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文檔簡介
1、高一上學期數(shù)學知識概念方法題型易誤點技巧總結一、集合與命題1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時,尤其要注意元素的互異性,如(1)設為兩個非空實數(shù)集合,定義集合,若,則中元素的有_個。(答:8)(2)非空集合,且滿足“若,則”,這樣的共有_個(答:7)2.遇到時,你是否注意到“極端”情況:或;同樣當時,你是否忘記的情形?要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合,且,則實數(shù)_.(答:)3.對于含有個元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為 如滿足集合M有_個。(答:7)4.集合的運算性質:; ; ; ;.如設全集,若,則A_,B_.(
2、答:,)5. 研究集合問題,一定要理解集合的意義抓住集合的代表元素。如:函數(shù)的定義域;函數(shù)的值域;函數(shù)圖象上的點集,如設集合,集合N,則_ _(答:);6. 數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具,在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況,補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。如已知關于的不等式的解集為,若且求實數(shù)的取值范圍。(答:)7.四種命題及其相互關系。若原命題是“若p則q”,則逆命題為“若q則p”;否命題為“若則” ;逆否命題為“若則”。提醒:(1)互為逆否關系的命題是等價命題,即原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等
3、價;(2)在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”:否命題要對命題的條件和結論都否定,而命題的否定僅對命題的結論否定;(4)對于條件或結論是不等關系或否定式的命題,一般利用等價關系“”判斷其真假,這也是反證法的理論依據(jù)。(5)哪些命題宜用反證法?如(1)“在ABC中,若C=900,則A、B都是銳角”的否命題為(答:在中,若,則不都是銳角);(2)已知函數(shù),證明方程沒有負數(shù)根。8.充要條件。關鍵是分清條件和結論(劃主謂賓),由條件可推出結論,條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件,則條件是結論成立的必要條件。從集合角
4、度解釋,若,則A是B的充分條件;若,則A是B的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件。如設命題p:;命題q:。若是的必要而不充分的條件,則實數(shù)a的取值范圍是 (答:)二、不等式1. 不等式的性質:(1)同向不等式可以相加;異向不等式可以相減:若,則(若,則),但異向不等式不可以相加;同向不等式不可以相減;(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;異向不等式可以相除,但不能相乘:若,則(若,則);(3)左右同正不等式:兩邊可以同時乘方或開方:若,則或;(4)若,則;若,則。如(1)對于實數(shù)中,給出下列命題:; ,則。其中正確的命題是_(答:)(2)已知,則的取值范圍是_(答:)(3
5、)已知,且則的取值范圍是_ (答:)2. 不等式大小比較的常用方法:(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果;(2)作商(常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調性;(7)尋找中間量或放縮法 ;(8)圖象法。其中比較法(作差、作商)是最基本的方法。如設,試比較的大小(答:)3. 一元一次不等式的解法:通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式,若,則;若,則;若,則當時,;當時,。如已知關于的不等式的解集為,則關于的不等式的解集為_(答:)4. 一元二次不等式的解集(聯(lián)系圖象)。尤其當和時的解集你會
6、正確表示嗎?設,是方程的兩實根,且,則其解集如下表:或或RRR如解關于的不等式:。(答:當時,;當時,或;當時,;當時,;當時,)5. 對于方程有實數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù)是否為0,其次若,則一定有。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時,你是否注意到同樣的情形?如:(1)對一切恒成立,則的取值范圍是_(答:);(2)關于的方程有解的條件是什么?(答:,其中為的值域)6. 一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么?(、)。根的分布理論成立的前提是開區(qū)間,若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況,可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況,得出
7、結果,再令和檢查端點的情況如在區(qū)間上至少存在一個實數(shù),使,求實數(shù)的取值范圍。(答:)7. 二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎?二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值,也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標。如(1)不等式的解集是,則=_(答:);(2)若關于的不等式的解集為,其中,則關于的不等式的解集為_(答:);(3)不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_(答:)。8. 簡單的一元高次不等式的解法:標根法:其步驟是:(1)分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正;(2)將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上,從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線;并注意奇穿過偶彈回
8、;(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集。如:(1)解不等式。 (答:)(2)不等式的解集是_(答:)(3)設函數(shù)、的定義域都是R,且的解集為,的解集為,則不等式的解集為_(答:)(4)要使?jié)M足關于的不等式(解集非空)的每一個的值至少滿足不等式中的一個,則實數(shù)的取值范圍是.(答:)9. 分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正,最后用標根法求解。解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母。如:(1)解不等式 (答:)(2)關于的不等式的解集為,求關于的不等式的解集(答:)10.
