二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育_數(shù)學(xué)論文

1、二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育_數(shù)學(xué)論文    編者按：我們即將跨入二十一世紀(jì)，在未來的新世紀(jì)中我國的數(shù)學(xué)教育必將會(huì)呈現(xiàn)新的面貌。然而新面貌不會(huì)自然產(chǎn)生，它需要我們理性的思考和積極的實(shí)踐。數(shù)學(xué)教育改革中，歷史的經(jīng)驗(yàn)值得注意，有識之士的意見是寶貴的。陳建功先生（18931971）是我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，中國科學(xué)院院士（原學(xué)部委員）。他的二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育一文，發(fā)表于1952年2月的中國數(shù)學(xué)雜志（1953年后該雜志改名為數(shù)學(xué)通報(bào)）第一卷第二期，當(dāng)時(shí)正是新中國成立初期百廢待興的年代。在這篇文章中，作者懷著“切望我國的數(shù)學(xué)教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等學(xué)校的數(shù)

2、學(xué)為核心”，對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)教育的原則，以及數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革等重要問題，提出頗有見地的意見在世紀(jì)之交，重讀陳先生的二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育一文，對于迎接二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育十分有益。此地所說數(shù)學(xué)教育，以中等學(xué)校的數(shù)學(xué)為核心；關(guān)于高等學(xué)校方面的數(shù)學(xué)，和小學(xué)校的算術(shù)教育，不預(yù)備在此地有所詳述。本文說數(shù)學(xué)教育，以二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育為主，讀了下文，自然明白?！八街?，可以攻玉”，把外國的數(shù)學(xué)教育，羅羅嗦嗦說了許多的話。筆者切望著我國的數(shù)學(xué)教育有更一進(jìn)步的革新。支配數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、材料和方法，有三大原則：實(shí)用性原則數(shù)學(xué)在日常生活中已見其有其實(shí)用價(jià)值的；如土地改革運(yùn)動(dòng)中的分田量地問題，關(guān)于買賣、租稅、保險(xiǎn)、獎(jiǎng)

3、券的計(jì)算；酒瓶的容量，箱子的體積，都是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。不但如是，數(shù)學(xué)也是物質(zhì)支配和社會(huì)組織之一武器，對于自然科學(xué)、產(chǎn)業(yè)技術(shù)、社會(huì)科學(xué)的理解、研究和進(jìn)展，都是需要數(shù)學(xué)的。假如數(shù)學(xué)沒有實(shí)用，它就不應(yīng)該列入于教科之中。論理的原則然而僅僅乎實(shí)用原則，不足以支配整個(gè)的數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)具有特殊的方法和觀念，組成有系統(tǒng)的體系。數(shù)學(xué)并不是公式的堆壘，其所用之方法，也具有教育上的價(jià)值。斷片的推理，不但見諸任何學(xué)科，也可從日常有條理的談話得之。但是，推理之成為說理的體系者，限于數(shù)學(xué)一科。數(shù)學(xué)具有這樣的教育價(jià)值，稱之為論理的價(jià)值，是為說理的原則。假如把數(shù)學(xué)當(dāng)做圖形集成或公式采編看待，忽視其方法和構(gòu)造，那未，對于自然支配、

4、社會(huì)組織，不但不成為一種武器，有時(shí)且成為有害的東西例如將數(shù)學(xué)機(jī)械的亂用，導(dǎo)出不合理的結(jié)果。忽視數(shù)學(xué)教育論理性的原則，無異于數(shù)學(xué)教育的自殺。心理的原則然則上述兩原則足夠決定數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)么？當(dāng)然還不夠條件。教材的內(nèi)容，對于學(xué)生宜富于興趣；枯燥無味的東西，決不能充作教材；于是乎有心理的原則。成人所喜之推理或?qū)嵱脝栴}，未必為未成年的青年所滿足。法國數(shù)學(xué)家H·普安格勒（Poincare）曾經(jīng)說道：“有某教師在課室中，令學(xué)生們筆記圓周者，平面上于一定點(diǎn)等距離之點(diǎn)之軌跡也，忠實(shí)的學(xué)生，記下來了；頑皮的學(xué)生，不但無興趣去記，甚至寫些別的不相干的東西。事實(shí)上，不論那一種學(xué)生，都尚未了解圓周為何物。后

5、來，教師用粉筆作圓于黑板上，全班學(xué)生方才明白圓周原來是一個(gè)圓圈。”科學(xué)家A·哀思坦（Einstein）也說道：“學(xué)生僅管對于數(shù)學(xué)以外的事物，具有才能，對于數(shù)學(xué)可以朦昧無知。此種實(shí)情，其責(zé)任恐不能完全歸之于學(xué)生，甚至可以完全可以歸罪于教師。”吾人應(yīng)該站在學(xué)生的立場；順應(yīng)學(xué)生的心理發(fā)展去教育學(xué)生，才能滿足他們的真實(shí)感。某些教材,雖然具有高度的實(shí)用性價(jià)值或高度的論理性價(jià)值,假使學(xué)生不發(fā)生任何真實(shí)感,就心理的原則而言,這些教材,簡值是沒有教育的價(jià)值。三原則之統(tǒng)一上述三原則應(yīng)該綜合統(tǒng)一而不應(yīng)該對立。然則統(tǒng)一之關(guān)鍵何在?是必須先就學(xué)生生活的環(huán)境中,使其易于接觸易于理解且有實(shí)用價(jià)值的事物出發(fā),以向

6、論理的途徑進(jìn)行。所以心理性和實(shí)用性應(yīng)該是論理性的向?qū)?選擇教材不應(yīng)該先將實(shí)用性和論理性分別采取,然后合攏;這樣勉強(qiáng)湊成的教材，是支離破裂的。把數(shù)學(xué)的觀念和方法運(yùn)用于實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，理論上的疑問,自然油然而生;豈可以預(yù)先制成生硬的數(shù)學(xué)理論,強(qiáng)求適合于實(shí)用!數(shù)學(xué)和其他的學(xué)科,并沒有什么大不相同的地方,因?yàn)樗３０橹a(chǎn)力、技術(shù)發(fā)展開來的。對于古代數(shù)學(xué)的發(fā)生,恩格斯(Engels)曾經(jīng)說過:“季節(jié)的知識老早對于農(nóng)業(yè)種族或游牧民族，已經(jīng)絕對需要。天文學(xué)沒有數(shù)學(xué)的幫助，是無從發(fā)展起來的。所以在這古代'，已經(jīng)有了數(shù)學(xué)。農(nóng)業(yè)發(fā)達(dá)到某階段，因灌溉法之改進(jìn)、都市之發(fā)達(dá)、航海的需要，力學(xué)跟著發(fā)生，力學(xué)沒有

7、數(shù)學(xué)的幫助，無由長足進(jìn)展?！贝瞬华?dú)在數(shù)學(xué)的誕生期為然，無論在什么時(shí)代，數(shù)學(xué)常常伴著自然科學(xué)技術(shù)、社會(huì)科學(xué)發(fā)展而發(fā)展。數(shù)學(xué)教育家能（Nunn）說的：“數(shù)學(xué)的真理具有兩面。其一面的數(shù)學(xué)真理，向時(shí)（間）空（間）的實(shí)在世界進(jìn)展而與之接觸。還有一面的數(shù)學(xué)真理，在數(shù)學(xué)的內(nèi)部，相互對應(yīng)，保持聯(lián)系。數(shù)學(xué)史就是把這兩面真理的不斷的發(fā)展，敘述其經(jīng)過情形。這兩面的發(fā)展，并非互相獨(dú)立，此未曾離彼，彼變未曾離此。今后的數(shù)學(xué)恐也是這樣，兩面不曾分道揚(yáng)鑣，各自存在。所以數(shù)學(xué)教育，應(yīng)該使學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)的發(fā)展，具有上述兩重意義。數(shù)學(xué)是物質(zhì)的征服和社會(huì)的組織之一武器，同時(shí)是一有秩序的論理體系?！苯y(tǒng)一了上述三原則，以調(diào)和的精神，選擇

