數(shù)學(xué)活動(dòng)的特質(zhì)與有效教學(xué)策略

1、數(shù)學(xué)活動(dòng)的特質(zhì)與有效教學(xué)策略來(lái)自課程·教材·教法2009.8 作者：泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校 鄧友祥摘要：數(shù)學(xué)活動(dòng)具有內(nèi)隱性、數(shù)學(xué)化、層次性、平衡性等特質(zhì)。有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)要求要重視數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”、基于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、加大數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性成分、引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”和“做數(shù)學(xué)”。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)；特質(zhì)；有效教學(xué)；數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué) 中圖分類(lèi)號(hào)：G6336 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000-0186(2009)08-0038-05 隨著數(shù)學(xué)新課程的深入實(shí)施，廣大的數(shù)學(xué)教師在課程理念方面已有一定的認(rèn)識(shí)，比較重視改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，重視數(shù)學(xué)交流、合作學(xué)習(xí)等數(shù)學(xué)活動(dòng)

2、的教學(xué)，并積累了較豐富的數(shù)學(xué)新課程實(shí)施經(jīng)驗(yàn)。但是，當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)在很大程度上仍然停留在“為活動(dòng)而活動(dòng)”的表層上，數(shù)學(xué)活動(dòng)展開(kāi)不夠充分，數(shù)學(xué)的本質(zhì)凸顯不夠，數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學(xué)性，學(xué)生內(nèi)在的情感和思維沒(méi)有被真正激活，這極大地影響了主體的主動(dòng)建構(gòu)。上述教學(xué)現(xiàn)狀導(dǎo)致不少學(xué)生獨(dú)立思考的意識(shí)不強(qiáng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏深層次的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和水平普遍不高，到了中學(xué)階段(高中階段尤為明顯)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯得“后勁”(數(shù)學(xué)思維)不足。究其原因，不少教師對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)特質(zhì)的理解和把握不夠，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式及其作用的理性認(rèn)識(shí)，不能準(zhǔn)確地了解學(xué)生的真實(shí)思維活動(dòng)，較多的只是憑自己的經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)，甚至是主觀臆斷選擇教學(xué)方法

3、，不知道數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在何處活動(dòng)、何時(shí)活動(dòng)、怎樣活動(dòng)、活動(dòng)應(yīng)該達(dá)到什么目的，因而在實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)無(wú)所適從，不能科學(xué)地把握教學(xué)的進(jìn)程與節(jié)奏。由此看來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)特質(zhì)進(jìn)行科學(xué)分析，探究和把握學(xué)生的真實(shí)思維活動(dòng)，進(jìn)而采取有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)策略，對(duì)提高數(shù)學(xué)活動(dòng)水平和數(shù)學(xué)教學(xué)效率有十分重要的意義。以下，擬對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)及其特質(zhì)做一界定，并探討有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)策略。一、數(shù)學(xué)活動(dòng)的特質(zhì) 關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)，至今還沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)確的定義，這里只局限于對(duì)數(shù)學(xué)中積極性的狹義理解，把數(shù)學(xué)教學(xué)的積極性作為可發(fā)展的具有一定結(jié)構(gòu)的思維活動(dòng)來(lái)理解，顯然，這種狹義的積極性是帶有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的。1(104)至此，我們可以給數(shù)學(xué)活動(dòng)下一個(gè)描述

