌握數(shù)學(xué)方法的重要性掌握數(shù)學(xué)方法的重要性素質(zhì)教育要求：“不僅要求學(xué)生掌握一定的知識(shí)技能，而且還要達(dá)到能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)目的，而方法又隱藏在教材之中，這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)之時(shí)，就要學(xué)會(huì)領(lǐng)悟知識(shí)所用的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中占有舉足輕重的地位。因此掌握數(shù)學(xué)方法不僅可以加快和優(yōu)化問(wèn)題解決的過(guò)程，而且還可

8、以達(dá)到一題而通一類(lèi)的效果，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，不僅可以提高做題速度還能鍛煉我們的邏輯思維，因此我們掌握數(shù)學(xué)方法對(duì)我們解決問(wèn)題是相關(guān)重要的。1.31.3 掌握數(shù)學(xué)方法的意義掌握數(shù)學(xué)方法的意義（1）有助于我們?cè)谛W(xué)習(xí)工欲善其事，必先利其器，如果我們想做好一件事，很重要的一點(diǎn)就是精銳的工具、具備適當(dāng)?shù)氖侄?。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中同樣如此。對(duì)于學(xué)生而言，適宜的數(shù)學(xué)方法就是“利器” ，它可以幫助我們更順利、更有效地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。（2）有助于我們?cè)谏鐣?huì)學(xué)習(xí)在學(xué)校我們?nèi)绻茉趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，總結(jié)一些數(shù)學(xué)方法，也就能提高我們的邏輯思維，這對(duì)于我們以后出去社會(huì)還是有益的，在當(dāng)今的知識(shí)社會(huì)里，學(xué)習(xí)已經(jīng)不僅僅是在校學(xué)生的事情，一個(gè)

9、已經(jīng)邁入社會(huì)的成年人，同樣面臨著學(xué)習(xí)是問(wèn)題，所以對(duì)我們而言，學(xué)習(xí)不僅僅是要掌握知識(shí)，更重要的是要學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)。正如美國(guó)著名教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為， “學(xué)習(xí)的目的不僅是將我們帶到某處，而且應(yīng)該讓我們?cè)谇斑M(jìn)時(shí)更為容易” 。所謂我們所學(xué)的知識(shí)可能被遺忘，但是所學(xué)的數(shù)學(xué)方法卻會(huì)使我們終生受益。2 2高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法2.2.1 1 概念法概念法高等數(shù)學(xué)中的概念法指從大量的實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)其共同的本質(zhì)而抽象出來(lái)的，它是高等數(shù)學(xué)大廈的支柱，只有概念清楚，才能理解各種解題方法，并能根據(jù)概念自行- 2 -設(shè)計(jì)出各種新的解題方法。在利用概念解題時(shí)，要注重用類(lèi)比的方法將題設(shè)與概念進(jìn)行對(duì)比，

10、通俗地說(shuō)，就是套概念。例 1 證明：偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù).證明：設(shè)為偶函數(shù)，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且( )yf x( )D f. (偶函數(shù)的概念)()( )fxf x那么 （導(dǎo)函數(shù)的概念）0fx kfxlimkk（+ ）-f (x)（） （偶函數(shù)的概念）0f-x-k-limkk（）-f ( x) （代數(shù)恒等變換） 0flimkk （-x-n）-f (-x) （導(dǎo)函數(shù)的概念）()fx 即，且顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為奇函數(shù).( )()fxfx ()D f ( )fx當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，同理可證是偶函數(shù)。( )f x( )fx因此我們必須數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性卻不可以斷章取義，不然只會(huì)耽誤做題