8、教材，決定教法，實(shí)踐的過程，稱之為數(shù)學(xué)教育。二十世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育并不是一種幻想，乃是實(shí)踐。數(shù)學(xué)教育是在經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的、政治的制約下的一種文化形式，自然具有歷史性。就歐洲而言，其在奴隸社會(huì)制的古代希臘，支配階級鄙視實(shí)踐的計(jì)算術(shù)，和直覺的實(shí)踐幾何；重視他們所謂“和行動(dòng)沒有關(guān)系的真科學(xué)”就是數(shù)論和“抽象的”幾何學(xué)，豈不是太偏重于論理性！在中世紀(jì)封建社會(huì)，教育為個(gè)人所支配，數(shù)學(xué)教育成為宗教的奴隸。事實(shí)上，此時(shí)數(shù)學(xué)教育，偏重于低級的實(shí)用性與生產(chǎn)和科學(xué)脫離的宗教上的實(shí)用性。文藝復(fù)興而后，工商業(yè)加速度的進(jìn)展；生產(chǎn)力之發(fā)展，促成自然科學(xué)的發(fā)達(dá)，因此發(fā)生機(jī)械論的唯物論。所以十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育，自

9、然強(qiáng)調(diào)實(shí)用性。經(jīng)過法蘭西大革命，巴黎成為歐洲文化的中心，因時(shí)代的要求，“一般陶冶”的話頭，逐漸流行；中等教育不能專為牧師（神學(xué)）和律師（法學(xué)）的預(yù)備教育，重視所謂“一般陶冶”。其特色是將數(shù)學(xué)和近世語添入教科之中。數(shù)學(xué)占了普遍教育的一科，是從十八世紀(jì)開始的，所以嚴(yán)格的說：數(shù)學(xué)教育萌芽于十八世紀(jì)。但是，數(shù)學(xué)教授的內(nèi)容，大部分是“理論數(shù)學(xué)”；應(yīng)用方面的數(shù)學(xué)，意識的為所排斥。究其實(shí)際，他的內(nèi)容也是限于希臘時(shí)代至十七世紀(jì)間的數(shù)學(xué)；這個(gè)狀態(tài)一直延長到十九世紀(jì)之末。十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)，雖然非常進(jìn)展，然而它并沒有促成數(shù)學(xué)教育的改進(jìn)，因此，十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育，和近代的科學(xué)（十九世紀(jì)的科學(xué)），社會(huì)的生活，幾乎沒有關(guān)系

10、。相反地，因入學(xué)考試的準(zhǔn)則和其他種種考試的準(zhǔn)則，數(shù)學(xué)難題的教授，和脫離實(shí)際的理論，成了數(shù)學(xué)教材的核心。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)所采用的幾何學(xué)課本，就是尤克立特<1>幾何原本最初數(shù)章；代數(shù)學(xué)和三角法，是將專門的材料，壓縮而成的，太古太多，脫離實(shí)際需要。當(dāng)時(shí)的物理化學(xué)等自然科學(xué)等教材，已能推陳出新；然而保守的數(shù)學(xué)，不改舊態(tài)。到了十九世紀(jì)之末，近代科學(xué)的急速發(fā)達(dá)和各國產(chǎn)業(yè)的進(jìn)展，經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的、思想的，給人們的生活狀態(tài)以重大的變動(dòng)。無產(chǎn)階級的解放運(yùn)動(dòng)，從而開始了中等教育的內(nèi)容，不能不有所更變。數(shù)學(xué)教育改造的先聲保守的英國，她的幾何學(xué)教本，一直沿用尤克立特的幾何原本。教師們視“原本”如“圣書”，不碩茍

11、且改變其一字一句；不但學(xué)生覺得干燥無味，教師也覺得痛苦非常；改良之聲漸起，到了1870，組織了“幾何學(xué)教授改良協(xié)會(huì)”（2），制定幾何學(xué)要目。其結(jié)果，不過是一種微溫的刷新；這也無怪其然，因?yàn)樗麄儯▍f(xié)會(huì)會(huì)員）主張要不失原本精神和體裁，制定原本最初六卷的要目。他們最大的難題是“如何改造原本第五卷的比例論”比例論是原本中最壯麗的部分。尼克宋的“改良尤克立特”（3）一書，在中國頗有流傳，就是依“協(xié)會(huì)”的精神寫成的幾何學(xué)。此協(xié)會(huì)到了1897年，改名為“英國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)”，以The Mathematical Gazette做他的機(jī)關(guān)雜志，登載關(guān)于教學(xué)教育的種種事情。數(shù)學(xué)教育彼利運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)教育改革的首創(chuàng)者，應(yīng)該說是

12、英國的J.彼利（J.Perry18501920）。彼利幼時(shí)做過學(xué)徒（186468），鍛冶工場的工人（186870），苦學(xué)的當(dāng)中，曾經(jīng)旁聽湯姆生的講義（4）。彼利體驗(yàn)了勞動(dòng)者的生活，努力于勞動(dòng)者智識之增進(jìn)；后來做了倫敦國際理學(xué)院力學(xué)及數(shù)學(xué)的教授，于1901年在英國科學(xué)協(xié)會(huì)，作啟蒙的改造講演。彼利主張的精神，是在數(shù)學(xué)的實(shí)踐性，不光是說些教授的技巧。他對于數(shù)學(xué)的見解，并不是將抽象的數(shù)學(xué)理論，如何應(yīng)用于自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象的說明；相反地，從自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象，由實(shí)踐發(fā)見數(shù)學(xué)的法則，這是彼利所說的數(shù)學(xué)。上述彼利1901的講演，在數(shù)學(xué)教育史中，是劃時(shí)代的。其講演綱要及其檢討，可以看彼利所著的書：Discus

13、sion on the Teaching of Mathematics(Macmillan&co.1902).彼利的意見，仍對于向來的難題“如何教授幾何學(xué)？”集中，其要點(diǎn)如下：（一）完全脫離尤克立特原本的形態(tài)，（二）極度重視實(shí)驗(yàn)幾何，（三）強(qiáng)調(diào)幾何的實(shí)用部分，（四）注重立體幾何，（五）重視實(shí)用的種種測定，（六）多用格子紙。這次講演的結(jié)果，自古認(rèn)為經(jīng)典的“原本”就因此廢除。這時(shí)新型的教科書有Godfrey and Siddons,Shorter Gaomestry(1912),Godfrey andS iddons,Elementary Algebra(1912)。彼利在總結(jié)小組討論會(huì)的

14、報(bào)告，指出了下列幾點(diǎn)全體一致的意見：（一）幾何學(xué)的實(shí)驗(yàn)和實(shí)測應(yīng)該是證明的前提，然而也可以稍稍利用演繹法完成其說明。（二）可采用的實(shí)驗(yàn)法，應(yīng)由教師自己決定，隨機(jī)應(yīng)變，（三）小學(xué)在算術(shù)初步，就應(yīng)該使用，（四）式子的數(shù)字計(jì)算，應(yīng)該熟練；因此可使學(xué)生明了種種記號的意義。（五）指數(shù)法則一經(jīng)教懂，應(yīng)該馬上授以對數(shù)和對數(shù)表的用法，（六）教材的順序和教法應(yīng)由教師靈活運(yùn)用，不可呆板。法國的學(xué)制改革彼利的改革運(yùn)動(dòng)，影響及于國際數(shù)學(xué)教育。但是，法國在彼利運(yùn)動(dòng)以前，代數(shù)與幾何，已經(jīng)有融合教授的傾向，所以受彼利運(yùn)動(dòng)的刺激，不太利害。不但如是，法國十九世紀(jì)出版的幾何書，如AMLegendre的Elements de Ge