4、性定義。所謂數(shù)學(xué)活動(dòng)，是指師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展，具有一定結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)特點(diǎn)的思維活動(dòng)。 “數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)?！?1(10)。分析數(shù)學(xué)活動(dòng)的特質(zhì)，有助于把握數(shù)學(xué)活動(dòng)規(guī)律和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，采取有針對(duì)性的有效教學(xué)策略，以提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。這里所說(shuō)的特質(zhì)是指數(shù)學(xué)活動(dòng)本身所特有的性質(zhì)，通常主要表現(xiàn)為以下幾種。 (一)內(nèi)隱性數(shù)學(xué)活動(dòng)具有較強(qiáng)的內(nèi)隱性，這是由于，表面上看數(shù)學(xué)活動(dòng)較多的是外在的活動(dòng)(解題等操作活動(dòng))，事實(shí)上數(shù)學(xué)活動(dòng)更多的卻是內(nèi)在的活動(dòng)(數(shù)學(xué)思維活動(dòng))，外在的活動(dòng)必須為內(nèi)在的活動(dòng)做準(zhǔn)備。這一特質(zhì)要求，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該使學(xué)生勇于發(fā)表自己的意見(jiàn)，善于聽(tīng)取別人的意見(jiàn)，

5、樂(lè)于修正自己的意見(jiàn)，從而揭示學(xué)生自身內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。(二)數(shù)學(xué)化所謂“數(shù)學(xué)化”，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是用數(shù)學(xué)方法將實(shí)際材料組織起來(lái)。在數(shù)學(xué)中，組織本身就是一項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)如果不涉及數(shù)學(xué)教材深度(數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的組織程度)以及一定的時(shí)間長(zhǎng)度，那是沒(méi)有意義的。而決定數(shù)學(xué)活動(dòng)深度的不是別的，正是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)歷聯(lián)系的密切程度，這些聯(lián)系又保證了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)記憶的持久性。因此，數(shù)學(xué)教師理應(yīng)肩負(fù)“數(shù)學(xué)化”的重任，重視數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系，尤其重視數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系。正如弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)的：“數(shù)學(xué)教學(xué)不要教孤立的片斷，應(yīng)該教連貫的材料，這個(gè)觀念從原則上看是正確的，因?yàn)橛新?lián)系的事物學(xué)得快，記得牢。” 2(45-46)

6、(三)層次性 數(shù)學(xué)活動(dòng)是一個(gè)組織經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域的活動(dòng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，思維進(jìn)入較高層次時(shí)，較低層次的組織方法將變成較高層次的研究題材，較低層次的活動(dòng)就成為分析的對(duì)象，要了解學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)思維水平，就必須對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的層次進(jìn)行足夠深度的分析。根據(jù)AA斯托利亞爾的觀點(diǎn)，可以將數(shù)學(xué)活動(dòng)(數(shù)學(xué)思維活動(dòng))水平分為三個(gè)層次：第一層次稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化(數(shù)學(xué)描述)，主要借助于觀察、試驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、概括等方法積累事實(shí)材料；第二層次稱(chēng)為數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹地建立理論；第三層次稱(chēng)為數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。1(108上述三個(gè)層次，在實(shí)際操作時(shí)往往需

7、要做進(jìn)一步的細(xì)化。 以幾何教學(xué)為例，按照赫爾(P.HVanHiele)的觀點(diǎn)，結(jié)合我國(guó)學(xué)生實(shí)際，可以將數(shù)學(xué)活動(dòng)(數(shù)學(xué)思維活動(dòng))分為五種水平1(110-111)：第一層次(最低)水平的特點(diǎn)是把 幾何圖形作為整體來(lái)觀察，只會(huì)按它的形狀(尚未加以分析)來(lái)區(qū)分，不能判斷圖形的屬種(如長(zhǎng)方形也是平行四邊形)等邏輯關(guān)系；第二層次水平，會(huì)對(duì)認(rèn)識(shí)的形狀加以分析，分析的結(jié)果是認(rèn)識(shí)到這些形狀的性質(zhì)，在這個(gè)水平上能按圖形的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，但還沒(méi)有在邏輯上認(rèn)識(shí)圖形，只是用試驗(yàn)的方法認(rèn)識(shí)它們，這種思維水平也不能得到幾何學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)；第三層次水平，完成了對(duì)圖形性質(zhì)及圖形自身的邏輯整理，把一個(gè)或幾個(gè)性質(zhì)取作定義圖形的性質(zhì)，其

