正余弦定理的應(yīng)用舉例(很好)

1、應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例正余弦定理1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？是什么？2si nsi nsi nabcRABC=2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固2.2.正弦定理和余弦定理分別適合解哪正弦定理和余弦定理分別適合解哪些類(lèi)型的三角形？些類(lèi)型的三角形？正弦定理：一邊兩角或兩邊與對(duì)角；正弦定理：一邊兩角或兩邊與對(duì)角； 余弦定理：兩邊與一角或三邊余弦定理：兩邊與一角或三邊.復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析題型一測(cè)量距離問(wèn)題題型一測(cè)量距離問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題1. A、B兩點(diǎn)在河的兩岸

2、兩點(diǎn)在河的兩岸(B點(diǎn)不可到達(dá)點(diǎn)不可到達(dá))，要測(cè)量，要測(cè)量 這兩點(diǎn)之間的距離。這兩點(diǎn)之間的距離。 測(cè)量者在測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出，測(cè)出AC的距離是的距離是55m，BAC60o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的兩點(diǎn)間的距離（精確到距離（精確到0.1m).分析：所求的邊分析：所求的邊AB的對(duì)角是已知的的對(duì)角是已知的,又知三角形的又知三角形的一邊一邊AC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出邊根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出邊AC的的對(duì)角對(duì)角,根據(jù)正弦定理根據(jù)正弦定理,可以計(jì)算出邊可以計(jì)算出邊AB.解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A、B兩

3、點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為75.1米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7575.1( )sin(1806075 )sin45ABACACBABCACACBACBABABCABCm75.1例例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間的距

4、離。ABCABCD解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得測(cè)得CD=a,并且在并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180 ()sinsinsin()sin 180 ()aaACaaBC 計(jì)算出計(jì)算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離222cosABACBCAC BC.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA 兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離，求求，

5、千千米米，定定的的距距離離，在在河河的的這這邊邊測(cè)測(cè)兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間、如如圖圖，為為了了測(cè)測(cè)量量河河對(duì)對(duì)岸岸課課堂堂練練習(xí)習(xí)： ABCD30453060分析：分析：1. 在在ABD中求中求AB2. 在在ABC中求中求AB46AB 練習(xí)練習(xí)選定兩個(gè)可到達(dá)點(diǎn)選定兩個(gè)可到達(dá)點(diǎn)C C、D D； 測(cè)量測(cè)量C C、D D間的距離及間的距離及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大??；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離方案：測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離方案：形成規(guī)律形成規(guī)律在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確

6、在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做定的線段叫做基線基線, ,如例如例1 1中的中的ACAC，例例2 2中的中的CD.CD.基線的選取不唯一，基線的選取不唯一，一般基線一般基線越長(zhǎng)越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度，測(cè)量的精確度越越高高. .形成結(jié)論形成結(jié)論解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知， 畫(huà)出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際 意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 實(shí)

7、際問(wèn)題中的常用角實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角角(如圖如圖)題型二測(cè)量高度問(wèn)題題型二測(cè)量高度問(wèn)題2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東南偏東30，北偏西，北偏西45，西偏北，西偏北60等；等；(3)方位角方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如平角，如B點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為(如

8、圖如圖)例例3、 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)并測(cè)出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出C

9、A的長(zhǎng)的長(zhǎng)。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測(cè)角儀測(cè)角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3、AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法例例4、在山頂鐵塔上、在山頂鐵塔上B處測(cè)得處測(cè)得地面上一點(diǎn)地面上一點(diǎn)

10、A的俯角的俯角75，在塔底在塔底C處測(cè)得處測(cè)得A處的俯角處的俯角45。已知鐵塔。已知鐵塔BC部分的部分的高為高為30m，求出山高，求出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出法計(jì)算出AB或或AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，)90sin()sin(ABBC0,cossinsinsin()30cos45 sin75sin(7545 )=15+15 3(k )Rt ABDBCBDABBADm解得)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，15 15 33015 3

11、15(km)CDBDBC例例5 一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北在西偏北30的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到達(dá)后到達(dá)B處，測(cè)得此處，測(cè)得此山頂在西偏北山頂在西偏北75的方向上，仰角的方向上，仰角30，求此，求此山的高度山的高度CD.分析：要測(cè)出高分析：要測(cè)出高CD,只只要測(cè)出高所在的直角要測(cè)出高所在的直角三角形的另一條直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算已知條件，可以計(jì)算出出BC的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。例例5 一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到

12、一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北在西偏北30的方向的方向上，行駛上，行駛5km后到達(dá)后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角的方向上，仰角30，求此山的高度，求此山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=30, C=75-30=45.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsinsin5sin303.535().sinsin45ABABCkmCCD=BCtanDBCBCtan302041(m)答：山的高度約為答：山的高度約為2041米。米。/).AnmileCnmile hnmile

13、hmin 例例6 6、某某漁漁輪輪在在航航行行中中不不幸幸遇遇險(xiǎn)險(xiǎn), ,發(fā)發(fā)出出呼呼救救信信號(hào)號(hào), ,我我海海軍軍艦艦艇艇在在 處處獲獲悉悉, ,測(cè)測(cè)出出該該漁漁船船在在方方位位角角為為4 45 5 , ,距距離離為為1 10 0的的 處處, ,并并測(cè)測(cè)得得漁漁船船正正沿沿方方位位角角1 10 05 5 的的方方向向, ,以以9 9的的速速度度向向小小島島靠靠攏攏, ,我我海海軍軍艦艦艇艇立立即即以以2 21 1的的速速度度前前去去營(yíng)營(yíng)救救, ,求求艦艦艇艇的的航航向向和和靠靠近近漁漁船船所所用用的的時(shí)時(shí)間間( (精精確確到到0 0. .1 1 , ,時(shí)時(shí)間間精精確確到到1 1ABC105 45 北北北北:()21,9,45(180105 )120 .x hBABx BCxACB 解解設(shè)設(shè) 艦艦 艇艇 收收 到到 信信 號(hào)號(hào) 后后在在處處 靠靠 垅垅 漁漁 船船 , ,則則22222222cos(21 )10(9 )2 10 9cos120 .369100,2( )40(min)().3ABACBCAC