11、的效率。2.2.2 2 數(shù)學(xué)美的啟迪數(shù)學(xué)美的啟迪對(duì)稱(chēng)性方法對(duì)稱(chēng)性方法數(shù)學(xué)美是一種人類(lèi)本質(zhì)力量通過(guò)宜人的數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn), 是數(shù)學(xué)真理的一種表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的許多重大發(fā)現(xiàn)或突破得益于數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法。例如: 對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)、解析幾何的創(chuàng)立等, 人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)美的追求, 推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)常具有統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)及奇異等重要特征, 這些特征滲透在數(shù)學(xué)的理論數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、數(shù)學(xué)的定理公式、數(shù)學(xué)方法技巧及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用之中。對(duì)稱(chēng)性是數(shù)學(xué)美的重要特征。不僅如此, 在藝術(shù)的各種要素中, 對(duì)稱(chēng)性是一個(gè)非常重要的要素。解題是一門(mén)藝術(shù), 因此探討對(duì)稱(chēng)性在解題中的作用非常必要。對(duì)稱(chēng)性是指組成某一事物成對(duì)象的兩個(gè)部分的對(duì)等

12、性。數(shù)學(xué)中, 有關(guān)數(shù)與形的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象極為常見(jiàn), 這種對(duì)稱(chēng)有的是形象的, 有的則是抽象的觀念和方法上的對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)的形和式從形式上看十分優(yōu)美, 數(shù)學(xué)解題方法中時(shí)常滲透對(duì)稱(chēng)的思想。許多問(wèn)題初看起來(lái)似乎不易解決, 難以下手, 但一旦恰當(dāng)?shù)乩昧四撤N對(duì)稱(chēng)性, 就會(huì)易如反掌。高等數(shù)學(xué)中的若干實(shí)例 ,證實(shí)了 :如果在解題的過(guò)程中注意到對(duì)稱(chēng)性 ,并且恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)稱(chēng)性 ,則可以減少一些繁瑣的計(jì)算 ,化難為易 ,提高解題效率 ,達(dá)到事半功倍的效。利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求偏導(dǎo)數(shù)例2 222222zzz=ln,xyyx求，解：先對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，有2222z1=ln x +yx2 xxxy（）=再對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)，有- 3

13、-222222222z=xx()xyxxyxy()=由于在中將x，y互換，函數(shù)不變，所以是一個(gè)對(duì)稱(chēng)函22z=lnyx22z=lnyx數(shù)，對(duì)于對(duì)稱(chēng)函數(shù)而言，它對(duì)任一變量求導(dǎo)所得的結(jié)果都可經(jīng)變量的對(duì)換直接轉(zhuǎn)移到其它變量。在中，只要將x換成y，y換成x即可。222222222z=xx()xyxxyxy()222222222zyxy=xx()xyxy()=利用函數(shù)奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)性計(jì)算各種積分例3 計(jì)算，22=e+x dxdyxDI（y）其中D是由曲線(xiàn)與所圍成區(qū)域。sin ()yxx0y 解：區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)于原點(diǎn)，令 21f xx（, y）=ye22fxx（, y）=因?yàn)?211fxf xx （- , -y

14、）=-ye（, y）222fxfx（- , -y）=x（, y）以sin222200002x dxdy=22sin28xDIdxx dyxxdx對(duì)稱(chēng)性在三重積分、曲線(xiàn)積分和曲面積分的計(jì)算中也有類(lèi)似的應(yīng)用。以上所舉例題只是利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算的一部分，還有很多問(wèn)題都可以借助對(duì)稱(chēng)性解決，在解題中要善于發(fā)現(xiàn)并利用問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象具有的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)然發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性有時(shí)是不容易的，而要合理巧妙利用就更難，重要的是多實(shí)踐，不受定向思維的約束，大膽創(chuàng)新，開(kāi)拓思路。2.32.3 歸納類(lèi)比法歸納類(lèi)比法歸納和類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法之一，用好了可以獲得新發(fā)現(xiàn)，取得新成果，對(duì)于歸納類(lèi)比方法徐利治先生用如下的圖