8、余的性質(zhì)可用邏輯方法得到，但在此層次上整個(gè)演繹法的特殊意義還沒(méi)有為學(xué)生理解；第四層次水平，學(xué)生在整體上理解了演繹法的意義，即由局部的理解轉(zhuǎn)到對(duì)演繹法以及為建立和發(fā)展整個(gè)幾何理論方法上的理解，在這一水平上實(shí)現(xiàn)了理論的有內(nèi)容的公理化；第五層次水平，舍棄對(duì)象的具體性質(zhì)和其間關(guān)系的具體含義，即超出對(duì)理論的任何具體解釋而發(fā)展理論，此時(shí)幾何理論建立成一種抽象的公理體系。實(shí)踐調(diào)查研究表明，上述第一層次水平，小學(xué)一、二年級(jí)學(xué)生能達(dá)到；第二層次水平，小學(xué)三至六年級(jí)學(xué)生能達(dá)到；第三層次水平，初中學(xué)生能達(dá)到；第四層次水平，高中學(xué)生可達(dá)到；第五層次水平，在中學(xué)任何階段不可能實(shí)現(xiàn)。 (四)平衡性人的心理現(xiàn)象包括心理過(guò)程

9、和個(gè)性心理兩方面。心理過(guò)程，主要是指感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、想象等心理活動(dòng)，一般稱(chēng)之為認(rèn)知系統(tǒng)；而個(gè)性心理，主要是指傾向、動(dòng)機(jī)、興趣、信念等，這些是人們活動(dòng)的基本動(dòng)力，一般稱(chēng)之為動(dòng)力系統(tǒng)。所謂數(shù)學(xué)活動(dòng)的平衡性就是師生雙方認(rèn)知系統(tǒng)與動(dòng)力系統(tǒng)的有機(jī)結(jié)合，是這兩個(gè)系統(tǒng)整體作用的結(jié)果，主要表現(xiàn)為師生之間在數(shù)學(xué)認(rèn)知(數(shù)學(xué)思維)上達(dá)成平衡。這里認(rèn)知上的平衡，是指通過(guò)一定的師生雙邊活動(dòng)(數(shù)學(xué)活動(dòng))，使得學(xué)生已有的知識(shí)和能力足以解決所面臨的問(wèn)題(學(xué)習(xí)目標(biāo))，從而在觀念(目標(biāo)認(rèn)識(shí))方面與教師保持在相同的認(rèn)知層面上。否則，當(dāng)學(xué)生已有的知識(shí)與能力不足以解決所面臨的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)目標(biāo)認(rèn)識(shí)上的偏差，這就是師生之間認(rèn)知

10、上的不平衡。數(shù)學(xué)活動(dòng)中師生之間在認(rèn)知上達(dá)成平衡往往是相對(duì)的、暫時(shí)的，是教學(xué)過(guò)程中矛盾的一種狀態(tài)。數(shù)學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)活動(dòng))是師生之間在認(rèn)知上從不平衡到平衡，再?gòu)钠胶獾讲黄胶?，進(jìn)而達(dá)到更高層次平衡的多次循環(huán)往復(fù)的過(guò)程。二、數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效教學(xué)策略 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的高低?；顒?dòng)教學(xué)的心理學(xué)基礎(chǔ)是皮亞杰和列昂節(jié)夫等人關(guān)于活動(dòng)在人的認(rèn)識(shí)、思維、個(gè)性等形成發(fā)展中的作用的研究，這為活動(dòng)教學(xué)提供了充分的心理學(xué)依據(jù)。全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)(即將出版)指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)