15、ome'tric（其第十二版在1923發(fā)行），其內(nèi)容已經(jīng)和“原本”大不相同，又如魯雪（5）和康勃露色（6）合著的初等幾何學(xué)（7），一直到現(xiàn)在，還不失為一部很好的書。但是，法國數(shù)學(xué)教育，并非毫無問題；對于考試制度的預(yù)備教育，大有使中等教育專門化的傾向。彼利講演的第二年1902法國政府將中等教育制度全部革新。數(shù)學(xué)教育因此大加改良，將日常生活有關(guān)系的部分增多，又將高深的部分平易化，重視直視的幾何和函數(shù)的概念。巴黎大學(xué)的數(shù)學(xué)教授E.波賴爾（8），依照這個(gè)趣旨，編了一套出色的教科書；算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角，都在1903年出版。波賴爾報(bào)告法國中學(xué)生用了波賴爾的教科書，興味大增，成績極優(yōu)。這一套教科

16、書有德文和日文的譯本。德國的新主義數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)法國1902的學(xué)制改革和英國1901彼利時(shí)期的講演，自然沖動(dòng)了德國學(xué)界。德國的碩學(xué)幾何學(xué)大家克來茵（9）不以大學(xué)教員不與聞中等教育為然，曾于1904年在自然科學(xué)會(huì)議席上，作一次講演表題“對于中學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)物理的注意”。克來茵又作成文科中學(xué)的教授要目，于1904至1905在茍丁根大學(xué)作長期的講演，說明他的課程方案。這是德國新主義數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。德國中學(xué)教師，1905年在梅蘭（Meran）舉行數(shù)學(xué)物理教授協(xié)會(huì)，作成教材要目大綱梅蘭要目。這個(gè)梅蘭要目，就是以克來茵的方案做骨子的，較諸說克來茵原案，雖然稍為溫和，然而比較過去的情形，已經(jīng)出色，現(xiàn)在將其要點(diǎn)，寫在下

17、面：（一）順應(yīng)學(xué)生心意自然的發(fā)達(dá)，排列教材，選取教材；（二）融合數(shù)學(xué)諸分科，并且要使和其他科學(xué)有密切連系；（三）不過于重視數(shù)學(xué)的“形式陶冶”，“應(yīng)該置重心于應(yīng)用方面”，養(yǎng)成“用數(shù)學(xué)的方法去觀察自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象”的能力；（四）要達(dá)到這個(gè)目的，必須以“函數(shù)觀念”和“直觀幾何”做數(shù)學(xué)教授的骨子。依擬這個(gè)要目，就有人完成新主義數(shù)學(xué)的教科書：Behrendsen und Gotting, Lebuch der Mathematik nach Moderren Grundsatzen (Teubner,1908). 這部書（10）將平面幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、三角法、立體幾何學(xué)、微分和積分、解析幾何學(xué)

18、、近世幾何學(xué)，融為一體，呵成一氣，以供九年制中學(xué)之用。德國兒童，滿九歲入中學(xué)，中學(xué)的種類有四，五；他的數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)，大約每周自4時(shí)到6時(shí)。普魯士政府指定五個(gè)中學(xué)實(shí)施梅蘭要目，結(jié)果非常良好。美國慕爾（11）的改造論歐洲的數(shù)學(xué)教育改造運(yùn)動(dòng)，對于美國，沒有受到強(qiáng)烈的刺激，其原因之一是：美國學(xué)校，老早不用尤克立特的原本，法國的幾何教科書，著實(shí)通行。還有一個(gè)原因是：美國的考試制度，比較英國要寬松些，壓迫不太歷害，對于“考試”制度的斗爭也不會(huì)激烈。但是，支加哥大學(xué)教授慕爾，對于彼利的主張，不但擁護(hù)，并且指出美國的數(shù)學(xué)教育，大有缺點(diǎn)。1902年慕爾在美國數(shù)學(xué)年會(huì)，發(fā)表他的會(huì)長講演，題目是數(shù)學(xué)之基礎(chǔ)，他的后半段是

19、關(guān)于數(shù)學(xué)教育的；他說：（一）代數(shù)、幾何、物理，可否不使他們一一孤立，編成“有機(jī)的統(tǒng)一”呢？統(tǒng)一而后，才能使數(shù)學(xué)物理和日常生活有密切的關(guān)系；（二）三角法、解析幾何、微分積分三分科，就其起源說，又就其發(fā)展的經(jīng)路說，都是和具體的現(xiàn)象有密切關(guān)系；所以應(yīng)該把這三科的基本事項(xiàng)組織起來，使他們有密切關(guān)系，不應(yīng)該讓他們各自分立門戶的；（三）關(guān)于數(shù)學(xué)物理的教學(xué)，都應(yīng)該采用實(shí)驗(yàn)室的方法。慕爾教授的講演，對于美國數(shù)學(xué)教育，有極大的影響；依照（一）的精神著成的書Breslich,FirstyearMathematicsBreslich,SecondyearMathematics(1906)Breslich,Third

20、yearMathematics,商務(wù)印書館老早有了譯本，又Rugg and Clark,Fundamentals of highSchool Mathematics一書，系1924出版的，也是依照慕爾融合主義寫成的。依（二）寫成的書，也相當(dāng)多，例如Young and Morgan,Elementary Mathematical Analysis(Macmillan,1917)?？偨Y(jié)改造運(yùn)動(dòng)然則彼利，克來茵，慕爾的數(shù)學(xué)教育改造運(yùn)動(dòng)的基本精神究在何處呢？基本精神是在教材教法的近代化、心理化；實(shí)行數(shù)學(xué)各科的有機(jī)統(tǒng)一；理論和實(shí)踐的統(tǒng)一。結(jié)局在求數(shù)學(xué)教育基本三原則的徹底統(tǒng)一。詳見下列諸著作：JPerry

21、,Teaching of Mathematics;Klein,Vortrage über den mathematics chen Unterricht  an den hoheren Schulen; E. H,Moere,On the foundation of Mathematics,National  Council of      Teachers of Mathematics,the  4th year book. 彼利的改造論，并非狹義的卑俗的實(shí)用主義；此事已述于上文。慕爾也說：“數(shù)學(xué)教育的

22、根本問題是如何融合理論（基本）數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，但是不幸得很，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，還保留著理論和應(yīng)用的劃界分疆”。改造論者主張自然科學(xué)和工程科學(xué)中所必需的“高等數(shù)學(xué)”，應(yīng)該把他平易化，這似乎有點(diǎn)輕視數(shù)學(xué)的“形式主義”；然而這是似是而非的見解，因?yàn)閿?shù)學(xué)的內(nèi)容和形式，決不可以分解為二的。為什么呢？假如形式可以脫離內(nèi)容而存在，這就是意味著數(shù)學(xué)是為形式而形式了?？藖硪鹫f得好；“現(xiàn)在吾人所宜努力的事，并不是追求兩極端形式主義和實(shí)利主義取其一端而舍其他端，乃是融合兩者成為一體”。我們僅僅乎教授這些現(xiàn)實(shí)的生活上所要求的數(shù)學(xué)知識，這不能算盡了數(shù)學(xué)工作者的職，我們必須生動(dòng)的指導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生們能夠利用數(shù)學(xué)知識于現(xiàn)實(shí)問