15、表進(jìn)行了概括：實(shí)驗(yàn)-歸納-推廣 形成普遍命題 證明類(lèi)比-聯(lián)想-預(yù)見(jiàn)利用歸納類(lèi)比法解決問(wèn)題有有助于我們了解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，讓我們更進(jìn)一步了解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。2.3.12.3.1 類(lèi)比法類(lèi)比法類(lèi)比法是把某一類(lèi)對(duì)象的特征推廣到另一類(lèi)與它相似的對(duì)象中去的一種思想方法，談到類(lèi)比，我們一定會(huì)想起高中時(shí)的一些相關(guān)題目，如一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)長(zhǎng)方體具有類(lèi)似性等相關(guān)題目，然而在高等數(shù)學(xué)中，許多問(wèn)題看起來(lái)很難求解，但經(jīng)過(guò)類(lèi)比，我從具體問(wèn)題、具體素材出發(fā)- 4 -們卻能發(fā)現(xiàn)解法是多種多樣的，能把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高我們做題的速度。例 4 證明1111p+1122nlnln,1,1pppnnnnnpp（p+1）證：跟蹤類(lèi)比已知

16、結(jié)論中相當(dāng)于拉格朗日定理中的的f（b）f（a） ；從而111ppnn可以聯(lián)想得到需找這樣形式的函數(shù)，進(jìn)而可定出 b=p，a=p+1，顯然，1xfx =n（）在上滿(mǎn)足拉格朗日定理的條件，故至少存在一點(diǎn)，使得1xfx =n（）pp+1，pp+1，111121f( )(1)=f ( )(1)()( 1)lnpppf pnnppnn所以 而111121=ln ,1.ppnnnn pp111p+1222n1lnlnln,1,1,(1ln0)pnnnnnpnp （p+1）所以1111p+1122nlnln,1,1pppnnnnnpp（p+1）上面的例題從形式上套用了拉格朗日定理，所以需要我們對(duì)定理，以及一

17、些推論有一定的掌握程度，這樣才能把類(lèi)比法運(yùn)用自如，從而提高做題的速度。當(dāng)然了，并不是所有的類(lèi)比都是套用形式類(lèi)比，也有可能題目并沒(méi)有讓做題者一目了然，而要通過(guò)一些轉(zhuǎn)化技巧，也就是經(jīng)過(guò)變形才能套用一些已知知識(shí)，這就需要我們平常在學(xué)習(xí)中積累一定的經(jīng)驗(yàn)。2.3.22.3.2 歸納法歸納法提到歸納法，我相信大家都是非常熟悉的，我們知道歸納法的應(yīng)用是非常廣泛的，它滲透到各個(gè)學(xué)科的知識(shí)，特別是在數(shù)學(xué)這學(xué)科中，應(yīng)用方面非常多，我們知道歸納法是在高等數(shù)學(xué)中多處定理和習(xí)題的證明都要用到數(shù)學(xué)歸納法,用數(shù)學(xué)歸納法證明這些定理和習(xí)題,顯得思路清晰,又能找出相應(yīng)的遞推關(guān)系,非常湊效,而且有時(shí)非要用這種方法證明不可，由此可

18、知道數(shù)學(xué)歸納法的重要性。例 5 求證234n210122222cos xsin(),21234nnnnxdxnN 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法（a）當(dāng) n=1 時(shí)，220011cos sinsin sinsin2220 xnxdxxnxdxx左式=右式（b）假設(shè) n=k 時(shí)等式成立，即有- 5 -234210122222cos xsin()21234kkkkkxdx 記1210cosxsin(1),kKIkxdx當(dāng) n=k+1 時(shí)有，12101cosxdcos(1)1kKIkxk k 101coscos(1)coscos(1) sin210kxkxxkxxdxk 201coscos(1) sin1kx