11、踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動(dòng)過(guò)程。”由上看來(lái)，數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)要想有效促進(jìn)學(xué)生的主體性發(fā)展，就應(yīng)該精心設(shè)計(jì)有利于主體發(fā)展的各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，采用自主探索與合作交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體，使各種不同的活動(dòng)形式和決定著它們的諸多條件相互促進(jìn)，從而使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)和其他輔助活動(dòng)實(shí)現(xiàn)自身認(rèn)識(shí)、思維、個(gè)性等的形成和發(fā)展。實(shí)踐表明，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效教學(xué)可有如下幾點(diǎn)策略。 (一)給學(xué)生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)

12、弗賴(lài)登塔爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造，這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上就是這樣的再創(chuàng)造過(guò)程，我們?cè)诖瞬⒎鞘且獧C(jī)械地去重復(fù)歷史中的原始創(chuàng)造，而應(yīng)根據(jù)自己的體驗(yàn)并用自己的思維方式重新去創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)?！?2(111)這是由于數(shù)學(xué)教材經(jīng)過(guò)了教學(xué)法的加工，通常是用演繹的方法把概念、公式、法則等內(nèi)容互相聯(lián)合起來(lái)的一個(gè)統(tǒng)一體，這種形式在一定程度上顛倒了數(shù)學(xué)的實(shí)際發(fā)現(xiàn)過(guò)程。這就使得學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和抽象概括、邏輯推理等能力的表現(xiàn)處于暫時(shí)滯后狀態(tài)。對(duì)此，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合適的“再創(chuàng)造”情境，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)(數(shù)學(xué)思維)的學(xué)習(xí)，了解數(shù)學(xué)結(jié)論背后的豐富事實(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)

13、生發(fā)展有充分的認(rèn)識(shí)。給學(xué)生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)，必須基于尊重學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，也就是要承認(rèn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的限度，要接受學(xué)生看待問(wèn)題的方式方法。這是因?yàn)?，學(xué)生在其現(xiàn)有數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平上理解事物，是從他自己看問(wèn)題的角度來(lái)看待事物的，教師只有尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，才能使學(xué)生有真正的發(fā)展，才能使教學(xué)有真正的效果。尊重學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，就是要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平層次，給學(xué)生留有充足的思考時(shí)間和空間，給學(xué)生更多的交流討論、思考的機(jī)會(huì)。下面是一個(gè)尊重學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，給學(xué)生“再創(chuàng)造”機(jī)會(huì)的典型例子。一次，某數(shù)學(xué)教師讓學(xué)生解決如下問(wèn)題：是否存在這樣的兩個(gè)無(wú)理數(shù)x,y,使得xy

14、是有理數(shù)?一般情況下，教師引導(dǎo)學(xué)生得出如下方法即終止教學(xué)：令x、y，若是有理數(shù)，則問(wèn)題得證；若是無(wú)理數(shù)，令x、Y，則( ) =()22是有理數(shù)；因此，一定存在兩個(gè)無(wú)理數(shù)x，y，使得是有理數(shù)。3這位經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，并未滿(mǎn)足于上述教學(xué)結(jié)果，而是給學(xué)生進(jìn)行充分交流、討論的機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極數(shù)學(xué)思維。結(jié)果有一位學(xué)生得到如下結(jié)果：x，ylog 3(2log23)是兩個(gè)無(wú)理數(shù)，而xyLog 33是有理數(shù)。這樣的結(jié)果不僅給出證明，而且明確指出了是哪兩個(gè)無(wú)理數(shù)具有此性質(zhì)。上述數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，既圓滿(mǎn)解決了問(wèn)題，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維。 (二)基于學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)迪恩斯認(rèn)為，在數(shù)