23、題。要使理論和實(shí)踐，保持生動(dòng)的關(guān)系，必須從現(xiàn)實(shí)自身，由實(shí)踐學(xué)習(xí)得數(shù)學(xué)知識。彼利說：“教兒童推理一件事體以前，必先使他實(shí)行這件事體，兒童從測量、計(jì)算、實(shí)驗(yàn)，所得的結(jié)果，才能養(yǎng)成他的推動(dòng)力。并且因此兒童沾沾自喜他的生動(dòng)的創(chuàng)造”。這是彼利實(shí)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)。彼利著有“初等實(shí)用數(shù)學(xué)”一書：ElementaryPracticalMathematics(1913),新宮恒次郎于1929年譯成日文，小侖金之助做了一篇序文，序文的未尾說道：“美國的數(shù)學(xué)教科書，號稱心理的、社會(huì)的、實(shí)用的、教授法的、最進(jìn)步的，但是資本主義的和事務(wù)式的美國主義的反映，到處找得出。諸君若要一本具有無產(chǎn)階級實(shí)踐性的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)書，我就推薦

24、這本書。這本書可能在某些意義上是未成品，但是它期待著有光輝的未來”。彼利強(qiáng)調(diào)“從前的數(shù)學(xué)教材的排列，學(xué)者或許認(rèn)為是論理的；但是對于兒童，這些東西，完全是非論理的；兒童所能接受的論理，必須通過實(shí)驗(yàn)、實(shí)測、圖解。”分科主義和融合主義從“線”方程，“平方”方程，“立方”方程，和a的平方，a的立方這些用語來看，古時(shí)代數(shù)和幾何未曾分離。事實(shí)上，尤克立特原本十三卷中，有三卷是算術(shù)；牛頓全集中的數(shù)學(xué)和物理融會(huì)貫通。后來許多學(xué)者，覺著數(shù)學(xué)諸分科，各有各的特殊方法，把各科純論理的展開，頗有興趣，方司島說（12）把近世幾何學(xué)從解析向何學(xué)分解出來，是其一例。數(shù)學(xué)不光是在學(xué)術(shù)上分了科，在數(shù)學(xué)教授上算術(shù)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)

25、、三角法、解析幾何學(xué)，各自陷于孤立的局面。然而在科學(xué)的研究當(dāng)中，用數(shù)學(xué)做武器的時(shí)候，往往需要各科全般的知識，假如預(yù)先有了有機(jī)的統(tǒng)一，那就方便多了。綜合的數(shù)學(xué)，不但可以避免重復(fù)，學(xué)習(xí)既省時(shí)間；并且可以使學(xué)生明白生動(dòng)的數(shù)學(xué)體系。代數(shù)學(xué)中不用幾何，幾何學(xué)中不用代數(shù)、三角，如是獨(dú)立門戶，究有何益！然則統(tǒng)一各分科而成綜合的數(shù)學(xué)，應(yīng)該用什么東西做原則呢？改造論者，大都用函數(shù)的概念做統(tǒng)一的原則?？藖硪鹫f：“在幾何學(xué)形式的函數(shù)概念（31），是數(shù)學(xué)教育的魂魄?！庇终f：“以函數(shù)概念做中心，將它周圍的一切數(shù)學(xué)教材，有計(jì)劃的集中，就得著綜合的數(shù)學(xué)?！爆F(xiàn)在把克萊茵自己作成的中學(xué)課程表的一部分，寫在下面，下列三項(xiàng)，是德國

26、兒童十三歲到十四歲（一年間）所應(yīng)該學(xué)習(xí)的教材：（一）直角坐標(biāo)和簡單函數(shù)的曲線表示用格子紙；須注意此種曲線的全程，上坡下坡，圍繞的面積等事；（二）用函數(shù)概念做骨子，教授下列諸事項(xiàng)。冪及根，一次及二次方程，圓錐曲線的初步，關(guān)于圓的計(jì)算，三角形的邊角關(guān)系；（三）多學(xué)實(shí)際之例，熟練空間的知識和數(shù)學(xué)計(jì)算。下列三項(xiàng)，是中學(xué)最后一年的教材：（一）解析的及綜合的處理圓錐曲線，并且把他應(yīng)用到天文學(xué)初步；（二）中學(xué)數(shù)學(xué)全部教材的復(fù)習(xí)，用曲線或計(jì)算解決更難的實(shí)際問題；（三）精細(xì)回顧數(shù)學(xué)全系統(tǒng)，并時(shí)時(shí)加以歷史的說明。國際數(shù)學(xué)教科調(diào)查會(huì)數(shù)學(xué)教育，經(jīng)彼利、克來茵、慕爾的指導(dǎo)和進(jìn)步的數(shù)學(xué)教師的努力，改造運(yùn)動(dòng)已成為國際問題。

27、第四次舉國際數(shù)學(xué)大會(huì)（14）于1908年在羅馬舉行的時(shí)候，決定設(shè)置國際數(shù)學(xué)教科調(diào)查會(huì)，克來茵等三人做常務(wù)理事，利用法國的LEnseignementmathematique做機(jī)關(guān)雜志。1912年，國際數(shù)學(xué)會(huì)在英國劍橋大學(xué)舉行第五次大會(huì)，有二十七國的代表，提出各地?cái)?shù)學(xué)教育狀況報(bào)告書一百五十種，大部分已印刷發(fā)行，成為數(shù)學(xué)教育史上莫大的文獻(xiàn)。第五次會(huì)的會(huì)長是克來茵，克來茵的德國報(bào)告書Abhandlungen über den mathematischen Untersicht in Dentschland,在150報(bào)告書中，最為詳細(xì)。調(diào)查會(huì)的工作因戰(zhàn)爭而中止。150份的報(bào)告書，不易卒讀，敘述

28、他的大綱的，有在150報(bào)告書中，最為詳細(xì)。調(diào)查會(huì)的工作因戰(zhàn)爭而中止。150份的報(bào)告書，不易卒讀，敘述他的大綱的，有Brown,Curricula in mathematics.A comparison of courses in the  countries,etc. Archilald,Training of teachers of mathematics for the secondary  schools of conntries,etc.各國數(shù)學(xué)教育的進(jìn)展，因國情不同，色彩也不一致；然而改造的基調(diào)，可以說是各國完全相同。自然，改造的實(shí)際方案，不能

29、如指導(dǎo)者彼利、克來茵、慕爾所示，一一順利進(jìn)行。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)教育，以過去的“遺產(chǎn)”做基本；要脫離傳統(tǒng)，成新鮮的組織，困難重重。比方說要把代數(shù)和幾何融合，也不是容易的事。第一次大戰(zhàn)后的數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育，和其他學(xué)科的教育一樣，是受社會(huì)狀勢的限制的。因大戰(zhàn)而起的經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的、政治的的激動(dòng)，直接或間接，對于數(shù)學(xué)教育，有莫大的影響。關(guān)于第一次大戰(zhàn)后，各國數(shù)學(xué)教育的一般狀況的參考資料，有國際數(shù)學(xué)教科調(diào)查會(huì)的報(bào)告，報(bào)告書有英文法文兩種：英文的是Significant changes and trends in the teaching of mathematics through the worl

30、d since 1910(數(shù)學(xué)教員會(huì)1929的年會(huì))，法文的載在1929-1933的雜志：Enseignement Mathematique.大戰(zhàn)中以及戰(zhàn)后的數(shù)學(xué)教育，是混亂得很的。有些國家的教育，停滯不進(jìn)；有些國家反而后退，“古氣”蒸騰；有些國家，因經(jīng)濟(jì)的順調(diào)進(jìn)展，數(shù)學(xué)教育也得著順利進(jìn)行。先說后退的意大利意國在戰(zhàn)前，也伴著國際改造運(yùn)動(dòng)，有進(jìn)步的傾向。其后，國家因社會(huì)的，經(jīng)濟(jì)的不安，釀成法西斯政治。到了1923年，中等教育的目的和學(xué)制，有重大的變更。規(guī)定中等教育“以養(yǎng)成態(tài)度為目的”，作為中學(xué)教科的全部，法西斯脫所謂在文學(xué)的、哲學(xué)的、歷史的立場“國粹的”立場（15）宣告統(tǒng)一了。這樣一來，中等教育