19、kxxdxk上面兩式同時(shí)加上，而得到遞推公式：1KI 22100112cos xsin(1) coscos xcos(1) sin11kkKkIkxxdxkxxdxIkk 因此，2341111122222.()2(1)2 21234kkknIk 234+111222222=(+)21234kk+1kkn 由此可知，對(duì)于一切自然數(shù) n，等式成立。從上面我們知道，歸納法的解題步驟是有規(guī)律可循的，第一步是當(dāng) n=1 時(shí)是否成立,若成立則執(zhí)行第二步，第二步：假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)成立，然后找出當(dāng) n=k+1 時(shí)成立，就能證明該等式了。可見(jiàn)，歸納法使用的步驟簡(jiǎn)單，適用很多種定理及證明的的方法。但是它體現(xiàn)了嚴(yán)格

20、的推理論證過(guò)程，這能鍛煉學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉壿?，培養(yǎng)學(xué)生的耐心能力。2.42.4 反證法反證法反證法又稱(chēng)歸謬法、背理法，是一種常用的論證方法，它的基本思想是假設(shè)原題的結(jié)論不成立，從而推理出明顯的矛盾結(jié)果，這樣就能證明原假設(shè)不正確，從而論證原結(jié)論是正確的。我們知道我們思考題目時(shí)，一般都是從原條件下得出我們所需要的結(jié)論，但反證法可以幫助我們從反面思考，因此當(dāng)我們從正面無(wú)法得出結(jié)論時(shí)，我們可以利用反證法求證。當(dāng)然了反證法并不是使用所有的命題，它適用的命題有唯一性命題、否定性命題和含有“至多” ， “至少”型的命題。它的證明有三個(gè)步驟：（1） 假設(shè)命題結(jié)論不成立。（2） 從這個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證明得

21、出矛盾。（3） 由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。- 6 -例 6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又，fx（）0,10,1fx（）1fx0,1（）則在上至少存在的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，使.若點(diǎn)且0,1fx（）f=（）0,1，則點(diǎn)是唯一的.f=（）證：若，則為的不動(dòng)點(diǎn)。f=0（0）=0fx（） 若，則為的不動(dòng)點(diǎn)。f=1（1）=1fx（） 若，因，所以f0（0）f1（1）fx0,1（），.0(0)1f0(1)1f 于是，令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且( )( )g xf xx( )g x0,10,1，.(0)=f(0)0g(1)=f(1)0g由連續(xù)函數(shù)的中值定理可知，至少存在一點(diǎn)，使0,1，即為的

22、不動(dòng)點(diǎn).111( )( )0gf10,1fx（）下面證這種情況下是唯一的.1反證法. 設(shè)，使，則20,12122f()( )( )g xf xx在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾定理的條件.12故在與之間至少存在一點(diǎn)使12，于是這與已知矛盾，g=f（）（）-1=0f（）=1f1（x）故是的唯一不動(dòng)點(diǎn).1xfx（）從上面可知我們?cè)诶梅醋C法證明命題時(shí)，一定得特別注意哪些命題可以采用反證法，反正法有利于我們先討論從而得出結(jié)論。2.52.5 換元法換元法說(shuō)到換元法，大家一定很熟悉，所謂的換元法就是把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元。這樣做

23、的目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新對(duì)象的知識(shí)背景中研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理，所以大家得熟悉換元法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們知道我們可以用換元法求解函數(shù)的解析式，在求積分包括定積分或不定積分、極限，求導(dǎo)等各個(gè)方面的應(yīng)用是相當(dāng)重要的。當(dāng)然，換元又分為局部換元、三角換元、均值換元等，所以我們還要根據(jù)不同的題目采取不同的換元法，這樣有利于我們快速解決各種問(wèn)題。從而提高做題速度。換元雖然有利于我們運(yùn)算，但是換元后要注意新變量的取值范圍，不能任意縮小或者擴(kuò)大。下面我們通過(guò)定積分的換元積分法的具體的例子展示換元法的方便之處。例 7 求下列定積分22xRRRdx- 7 -解

