材料力學(xué)-正應(yīng)力計(jì)算

1、第十七章第十七章彎曲應(yīng)力及強(qiáng)度剛度計(jì)算彎曲應(yīng)力及強(qiáng)度剛度計(jì)算第一節(jié)第一節(jié) 梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力# 純彎曲與剪切彎曲純彎曲與剪切彎曲# 中性層和中性軸中性層和中性軸# 彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律# 彎曲正應(yīng)力的計(jì)算、抗彎截面模量彎曲正應(yīng)力的計(jì)算、抗彎截面模量各橫截面上同時(shí)有彎矩各橫截面上同時(shí)有彎矩M和剪力和剪力Q，稱為，稱為。各橫截面只有彎矩各橫截面只有彎矩M，而無(wú)剪力，而無(wú)剪力Q，稱為，稱為。 純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱為彎轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱為彎曲問(wèn)題的平面假設(shè)。曲

2、問(wèn)題的平面假設(shè)。中中性性層層中中性性軸軸# 中性層和中性軸中性層和中性軸xyz 中性層中性層 梁彎曲變形時(shí)，既不伸長(zhǎng)又不縮短梁彎曲變形時(shí)，既不伸長(zhǎng)又不縮短的縱向纖維層稱為中性層。的縱向纖維層稱為中性層。 對(duì)矩形截面梁來(lái)講，就是位于上下中間這一層。對(duì)矩形截面梁來(lái)講，就是位于上下中間這一層。 中性軸中性軸梁彎曲時(shí)，實(shí)際上各個(gè)截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。梁彎曲時(shí)，實(shí)際上各個(gè)截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長(zhǎng)、上部將縮短如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長(zhǎng)、上部將縮短彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律M 與中性軸距離相等的點(diǎn)，正應(yīng)力相等；與中性軸距離相等的點(diǎn)，正應(yīng)力相等；M

3、yEE 2、靜力學(xué)關(guān)系分析、靜力學(xué)關(guān)系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000 cczcAyAAySAyydA沒(méi)有軸向力沒(méi)有軸向力yEE 中性軸必然通過(guò)橫截面的形心中性軸必然通過(guò)橫截面的形心質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)靜矩，面積矩靜矩，面積矩MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗彎剛度抗彎剛度zIMyzIMy橫截面上橫截面上某點(diǎn)正應(yīng)力某點(diǎn)正應(yīng)力該點(diǎn)到中性軸該點(diǎn)到中性軸距離距離該截面彎矩該截面彎矩該截面慣性矩該截面慣性矩 mNqlMmax3000216000222 一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)l=1m，均布載荷集度，均布載

4、荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，）作彎矩圖， 求最大彎矩求最大彎矩 因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC （2）求最大應(yīng)力）求最大應(yīng)力MPa178Pa101780152. 0106 .2

5、53000681maxmax yIMzT 第二節(jié)第二節(jié) 慣性矩的計(jì)算慣性矩的計(jì)算1、簡(jiǎn)單截面的慣性矩、簡(jiǎn)單截面的慣性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 123hbIy矩形截面矩形截面100200200100zzyyP(a)(b)483310128200100121121: )(mmbhIaZ483310122100200121121: )(mmbhIbZzIMy圓形與圓環(huán)截面圓形與圓環(huán)截面3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222實(shí)心圓實(shí)心圓6424dIIIPyz空心圓空心圓44642dDIIIPy

6、z441642DIIIPyzDdzIIzAAzIIdAydAyI1222平行移軸公式平行移軸公式 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且 求求T字形截面的中性軸字形截面的中性軸 z，并求，并求截面對(duì)中性軸的慣性矩截面對(duì)中性軸的慣性矩.將截面劃分為將截面劃分為 、兩矩形，取與截面底邊相重合的兩矩形，取與截面底邊相重合的z 軸為參考軸，則兩矩形的面積及其形心至軸為參考軸，則兩矩形的面積及其形心至z 軸的距軸的距離分別為：離分別為：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIII

7、yAyA整個(gè)截面的形心整個(gè)截面的形心C 在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸 y上的位置則為：上的位置則為：cm31212112512IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性軸即中性軸 z 與軸與軸 z 的距離為的距離為3cm。（2）求各組合部分對(duì)中性軸）求各組合部分對(duì)中性軸z的慣性矩的慣性矩 設(shè)兩矩形的形心設(shè)兩矩形的形心C和和C；其形心軸為；其形心軸為z1和和z2，它們距，它們距z軸的距離分別為：軸的距離分別為：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移軸公式，兩矩形對(duì)中性軸由平行移軸公式，兩矩形對(duì)中性軸z的慣性矩為：的慣性矩為：4232242321cm521221226cm841221262

8、IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII將兩矩形對(duì)將兩矩形對(duì)z軸的慣性矩相加，得軸的慣性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII（3）求整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩）求整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩3、彎曲正應(yīng)力的計(jì)算、抗彎截面模量、彎曲正應(yīng)力的計(jì)算、抗彎截面模量 某截面上最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在截某截面上最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在截面的上下邊界上：面的上下邊界上：ZmaxWMWZ 稱為抗彎截面模量，稱為抗彎截面模量，Z 為中性軸為中性軸.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面Zd32dW3ZmaxZZyIW 例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵

9、梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy5288解解1、計(jì)算、計(jì)算C截面彎矩截面彎矩RARBKNRKNRBA5 .105 . 205 . 2KNmMCMCC截面Xy例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析、分析C截面

10、應(yīng)力分布情況截面應(yīng)力分布情況MPaIyMZClc8 .28107 .76388105 . 246max下MPaIyMZCyc17107 .76352105 . 246max上例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對(duì)中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、壓應(yīng)力。、求全梁的最大拉、壓應(yīng)力。 MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXyMPaIyMZByBy1 .46107 .76388

11、10446maxmax下MPalB2 .27107 .7635210446max4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzh/2h/2ZZylWMIhMmaxmaxmaxmax22242yhIFZQAFQ5 . 1max第四節(jié)第四節(jié) 梁的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算# 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力# 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件# 舉例舉例一、梁的最大正應(yīng)力一、梁的最大正應(yīng)力 梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面 即最大正應(yīng)力所在截面即最大正應(yīng)力所在截面對(duì)于對(duì)稱形截面：梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上對(duì)于對(duì)稱形截面：梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁中

12、部危險(xiǎn)截面位于梁根部危險(xiǎn)截面位于梁根部 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處軸最遠(yuǎn)處ZmaxmaxWM對(duì)于非對(duì)稱形截面：當(dāng)梁的彎矩有正負(fù)變化時(shí)，最大的拉應(yīng)力可能不等于最大的壓應(yīng)力，且可能對(duì)于非對(duì)稱形截面：當(dāng)梁的彎矩有正負(fù)變化時(shí)，最大的拉應(yīng)力可能不等于最大的壓應(yīng)力，且可能不在同一截面上。不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ5288危險(xiǎn)截面：在最大的正彎矩截面和最大危險(xiǎn)截面：在最大的正彎矩截面和最大的負(fù)彎矩截面。的負(fù)彎矩截面。二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件二、

13、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 ZmaxmaxWMMmax梁內(nèi)最大彎矩梁內(nèi)最大彎矩WZ危險(xiǎn)截面抗彎截面模量危險(xiǎn)截面抗彎截面模量材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力利用強(qiáng)度條件可以校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定許可載荷利用強(qiáng)度條件可以校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定許可載荷例例 圖示圓截面輥軸，中段圖示圓截面輥軸，中段BC受均部載荷作用，試確定輥軸受均部載荷作用，試確定輥軸BC段截面的直徑。已知段截面的直徑。已知q = 1KN/mm，許用，許用應(yīng)力應(yīng)力 = 140MPa。q3003001400ABCD危險(xiǎn)截面在軸的中部危險(xiǎn)截面在軸的中部利用截面法求該截面彎矩利用截面法求該截面彎矩qRAyM3007003000M 0700

