發(fā)現(xiàn)初等數學新定理的九種方法

1、發(fā)現(xiàn)初等數學新定理的九種方法松原市實驗高級中學 王恩權近年來我國初等數學研究呈現(xiàn)出一派大好勢頭，新成果層出不窮，新開拓研究領域不斷擴大。有些成果已經與中學數學有機結合起來，如數陣問題已經出現(xiàn)在高考題或數學競賽題中。因此有必要就初等數學的研究問題做些探討。一個定理的形成和發(fā)展是有一定的過程的，一個應用范圍較廣的定理，往往是從應用范圍較小的結論逐步推廣而成的，而這個應用范圍較小的結論往往又源于一兩個特例，因此一個數學定理有可能從不同角度和不同側面進行推廣。根據多年的體會，筆者把發(fā)現(xiàn)初等數學新定理的方法加以分類，并試圖找到一般規(guī)律。由于切身經歷，更有利于從實質上對方法進行歸納，因此文中的范例，盡量取

2、材于筆者近年來發(fā)表的初等數學研究新成果。如果我們在教學中，不僅教給學生定理的內容和證明，還教給學生定理的發(fā)現(xiàn)過程和發(fā)現(xiàn)方法，不僅有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，同時還培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維。長此以往對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，為未來培養(yǎng)對社會有用的合格人才，無疑是大有益處的。這也符合新教材理念的要注重“知識與技能，過程與方法，態(tài)度與情感”的要求。 一 形象方法的推廣由一種形象所具有的規(guī)律，推廣到其它形象所具有的規(guī)律，如從平面到空間，從三角形到多邊形，從線段，三角形，四面體到n維歐氏空間單純形等。如：費哈不等式：設的三邊長為，面積為，則： （1）本文中不等式取等號的條件全部略去。把（1）式中邊長與面積和

3、四面體中的棱長與側面積，棱長與體積或側面積與體積做類比，可得到費哈不等式在空間個四面體中推廣的幾個定理：定理1.11 設個四面體的頂點所對的面積為，三邊長為（和有 定理1.2 1 設個四面體的三對棱長為），它們對應的對棱間距離的倍分別為，體積為則定理1.31 設四面體的體積為，頂點所對面的面積為，規(guī)定，則二 演繹歸納方法的推廣有時運用已有的定理、公式反復演繹推導，得到一系列新定理、公式，再對這些定理、公式進行歸納，可能發(fā)現(xiàn)定理的推廣。如：不等式：設則有： （2）文2對（2）式給出一種改進形式：設則有 （2.1）由于（2.1）限定 為正數，與（2）式條件不符，因此不是（2）式的推廣。仔細研究后發(fā)

4、現(xiàn)這種限制是不必要的。筆者在文3證明了：設則有 （2.2）這是（2）式的一種推廣形式，并且將（2.2）式中的換成對于，有 （2.3）合并（2.2）、（2.3）兩式，得到（2）式的一種推廣形式。定理2.13 設且不小于2，對和，有 （2.4）將（2.4）中條件改為，其它條件不變，有 （2.5）合并（2.2）、（2.5）兩式有：定理2.23 設且不小于2，和有 （2.6）這也是（2）式的一種推廣形式，（2.6）式中用代替，用黎曼和代替（2.6）中的，則有不等式的積分形式的推廣，即積分不等式的推廣：定理2.34 設且不小于2，對區(qū)間上的任意可積函數和有三 由一個問題上升為一類問題進行推廣為統(tǒng)一局部情

5、況下的定理，常常通過歸納提出具有統(tǒng)一形式的設想，如果這些設想成立，則對定理進行了推廣。如把無理數表成連分數問題，文5有2個公式：當，則；。為統(tǒng)一以上兩個結果，本人用代替以上兩根號中的1，2（，并證明了此猜想可行，有：定理3.16 設，則為無理數，且可表成連分數。此為以上兩公式的推廣和統(tǒng)一。四減弱定理的條件推廣定理若去掉定理的條件，并不影響結論成立，可將定理推廣。如關于雙曲線上四點共圓問題文7有定理：等軸雙曲線上四點共圓的充要條件是：筆者去掉等軸的條件，證得：定理4.18 雙曲線上四點共圓的充要條件是：把雙曲線改為拋物線中也有類似結論：定理4.29 如果是拋物線上四點，則這四點共圓的充要條件是：