24、：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以22( )f xRx22220 x2xRRRRdxRdx 令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則sinxRtcosdxRtdt0 x 0t xRt=222220 x2xRRRRdxRdx 22222001 cos2=2cos22tRtdtRdt 22211(sin2 )022R ttR例 8 已知，且，求a，bR1ab2225(2)(2)2ab證明：因?yàn)榍宜栽O(shè) a，bR1ab11,22at bt()tR 則222211(2)(2) =+t+2+-t+222ab（）（） 2255=+t+-t22（）（） 22525222t 即2225(2)(2)2ab因此，我們?cè)谑褂脫Q元法時(shí)，要先觀察

25、式子，然后聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)，簡(jiǎn)化題目對(duì)我們解題來(lái)說(shuō)是相當(dāng)重要的，在換元時(shí)新的變量的取值范圍可以根據(jù)原變量的取值范圍進(jìn)行等量的替換。2.62.6 逆推法逆推法這種方法運(yùn)用邏輯推理思想，從所要得到的未知結(jié)論入手，應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步找到解題需要的已知條件的思想方法，這種方法也叫執(zhí)果索因法或者綜合法。在高等數(shù)學(xué)中用數(shù)列極限的定義來(lái)證明存在時(shí)，用的也是逆推法，其根據(jù)任意給定的正數(shù)，從而能夠指出定義中所說(shuō)的正整數(shù) N 確實(shí)存在，使得問(wèn)題得證，求導(dǎo)和積分也一樣使用逆推法進(jìn)行逆運(yùn)算，特別是一些比較復(fù)雜的函數(shù)不定積分，還有我們熟悉的微分方程求解，也是通過(guò)求導(dǎo)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)然在證明一些等式或者不等式逆推法

26、也是扮演者相當(dāng)重要角色。不過(guò)逆推法這一邏輯論證是相當(dāng)復(fù)雜的，不過(guò)它卻能給人提供一種新的思路，可以從兩邊推出同樣的條件，從而達(dá)到統(tǒng)一。下面用不等式來(lái)詮釋逆推法的步驟：例 9 設(shè)證明：f ( )0,(0)0.xf有 （2） 成立. 12,(0,)x x1212()()()f xxf xf x分析:為了敘述方便，不妨設(shè)若（2）式成立，則應(yīng)用有210.xx- 8 - （3）1221()()()f xxf xf x 由于存在，將（3）式左邊在上應(yīng)用拉格朗日公式，f ( )x212,x xx （4）122112211()()( )()( )f xxf xfxxxfx2112x（ 0即可（而這正是已知的條件

27、）.( )0fx證明：任取，由于處處二階可導(dǎo)，故在上應(yīng)用拉格朗日公210 xx(x)f212,x xx式得（5）式， （4）式減去（5）式得. 1221112()()()( )()f xxf xf xxff(7)又由于，故單調(diào)下降，由，知，又所以( )0fx( )fx12x12( )()ff10 x 從而.112( )()0 xff1212()()()f xxf xf x由上述可以看出逆推法在高等數(shù)學(xué)應(yīng)用方面還是十分有效的，若此題不采用逆推法是很難找到正確的解題思路的，只不過(guò)過(guò)程可能會(huì)復(fù)雜點(diǎn)。2.72.7 構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)思想是高等數(shù)學(xué)中解題中重要的思想，在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用

28、，比如微分中值定理的證明、拉格朗日定理的證明、證明不等式、構(gòu)造輔助函數(shù)用零點(diǎn)定理證明方程的根、證明恒等式等等，因此構(gòu)造函數(shù)法對(duì)學(xué)高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是重中之重的。然而想要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)也要根據(jù)題目而確定構(gòu)造所要的函數(shù)，不然只會(huì)功虧一簣，因此需要考察我們的觀察力，所以我們平時(shí)做題要積累一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用自如。下面我們舉一個(gè)我們非常熟悉的例子。例 10 證明22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn分析：將22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn改寫(xiě)成221arctanarctan1,(0)11mnnmmmnn觀察知，中間的式子符合拉格朗日中值公式的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)(