14、300R2700700qMAy由對(duì)稱性可求得：由對(duì)稱性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW 1401000100045532d3mm320d 例：一圓形截面木梁，受力如圖所示=10MPa,試選擇截面直徑d.3KNq=3kN/m1m3m解：解：1、確定危險(xiǎn)截面、確定危險(xiǎn)截面ABFAFBFQMKNFKNFBA5 . 35 . 8-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面：A截面截面 Mmax=3kNm例：一圓形截面木梁，受力如圖所示=10MPa,試選擇截面直徑d.3KN

15、q=3kN/m1m3mABFAFB危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面：A截面截面 Mmax=3kNm2、據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面直徑。、據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面直徑。 ZmaxmaxWM323dWZ 366max31005. 3101033232mmMdmmd145例：圖示支撐陽(yáng)臺(tái)的懸臂梁為一根例：圖示支撐陽(yáng)臺(tái)的懸臂梁為一根16號(hào)工字鋼，其上受均布載荷號(hào)工字鋼，其上受均布載荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁長(zhǎng)，梁長(zhǎng)L=2.5m,工字鋼的許用應(yīng)力工字鋼的許用應(yīng)力=100MPa,試求試求q的許可值。的許可值。PqLABZ解：解：1、確定危險(xiǎn)截面、確定危險(xiǎn)截面PP+qLPL+qL2/2危險(xiǎn)截面：固定

16、端危險(xiǎn)截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)例：圖示支撐陽(yáng)臺(tái)的懸臂梁為一根例：圖示支撐陽(yáng)臺(tái)的懸臂梁為一根16號(hào)工字鋼，其上受均布載荷號(hào)工字鋼，其上受均布載荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁長(zhǎng)，梁長(zhǎng)L=2.5m,工字鋼的許用應(yīng)力工字鋼的許用應(yīng)力=100MPa,試求試求q的許可值。的許可值。PqLABZ危險(xiǎn)截面：固定端危險(xiǎn)截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)2、據(jù)強(qiáng)度條件確定、據(jù)強(qiáng)度條件確定q ZmaxmaxWM3141cmWZ100101411025 . 25 . 22362qmkNq/3例例 圖示懸臂梁承受均布載荷圖示懸臂梁承受均布載荷q，假設(shè)梁

17、截面為，假設(shè)梁截面為b h的矩形，的矩形， h = 2b，討論梁立置與倒置兩種情況哪一討論梁立置與倒置兩種情況哪一種更好？種更好？bhhbq根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件 ZWM同樣載荷條件下，工作應(yīng)力越小越好同樣載荷條件下，工作應(yīng)力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置時(shí)：梁立置時(shí)：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置時(shí)：梁倒置時(shí)：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒置強(qiáng)度倒置強(qiáng)度大一倍。大一倍。注意：注意：Z Z 軸為中性軸軸為中性軸三、梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核三、梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核 通常滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度，剪應(yīng)力強(qiáng)度也能滿足。但在梁的跨度較小或支座附近有

18、較大的載荷時(shí)，通常滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度，剪應(yīng)力強(qiáng)度也能滿足。但在梁的跨度較小或支座附近有較大的載荷時(shí)，因梁的彎矩較小而剪應(yīng)力相對(duì)較大，需要對(duì)梁進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。因梁的彎矩較小而剪應(yīng)力相對(duì)較大，需要對(duì)梁進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 強(qiáng)度條件為：強(qiáng)度條件為： max 例：圖示簡(jiǎn)支梁，材料的許用應(yīng)力例：圖示簡(jiǎn)支梁，材料的許用應(yīng)力=140MPa， =80MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。，試選擇工字鋼的型號(hào)。60kN2mAB0.2mc解：解：1、確定危險(xiǎn)截面、確定危險(xiǎn)截面kNFkNFBA6,54FAFB54KN-6KNFQM10.8KNmkNFkNmMQ548 .10max 例：圖示簡(jiǎn)支梁，材料的許用應(yīng)力例：圖示簡(jiǎn)支梁，材料的許用應(yīng)力=140MPa， =80MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。，試選擇工字鋼的型號(hào)。60kN2mAB0.2mcFAFBkNF