15、學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該依靠自己的經(jīng)驗(yàn)，而不是依靠教師的經(jīng)驗(yàn)。建構(gòu)主義也認(rèn)為，知識(shí)并不能簡(jiǎn)單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由每個(gè)學(xué)生依據(jù)自身已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)。學(xué)生對(duì)于教師所講的必須有一個(gè)“理解”或“消化”的過(guò)程，所謂“理解”，就是指“被納入到適當(dāng)?shù)膱D式之中”，從而，這在很大程度上就是一個(gè)意義賦予的過(guò)程，即學(xué)習(xí)者必須依據(jù)自身已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)(認(rèn)知結(jié)構(gòu))對(duì) 教師所說(shuō)的作出“解釋”，也即必須在新的學(xué)習(xí)材料與主體已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立起實(shí)質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系，從而使其獲得確定的意義，這就是一種“創(chuàng)造性的理解”。4研究表明，當(dāng)數(shù)學(xué)活動(dòng)和學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活密切結(jié)合時(shí)，數(shù)學(xué)才是活的，富有生命力的，才能激發(fā)

16、學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，激發(fā)學(xué)生思考與創(chuàng)造的源泉，促進(jìn)學(xué)生在以后遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)自覺(jué)地運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)去思考并解決問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)應(yīng)該基于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的組織，營(yíng)造真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)性數(shù)學(xué)作業(yè)(數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn))。例如，教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)，我們讓學(xué)生先從實(shí)際生活中收集相關(guān)數(shù)據(jù)，再進(jìn)行數(shù)據(jù)整理、統(tǒng)計(jì)與分析，并從中尋求數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律。下表是實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)中某位學(xué)生自我進(jìn)行脈搏測(cè)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(樣本數(shù)據(jù)代表)，統(tǒng)計(jì)目的是要求學(xué)生探究測(cè)量一個(gè)人的脈搏用多少秒比較適宜”這一問(wèn)題。時(shí)間（秒）3025201512106543次數(shù)37302417131287

17、64次數(shù)（1分鐘）74727268657280849080 學(xué)生在各自測(cè)量統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)思考、交流，得出測(cè)量一個(gè)人的脈搏用2030秒比較適宜，這一結(jié)果與醫(yī)療臨床經(jīng)驗(yàn)基本相符。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)充分體現(xiàn)了全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)中“內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿(mǎn)足多樣化的學(xué)習(xí)需求”這一理念要求。 (三)加大數(shù)學(xué)活動(dòng)探索性成分的教學(xué) 數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)，所選擇的問(wèn)題及安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)不但要適合于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，也要考慮到促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向下一個(gè)數(shù)學(xué)思維階段發(fā)展，即，要考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學(xué)思維發(fā)展的潛力。5從這樣的角度去分析，數(shù)學(xué)教

18、學(xué)應(yīng)該不斷深入了解學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)，善于引起學(xué)生觀念上的不平衡，采取有效的教學(xué)對(duì)策，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平不斷上層次。也即應(yīng)當(dāng)善于設(shè)定這樣的環(huán)境，在其中，學(xué)生已有的知識(shí)和能力不足以解決所面臨的問(wèn)題(達(dá)到目標(biāo))，從而產(chǎn)生觀念上的不平衡，能夠較為清楚地看到自身已有知識(shí)的局限性，并努力通過(guò)新的學(xué)習(xí)活動(dòng)達(dá)到新的、更高水平上的平衡。顯然，從這樣的角度去分析，除了提供正面的范例，還必須通過(guò)適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑或反例設(shè)計(jì)去引發(fā)學(xué)生的“觀念沖突”，并幫助學(xué)生將正確觀念和錯(cuò)誤觀念進(jìn)行比較，促其作出自覺(jué)的選擇。要引起學(xué)生觀念上的不平衡，一個(gè)有效的策略，就是加大數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性成分。當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)通常只是讓學(xué)生“體驗(yàn)”