31、不必講究實(shí)用，也不必準(zhǔn)備做高等的研究了。教育的方針既然如是；自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教授時(shí)數(shù)必然的削減了，詳見下表。初級中學(xué)（Ginnasio）年齡學(xué)年數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)理科時(shí)數(shù)11-一1012-二2013-三2014-四2015-五20 高級中學(xué)（Liceo）年齡學(xué)年數(shù)學(xué)物理時(shí)數(shù)（合計(jì)）化學(xué)+專物時(shí)數(shù)（合計(jì)）16-一4317-二4218-三53初級中學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)科目：一算術(shù)，幾何；高級中學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)科目：一代數(shù)，幾何。高級中學(xué)的畢業(yè)考試；數(shù)學(xué)科目是代數(shù)學(xué)、幾何和三角法。此外還有高級理科中學(xué)，其畢業(yè)考試，添加直角坐標(biāo)和函數(shù)與圖表，大戰(zhàn)前的教材，也有直觀的、實(shí)驗(yàn)的、實(shí)用的部分；1923的學(xué)制將

32、這些東西，完全廢棄，而變成形式的、抽象的、純論理的東西了。意大利的教育部，并不公布中學(xué)校的課程要目，全部（中學(xué)畢業(yè)考試等）都是國家考試；“因國家考試的要目，有嚴(yán)格的規(guī)定，從頁中學(xué)課程跟著考試要目也有一定的內(nèi)容了。用極少的時(shí)間數(shù)，來定數(shù)學(xué)課程，只有兩條路可以走：第一法：把數(shù)學(xué)程度降低。第二法：僅言綱領(lǐng)，把他變成骨瘦如柴的東西。意大利事實(shí)上實(shí)行了第二法。但是，以極少的時(shí)間簡潔的通過數(shù)學(xué)的全程，不可能和彼利、克來茵的改造論相容。為什么？用實(shí)驗(yàn)實(shí)測來發(fā)現(xiàn)新的事實(shí)，不但需要時(shí)間、并且與”古典的精神“（16）不能一致。此時(shí)幾何學(xué)家旁比阿尼（Bompiani）做教育部長，他索性把中等數(shù)學(xué)徹底變成了公理主義的

33、數(shù)學(xué)?，F(xiàn)在且看他的內(nèi)容。某代數(shù)學(xué)教科書（7）第一卷劈頭寫著：“公理1.A=A.公理2.若A=B,則B=A。公理3.若A=B，B=C,則A=C?！毕挛氖羌臃ǖ亩x。然后寫著：“公理4.A+B=B+A。”繼之以減法的定義。又寫著：“系，若A>B，B>C，則A>C?！边@樣，從抽象的、純論理的立場出發(fā)，不容易DMU到事實(shí)問題了。利用方程式解決事實(shí)問題，一直到十六歲才學(xué)到，十八九歲才學(xué)到對數(shù)。第二卷供高中用，先寫些一次方程，一次不等式，接著寫了一章實(shí)數(shù)，用“德特金特（Dedekidn）分割”導(dǎo)入無理數(shù)，經(jīng)過復(fù)素?cái)?shù)的定義和根數(shù)的計(jì)算，然后講到二次方程！把和的存在，嚴(yán)密的證明了。一部代數(shù)學(xué)

34、，供八年的用，其中應(yīng)用問題，不過32頁；圖表法和一次二次式的變化寫成一篇附錄（16頁）。到了1932，又有一部代數(shù)學(xué)書（18）出來了，他簡直把函數(shù)的變化和圖表，全部除去，倒也干凈。幾何書也依這個(gè)精神寫成的。本來，意大利幾何學(xué)教科書的著重嚴(yán)密性是有名的，罕與倫比的。其后因改造潮流，也稍事革新，1923以后，又有復(fù)原的傾向。嚴(yán)密是好的，但是骨瘦如柴的嚴(yán)肅是有害的。意大利幾何教科書（19），盡管最密，但是因?yàn)楹鲆暳藢?shí)驗(yàn)、實(shí)測、直觀，不能不說是他逆轉(zhuǎn)的、反動(dòng)化的書。最可驚異的是：面積等事，不容許用“數(shù)計(jì)算”，光是說些幾何學(xué)證明；一直到了書的未尾，才發(fā)現(xiàn)古色古香的比例論（尤克立特式的），把比例論和代數(shù)的

35、無理論嚴(yán)密的統(tǒng)一了，從此才可用代數(shù)的計(jì)算應(yīng)用到幾何學(xué)的量上面去，但是書已快完畢了。德意志第一次大戰(zhàn)后的德國，經(jīng)濟(jì)極度困難，要挽救這個(gè)困難，非采取產(chǎn)業(yè)和經(jīng)濟(jì)切實(shí)有效的教育方針不可。所謂作業(yè)主義，就是順應(yīng)時(shí)勢的數(shù)學(xué)教育方針。作業(yè)主義，第一要學(xué)生自動(dòng)去做實(shí)驗(yàn)實(shí)測；所以測量、畫法幾何、繪地圓等事，特別注重。普魯士于1925改革學(xué)制，仍以梅蘭要目做根底，參以作業(yè)主義，教育部令說道：“利用作業(yè)，使學(xué)生獲得確實(shí)的知識和明了的理解。通過作業(yè)教育期待教學(xué)的徹底。”教育部同時(shí)又高調(diào)所謂集中主義（20），他說：“置重心于數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)史，重視數(shù)學(xué)和其他一般文化，哲學(xué)的關(guān)系?！边@樣一來，對于克來茵的“以在幾何形式的函數(shù)概念

36、統(tǒng)一一切數(shù)學(xué)教材”的根本思想，不能不稍事退卻。依據(jù)1925新學(xué)制普魯士的文科中學(xué)（21）最后四年的課程，每年都有“幾何畫法及測定”一科，可見作業(yè)主義的重要，他的內(nèi)容如下：第四級：作圓器具的用法，簡單平面圓形。正多體體，角錐，角錐的作圖。線，線分的測定，角的測定。第三下級：點(diǎn)的射影，線分的射影，三角形的射影。平面的等高線及其最大傾斜線，直線的傾斜角，平面的傾斜角，兩平面的交線，多角錐。第三上級：斜角錐，傾斜體及道路的設(shè)計(jì)圖，面積的測定。第二下級：普通立體的表示，代數(shù)曲線的描寫，（圓周等）近似作圓。精密度的測定，用相似論測定面積。第二上級：圓的射影，三角法的問題的作圓，曲線的描寫，測量。第一級：關(guān)

37、于圓錐曲線的基本問題，球的射影，天文學(xué)上的觀測。要詳知其中消息，可以參閱Scheffers und Krarner,Leitfaden der darstillenden und aümlichen Geometrie.數(shù)學(xué)教育的書有 Liezmann,Methodik des Mathematischen Untersichts.雜志有 Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. 到了納粹（Nazi）時(shí)代，狀況又大變；高調(diào)所謂德國固有的數(shù)學(xué)精神，排斥“拉丁”式的和“猶太”式的