29、)arctanF Xx證明 令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，(x)arctanFx(x)Fn,m, n m- 9 -滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件，且(x)F21(x)1Fx 拉格朗日中值定理，得2arctanarctan1,()1mnnmmn 由222222111111111nmnmmn 所以，又，所以221arctanarctan111mnmmnnnm 22arctanarctan,(0)11mnmnmnnmmn2.82.8 待定系數(shù)法待定系數(shù)法待定系數(shù)法，一種求未知數(shù)的方法，大家一定很熟悉，因?yàn)樵谖覀兂踔袝r(shí)就學(xué)過(guò)用待定系數(shù)法解一元二次方程，在高等數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用它來(lái)求解函數(shù)的解析式、不定積分和微分方程

30、、級(jí)數(shù)等相關(guān)問(wèn)題。不過(guò)常見(jiàn)的有理分式不定積分的求解、特定類(lèi)型的常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解?？梢哉f(shuō)待定系數(shù)法是解決問(wèn)題的重要方法之一。下面通過(guò)求待定系數(shù)法在不定積分中的應(yīng)用的例子讓大家熟悉待定系數(shù)法。例 11 求解2x+3dx5 +6xx解 利用待定系數(shù)法將分解為2x+3x+3=5 +6x23xxx 其中 A,B 是待定常數(shù).通過(guò)化簡(jiǎn)可得 x+3x23x23ABxx3AB和323AB 通過(guò)聯(lián)立方程可解得 A=-5，B=6 則有,2x+3-56dx=5ln26ln35 +623dxdxxxCxxxx （C 為常數(shù)）從上面的例子我們可以看出，所謂的待定系數(shù)法是將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的

31、新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的方程或方程組，然后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式。待定系數(shù)法作為一種常見(jiàn)數(shù)學(xué)方法，它的應(yīng)用是非常廣泛的，上面的例子只是一個(gè)簡(jiǎn)單的舉例，希望大家在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中可以自己總結(jié)出待定系數(shù)法在各個(gè)知識(shí)方面的應(yīng)用。 2.92.9 猜想、驗(yàn)證法猜想、驗(yàn)證法我們知道一拿到題目肯定是對(duì)題目進(jìn)行觀察，然后分析，并且利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題，當(dāng)所學(xué)知識(shí)沒(méi)辦法解決時(shí)，也就是一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)，我們一時(shí)找- 10 -不到解決的辦法，我們可能就要進(jìn)行試驗(yàn)猜想，俗話(huà)說(shuō)的好，最好的念頭會(huì)因不加鑒別的接受而受損，卻會(huì)因嚴(yán)

32、格的檢驗(yàn)而拙壯，因此猜想不一定是正確，所以我們需要對(duì)我們所猜想的內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)然了，猜想也是要根據(jù)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行猜想的，并不是憑空想象的?；静孪氲姆椒ㄓ杏刹煌耆珰w納產(chǎn)生猜想、由直觀產(chǎn)生猜想、又理論產(chǎn)生猜想、由類(lèi)比產(chǎn)生猜想、特殊化和一般化猜想法、探索性猜想法、模擬性猜想法及審美猜想法等，但在高等數(shù)學(xué)中我們主要介紹不完全歸納產(chǎn)生的猜想、由類(lèi)比產(chǎn)生的猜想法及由直觀產(chǎn)生的猜想。2.9.12.9.1 由不完全歸納產(chǎn)生猜想由不完全歸納產(chǎn)生猜想不完全歸納產(chǎn)生的猜想是根據(jù)事物部分對(duì)象進(jìn)行類(lèi)似的猜想，但結(jié)論則是對(duì)全部對(duì)象所作的斷定，也就是不完全歸納產(chǎn)生的猜想的結(jié)論有可能超出了前提斷定的范圍，不完全歸納法只是

