第六章 數(shù)學(xué)教育的基本理論

1、第六章 數(shù)學(xué)教育的基本理論課題: 數(shù)學(xué)教育的基本理論學(xué)習(xí)提要：1.弗賴登塔爾的主要數(shù)學(xué)教育理論； 2.波利亞的解題理論；3.建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育理論；4.我國“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的成功與不足。教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)教育的一些基本理論和觀點(diǎn)；2使學(xué)生形成對我國“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的正確認(rèn)識，并能用辨證思維方法分析問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：掌握典型的數(shù)學(xué)教育理論和基本觀點(diǎn)是本章重點(diǎn)；對這些理論觀點(diǎn)的理解內(nèi)化是本章的教學(xué)難點(diǎn)。教學(xué)方法：講授法、討論法教學(xué)過程：一、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論（一）“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)

2、學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的實(shí)際。在運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)” 進(jìn)行教學(xué)時，必須明確認(rèn)識以下幾點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來自于現(xiàn)實(shí)世界把那些最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)、現(xiàn)代社會生活需要的最基本、最核心的數(shù)學(xué)知識和技能作為數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容第二，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容不能僅僅局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的內(nèi)在聯(lián)系，還應(yīng)該研究數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界各種不同領(lǐng)域的外部關(guān)系和聯(lián)系。這樣才能使學(xué)生一方面獲得既豐富多彩而又錯綜復(fù)雜的“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學(xué)體系。另一方面，學(xué)生也有可能把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中去第三，數(shù)學(xué)教育

3、應(yīng)該為所有的人服務(wù)，應(yīng)該滿足全社會各種領(lǐng)域的不同層次的人對數(shù)學(xué)的不同水平的需求。（二）“數(shù)學(xué)化”原則弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過數(shù)學(xué)化來進(jìn)行。數(shù)學(xué)化是指人們在觀察、認(rèn)識和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育所說的數(shù)學(xué)化有兩種形式：一是實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化，即發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)成分，并對這些成分做符號化處理；二是從符號到概念的數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對已經(jīng)符號化了的問題作進(jìn)一步抽象化處理。對于前者，基本流程是：1確定一個具體問題中包含的數(shù)學(xué)成分；2建立這些數(shù)學(xué)成分與學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；3通過不同方法

4、使這些數(shù)學(xué)成分形象化、符號化和公式化；4找出蘊(yùn)含其中的關(guān)系和規(guī)則；5考慮相同數(shù)學(xué)成分在其他數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域方面的體現(xiàn)；6作出形式化的表述。對于后者，基本流程是：1用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系；2對有關(guān)規(guī)則作出證明；3嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型；4對得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工；5綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性，形成功能更強(qiáng)的新模型；6用已知數(shù)學(xué)公式和語言盡量準(zhǔn)確的描述得到的新概念和新方法；7作一般化的處理、推廣。（三）“再創(chuàng)造”原則弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)。學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上就是一個“做數(shù)學(xué)”(doing mathematics)的過程，這也是目前數(shù)學(xué)教育的一個重要觀點(diǎn)。這一

5、過程要求通過教師精心設(shè)計，創(chuàng)造問題情景，讓學(xué)生自己動手實(shí)驗(yàn)研究、合作商討，探索問題的結(jié)果。需要特別注意的是，弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論不是“教育學(xué)+ 數(shù)學(xué)例子”式的論述， 而是抓住數(shù)學(xué)教育的特征，緊扣數(shù)學(xué)教育的特殊過程，因而有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”、“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)反思”、“思辨數(shù)學(xué)”等諸多特有的概念。他的著作多數(shù)根據(jù)自己研究數(shù)學(xué)的體會，以及觀察兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，思辨性的論述比較多。于是有人批評說弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論缺乏實(shí)踐背景和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。其實(shí)，他的許多研究成果尚未被大家仔細(xì)研究，有興趣的讀者不妨閱讀他的著作。二、波利亞的解題理論（一）波利亞對數(shù)學(xué)教育的基本看法波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就

6、是“教會年輕人思考”，這種思考既是有目的的思考，產(chǎn)生式的思考，也包括形式的和非形式的思考。數(shù)學(xué)教育中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的興趣、好奇心、毅力、情感體驗(yàn)等非智力品質(zhì)的重要性。要成為一個好的解題者，如果“頭腦不活動起來,是很難學(xué)到什么東西的,也肯定學(xué)不到更多的東西”。“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”, 最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去“探索”、去“發(fā)現(xiàn)”。教學(xué)是一門藝術(shù)。教學(xué)過程本身應(yīng)該遵循一些規(guī)律性的東西,尤其強(qiáng)調(diào)興趣對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。（二）波利亞關(guān)于解題的研究 波利亞專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這

7、張表的實(shí)際應(yīng)用。書中各部分基本上是配合這張表，是對該表的進(jìn)一步闡述和注釋。怎樣解題表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實(shí)現(xiàn)計劃”和“回顧”四個階段?！芭鍐栴}”是認(rèn)識并對問題進(jìn)行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個必要前提；“擬定計劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容；“實(shí)現(xiàn)計劃”較為容易，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置；“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來。其中，他對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃?！彼€把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過

8、程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。三、 建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育理論（一）建構(gòu)主義概述建構(gòu)主義(constructivism)有時候也譯作結(jié)構(gòu)主義，理論根源可追溯到2500多年前?，F(xiàn)代建構(gòu)主義主要是吸收了杜威的經(jīng)驗(yàn)主義和皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義與發(fā)生認(rèn)識論等思想，并在總結(jié)60年代以來的各種教育改革方案的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上演變和發(fā)展起來的。在教育領(lǐng)域中常常談?wù)摰慕?gòu)主義具有認(rèn)知理論和方法論的雙重身份。（二）建構(gòu)主義理論關(guān)于數(shù)學(xué)教育的一些基本認(rèn)識1數(shù)學(xué)知識是什么·數(shù)學(xué)知識不是對現(xiàn)實(shí)的純粹客觀的反映，任何一種傳載