38、數(shù)學(xué)，這方面的指導(dǎo)者，有柏林大學(xué)教授比巴霸赫（22）；他說：猶太人和拉丁民族喜歡純論理的和抽象的東西，德國民族著重具體的東西。他的這些議論，多歪曲事實(shí)，比方，抽象代數(shù)學(xué)的大家多是德國人，畫法幾何學(xué)的創(chuàng)造者，是拉丁民族的蒙籍（23）。用這種見解來擁護(hù)所謂德國的“國粹”精神，根本不起作用，簡直毫無意義。另一面，比巴霸赫非常推尊地老師克來茵，說道：“在克來茵的立場，考察日爾曼民放大的將來，實(shí)具有深長的意義?？藖硪鸬母脑旆桨?，是最適應(yīng)于德國民族特征的心理和性格。”到了1934年九月，藉克來茵的過去的盛名，決議了數(shù)學(xué)教育的新方針：（一）著重實(shí)際的、具體的問題；（二）刷新大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，以積極的速度重視應(yīng)

39、用數(shù)學(xué)；（三）調(diào)整應(yīng)用數(shù)學(xué)教員的待遇設(shè)置應(yīng)用數(shù)學(xué)正教授；（四）數(shù)學(xué)系學(xué)生必須學(xué)習(xí)畫法幾何學(xué)、力學(xué)、實(shí)用解析、或然率論。這種政策是否光是為了發(fā)揮德國的國民性呢？只要凝視當(dāng)時(shí)德國政治和經(jīng)濟(jì)情況，就不難知其底細(xì)。英國英國民族，他的自由主義和民主主義的根底相當(dāng)深；或許為了這個(gè)緣故，使他的數(shù)學(xué)教育光是維持原狀，進(jìn)步的傾向極其緩慢。進(jìn)步不速的原因很多，反對改造論革新者的存在，是一個(gè)重要的因素。對于1901彼利的政治講演反對最烈的，就是當(dāng)時(shí)的會(huì)長（24），會(huì)長是皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，他的話當(dāng)然有相當(dāng)?shù)牧α俊，F(xiàn)在將英國某中學(xué)學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，寫在下面： 預(yù)備科本科高等科理科文科沒有數(shù)學(xué)下上下上下上下上

40、0;算術(shù)33552552    代數(shù)  22222221  幾何2222222221/2  三角法       121/2  力學(xué)        24  解析幾何        12  微積分 

41、60;      22  要了解英國數(shù)學(xué)教育，可閱雜志Mathematical Gazette.法蘭西第一次大戰(zhàn)后，法國數(shù)學(xué)教育有保守的傾向；事實(shí)上，1925年保守內(nèi)閣教育部所頒布的學(xué)制中，導(dǎo)入“科學(xué)平等”的原理，中學(xué)校（25）不分文科理科；其理由如下：“在現(xiàn)在的情況，培養(yǎng)完全人就是科學(xué)的教養(yǎng)和文學(xué)的教養(yǎng)保持平衡的，幾何學(xué)的精神和纖細(xì)的精神的統(tǒng)一了的人愈加必要了?！逼浣Y(jié)果把數(shù)學(xué)的時(shí)數(shù)，改變得像下面的式樣： 學(xué)制新制（1925）文科理科文理不分第六級242算術(shù)第五級242算術(shù)第四級253算術(shù)，直觀幾何第三級

42、343算術(shù)代數(shù)，直面幾何第二級254代數(shù)，平面幾何第一級254代數(shù)，立體幾何這是初等學(xué)科的課程；高等科分“哲學(xué)級”和“數(shù)學(xué)級”，前者每周教授數(shù)學(xué)兩小時(shí)，課程是含有微積分的代數(shù)和天文學(xué)；數(shù)學(xué)級每周數(shù)學(xué)教授時(shí)數(shù)，課目如下：含有微積分的代數(shù)，近世幾何，解析幾何，三角法，畫法幾何。教材要目，新制和舊制，雖然大致相同，然而精簡了一些，并且將微積分移到后面去了。要實(shí)行新學(xué)制，必須選取文理共通的教材和教法；教育部強(qiáng)調(diào)：“中學(xué)教育以簡單明了為主，并不要求專門的知識。須置重點(diǎn)于精神的涵養(yǎng)（formationdel'esprit）”文科數(shù)學(xué)時(shí)間的增加和理科數(shù)學(xué)時(shí)間的減少，意味著實(shí)用的，科學(xué)的精神為傳統(tǒng)的文

43、化的精神所壓迫。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)兼政治家潘樂衛(wèi)（26）和波賴爾都公表反對的意見反對教育部的新學(xué)制。法國中學(xué)教師向國際數(shù)學(xué)教科調(diào)查會(huì)報(bào)告說：“新學(xué)制簡直沒有顧到實(shí)情”。要了解法國數(shù)學(xué)教育的實(shí)況，可閱下記的雜志：Bulletin de l'Assoriation de Professeurs de Mathematiques de  l'Enscignement public.其次，我們談?wù)劽绹臄?shù)學(xué)教育。美國第一次大戰(zhàn)，美國得著漁翁之利，經(jīng)濟(jì)寬裕，教育也能夠向“改造的方向”進(jìn)展。美國各州，教育制度并不相同，中央政府也不求其統(tǒng)一。1916年，組織了一個(gè)有權(quán)威的國際“全美

44、數(shù)學(xué)教育委員會(huì)”（27）。這個(gè)委員會(huì)，由十三名委員組織而成，其中含有數(shù)學(xué)家六名（28），教育實(shí)際家七名。1923年二月出了第一期報(bào)告書，表題“中等教育中數(shù)學(xué)之改造”。（29）這個(gè)報(bào)告書分兩部分；第一部分：一般原理及主張，第二部分：特種特殊問題的研究。其中所說的一般原理的大意如下?！拔崛艘卸床旌椭湮崛酥車淖匀缓蜕鐣?huì)的力量，要有以種種角度估計(jì)文化進(jìn)步的力量，所以必先培養(yǎng)思想和行動(dòng)上的習(xí)慣使有效的涵養(yǎng)這種力量。數(shù)學(xué)教育的第一目的是在養(yǎng)成分析和理解“量”和“空間”的關(guān)系的能力對于涵養(yǎng)上述的力量所不可缺的能力。所以關(guān)于養(yǎng)成這種能力沒有直接幫助的事項(xiàng)、方法、練習(xí)，必須排斥于課程之外。光是簡化計(jì)算或玩

45、弄計(jì)算的技巧，都是不重要的事項(xiàng)。用具體的事實(shí)，實(shí)際的問題抓住數(shù)的觀念、方法、原理，是對于數(shù)學(xué)課程全部，是重要的，應(yīng)該用力的?！比粍t數(shù)學(xué)教育，如何統(tǒng)一呢？報(bào)告書上寫著：“統(tǒng)一數(shù)學(xué)課程最切要的事項(xiàng)是函數(shù)觀念。教師應(yīng)將這個(gè)觀念不斷的放在心中，逐步引導(dǎo)學(xué)生，使他們得著函數(shù)性的一般觀念?！泵绹袑W(xué)，下級三年，上級三年（30）。數(shù)學(xué)和幾何兩科有不平行教授的習(xí)慣，但是委員會(huì)希望實(shí)行綜合主義，制成教材配置方案教程，列表如下：下級中學(xué)校第七年第八年第九年時(shí)數(shù)554第一案算術(shù)之應(yīng)用（關(guān)于家庭和學(xué)校），直觀幾何代數(shù)，應(yīng)用算術(shù)（關(guān)于工商業(yè)的，社會(huì)的）數(shù)學(xué)，幾何（論證幾何），三角法第二案應(yīng)用算術(shù)（如第一案）代數(shù)，直觀幾

