導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 000 xxyf xxxfxy函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)，記作：或 表示“平均變化率”表示“平均變化率” xy 附近的變化情況。附近的變化情況。反映了函數(shù)在反映了函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，處的瞬時(shí)變化率，在在表示函數(shù)表示函數(shù)000 x0 xxxxxfxylimxf2 一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義其中：其中： 其其幾何幾何意義是意義是: 表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線割線） 的的斜率。斜率。其幾何意義是？其幾何意義是？2:切線切線Pl 能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的能否將圓

2、的切線的概念推廣為一般曲線的切線：切線： 直線直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫曲線過該點(diǎn)與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫曲線過該點(diǎn)的切線嗎？的切線嗎？如果如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。不能不能xyo直線與圓相切時(shí)，只有一個交點(diǎn)直線與圓相切時(shí)，只有一個交點(diǎn)P 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我們知道 導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率 反映了函數(shù)在附近的變化情況 那么 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .圖圖 1 2 3 4 ?,4, 3, 2, 1,21 .100

3、什什么么是是趨趨勢勢化化變變的的割割線線時(shí)時(shí)趨趨近近于于點(diǎn)點(diǎn)沿沿著著曲曲線線當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)圖圖如如察察觀觀nnnnPPxfxPxfnxfxP PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T1、曲線上一點(diǎn)的切線的定義、曲線上一點(diǎn)的切線的定義結(jié)論結(jié)論: :當(dāng)當(dāng)Q Q點(diǎn)無限逼近點(diǎn)無限逼近P P點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí), ,此時(shí)此時(shí)直線直線PQPQ就是就是P P點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線PT.PT.點(diǎn)點(diǎn)P處的割線與切線存在什么關(guān)系？處的割線與切線存在什么關(guān)系？新課新課xoyy=f(x) 設(shè)曲線設(shè)曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，在曲線在曲線C上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)P(x0,y0) 及鄰近一及鄰近一點(diǎn)點(diǎn)Q(x0+x,y0+y),過

4、過P,Q兩點(diǎn)作兩點(diǎn)作割割線線，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線沿著曲線無限接近無限接近于點(diǎn)于點(diǎn)P點(diǎn)點(diǎn)P處的處的切線切線。即即x0時(shí)時(shí), 如果割線如果割線PQ有一個有一個極極限位置限位置PT, 那么直線那么直線PT叫做曲線在叫做曲線在曲線在某一點(diǎn)處的切線曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義：的定義：xyPQT此處切線定義與以前的定義有何不同？此處切線定義與以前的定義有何不同？ 圓的切線定義并不適圓的切線定義并不適用于一般的曲線。用于一般的曲線。 通過通過逼近逼近的方法，將的方法，將割線趨于的確定位置的割線趨于的確定位置的直線直線定義為切線定義為切線（交點(diǎn)（交點(diǎn)可能不惟一）可能不惟一）適用于各適用于各種曲線。所以，這種定

5、種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。直觀本質(zhì)。 2l1lxyABC2CL1問 題 : 如 圖 直 線 L 是 曲 線 的 切 線 嗎 ？呢 ？l2l1AB0 xyxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？xxfxxfkPQ )()(xy 即：當(dāng)即：當(dāng)x0時(shí)，割線時(shí)，割線PQ的的斜率的斜率的極限極限就是就是曲線在曲線在點(diǎn)點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。這是微積分

6、的切線就可以用過點(diǎn)曲線附近，。因此，在點(diǎn)附近的曲線最貼緊點(diǎn)的切線過點(diǎn)，更貼緊曲線比，更貼緊曲線比，更貼緊曲線比附近，在點(diǎn)觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？.,.1416.3,.以以直直代代曲曲想想方方法法這這是是微微積積分分中中重重要要的的思思附附近近的的曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)這這替替近近似似代代切切線線我我們們用用曲曲線線上上某某點(diǎn)點(diǎn)處處的的這這里里近近似似代代替替無無理理數(shù)數(shù)用用有有理理數(shù)數(shù)如如例例刻刻畫畫復(fù)復(fù)雜雜的的對對象象數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上常常用用簡簡單單的的對對象象

7、 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即即x0時(shí)時(shí),割線割線PQ有一個有一個極限位置極限位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的斜率的斜率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切線線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限函數(shù)平均變化率的極限. 要注意要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線曲

8、線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限如有極限,則在此則在此點(diǎn)有切線點(diǎn)有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在,則在此點(diǎn)處無切線則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn)并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個可以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個. 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率，即處的切線的斜率，即曲線曲線y=f(x)在在點(diǎn)點(diǎn)P(x0

9、 ,f(x0) 處的切線的斜率是處的切線的斜率是 ： .)(0 xfk 故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy 題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本

10、步驟:求出該點(diǎn)的坐標(biāo)求出該點(diǎn)的坐標(biāo);利用該點(diǎn)切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)利用該點(diǎn)切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù);利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.題型一求曲線的切線方程題型一求曲線的切線方程導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用數(shù)的幾何意義的應(yīng)用練習(xí)：已知曲線yx2，求曲線過點(diǎn)P(3,5)的切線方程解點(diǎn)P(3,5)不在曲線yx2上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由(1)知，y| 2x0，切線方程為yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直線上得5y02x0(3x0)，解析答案反思與感悟聯(lián)立得，x01或x05.從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25).當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，0 x x .,.,.附近的

11、變化情況附近的變化情況在在述、比較曲線述、比較曲線請描請描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時(shí)間變化的函時(shí)間變化的函示跳水運(yùn)動中高度隨示跳水運(yùn)動中高度隨它表它表如圖如圖例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點(diǎn)點(diǎn)附附近近利利用用曲曲線線在在動動點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線 .,變化情況在上述三個時(shí)刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時(shí)當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處

12、的切線在曲線時(shí)當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖hto3t4t 附近的變化情況。、在較曲線根據(jù)圖像，請描述、比43ttth。數(shù)在兩點(diǎn)附近單調(diào)遞增點(diǎn)附近曲線上升，即函，所以在兩斜率均大于處的切線的、函數(shù)在0tt43附近上升的快速附近比在這說明曲線在處切線的傾斜程度，處切線的傾斜程度大于但是4343tttt導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖

13、象升降的關(guān)系：(1)若函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)存在且f(x0)0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是上升的； 若f(x0)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)f(xB)D.不能確定解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(xA)，f(xB)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f(xA)f(xB).B二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： )()(xfxyyxf需指明自變量時(shí)記作或記作：）的導(dǎo)函數(shù)（簡稱為導(dǎo)數(shù)我們稱它為,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即： 的的函函數(shù)數(shù)，便便是是一一個個變變化化時(shí)時(shí)，這這樣樣，當(dāng)當(dāng)是是一一個個確確定定的的值值

14、；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是一一個個確確定定的的值值；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是一一個個確確定定的的值值；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是一一個個確確定定的的值值；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是一一個個時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)降剑旱牡膶?dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的過過程程中中可可以以看看從從求求函函數(shù)數(shù)xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x32f2x157xxxf002 確定的值；00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí),便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù) 、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間之間的區(qū)別與聯(lián)系。的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點(diǎn)）函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) ，就是在該點(diǎn)的函數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)常