6、。至于橢圓中也有類似結論略。五定理的逆向研究導致新定理的發(fā)現(xiàn)定理的逆向研究，如逆命題、充要性研究等也可能發(fā)現(xiàn)新定理，如二次無理數表示成的連分數都是循環(huán)連分數。但能否求出循環(huán)連分數對應的無理數？此無理數是否為二次無理數？經猜想證明后，較圓滿地解決了此問題：定理5.110 循環(huán)連分數所表示的無理數是方程在上的無理根。定理5.210 若，則所表示的繁分式為：六解決實際問題導致定理的推廣本人在研究建筑工地塔吊吊運物體軌跡時，發(fā)現(xiàn)這一問題抽象成數學問題，得到以下定理：定理6.111 從極點出發(fā)的射線，繞其端點以等角速度旋轉，點的初始位置為，沿以速度做勻速直線運動，同時的端點沿極軸以速度做勻速直線運動（。

7、則點的軌跡方程為：其中為點O運動到O1后，O1M轉動的角度。這一軌跡方程是阿基米德螺線的推廣。七研究方法的更新導致定理的推廣如：已知是上的函數，它滿足，求證：為周期函數。在研究其解法及推廣形式時，發(fā)現(xiàn)本題已有多種推廣形式。筆者通過證明一個新命題：命題：若其中， （即函數與其反函數同形），則以為周期。為推廣原賽題，構造函數：,求出的反函數，由命題有定理7.112 已知為上的函數，滿足則是以2為周期的周期函數。當時，即為原競賽題。八解決他人未解決的抽象得到新定理數學中有許多他人未能解決的猜想，如能攻克，也能推出新定理。如第5屆祖沖之杯競賽第六題：A平面上有個點（，如果其所有兩點間的距離取個不同值，

8、若則稱由這個點及任意兩點的連線構成的圖形為祖沖之O圖形，寫出不少于4個四點的祖沖之圖形， 顯然正多邊形都是祖沖之圖形（稱為規(guī)范的），把非正多邊形祖圖11111CB沖之圖形稱為奇異的祖沖之圖形，如圖 為四點奇異的祖沖之圖形。（其中 為正三角形，為中心）。1.當為奇數時，有沒有奇異的祖沖之圖形？經反復實驗，本人找到一個十三個點的奇異祖沖之 圖2圖形，如圖2。詳文見文12（其中）為正六邊形，為中心）。則為十三點奇異的祖沖之圖形。當為偶數時，是否一定存在奇異的祖沖之圖形？ 以上問題本人給出肯定的證明，見文13。九從高角度審視數學競賽題和高考題發(fā)現(xiàn)新定理中學數學競賽題有時為了降低難度，能夠被中學生所接受

9、，可能是某類問題的特殊形式，如果從更高角度重新審視該題，從更一般形式入手，可能推廣此競賽題，獲得新定理。如第10屆美國數學邀請賽第4題對楊輝三角形提出問題：楊輝三角形中哪一行存在3個連續(xù)項，使它們的比為3：4：5？關于此賽題本人在文14中給出幾種推廣與引申形式：定理9.114 楊輝三角形中存在3個連續(xù)項，使它們的比為.所對應的行數此3項是這行中的第項。定理9.214 楊輝三角形中存在3個連續(xù)項，使它們的比為。所對應的行數此3項是這行中的第項。定理9.314 楊輝三角形中不存在3個連續(xù)項，使它們的比其中參考文獻1 .王恩權，費哈不等式在個四面體中的推廣，安順師專學報（自科版），1996年第2期；

10、2 .王堅，不等式的推廣，數學通訊，1984年第1期；3 .王恩權，不等式的一般推廣，安順師專學報（自科版），1994年第4期；4 .王恩權，積分不等式的一個推廣，懷化師專學報（自科版），1995年第1期；5 .邱天緒，無理數表成連分數的幾個公式，數學通訊，1988年第7期；6 .王恩權，也談無理數表成連分數，數學通訊，1989年第6期；7 .徐建生，圓與圓錐曲線相切的性質與應用，數學通訊，1988年第1期；8 .王恩權，雙曲線上四點共圓的一個充要條件，湖南數學通訊，1994年第4期；9.姬士學，王恩權，拋物線上四點共圓的一個充要條件，中學數學月刊，1997年第1期；10.王恩權，求一類無限連分數表示的無理數，東疆學刊（自科版），1993年第34期；11.王恩權，阿基米德螺線的推廣，數學通訊，19