19、一下科學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，從事一下“類(lèi)似”科學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識(shí)的活動(dòng)，雖然這已經(jīng)很不錯(cuò)了，但還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。這是因?yàn)?，知識(shí) 學(xué)習(xí)難度與學(xué)習(xí)活動(dòng)強(qiáng)度密切相關(guān)，只有在高強(qiáng)度的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，才能培養(yǎng)起高質(zhì)量的認(rèn)知品質(zhì)，缺乏難度的學(xué)習(xí)會(huì)使學(xué)生注意力分散、不動(dòng)腦。長(zhǎng)久下去，將會(huì)使學(xué)生意志力差、興趣差，乏數(shù)感。由此看來(lái)，教師應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)中的“理智的引路人”，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)做進(jìn)一步整理和改組，適當(dāng)加大數(shù)學(xué)知識(shí)難度和滲透科學(xué)認(rèn)識(shí)的教學(xué)，重視學(xué)生對(duì)科學(xué)方法、科學(xué)價(jià)值的掌握和理解的導(dǎo)引教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)整理知識(shí)和重組知識(shí)能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能從知識(shí)材料間的問(wèn)題和矛盾中不斷探索發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的深化和

20、發(fā)展。6 (四)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維” 弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為：“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。7這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)“高層次數(shù)學(xué)思維”研究(這是相對(duì)于“初等數(shù)學(xué)思維”而言的)，努力幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究深入到真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，通過(guò)“數(shù)學(xué)化”來(lái)教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，給學(xué)生盡可能多的將已有學(xué)習(xí)題材形成為數(shù)學(xué)內(nèi)容的“數(shù)學(xué)化”機(jī)會(huì)。比如，教學(xué)“平行四邊形的概念與性質(zhì)”時(shí)，根據(jù)初中學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平基本處于第三層次的特點(diǎn)，應(yīng)該先給學(xué)生一組不同類(lèi)型、不同大小的平行四邊形，讓其觀察、思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩組對(duì)邊分別平行”“兩組對(duì)邊分別相等”“兩組對(duì)角分別相等”“兩組鄰角分別互補(bǔ)

21、”“對(duì)角線(xiàn)互相平行”等許多重要性質(zhì)，并通過(guò)操作、交流、討論等，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)之間的邏輯聯(lián)系，在此基礎(chǔ)進(jìn)行邏輯組織，最終發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)“基本性質(zhì)”可以推出其他所有性質(zhì)(這里，不同的學(xué)生會(huì)選擇不同的“基本性質(zhì)”)。顯然，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，不僅抓住了平行四邊形概念內(nèi)涵的本質(zhì)，而且還能使學(xué)生學(xué)會(huì)定義這種數(shù)學(xué)活動(dòng)。要引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，還必須重視對(duì)學(xué)生(尤其是初中生)的“體驗(yàn)性教育”，回歸尊重學(xué)生本性的追求，側(cè)重使學(xué)生形成獨(dú)立的問(wèn)題意識(shí)和思考能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，促進(jìn)學(xué)生理解能力和個(gè)性的健全發(fā)展。8讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“體驗(yàn)性教育”的問(wèn)題，就是要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維“積極化”發(fā)展，這是當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)

22、應(yīng)該重視的問(wèn)題。那種只保證廣義的積極性而不考慮數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，我們稱(chēng)為“偽積極性數(shù)學(xué)教學(xué)”；保證考慮數(shù)學(xué)特點(diǎn)的狹義的積極性教學(xué)，即數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，稱(chēng)為積極性的數(shù)學(xué)教學(xué)。為了確定學(xué)生是否能實(shí)現(xiàn)某種積極性的數(shù)學(xué)活動(dòng)以及教師的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是什么，必須了解學(xué)生現(xiàn)有的真實(shí)思維水平以及必須要教給學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平，比較這兩個(gè)水平的目的就是要把學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平提高到我們要教的水平。教師必須明確什么時(shí)候提高或降低所要教的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平，以確保學(xué)生與教師的數(shù)學(xué)思維水平同步(平衡)，甚至超前，為學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”創(chuàng)造良好的可能條件。(五)提倡學(xué)生“做數(shù)學(xué)” 做數(shù)學(xué)(doingmathematics)是