46、何，三角法應(yīng)用算術(shù)，代數(shù)，三角法，論證幾何第三案應(yīng)用算術(shù)，直觀幾何，代數(shù)，代數(shù)直觀幾何三角法，論證幾何應(yīng)用算術(shù)第四案應(yīng)用算術(shù)直觀幾何直觀幾何代數(shù)代數(shù)三角法應(yīng)用算術(shù)第五案直觀幾何簡單諸公式統(tǒng)計(jì)初步應(yīng)用算術(shù)直觀幾何代數(shù)應(yīng)用算術(shù)論證幾何三角法應(yīng)用算術(shù) 上級中學(xué)校第十年第十一年第十二年時(shí)數(shù)553第一案平面幾何代數(shù)統(tǒng)計(jì)三角法立體幾何微積分選擇科目第二案平面幾何立體幾何代數(shù)三角法統(tǒng)計(jì)微積分選擇科目第三案平面幾何三角法立體幾何代數(shù)統(tǒng)計(jì)微積分選擇科目第四案代數(shù)統(tǒng)計(jì)三角法平面幾何立體幾何微積分選擇科目第十二年的數(shù)學(xué)，四案相同。所謂選科目，遇必要時(shí)，選擇下列諸科之一：投資數(shù)學(xué)，商業(yè)數(shù)學(xué)，測量及航海術(shù)，畫

47、法幾何。微積分以應(yīng)用為主，不需要解析幾何學(xué)形式的研究，所以表上無解析幾何一科。美國教育家關(guān)于數(shù)學(xué)教育的爭論美國的數(shù)學(xué)教育，從上文看來雖然向著改造主義進(jìn)行，但是具有濃厚的實(shí)用主義色彩，且有心理化傾向。美國數(shù)學(xué)教育的心理化的原因，不能不歸之于1910年左右，關(guān)于形式陶冶的論爭。什么是形式陶冶？脫離了所學(xué)習(xí)的內(nèi)容而遺留下來的精神效果，稱為形式陶冶。比方學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不問所學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容是什么，覺得還有什么東西留下來的，這個(gè)效果是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式陶冶。數(shù)學(xué)的形式陶冶，自古以來，一向重視；以為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可使思想精密，推理周到。但是，到了二十世紀(jì)，懷疑者出，于是發(fā)生了“形式陶冶的問題”。對于這個(gè)問題，研究者輩出

48、，但是仍舊不能完全解決；有的否認(rèn)數(shù)學(xué)教育的形式陶冶，（31）有的覺著完全否認(rèn)是不對的。（32）于是乎對于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，也有發(fā)生疑問的。例如哥侖比亞大學(xué)教育學(xué)教授司內(nèi)屯（33）竟這樣說：“中學(xué)校數(shù)學(xué)，應(yīng)該作為隨意科，因?yàn)閿?shù)學(xué)不是人人所必需的緣故”。他又說：“消費(fèi)者的數(shù)學(xué)（34）算術(shù)的一部分自然人人所必需不可以省略，但是中學(xué)校的代數(shù)和幾何，（35）未必人人所必需，不必作為正科，應(yīng)改為隨意科。至于數(shù)學(xué)的陶冶價(jià)值，幾乎無窮小”。但是，假如數(shù)學(xué)光是有關(guān)于日常生活的部分就足夠的話，那末，小學(xué)算術(shù)也嫌過多。另外一位哥侖大學(xué)教授就是D.E.司密司，卻是擁護(hù)數(shù)學(xué)教育的。他說：“教育家中，要驅(qū)逐代數(shù)學(xué)于中學(xué)校外

49、的，大有其人；但是，這些破壞主義的煽動(dòng)家根本是反動(dòng)的，現(xiàn)在已經(jīng)沒有力量了”。此語見諸“司密司著，鍋島信太郎譯（日文）的代數(shù)教授之進(jìn)步（1925）”一書，書中又說：“二十五年前的數(shù)學(xué)教育，其目的，好像在養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在的目的，在培養(yǎng)有良好教養(yǎng)的美國市民”。我們于此可以斷言：美國數(shù)學(xué)教育的特色，是在培養(yǎng)“小市民性”。美國的數(shù)學(xué)教科書，是富于小市民的實(shí)用性和學(xué)習(xí)心理的色彩。所以美國沒有一本數(shù)學(xué)教科書是數(shù)學(xué)專門的人寫的，著者大多是教育工作者或是心理學(xué)者。關(guān)于這方面的參考書，有Young，Teaching  of  mathematics；Smith  and 

50、Reeve，Teaching  of  junior high school mathematics； Year books of the National of Teachers of Mathematics；（1926以后，一年一冊）Mathematics teacher（這是美國數(shù)學(xué)教員會(huì)的機(jī)關(guān)雜志）。此外還有 The American Mathematical Monthly， 是美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（36）的雜志，程度較高，不限于中學(xué)校的數(shù)學(xué)。我國過去的教育和日本有密切關(guān)系，現(xiàn)在談?wù)勅毡救毡緩拿髦伍_始，（37）事事模仿歐洲各國，不管好的歹的，一齊搬進(jìn)，不十分加工，號稱明治

51、維新。明治維新的根本課題是“日本將如何追著先進(jìn)諸國”？為了要解決這個(gè)問題，日本政府集中力量，急速趨向資本主義。一面，日本的社會(huì)機(jī)構(gòu)中，含有大量的封建殘滓；經(jīng)濟(jì)的社會(huì)的政治的狀勢反映到文化和教育。日本的“移植科學(xué)”富于模仿性的緣故，自然不能夠順利進(jìn)行，為民服務(wù)，時(shí)常有進(jìn)退維谷的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)教育當(dāng)然也不在例外，一時(shí)進(jìn)，一時(shí)退，成波動(dòng)的現(xiàn)象。例如在1886（明治十九年）的學(xué)制，中學(xué)一年級有“幾何學(xué)初步”一科，用直觀導(dǎo)入幾何概念，所用的書是法國式的；到了1902年，改變學(xué)制把“幾何學(xué)初步”取消，幾何學(xué)從中學(xué)三年級起才開始教授。所用的書是以菊池大麓著的初等幾何學(xué)教科書。菊池大麓是日本最初的英國留學(xué)生，留英

52、五年；所以他的幾何學(xué)書是純粹查式的英國式的書（當(dāng)然是日本文的）。這個(gè)變更是日本數(shù)學(xué)教育的逆轉(zhuǎn)，退步。1902是國際改造運(yùn)動(dòng)開始的時(shí)候，日本人置之不理。1902日本已的中學(xué)新學(xué)制；其數(shù)學(xué)要目是以菊池大麓和藤澤利喜太郎兩人的意見做根底。兩人都是大學(xué)教授，菊池且做過大學(xué)總長（就是校長）文部大臣（教育部長），1902年已經(jīng)封了男爵；騰澤是東京大學(xué)的有力分子（后來任貴族院議員）；日本人富于封建思想，菊池藤澤的一切意見，當(dāng)然通行無阻。由是，1902的學(xué)制對于世界大勢是開倒車的；他注重分科主義，偏重論理性；他不容納直觀主義，實(shí)驗(yàn)和實(shí)測；不著重函數(shù)概念；將算術(shù)、代數(shù)、幾何三者嚴(yán)格的分開，不許融合。但是，二十世

53、紀(jì)的數(shù)學(xué)教育改造的潮流，奔騰澎湃，急速的流入日本。中學(xué)教師組成了中學(xué)數(shù)學(xué)教育會(huì)，發(fā)行雜志，研討數(shù)學(xué)教育。政府也受到刺激，發(fā)表了種種瑣碎的改造案。國家的經(jīng)濟(jì)，受到第一次大戰(zhàn)的“恩惠”，寬裕得很。但是，一直到1930為止。所得的實(shí)績，不過是微溫的改造。這是因?yàn)橹圃旄脑彀傅膶＜液蛯?shí)施改造案的教師都是受了舊式的分科主義的，偏重論理的教育，飛越起來，要他們徹底革新，他們會(huì)頭痛的。日本實(shí)行1902的要目經(jīng)過了三十年，1931改革學(xué)制數(shù)學(xué)教育方才獲得真的改造他的綱領(lǐng)是：（一）容認(rèn)數(shù)學(xué)各科的綜合，（二）采用直觀幾何，（三）重視數(shù)值三角法，（四）養(yǎng)成函數(shù)的觀念。（五）教材須適切于實(shí)際生活。日本學(xué)制，小學(xué)六年，中