9、絕對值不等式的解法:(1)分段討論(最后結果應取各段的并集):如解不等式(答:)(2)利用絕對值的定義;(3)數(shù)形結合;如解不等式(答:)(4)兩邊平方:如若不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍。(答:)11. 含參不等式的解法:求解的通法是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎,分類討論是關鍵”注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是”。注意:按參數(shù)討論,最后應按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應求并集. (見4中例題)12. 含絕對值不等式的性質:同號或有;異號或有.如設,實數(shù)滿足,求證:13. 利用重要不等式求函數(shù)最值時,你是否注意到:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小
10、”這17字方針。如:(1)下列命題中正確的是A.的最小值是2 B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是(2)若,則的最小值是_(答:)(3)正數(shù)滿足,則的最小值為_(答:)14. 常用不等式有:(1)(當且僅當時,取等號),根據(jù)目標不等式左右的結構選用;(2),(當且僅當時,取等號);(3)若,則(糖水的濃度問題)。如果正數(shù)、滿足,則的取值范圍是_(答:)15. 證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結論。常用的放縮技巧有:如(1)已知,求證: ;(2) 已知,求證:;(3)已知,且,求
11、證:;(4)若,求證:;(5)已知,求證:;16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?(常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題,也可抓住所給不等式的結構特征,利用數(shù)形結合法)(1)恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如(1)不等式對一切實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍(2)若不等式對滿足的所有都成立,則的取值范圍(3)若不等式對的所有實數(shù)都成立,求的取值范圍.(2)能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的
12、解集不是空集,求實數(shù)的取值范圍_(3)恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為;若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.三、函數(shù)1. 函數(shù)的定義域A和值域B都是非空數(shù)集!據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個。如(1)已知函數(shù),那么集合中所含元素的個數(shù)有 個(答: 0或1);(2)若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間,則 (答:2)2. 同一函數(shù)的概念。構成函數(shù)的三要素是定義域,值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定,因此當兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同時,它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同
13、,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”,那么解析式為,值域為4,1的“天一函數(shù)”共有_個(答:9)3. 求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則):(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零,分母不能為零,0次冪的底數(shù)不能為零。如(1)函數(shù)的定義域是_(答:);(2)若函數(shù)的定義域為R,則_(答:);(3)函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是_(答:); (2)根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。(3)復合函數(shù)的定義域:若已知的定義域為,其復合函數(shù)的定義域由不等式解出即可;若已知的定義域為,求的定義域,相當于當時,求的值域(即的定義域)。如(1)若函數(shù)的定義域為,則的
14、定義域為_(答:);(2)若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為_(答:1,5)4. 求函數(shù)值域(最值)的方法:(1)配方法二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:一是求閉區(qū)間上的最值;二是求區(qū)間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系),如(1)求函數(shù)的值域(答:4,8);(2)當時,函數(shù)在時取得最大值,則的取值范圍是_(答:); 特別說明:二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求法,一定要注意頂點的橫坐標是否在定義域內。如果是選擇、填空可以很快寫答案:先看看是否在內,如果在的話,算三個數(shù),三數(shù)中誰最大誰就是最大值
15、,誰最小誰就是最小值。如果不在的話,只要算兩個數(shù),大的就最大值,小的就最小值。(2)換元法通過換元把一個較復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù),其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型,如(1)的值域為_(答:)(令,。運用換元法時,要特別要注意新元的范圍); (3)函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學過函數(shù)的有界性,來確定所求函數(shù)的值域, (4)單調性法利用一次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調性,如求的值域為_(答:);(5)判別式法對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用,但這類題型有時也可以用其它方法進行求解,不必拘泥在判別式法上,也可先通過部分分式
16、后,再利用均值不等式:型,可直接用不等式性質,如求的值域(答:)型,先化簡,再用均值不等式,如(1)求的值域(答:);(2)求函數(shù)的值域(答:) 型,通常用判別式法;如已知函數(shù)的定義域為R,值域為,求常數(shù)的值(答:)型,可用判別式法或均值不等式法,如求的值域(答:)(6)不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值,其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。提醒:(1)求函數(shù)的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎?(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關系?5. 分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表示對應