9、知識的符號系統(tǒng)也不是絕對真實(shí)的表征，它只不過是人們對客觀世界的一種解釋、假設(shè)或假說。它不是問題的最終答案，它必將隨著人們認(rèn)識程度的深入而不斷地變革、升華和改寫，出現(xiàn)新的解釋和假設(shè)。·數(shù)學(xué)知識不可能以實(shí)體的形式存在于個體之外，真正的理解只能是由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗(yàn)背景而建構(gòu)起來的，取決于特定情況下的學(xué)習(xí)活動過程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動的復(fù)制式的學(xué)習(xí)。2學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)·學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識的過程。學(xué)生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構(gòu)知識的意義，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的。·學(xué)習(xí)不是被動接

10、收信息刺激，而是主動地建構(gòu)意義，是根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景,對外部信息進(jìn)行主動地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義。外部信息本身沒有什么意義，意義是學(xué)習(xí)者通過新舊知識經(jīng)驗(yàn)間的反復(fù)的、雙向的相互作用過程而建構(gòu)成的。因此，學(xué)習(xí)不是象行為主義所描述的“刺激反應(yīng)”那樣。·學(xué)習(xí)意義的獲得，是每個學(xué)習(xí)者以自己原有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對新信息重新認(rèn)識和編碼，建構(gòu)自己的理解。在這一過程中，學(xué)習(xí)者原有的知識經(jīng)驗(yàn)因?yàn)樾轮R經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)入而發(fā)生調(diào)整和改變。3教師如何開展課堂教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的三個假設(shè)相對應(yīng)的是，建構(gòu)主義指導(dǎo)下的課堂教學(xué)是基于如下三個基本假設(shè)：(1)教師必須建立學(xué)生理解數(shù)學(xué)的模式。教師應(yīng)該建立反映每個同

11、學(xué)建構(gòu)狀況的“卷宗”，以便判定每個學(xué)生建構(gòu)能力的強(qiáng)弱；(2)教學(xué)是師生、生生之間的互動；(3)學(xué)生自己決定建構(gòu)是否合理。根據(jù)上述教學(xué)目的和假設(shè)，一個數(shù)學(xué)教師在建構(gòu)主義的課堂上就需要做以下六件事：(1)加強(qiáng)學(xué)生的自我管理和激勵他們?yōu)樽约旱膶W(xué)習(xí)負(fù)責(zé)；(2)發(fā)展學(xué)生的反省思維；(3)建立學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的“卷宗”；(4)觀察與參與學(xué)生嘗試、辨認(rèn)與選擇解題途徑的活動；(5)反思與回顧解題途徑；(6)明確活動、學(xué)習(xí)材料的目的。需要強(qiáng)調(diào)的是：對于建構(gòu)主義學(xué)說， 我們應(yīng)當(dāng)吸取精華，拒絕一些“極端的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我國的教育改革。四、 我國“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的成功與不足（一）“雙基”“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知

12、識”和“數(shù)學(xué)基本技能” “雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)理論的基本內(nèi)容可以概括為：一個統(tǒng)一，兩個基礎(chǔ)，三大能力，四個結(jié)合，五個環(huán)節(jié)。1全國統(tǒng)一的課程與考試制度2打好兩個基礎(chǔ)：基礎(chǔ)知識和基本技能3培養(yǎng)三大能力：基本運(yùn)算能力、空間想象能力和邏輯思維能力4提倡四個結(jié)合：教師主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用相結(jié)合；抽象理論和具體實(shí)踐相結(jié)合；有效講授和變式演練相結(jié)合；（4）邏輯嚴(yán)密和淡化形式相結(jié)合。5課堂教學(xué)實(shí)行5個環(huán)節(jié)的模式：復(fù)習(xí)舊課導(dǎo)入新課講授討論鞏固練習(xí)布置作業(yè)。（二） “雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)理論的獨(dú)特認(rèn)識1運(yùn)算速度；2知識的記憶；3適度形式化的邏輯要求；4重復(fù)訓(xùn)練。（三） “雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)理論的形成1“雙基數(shù)學(xué)教學(xué)”是中國傳

13、統(tǒng)文化的一種傳承。2中國千余年“考試文化”下的教育評價體系，是形成“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)理論的重要動因。（四）“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)過程（1）“啟發(fā)式”教學(xué)（2）“精講多練”（3）“變式練習(xí)”（4）“小步走，小轉(zhuǎn)彎， 小坡度”的三小教學(xué)法（5）“大容量、快節(jié)奏、高密度”的復(fù)習(xí)課近年來， 我國數(shù)學(xué)教學(xué)在“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上已經(jīng)有所發(fā)展。 例如， 開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)，提倡“研究性學(xué)習(xí)”，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)， 進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題訓(xùn)練等等，這對提升中國“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的品位有很大幫助。但是， 這些新的教學(xué)策略， 應(yīng)該和“雙基”教學(xué)密切結(jié)合，而不應(yīng)該互相對立，互不聯(lián)系，各搞一套。問題與思考：1弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育的主要特征是什么？ 2波利亞“怎樣解題”中關(guān)于解題過程主要分哪幾步？ 3中國的雙基數(shù)學(xué)教學(xué)是否能成為一種科學(xué)理論，談?wù)勀阕?/p>