54、學(xué)五年，高等和大學(xué)六年或七年，今將1931的規(guī)程中的中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)寫在下面；最小限度33522最大限度33555一年級二年級三年級四年級五年級這個(gè)方案，著實(shí)進(jìn)步，因?yàn)橛袝r(shí)間的活動(dòng)性使教材有伸縮的余地。但是，不進(jìn)步的教師，往往要用這個(gè)時(shí)間的活動(dòng)性；以為有機(jī)可乘，添入難問題，作入學(xué)考試的準(zhǔn)備，補(bǔ)充舊式的教材，將整個(gè)數(shù)學(xué)還原到干燥的東西。小倉金之助于1936四月某日利用無線電批評講演，說道：“1931的新規(guī)程，是極不徹底的一種似是而非的自由主義。教師可能在中學(xué)前三年，將基本教材全部告成。教育部有補(bǔ)充一項(xiàng)，不明示補(bǔ)充的內(nèi)容。教師們可能集中勢力，在四五年級補(bǔ)充，努力于入學(xué)考試的準(zhǔn)備，現(xiàn)實(shí)的學(xué)校是如此的。實(shí)

55、際上，四五年級教科書中的問題，對于數(shù)學(xué)專門以外的人們，毫無用處，就是對于數(shù)學(xué)家自己，也是價(jià)值極低的東西。談到入學(xué)（高等學(xué)校入學(xué)）（58）考試問題呢，大概和日常生活，自然和社會(huì)的理解，沒有關(guān)系。公平立論，對于這種入學(xué)考試問題失敗了的學(xué)生，仍不失為健全知識階級的日本人；相反地，考取了的，也不過是考試所囚起來的人。中學(xué)校的上四五年級，是“入學(xué)考試職工養(yǎng)成所”；假如高等學(xué)校的入學(xué)考試無數(shù)學(xué)一科，數(shù)學(xué)科的存在都要發(fā)生問題了。教育部應(yīng)該從速改訂教授要目?！?945年冬，筆者到了臺灣，看到日本文部省編的一套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書，完全采取融合主義，置重心于函數(shù)概念，面目一新，而且知道那個(gè)時(shí)候，東京方面已將算術(shù)、代數(shù)

56、、幾何、三角、解析幾何，微積分呵成一氣，書也出來了。但是書沒有到臺灣。蘇聯(lián)今年夏，筆者到北京參加課程改革會(huì)議，蘇聯(lián)教育專家作了很長的講演給我們聽，他說：“規(guī)定課程，改革課程是一件難事。蘇聯(lián)從1917到1939，課程屢有更變?！毕Ｍ覈蕴K聯(lián)為鑒少走迂回的道路，蘇聯(lián)的普通教育制度，從1934學(xué)制改革以后，無大變化；至于中學(xué)，在1939年的黨大會(huì)，才決定“于都市設(shè)立十年制的中學(xué)，于農(nóng)村及民族共和國以七年制的準(zhǔn)中學(xué)校做基礎(chǔ)”。十年制中學(xué)設(shè)立以前，相當(dāng)于中等學(xué)校的，有“單一勞動(dòng)學(xué)校的第二科”。這種學(xué)校的目的，一面是普通教育的繼續(xù)；一面是完成普通教育，建設(shè)唯物論世界觀的充分堅(jiān)固的基礎(chǔ)。因此，重視（1）社

57、會(huì)科學(xué)，（2）實(shí)際的自然科學(xué)。事實(shí)上，課程中的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、博物時(shí)間數(shù)的合超過總時(shí)間數(shù)的三分之一。其中數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)，分配如下：第五年第六年第七年第八年第九年44544其第五年（其實(shí)是初年級）的教授要目，摘出數(shù)項(xiàng)于下：（一）十進(jìn)法，整數(shù)和小數(shù)的計(jì)算，百分率。簡單的方程式。（二）直線，線分，測定，米達(dá)法，經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的圖表。測定誤差的估計(jì)，近似計(jì)算。（三）分?jǐn)?shù)，素?cái)?shù)，最小公倍數(shù)，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)算。（四）直角及其等分，圓及其應(yīng)用（圖案上的）。平等四邊形，多角形的面積。（五）指數(shù)，平方根及其幾何學(xué)的意義，立方體等體積公式，三角錐的表面積和體積。（六）比和比例。（七）一元一次方程（數(shù)字系數(shù)）：之實(shí)測，圓周公

58、式，圓面積公式，圓錐的面積和體積，三角形（已知三邊）的作圖。（八）測地作業(yè)。光是看了這個(gè)摘要，可以知道他是傾向于改造論的。再細(xì)察他的第九年的教授要目，“更可以明了他的精神所在”。（一）等差級數(shù)及等比級數(shù)，應(yīng)用問題。（二）變數(shù)法，無限大，無限小，極限，極限的基本定理。無限等比級數(shù)。（三）用兩有理數(shù)列定義無理數(shù)，及其相關(guān)聯(lián)的基本事項(xiàng)。（四）正多角形，圓周及圓面積，曲面體的體積（加乏利害原理的應(yīng)用）。（五）三角法。（六）高次方程式。（七）順列，組合，二項(xiàng)定理。大致和德國的教授方案相類似，但是第九年的（三）這一項(xiàng)，的確是特色。但是蘇聯(lián)十月革命后十余年間的數(shù)學(xué)教育方針，和彼利及克來茵的思想，未必一致。上

59、述教授要目的說明：“數(shù)學(xué)在教育上的地位，可以簡單的規(guī)定如下：數(shù)學(xué)對于學(xué)生，是實(shí)際上必要的學(xué)科。在學(xué)校；在后來的生活不管什么職業(yè)有他的必要性的緣故，是一個(gè)不可不與之相觀的工具”。因功利上的目的，實(shí)際的必要，而承認(rèn)數(shù)學(xué)在教科中的地位。但是高利曼（39）不以為然，說道：“這樣，自然把數(shù)學(xué)開倒車一直達(dá)到阿爾基米特斯；但是，這些努力，和辯證法的唯物論，沒有任何共通點(diǎn)”。用同樣的意義，摩洛鐸西（40）對于數(shù)學(xué)研究的全般下了批判（1933）：“人們往往這樣主張，數(shù)學(xué)的發(fā)展，其目的在滿足今日社會(huì)主義建設(shè)的需要；將可以滿足這個(gè)要求的數(shù)學(xué)諸分科發(fā)展起來就好了。但是這種主張是不對的，當(dāng)然，計(jì)劃數(shù)學(xué)的發(fā)展，必須把實(shí)踐需要的滿足和社會(huì)主義建設(shè)的展望放在心上。但是要進(jìn)到這個(gè)目的，僅僅乎將若干的分科片面的發(fā)展，是要失敗的，一定要把全數(shù)學(xué)計(jì)劃的發(fā)展，然后可能?！笔曛频闹袑W(xué)教科書，1949發(fā)行的，吉西略夫（41）著的，已經(jīng)由東北人民政府譯成中文。中國二十世紀(jì)初葉，中國才訂了學(xué)制；學(xué)制是“削足適履”式的日本制度。中學(xué)的數(shù)學(xué)課程，形式上和日本的無大差別。教科書也有