17、關系的函數(shù),它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時,一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集,然后再代相應的關系式;分段函數(shù)的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如(1)設函數(shù),則使得的自變量的取值范圍是_(答:);(2)已知,則不等式的解集是_(答:)6. 求函數(shù)解析式的常用方法:(1)待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達形式有三種:一般式:;頂點式:;零點式:,要會根據(jù)已知條件的特點,靈活地選用二次函數(shù)的表達形式)。如已知為二次函數(shù),且 ,且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。(答:)(2)代換(配湊)法已知形如的表達式,求的表達式。如(1)若,
18、則函數(shù)=_(答:);(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且當時,那么當時,=_(答:). 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性,即的定義域應是的值域。(3)方程的思想已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式,可抓住等式的特征對等式的進行賦值,從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。如(1)已知,求的解析式(答:);(2)已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且+= ,則= _(答:)。7. 函數(shù)的奇偶性。(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關于原點對稱!為此確定函數(shù)的奇偶性時,務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱。(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復雜,應先化簡,再判斷其奇偶性)
19、:定義法:如判斷函數(shù)的奇偶性_(答:奇函數(shù))。利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式:或()。如判斷的奇偶性_.(答:偶函數(shù))圖像法:奇函數(shù)的圖象關于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關于軸對稱。(3)函數(shù)奇偶性的性質:奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性,則其單調性完全相同;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性,則其單調性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù),那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù),則.若奇函數(shù)定義域中含有0,則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù),則實數(shù)_(答:1).定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和(或差)”。如設是定義域為R的任一函數(shù)
20、, ,。判斷與的奇偶性; 若將函數(shù),表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和,則_(答:為偶函數(shù),為奇函數(shù);)復合函數(shù)的奇偶性特點是:“內偶則偶,內奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(,定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集).8. 函數(shù)的單調性。(1)確定函數(shù)的單調性或單調區(qū)間的常用方法:在解答題中常用:定義法(取值作差變形定號)如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是_(答:);在選擇填空題中還可用數(shù)形結合法、特殊值法等等,特別要注意型函數(shù)的圖象和單調性在解題中的運用:增區(qū)間為,減區(qū)間為.(例如函數(shù)遞增區(qū)間;單調遞減區(qū)間是)如(1)若函數(shù) 在區(qū)間上是減函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是_(答:));(2)已知
21、函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍_(答:); 復合函數(shù)法:復合函數(shù)單調性的特點是同增異減,(2)特別提醒:求單調區(qū)間時,一是勿忘定義域,如求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;二是在多個單調區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”;三是單調區(qū)間應該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示 (3)你注意到函數(shù)單調性與奇偶性的逆用了嗎?(比較大小;解不等式;求參數(shù)范圍).如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍。(答:)9. 常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的圖像由的圖像向左平移1個單位得到,則為_(答: )函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如(1)若
22、,則函數(shù)的最小值為_(答:2);(2)要得到的圖像,只需作關于_軸對稱的圖像,再向_平移3個單位而得到(答:;右);特別提示:上面兩種是左右平移,可以間記為“左加右減”函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的;函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的;如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 (答:C)特別提示:上面兩種是上下平移,可以間記為“上加下減”10. 函數(shù)的對稱性。滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根,則_(答:); 點關于軸的對稱點為;函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為;點關于軸的對稱點為;函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為; 點關于原點的對稱點為;函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為; 形如的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定),對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關于直線對稱,且圖象關于點(2,3)對稱,則a的值為_(答:2)的圖象先保留原來在軸上方的圖象,作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形,然后擦去軸下方的圖象得到;的圖象先保留在軸右方的圖象,擦去軸左方的圖象,然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關于_對稱
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