33、根據(jù)某些特殊的現(xiàn)象或者規(guī)律進(jìn)行大膽的猜想， ，所以說(shuō)不完全歸納推出的結(jié)論未必為真，因此我們需要對(duì)不完全歸納所產(chǎn)生猜想進(jìn)行驗(yàn)證，以防止所猜想的結(jié)論過(guò)于荒謬，詳細(xì)我們看例 11。例 12 求1xlimax（x0）解：若，則而當(dāng)時(shí)，隨增大而逐漸減小，且0.5x 1113620.7,0.8,0.9.xxx1x 1xax向 1 靠近.于是猜想 （1）1xlima =1x證明猜想：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，所以只需證明.由1xlima =1x1xa =1+lim=0 xlim=0 x,可知.1xa =1+xa= 1+（）當(dāng)時(shí)，且,即（當(dāng)時(shí)） ，所以,即a10an0 xax lim0 x1xlima =1x當(dāng)時(shí),

34、，由知,故.a1a1x1lim1xa1x111limalim111xxxa當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立a1故此猜想正確，即1xlima =1 ax（0）2.9.22.9.2 由類(lèi)比產(chǎn)生猜想由類(lèi)比產(chǎn)生猜想類(lèi)比猜想法是指運(yùn)用類(lèi)比方法而產(chǎn)生的猜想，偉大數(shù)學(xué)家歐拉的猜想就是類(lèi)比猜想。前面我們也已經(jīng)講過(guò)類(lèi)比法了，所以在這里就不多說(shuō)了，我們通過(guò)具體例子展現(xiàn)類(lèi)比猜想法的解題步驟：例 13 已知是 n 次多項(xiàng)式，試證()P X- 11 -n+1()dx(x-a)P X( )( )10( )( )=()ln!()!knnk nkPaPaxaxaCk nkn 分析類(lèi)比：等式右邊是和式，且有出現(xiàn)，這與函數(shù)的泰勒公式極類(lèi)似.此

35、( )( )!kPak問(wèn)題是否與泰勒公式有關(guān)呢？這就是我們的猜想. 驗(yàn)證：考慮用泰勒公式.由于是 n 次多項(xiàng)式，其在處的泰勒公式的形式()P Xxa應(yīng)該為于是( )0( )()() .!knkkPaP Xxakn+1()dx(x-a)P X ( )10( )()dx!knk nkPaxak ( )10( )()dx!knk nkPaxak ( )(n)-110( )( )1()dx+!n!knk nkPaPaxadxkxa ( )(n)-10( )( )()+ln!n!knk nkPaPaxaxaCk經(jīng)驗(yàn)證，猜想正確2.9.32.9.3 由直觀產(chǎn)生猜想由直觀產(chǎn)生猜想說(shuō)到直觀所產(chǎn)生的猜想，也許大

36、家就會(huì)聯(lián)想到幾何直觀猜想法，但是這里所說(shuō)直觀產(chǎn)生的猜想是指人們看到某種特殊現(xiàn)象而引起的猜想。也就是有一些題目，我們從形式上看就能猜到某種結(jié)果，但是證明過(guò)程還是相當(dāng)有難度的，這種方法也比較適用一些復(fù)雜的問(wèn)題，當(dāng)然了，如果碰到選擇題，我們可以利用直觀猜想法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而減少做題時(shí)間。如例 13：例 14 求n1 3 5nlimlim2 4 6(2 )nnxn （2 -1）解 從題目中我們能直觀看出1 3 5n2 4 6(2 )nxn （2 -1）我們把看成各個(gè)項(xiàng)都是真分?jǐn)?shù)的乘積，因此我們1 3 5n2 4 6(2 )n （2 -1）1 3 52n-12 4 62n可以直接猜想.nlim=0nx下面我們來(lái)驗(yàn)證猜想：由于故22k,1,N kk 211,1k